文档内容
专题 09 函数与平面直角坐标系
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：坐标与象限........................................................................................................................................2
考点二：平面直角坐标系................................................................................................................................2
考点三：点的坐标特征与变换........................................................................................................................3
考点四：函数与图象........................................................................................................................................3
考点五：函数的表示方法................................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：平面直角坐标....................................................................................................................................4
题型一：用有序数对表示点的位置....................................................4
题型二：判断点所在的象限..........................................................5
题型三：由点到坐标轴的距离判断点的坐标............................................6
题型四：由点的坐标确定点到坐标轴的距离............................................6
题型五：由点在坐标系的位置确定点的坐标............................................7
题型六：图形变换与坐标............................................................8
题型七：由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围..........................9
题型八：探索点的坐标规律.........................................................10
考点二：坐标方法的简单应用......................................................................................................................17
题型一：实际问题中用坐标表示位置.................................................17
题型二：用方位角和距离确定物体位置...............................................17
题型三：根据方位描述确定物体位置.................................................18
题型四：平面直角坐标系中面积问题.................................................19
考点三：函数..................................................................................................................................................27
题型一：函数的概念辨析...........................................................27
题型二：根据实际问题列函数解析式.................................................28
题型三：求自变量的取值范围.......................................................29
题型四：求自变量的值或函数值.....................................................30
题型五：函数图象的识别...........................................................30
题型六：从函数图象中获取信息.....................................................32
题型七：用描点法画函数图象.......................................................37
题型八：动点问题的函数图象.......................................................38专题 09 函数与平面直角坐标系
模块一：基础知识
考点一：坐标与象限
定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为 x轴或横
轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直
角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第
一象限.第二象限.第三象限.第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
考点二：平面直角坐标系
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）.
相关概念 具体内容
定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.
平
面 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向；
直
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一）
角
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐
标
坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面.
系
象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限.
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一）
点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应
的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作
A(a，b). （见图二）考点三：点的坐标特征与变换
一、点的坐标特征
第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
在象限内
第三象限 x＜0，y＜0
第四象限 x＞0，y＜0
x轴 y=0
坐标轴上 y轴 x=0
点 P(x，y)
原点 x=y=0
的位置
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
在平行坐标轴的直线上 平行y轴 所有点的 横 坐标相等
二、点的坐标变化
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
平移变换
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
点P(x，y) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减”
