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专题 17 函数综合测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·四川成都·统考二模）点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是
（ ）
A．(2,0) B．(0,−2) C．(4,0) D．(0,−4)
【答案】A
【分析】由纵坐标为0可得：m+1=0，进而求解m的值，则问题得解．
【详解】解：由点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，可得：
m+1=0，解得：m=−1，
∴m+3=−1+3=2，
∴点P(2,0)；
故选A．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解
题的关键．
√x+2
2．（3分）（2023·湖北恩施·统考一模）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥−2且x≠0 B．x≥−2 C．x>−2或x≠0 D．x>−2
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：¿，
解得：x≥−2且x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，
求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
3．（3分）（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的一次函数y =a x+b 与y =a x+b （
1 1 1 2 2 2
a 、a 、b 、b 都为常数，且a 、a 都不为0）．函数y 满足y =m y +(1−m)y （m为常数），下列
1 2 1 2 1 2 3 3 1 2
说法正确的是（ ）
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3
A．若y =x+1,y =2x，当x=1时，y =
1 2 3 2
(3 9)
B．若y =x+1,y =3x，y 恒过定点 ,
1 2 3 2 2
C．若a =a ，则y 与y 、y 的函数图像一定都有交点
1 2 3 1 2
D．若(x ,y )是y 与y 函数图像的交点，则(x ,y )也在y 函数图像上
0 0 1 2 0 0 3
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质求解．
【详解】解：
A：当x=1时，有y =x+1=2，y =2x=2，
1 2
∴y =2m+2（1−m）=2，故A是错误的；
3
3 3 5 3 9
B：当x= 时，有y = +1= ，y =3× = ，
2 1 2 2 2 2 2
5 9 9
∴y = m+ (1−m)= −2m，故B是错误的；
3 2 2 2
C：设a =a =a，
1 2
∴y =m(ax+b )+(1−m)(ax+b )=ax+(mb −mb +b )，
3 1 2 1 2 2
若b ≠b ，且m≠0或1，则y ∥y ∥y ，则y 与y 、y 的函数图象都没有交点，
1 2 3 1 2 3 1 2
故C是错误的；
D：∵（x ，y ）是y 、y 函数图象的交点，
0 0 1 2
∴y =a x +b ，y =a x +b ，
0 1 0 1 0 2 0 2
∴当x=x 时，y =m y +(1−m)y = y ，
0 3 0 0 0
∴ (x ，y )也在y 函数图象上，
0 0 3
故D是正确的；
故选：D．
4．（3分）（2023·安徽·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=−ax+b与
c
反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
x
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函
数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴−a<0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
c
∴直线y=−ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，
x
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，
c的符号．
5．（3分）（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形ABCD的边长为4cm，，∠A=60°，动点P，Q同时从
点A出发，都以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：
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s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可用图象表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①00时，x的取值范围是
−1≤x<3；④点(−2,y )，(2,y )都在抛物线上，则有y <00，则abc<0，从而可判断选项①；根据抛物线对称轴可得
b=−2a，又抛物线与x轴交于点(−1,0)，从而得到a−b+c=0，因此3a+c=0，从而可判断选项②；观
察抛物线与x轴的交点可判断选项③；从图象看，当x=−2时，y <0，当x=2时，y >0，从而可判断选
1 2
项④．综上即可解答．
【详解】根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为(3,0)；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，故①正确；
b
②∵抛物线对称轴x=− =1，即b=−2a，
2a
而x=−1时，y=0，即a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0．
故②正确；
③由图象知，当y>0时，x的取值范围是−10，
2
∴y <00)第一和第三象限的两支上，连接AB，线段AB恰好经过原点O，以AB为腰作等腰
x
