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第 01 讲 极坐标与参数方程
一、解答题
1．在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐
标系.已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为
参数）
(1)求曲线 的参数方程与直线 的普通方程；
(2)设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线 上的点，且 ,求 面积的取
值范围
2．已知圆 与直线 交于 两点，点 为线段 的中点， 为坐
标原点，直线 的斜率为 ．
(1)求 的值及 的面积；
(2)若圆 与 轴交于 两点，点 是圆 上异于 的任意一点，直线 ，分别
交 于 两点．当点 变化时，以 为直径的圆是否过圆 内的一定点，若过
定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
3．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（其中 为参数），以原点
为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
设点 ，曲线 交于 ，求 的值.
4．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方
程为 （ 为参数）．
(1)求直线 与曲线 的普通方程，并说明 是什么曲线？(2)设M，N是直线 与曲线 的公共点，点 的坐标为 ，求 的值．
5．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线
的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐
标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当 时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的面积的最大值．
6．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数为 （ 为参数）．
(1)求曲线 和直线 的直角坐标方程；
(2)过原点 引一条射线分别交曲线 和直线 于 、 两点，求 的最大值．
一、解答题
1．在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （t为参数），以O为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且两曲线
与 交于M，N两点．
(1)求曲线 ， 的直角坐标方程；
(2)设 ，求 ．2．已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原
点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，点 的极坐标是 .
（1）求直线 的极坐标方程及点 到直线 的距离；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的面积.
3．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数且
），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极
坐标方程为 ．
（1）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，射线 与 的交点为 （异于极点），与
的交点为 （异于极点），若 ，求 的值．
4．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数 ）．
以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的极坐标方程为
．
（1）求半圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程；
（2）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在半圆 上，且直线 的倾斜角是直
线 的倾斜角的 倍， 的面积为 ，求 的值．
5．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， 为参数）.以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的直角坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的极坐标方程；
（2）射线 ， 和曲线 分别交于点 ， ，与直线 分别交于 ，
两点，求四边形 的面积.6．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点
为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的
延长线上且满足 点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值.
一、解答题
1．（2022·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
2．（2022·全国·高考真题（文））在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知
直线l的极坐标方程为 ．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
3．（2021·全国·高考真题（文））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨
迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点．4．（2021·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为
1．
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求这两条切线的极坐标方程．
5．（2020·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
6．（2020·全国·高考真题（理））已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ：
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（θ为参数），C ： （t为参数）.
2
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
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（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在
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极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