关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
对称变换
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”
关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
旋转变换
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
三、点到坐标轴的距离
y
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则
a
1）点P到x轴的距离为|b|； P（a,b）
2）点P到y轴的距离为|a|； b
3）点P到原点O的距离为P＝ √a2+b2.
O x
四、坐标系内点与点之间的距离
点M（x 1 ，y 1 ）与点N（x 2 ，y 2 ）之间的直线距离（线段长度）：|MN|=√（x 2 −x 1 ) 2+(y 2 −y 1 ) 2
若AB∥x轴，则A(x ,y),B(x ,y)的距离为|x −x |；
A B A B
若AB∥y轴，则A(x,y ),B(x,y )的距离为|y −y |；
A B A B
考点四：函数与图象
定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自
变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横.纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子
叫做函数的解析式。
考点五：函数的表示方法
表示函数的方法： 解析式法 . 列表法和图象法 。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出
部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值
对应的各点；
第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
模块二：题型分类
考点一：平面直角坐标
题型一：用有序数对表示点的位置
1．下列关于有序数对的说法正确的是（ ）
A．（3，4）与（4，3）表示的位置相同
B．（a，b）与（b，a）表示的位置肯定不同
C．（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对
D．有序数对（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置
2．根据下列表述，能确定位置的是( )
A．万达影城电影院5排 B．怀远路，
C．北偏东46° D．东经116°，北纬36°
3.在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮
叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮
叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪4.嘉嘉乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的小艇A，B，C的位置如图所示，每相邻
两个圆之间距离是1km，小圆半径是1km．若小艇B相对于游船的位置可表示为(−60°，2)，小艇C相对
于游船的位置可表示为(0°,−1)向东偏为正，向西偏为负，下列关于小艇A相对于游船的位置表示正确的
是( )
A．小艇A(30°，3) B．小艇A(−30°，3)
C．小艇A(30°，−3) D．小艇A(60°，3)
5.如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
D E F
4 遥墙国际机场
5 济南西站 野生动物世界
6 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖
A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6
6.小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用(8,5)表示入口处的
位置，(6,1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
题型二：判断点所在的象限
1.在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．点P（m+3，m﹣2）在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，5） B．（5，0） C．（﹣5，0） D．（0，﹣5）3.在平面直角坐标系中，点P(1,−2)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,2)，B(−3,4)，C(−2,−3)，D(4,3)，E(2,−3)，从中
任选一个点恰好在第一象限的概率是 ．
1
5.已知点A（2，0）、点B（－ ，0）、点C（0，1），以A、B、C三点为顶点画平行四边形．则第四
2
个顶点不可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6.在平面直角坐标系中，若点A(−1，a+b)与点B(a−b,3)关于y轴对称，则点C(−a,b)落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7..二次函数y=(x+m) 2+n的图像如图所示，则点(m,n)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.在平面直角坐标系中，点P(−5,a2+1)所在的象限是（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9.已知a
2 2 2
3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正
半轴上，∠ABC=90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限将△ABC绕点A按逆时针方向旋转75°，
如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为_________．4.如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，
6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE．当CE的长最小时，
点D的坐标为 ．
题型七：由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
1.点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．(2,0) B．(0,−2) C．(4,0) D．(0,−4)
2.点M(m,n)在y轴上，则点M的坐标可能为（ ）
A．(−4,−4) B．(4,4) C．(−2,0) D．(0,2)
3.在平面直角坐标系中，点M(m−1,2m)在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A．(1,0) B．(−1,0) C．(0,2) D．(0,−1)
4.若点P(−m，m−3)关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A． m>3 B．03
5.如果点P(x,y)关于原点对称的点在第四象限，则（ ）
A．x<0，y>0 B．x>0，y≥0 C．x>0，y<0 D．x>0，y≤0
6.若点A(m−4，1−2m)在第三象限，那么m的值满足（ ）
1 1
A． C．m<4 D．m>4
2 2
7.已知点P(−m,m−3)，当m=−1时，点P在第 象限，当点P在x轴上时，m= ．
8.在平面直角坐标系中，已知点M(1−a，a+2)在y轴上，则a的值是 ．
9.若点P(a，2a−1)在一、三象限角平分线的下方，则a的取值范围是 ．
10.如图，在平面直角坐标系中，若▱ABCD的顶点A，B，C，D的坐标分别为(0，3)，(2，−1)，
(m，−1)，(−4，3)，求m的值及▱ABCD的面积．11.已知点A(2a,3a+1)是平面直角坐标系中的点．若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请
确定点A的坐标．
题型八：探索点的坐标规律
题组一：沿坐标系水平运动的点的规律探查