三角形ABC，AB=AC，点C落在第四象限中，且BC∥x轴，过点C作CD∥AB交x轴于E点，交双曲
线第一象限一支于D点，若△ACD的面积为4√5−4，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2√5
【答案】A
【分析】设A(m,n)，B(−m,−n)，则k=mn，根据已知条件，求出D[(√5+2)m,(√5−2)n]，
DE |y | S DE
= D =√5−2， △ADE= =√5−2，根据S +S =S =4√5−4，即可求出S =4，
CE y S CE △ADE △AEC △ACD △AEC
C △AEC
1
连接AE，设AC与x轴交于F点，根据已知条件证明AF=CF，得出S =S = S =2，根据已知
△AEF △CEF 2 △AEC
1
条件证明S =S =2，过点A作AM⊥x轴于点M，求出S = S =1，即可求出k的值．
△AOF △CEF △AOM 2 △AOF
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【详解】解：设A(m,n)，B(−m,−n)，k=mn，
∵AB=AC，BC∥x轴，
∴ C(3m,−n)，
设AB的函数关系式为：y=k x，把A(m,n)代入得：n=k m，
AB AB
n
解得：k = ，
AB m
∵CD∥AB，
n
∴k =k = ，
AB CD m
n
设CD的关系式为：y=k x+b，把C(3m,−n)代入得： ×3m+b=−n，
CD m
解得：b=−4n，
n
∴CD的关系式为：y= x−4n，
m
联立¿，
解得：¿或¿，
∵点D在第一象限，
∴D[(√5+2)m,(√5−2)n]，
DE |y |
∴ = D =√5−2，
CE y
C
连接AE，设AC与x轴交于F点，
S DE
∴ △ADE= =√5−2，
S CE
△AEC
∵S +S =S =4√5−4，
△ADE △AEC △ACD
∴S =4，
△AEC
∵O为AB的中点，OF∥BC，
AF AO
∴ = =1，
FC OB
∴AF=CF，
1
∴S =S = S =2，
△AEF △CEF 2 △AEC
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∵OF∥BC，OB∥CE，
∴四边形OBCE为平行四边形，
∴CE=OB，
∵OA=OB，
∴OA=CE，
∵OB∥CE，
∴∠OAF=∠ECF，
∵∠AFO=∠EFC，
∴△AOF≌△CEF，
∴S =S =2，
△AOF △CEF
过点A作AM⊥x轴于点M，
1 1
∵AB=AC，AO= AB，AF= AC，
2 2
∴AO=AF，
∴OM=MF，
∴S =S ，
△AOM △AMF
1
∴S = S =1，
△AOM 2 △AOF
∴k=2S =2．
△AOM
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形
的判定和性质，作出辅助线，求出S =4，是解题的关键．
△AEC
9．（3分）（2023·山东济南·统考三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手
函数．已知抛物线y=x2−2mx+m2−m+2与线段y=m(−3≤x≤1)是牵手函数，则m的取值范围是
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（ ）
A．m≥1 B．1≤m≤3 C．m≤1或m≥3 D．m≤3
【答案】B
【分析】依据二函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于0，可初步确定m的取值
范围，然后再依据自变量x的取值范围进一步确定m的取值范围，即可求解．
【详解】∵抛物线y=x2−2mx+m2−m+2与线段y=m(−3≤x≤1)有公共点，
∴抛物线与平行于x轴的线段y=m相切或者相交．
y=m代入y=x2−2mx+m2−m+2中，
即关于x的二次方程m=x2−2mx+m2−m+2有两个相等或者不等的实数根．
整理上述关于x的二次方程得，x2−2mx+(m2−2m+2)=0．①
∴对于①式，Δ=(−2m) 2−4×1×(m2−2m+2)≥0，
即8m−8≥0，m≥1．
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将①式x2−2mx+(m2−2m+2)=0整理成关于m的二次方程：
m2−(2x+2)m+(x2+2)=0，则关于m的判别式：
1
Δ =[−(2x+2)] 2 −4(x2+2)≥0，解得：x≥ ．
2
结合x的已知取值范围−3≤x≤1得出：
1
线段y=m (−3≤x≤1)与抛物线有公共点的取值范围为： ≤x≤1．
2
观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当x=1时， 正好是线段y=m (−3≤x≤1)
1
与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是1→ →1．
2
把x=1代入方程①式：12−2m+(m2−2m+2)=0，
可求得¿，即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置．
因此，m的取值范围是1≤m≤3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．
1 13
10．（3分）（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=– x+ 分别与x
3 3
轴、y轴交于点P，Q，在Rt△OPQ中从左向右依次作正方形A B C C ，A B C C ，A B C C …，
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
A B C C ，点A ，A ，A …，A 在x轴上，点B 在y轴上，点C ，C ，C …，C 在直线PQ
n n n n+1 1 2 3 n 1 1 2 3 n+1
上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平
行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为S ，S ，S …，S ，则S 可表示为( )
1 2 3 n n
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3n+1 32n−1 3n−1 32n−2
A． B． C． D．
4n+1 42n−2 4n−1 42n−3
【答案】D
1
【分析】利用每个小正方形的边都与坐标轴平行，tan∠OPQ= ，可得到每组小正方形的边长都是该组
3
直角三角形的两直角边之差，利用C的坐标探索边长的规律，进而求面积．
1 13
【详解】解：∵直线PQ的关系式为：y=− x+
3 3
13
∴P(13，0)，Q(0， )，
3
13
∴tan∠OPQ= 3 1，
=
13 3
∵每个小正方形的边都与坐标轴平行，
∴∠OA B =∠OA B =…=∠OA B =∠OPQ，
1 1 2 2 n n
∵每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，
∴每组小正方形的边长都是该组直角三角形两直角边之差，
正方形A B C C 中，设点C (a ,b )，
1 1 1 2 1 1 1
∴b =4a ，
1 1
1 13
将点C (a ,4a )代入直线y=− x+ ，
1 1 1 3 3
∴a =1，b =4，
1 1
∴正方形A B C C 中阴影正方形边长为：3−1=2，
1 1 1 2
∴阴影部分面积4；
正方形A B C C 中，设点C (a ,b )，
2 2 2 3 2 2 2
∴a =4a =4，b =b −a =3，
2 1 2 1 1
3 3
∴正方形A B C C 中阴影正方形边长为 ×2= ；
2 2 2 3 4 2
9
∴阴影部分面积 ；
4
正方形A B C C 中，设点C (a ,b )，
3 3 3 4 3 3 3
25 9
∴a =4a +3a = ，b =b −a −a = ，
3 1 2 4 2 1 1 2 4
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9 1 9
∴正方形A B C C 中阴影正方形边长 × ×2= ；
3 3 3 4 4 4 8
81
∴阴影部分面积 ；
64
3n−1
以此推理，第n个阴影正方形的边长为2× ；
4n−1
32n−2
∴阴影部分面积 ．
42n−3
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数点坐标的特点，求正切；能够利用点的坐标探索边长的关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）关于x的一次函数y=(2a+1)x+a−2，若y随x的增大而
增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
1
【答案】− 0，a−2<0，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴2a+1>0．
1
∴a>− ．
2
x=0时，y=a−2
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴a−2<0．
∴a<2．
1
∴− 0)经过
A(2n+3,y ),B(n−1,y )两点，若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y 0
−2a
∴抛物线的对称轴为直线x=− =1，开口向上，
2a
∵A(2n+3,y ),B(n−1,y )分别位于抛物线对称轴的两侧，
1 2
假设点B在对称轴的右侧，则n−1>1，解得n>2，
∴2n+3−(n−1)=n+4>0
∴A点在B点的右侧，与假设矛盾，则点A在对称轴的右侧，
∴¿
解得：−10)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴
x
于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为
．
【答案】24
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A(4a,0)、B(6a,0)，由正方形的性质可得C(4a,4a)，由
( k ) 1
QN⊥y轴，点P在CD上，可得P ,4a ，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得BQ= AB=a，
4a 2
k k
则Q(6a,a)，由于点Q在反比例函数y= (k>0)的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
x 4a
宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
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【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B(6a,0)，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
∴BQ=12AB=a，
∴Q(6a,a)，
k
∵Q在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C(6a,6a)，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
k
∵P点在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
k
∴P点横坐标为x= ，
4a
( k )
∴P ,4a ，
4a
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
k
∴NH= ，MH=a，
4a
k
∴S =NH×MH= ×a=6，
▭OMHN 4a
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
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( 1)
15．（3分）（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数y=a(x−1)(x−5) a> 的图像与x轴交于点A、
2
B，与y轴交于点C，过点M(3，1)的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，
则a的值为 ．
9 2+√2 √2+1
【答案】 或 或
10 5 2
1 5
【分析】先求得A(1,0)，B(5,0)，C(0,5a)，直线BM解析式为y=− x+ ，直线AM的解析式为
2 2
1 1
y= x− ，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，