1.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着
运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐
标是（ ）
A．(2022,0) B．(2022,1) C．(2022,2) D．(2021,0)
2.已知，△OA A ,△A A A ,△A A A ,⋯⋯都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点
1 2 3 4 5 6 7 8
A ,A ,A ,⋯⋯都在x轴正半轴上，且A A =A A =A A =⋯⋯=1，则点A 的坐标是 ．
2 3 5 2 3 5 6 8 9 2023
3.在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点
O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA →A A →A A →A A →A A …的路线
1 1 2 2 3 3 4 4 5
运动，设第n秒运动到点P （n为正整数），则点P 的坐标是（ ）
n 2023
A．(2022,0) B．(2022,−√3) C．(2023,√3) D．(2023,−√3)4.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每
移动一个单位，得到点A (0,1)，A (1,1)，A (1,0)，A (2,0)，……，那么点A 的坐标为 ．
1 2 3 4 2023
5.如图，点A(0,1)，点A (2,0)，点A (3,2)，点A (5,1)...，按照这样的规律下去，点A 的坐标为
1 2 3 2023
．
题组二：沿坐标系翻折运动的点的规律探查
1.如图1， Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△ ABC放置在平面直角坐标系中，使
点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ ABC按如图2方式顺时针滚动(无滑动)，则滚动2022次后，
点B的横坐标为( )
A．2022+673 √5 B．2022+674 √5 C．2023+674 √5 D．2023+673 √5
2.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB C 的位置，点B、O分别落在点
1 1
B 、C 处．点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到△A B C 的位置，点C 在x轴上，将
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
△A B C 绕点C 顺时针旋转到△A B C 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去……，若点A(3，0)，
1 1 2 2 2 2 2 2
B(0，4)，则点B 的横坐标为 ．
20213.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA B C 的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 为边
1 1 1 1
作正方形OB B C ，再以正方形OB B C 的对角线OB 为边作正方形OB B C ，以此类推…、则正
1 2 2 1 2 2 2 2 3 3
方形OB B C 的顶点B 的坐标是 ．
2018 2019 2019 2019
4.如上2图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A(2，−2)，D(4，−2)，规定把正方形
ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形
ABCD的中心的坐标为（ ）
A．(−3，2026) B．(3，2026) C．(−3，−2026) D．(3，−2026)
题组三：绕原点呈“回”字形运动的点的规律探查
1.如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C´C ，C´C ，
1 1 2 3 4 5 1 2 2 3
C ´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA=1时，点C 的坐标是( )
3 4 4 5 1 2027
A．(−1，−2026) B．(−2027，1) C．(−1，−2027) D．(2024，0)2.如上2图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，竖直向上平移1个单位长度，再水平向左平移
1个单位长度，得到点P (−1,1)；接着竖直向下平移2个单位长度，再水平向右平移2个单位长度，得到
1
点P ；接着竖直向上平移3个单位长度，再水平向左平移3个单位长度，得到点P ；接着竖直向下平移4
2 3
个单位长度，再水平向右平移4个单位长度，得到点P ；⋅⋅⋅，按此作法进行下去，则点P 的坐标为
4 2023
（ ）
A．(−1012,1012) B．(−1011,1011) C．(1011,−1011) D．(1012,−1012)3.如下1图，在单位为1的方格纸上，△A A A ，△A A A ，△A A A ，…，都是斜边在x轴上，斜边长分
1 2 3 3 4 5 5 6 7
别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点坐标分别为A （2，0），A （1，1），A （0，
1 2 3 1 2 3
0）．则依图中所示规律，A 的坐标为 ．
2025
4.如上2图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l 、l ，点(1，0)作 x轴的垂
1 2
线交l 于点A ，过点 A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂
1 1 1 2 2 2 1 3 3
线交l 于点A ，…依次进行下去．则点A 的横坐标为 ．
2 4 2023
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1,1)，A´A 是以点B为圆心，
1
BA为半径的圆弧；A´A 是以点O为圆心，OA 为半径的圆弧，A´A 是以点C为圆心，C A 为半径的
1 2 1 2 3 2
圆弧，A´A 是以点A为圆心，A A 为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线
3 4 3
A A A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点A 的坐标是 ．
1 2 3 4 5 2023题组四：图形变换中点的规律探查
1.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，
每移动一个单位，得到点A（0，1），A（1，1），A（1，0），A（2，0），…那么点A 的坐标为
1 2 3 4 2020
________________．
2.如下1图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，
(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按这个规律，则
(6,7)是第 个点．
3.小星利用平面直角坐标系绘制了如上2图风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中
A(2，4)，B(2，0)，接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB A ，称为第一次转动，然
1 1
后将△OB A 绕原点O逆时针转动90°至△OB A ，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，
1 1 2 2
转动2023次后，点A的坐标为（ ）
A．(4,−2) B．(−2,−2√5) C．(2√5,−2) D．(2,4)
4.如上3图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形
PA A A ，正方形PA A A ,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形
1 2 3 4 5 6
PA A A 的顶点坐标分别为P(−3,0),A (−2,1),A (−1,0)，A (−2,−1)，则顶点A 的坐标为