2 2
1 5
直线AM过BC中点，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=− x+ ，AC中点坐标为
2 2
(1 5 ) 9
, a ，待入直线求得a= ；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为(3,0)，直线MB与y轴平
2 2 10
行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，所以必有“A”型相似，
因为平分面积，所以相似比为1:√2．④如图4，直线EM ∥ AB，根据相似三角形的性质，即可求解；
AE 1
⑤如图5，直线ME ∥ AC，⑥如图6，直线ME ∥ BC，同理可得 = ，进而根据
AB √2
tan∠MEN=tan∠CBO，即可求解．
【详解】解：由y=a(x−1)(x−5)，令x=0，解得：y=5a，令y=0，解得：x =1,x =5，
1 2
∴A(1,0)，B(5,0)，C(0,5a)，
设直线BM解析式为y=kx+b，
∴¿
解得：¿
1 5 5 ( 5)
∴直线BM解析式为y=− x+ ，当x=0时，y= ，则直线BM与y轴交于 0, ，
2 2 2 2
1
∵a> ，
2
5
∴5a> ，
2
∴点M必在△ABC内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
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设直线AM的解析式为y=mx+n
∴¿
解得：¿
1 1
则直线AM的解析式为y= x−
2 2
①如图1，直线AM过BC中点，，
3 1
BC中点坐标为¿，代入直线求得a= < ，不成立；
10 2
1 5 (1 5 )
②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=− x+ ，AC中点坐标为 , a ，待入直线求得
2 2 2 2
9
a= ；
10
③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为(3,0)，
∴直线MB与y轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，
所以相似比为1:√2．
④如图4，直线EM ∥ AB，
∴△CEN∽△COA
CE CN 1
∴ = = ，
CO CA √2
5a−1 1
∴ = ，
5a √2
2+√2
解得a= ；
5
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⑤如图5，直线ME ∥ AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO
BE 1
∴ = ，又AB=4，
AB √2
∴BE=2√2，
∵BN=5−3=2<2√2，
∴不成立；
AE 1
⑥如图6，直线ME ∥ BC，同理可得 = ，
AB √2
∴AE=2√2，NE=2√2−2，tan∠MEN=tan∠CBO，
1 5a √2+1
∴ = ，解得a= ；
2√2−2 5 2
9 2+√2 √2+1
综上所述，a= 或 或 ．
10 5 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，
并分类讨论是解题的关键．
1
16．（3分）（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
3
4
点D是线段AB上一动点，点H是直线y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接
3
BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．
39
【答案】
2
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【分析】作出点C(3，−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利
(11 )
用解直角三角形求得F ，0 ，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过
3
点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
1
【详解】解：∵直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
3
∴B(0，2)，A(6，0)，
作点B关于x轴的对称点B'(0，−2)，把点B'向右平移3个单位得到C(3，−2)，
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB'是平行四边形，
此时，BE=B'E=CF，
∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，
则CP=2，OP=3，
∵∠CFP=∠AFD，
∴∠FCP=∠FAD，
∴tan∠FCP=tan∠FAD，
PF OB PF 2
∴ = ，即 = ，
PC OA 2 6
2 (11 )
∴PF= ，则F ，0 ，
3 3
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则¿，解得¿，
∴直线CD的解析式为y=3x−11，
联立，¿，解得¿，
(39 7 )
即D ， ；
10 10
过点D作DG⊥y轴于点G，
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直线y=− 4 x+2与x轴的交点为Q (3 ，0 ) ，则BQ=√OQ2+OB2= 5 ，
3 2 2
3
OQ 2 3
∴sin∠OBQ= = = ，
BQ 5 5
2
3
∴HG=BHsin∠GBH= BH，
5
(3 )
∴3BH+5DH=5 BH+DH =5(HG+DH)=5DG，
5
39 39
即3BH+5DH的最小值是5DG=5× = ，
10 2
39
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·山东淄博·统考中考真题）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2(m−1) 2−7=−5；
（2）n−3>0．
( 3n−m)
试判断点P 2m−3, 所在的象限．
2
【答案】点P在第一象限或点P在第二象限
3n−m
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定2m−3， 的
2
符号确定点P所在象限解题即可．
【详解】解：2(m−1) 2−7=−5
2(m−1) 2=−5+7
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(m−1) 2=1
m−1=1或m−1=−1
m =2，m =0；
1 2
n−3>0，
解得：n>3；
3n−m
∴当m=2，n>3时，2m−3>0， >0，点P在第一象限；
2
3n−m
当m=0，n>3时，2m−3<0， >0，点P在第二象限；
2
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐
标特征是解题的关键．
18．（6分）（2023·青海西宁·统考中考真题）一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点
B(m,4)．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1)A(2,0),B(4,4)
(2)见解析
(3)P坐标是(6,0)，(2+2√5,0)
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【分析】（1）令y=0得出点A的坐标是(2,0)，把B(m,4)代入y=2x−4，即可求解；
（2）画出经过A,B的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，
∴令y=0
2x−4=0解得x=2
∴点A的坐标是(2,0)
∵点B(m,4)在一次函数y=2x−4的图象上
把B(m,4)代入y=2x−4，
得2m−4=4，
∴m=4，
∴点B的坐标是(4,4)；
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，当BA=BP时，P (6,0);
1
∵A(2,0)，B(4,4)，
∴AB=√(4−2) 2+22=2√5，
当AB=AP时，P (2+2√5,0)
2
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∴符合条件的点P坐标是(6,0)，(2+2√5,0).
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
19．（8分）（2023·江苏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数
m
y= 的图像相交于点A(2,4)、B(4,n)．C是y轴上的一点，连接CA、CB．
x
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若△ABC的面积是6，求点C的坐标．
8
【答案】(1)y=−x+6，y=
x
(2)(0，0)或(0，12)
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把
A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点C(0,t)，点E是一次函数y=−x+6与y轴的交点，求出E(0，6)，则CE=|6−t|，再由
S =S −S ，得到|6−t|=6，问题随之得解．
△ABC △BEC △AEC
m
【详解】（1）解：∵点A(2,4)在比例函数y= 上，
x
m
∴4= ，
2
∴m=8，
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8
∴反比例函数解析式为y= ，
x
8
∵点B(4,n)在反比例函数y= 上，
x
8
∴n= ，
4
∴n=2，
∴B(4,2)，
∵点A，点B在一次函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得：¿，
∴一次函数解析式为y=−x+6．
（2）解：如图，所示：
根据题意：设点C(0,t)，
∵点E是一次函数y=−x+6与y轴的交点，
∴点E(0，6)，
∴CE=|6−t|，
∵A(2,4)，B(4,2)，
∴S =S −S ，
△ABC △BEC △AEC
1 1
= ×CE×x − ×CE×x
2 B 2 A
1
= ×|6−t|×(x −x )
2 B A
=|6−t|，
∵S =6，
△ABC
∴|6−t|=6，
∴t=0或t=12，
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∴点C的坐标为(0，0)或(0，12)．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
20．（8分）（2023·辽宁丹东·统考中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购
进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为
5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：
每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，
即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
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=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关
键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出
方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
21．（8分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(0,3)，反比例函
k
数y= (k≠0)在第一象限的图象经过点C，BC=AC，∠ACB=90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴
x
于点E．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线CE于点F，请直接写出点F的坐标．
4
【答案】(1)y=
x
(2)(2+√5,2)或(2−√5,2)
【分析】（1）作CG⊥x轴于点G，如图，证明四边形OECG是矩形，得到∠ECG=90°， 推出
∠BCE=∠ACG，证明△BEC≌△AGC，得到CE=CG,BE=AG，得出矩形OECG是正方形，可得
OE=OG，然后由A、B的坐标求出OE=OG=2，进而得到点C的坐标为(2,2)，再代入反比例函数的解
析式即可；
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（2）根据（1）中结论可得C(2,2)，由A(1,0)，利用两点距离公式求得AC=√5，再由CE∥x轴，)，
∠DAC的平分线交直线EC于点F，证明CF=CA，即可分别求出F的横纵坐标．
【详解】（1）解：作CG⊥x轴于点G，如图，
图1
∵CE∥x轴，
∴∠CEO=∠CEB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四边形OECG是矩形，
∴∠ECG=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACG，
又∵BC=AC,∠BEC=∠AGC=90°，
∴△BEC≌△AGC(AAS)，
∴CE=CG,BE=AG，
∴矩形OECG是正方形，
∴OE=OG，
∵A(1,0)，B(0,3)，
∴OA=1,OB=3，
设BE=AG=m，则1+m=3−m，解得：m=1，
∴OE=OG=2，
∴点C的坐标为(2,2)，
k
代入y= ，得k=2×2=4；
x
4
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）解：当D在A点右侧时：如图1中图所示，
∵OA=1,OB=3，∠AOB=90°，
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∴AB=√12+32=√10，
∵BC=AC，∠ACB=90°，
√2
∴AC=BC= AB=√5，
2
∵CE∥x轴，
∴∠CFA=∠FAD，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠DAF，
∴∠CAF=∠CFA，
∴CA=CF=√5，
∵OE=EC=2，
∴EF=2+√5，
∴点F的坐标是(2+√5,2)．
∴F(2+√5，2)，
当D在A点左侧时，如图2：
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF=∠DAF=∠CFA，
∴CF=AC=√5，
∵C(2,2)，
∴F点横坐标为2−√5，
∴F(2−√5,2)，
综上所述：F(2+√5,2)或(2−√5,2)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、
全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握
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上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
22．（8分）（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象交x
1 3
轴于点A(8,0)，交y轴于点B．直线y= x− 与y轴交于点D，与直线AB交于点C(6,a)．点M是线段
2 2
BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．
24
①当0≤m< 时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
5
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
3 3
【答案】(1)a= ，y=− x+6
2 4
5 21 27
(2)①l=6− m；② 或
4 5 5
1 3
【分析】（1）根据直线y= x− 的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
2 2
（2）①用含m的代数式表示出MN的长，再根据MN=CQ得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后
根据①的关系式的出m的值．
1 3
【详解】（1）∵点C(6,a)在直线y= x− 上，
2 2
1 3 3
∴a= ×6− = ，
2 2 2
( 3)
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(8,0)和点C 6, ，
2
∴¿，
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解得¿，
3
∴直线AB的解析式为y=− x+6；
4
3
（2）①∵M点在直线y=− x+6上，且M的横坐标为m，
4
3
∴M的纵坐标为：− m+6，
4
1 3
∵N点在直线y= x− 上，且N点的横坐标为m，
2 2
1 3
∴N点的纵坐标为： m− ，
2 2
3 1 3 15 5
∴|MN|=− m+6− m+ = − m，
4 2 2 2 4
( 3)
∵点C 6, ，线段EQ的长度为l，
2
3
∴|CQ|=l+ ，
2
∵|MN|=|CQ|，
15 5 3
∴ − m=l+ ，
2 4 2
5
即l=6− m；
4
②∵△AOQ的面积为3，
1
∴ OA⋅EQ=3，
2
1
即 ×8×EQ=3，
2
3
解得EQ= ，
4
13 5
由①知，EQ= − m，
2 4
| 5 | 3
∴6− m = ，
4 4
21 27
解得m= 或m= ，
5 5
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21 27
即m的值为 或 ．
5 5
【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键．
23．（8分）（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线l:y=kx+b经过抛物线
y=x2+2mx+2m2−m(m≠0)的顶点．
(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．
①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；
③当k=2时.动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S=EF，求S的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q.当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛
物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A.若|QB−QA|≥1，直接写出k的取值范围．
( 1 1)
【答案】(1)①抛物线的解析式为y=x2+x，顶点P的坐标为 − ,− ；②t的值为−3或1；③S取得最
2 4
1
大值
2
(2)k的取值范围为k≤−√3或k≥√3
1
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得2m2−m=0，即可求得m= ，①利用配方法将抛物线解析式化为
2
顶点式即可求得答案；
1 3 3 1
②分三种情况：当t+1<− ，即t<− 时，y随x增大而减小，当− ≤t≤− 时，则若t≤x≤t+1时，y
2 2 2 2
1 1
的最小值为− ，不符合题意，当t>− 时，y随x增大而增大，分别列方程求解即可；
4 2
( 1 1) 3
③把P − ，− 代入y=2x+b，可得y=2x+ ，设点E(m,m2+m)，可得
2 4 4
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F (1 m2+ 1 m− 3 ,m2+m ) ，进而可得
2 2 8
S=EF=m−
(1
m2+
1
m−
3)
=−
1
m2+
1
m+
3
=−
1(
m−
1) 2
+
1
，利用二次函数的性质即可求得答案；
2 2 8 2 2 8 2 2 2
( 1) 1
（2）利用配方法可得Q(−m,m2−m)，运用待定系数法可得直线l的解析式为y= −m+ x− m，可
2 2
得A ( 0，− 1 m ) ，B ( −2m+ 1 ，2m2−2m+ 1) ，分两种情况：当m> 1 时，点B在第二象限，点A在y
2 2 4 2
轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A'，则A'( −2m,2m2− 3 m ) ，QA=QA'，再由|QB−QA|≥1，
2
2 2
即|A'B| 2 ≥1，可得 [( −2m+ 1) −(−2m) ] + [( 2m2−2m+ 1) − ( 2m2− 3 m )] ≥1，解不等式即可求得
2 4 2
1
答案；当m< 时，点B在第一象限，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A'，同理可求得答案．
2
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴2m2−m=0，
1
解得：m=0或m= ，
2
∵m≠0，
1
∴m= ，
2
①抛物线的解析式为y=x2+x，
∵y=x2+x= ( x+ 1) 2 − 1 ，
2 4
( 1 1)
∴顶点P的坐标为 − ,− ；
2 4
1 3
②当t+1<− ，即t<− 时，y随x增大而减小，
2 2
由题意得：(t+1) 2+t+1=2，
解得：t =−3，t =0（舍去），
1 2
∴t的值为−3，
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3 1 1
当− ≤t≤− 时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为− ，不符合题意，
2 2 4
1
当t>− 时，y随x增大而增大，
2
由题意得：t2+t=2，
解得：t =−2（舍去），t =1，
1 2
∴t的值为1，
综上所述，t的值为−3或1；
③由题意得：当k=2时，则y=2x+b，
( 1 1)
∵y=2x+b经过点P − ，− ，
2 4
( 1) 1 3
∴2× − +b=− ，可得b= ，
2 4 4
3
∴y=2x+ ，
4
3 1 3
由2x+ =x2+x，可得x =− ，x = ，
4 1 2 2 2
1 3
设点E(m,m2+m)，且− 时，点B在第二象限，点A在y轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A'，如图，
2
则A'( −2m,2m2− 3 m ) ，QA=QA'，
2
∵|QB−QA|≥1，
∴|QB−QA'|≥1，
即|A'B| 2 ≥1，
2 2
∴ [( −2m+ 1) −(−2m) ] + [( 2m2−2m+ 1) − ( 2m2− 3 m )] ≥1，
2 4 2
11
化简得：m2−m− ≥0，
4
11
令m2−m− =0，
4
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1 1
解得：m =−√3+ （舍去），m =√3+ ，
1 2 2 2
1
∴m≥√3+ ，
2
1
∵m=−k+ ，
2
1 1
∴−k+ ≥√3+ ，
2 2
∴k≤−√3；
1
当m< 时，点B在第一象限，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A'，如图，
2
则A'( −2m,2m2− 3 m ) ，QA=QA'，
2
∵|QB−QA|≥1，
∴|QB−QA'|≥1，
即|A'B| 2 ≥1，
2 2
∴ [( −2m+ 1) −(−2m) ] + [( 2m2−2m+ 1) − ( 2m2− 3 m )] ≥1，
2 4 2
11
化简得：m2−m− ≥0，
4
11
令m2−m− =0，
4
1 1
解得：m =−√3+ ，m =√3+ （舍去），
1 2 2 2
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∴m≤−√3+ ，
2
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∵m=−k+ ，
2
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∴−k+ ≤−√3+ ，
2 2
∴k≥√3；
综上所述，k的取值范围为k≤−√3或k≥√3．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，
一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨
论思想是解题关键．
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