1 2 3 1 2 3 100
（ ）A．(31.34) B．(31,−34) C．(32,35) D．(32,0)5.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA B ，第二次将△OA B 变换成
1 1 1 1
△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，…，将△OAB进行n次变换，得到△OA B ，观
2 2 2 2 3 3 n n
察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A 的坐标是 ，A 的坐标是 ．
5 n
6.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经
过第2022次变换后所得的A点坐标是 ．
题组五：新定义问题中点的规律探查
1.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将
它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，
点O(0,0)按序列“011⋯”作变换．表示点O先向右平移一个单位得到O (1,0)，再将O (1,0)绕原点顺
1 1
时针旋转90°得到O (0,−1)，再将O (0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O (−1,0)⋯依次类推．点
2 2 3
(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为( )A．(−1,−1) B．(−1,0) C．(1,0) D．(1,1)
2.我们把1，1，2，3，5，8，13，21⋯这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半
径作90°圆弧P´P ，P´P ，P´P ，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P P ，P P ，P P ，⋯，
1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4
得到螺旋折线（如图），已知点P (0,1)，P (−1,0)，P (0,−1)，则该折线上的点P 的坐标为（ ）
1 2 3 7
A．(2,−8) B．(2,−9) C．(3,−8) D．(3,−9)
3.我校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵种植在点P （x ，y ）处，
k k k
其中x =1,y =1，当k≥2时，¿，其中[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2,[0.2]=0，并且，称
1 1
第k棵树的位置为“第y 行第x 列”．五个同学得出了下面一些结论：
k k[k−1] [k−1] [k−2]
甲：k=5时， =0; 乙：k=11时， − =1；
5 5 5
丙：第6棵树种植在点P （6，2）处； 丁：每一行种植5棵树；
0
戊：第2022棵树的位置为“第404行第2列”．
以上结论正确的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（−a，b），如f（1，2）=（−1，2）；
g（a，b）=（b，a），如g（1，2）=（2，1），据此得g[f(5，−9)]= ．
5.对有序数对(x,y)的一次操作变换记为P (x,y)，定义其变换法则如下：P (x,y)=(x+ y,x−y)；且规
1 1
定P (x,y)=P [P (x,y)]（n为大于1的整数)．如P (1,2)=(3,−1)，
n 1 n−1 1
P (1,2)=P [P (1,2)]=P (3,−1)=(2,4),P (1,2)=P [P (1,2)]=P (2,4)=(6,−2)．则P (1,−1)=
2 1 1 1 3 1 2 1 2020
．
考点二：坐标方法的简单应用
题型一：实际问题中用坐标表示位置
1.如下1图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方
向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（
）
A（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
2.北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象
成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如上2图所示的网格上，
建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为(−4,2)，表示“开阳”的点的坐标为(0,3)，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．
3.如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的
坐标为(0,−4)，表示伪皇宫的点的坐标为(4,2)，则表示胜利公园的点的坐标是 ．
题型二：用方位角和距离确定物体位置
1.如上2图，从N地观测M地，发现M地在N地的北偏东30°29'方向上，则从M地观测N地，可知N地
在M地的（ ）
A．北偏东30°29'方向上 B．南偏西30°29'方向上
C．北偏东59°31'方向上 D．南偏西59°31'方向上2.一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，
图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时
间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
3.某学校在某商城的南偏西60°方向上，且距离商城1500m，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知
∠C=70°，此时营地A在C的( ) ．
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
题型三：根据方位描述确定物体位置
1.如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的
是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l2.在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏东30° B．钱塘明月4号楼301室
C．金惠路97号 D．东经118°，北纬40°
题型四：平面直角坐标系中面积问题
题组一：直接利用面积公式求面积
1.如下1图，在平面直角坐标系中，点A(3,5)，点C，B分别在x轴，y轴负半轴上，若AB=BC，且
AB⊥BC，则△BOC的面积是（ ）
15
A． B．12 C．15 D．24
2
2.如上2图，等边△ABC的顶点A在y轴上，顶点B、C在x轴上，直线y=− √3 x+ √3经过点A、C，
则等边△ABC的面积是( )
A．4 B．2√3 C．√5 D．√3
3.如上3图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(√3，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，
则菱形ABCD的面积等于（ ）
√3
A． B．√3 C．2√3 D．4√3
2
题组二：已知三角形面积求点的坐标
解题方法：已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示
线段长度时，应取坐标的绝对值.
1.已知点A(1,0)，B(0,2)，点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（ ）
A．(0，−4) B．(−2，0)
C．(0，−4)或(0,8)D．(4，0)或(−2，0)
2.△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画
图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB ；
1
(2)找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．
3.已知A(a,0)，B(0,10)，C(5,0)三点，且三角形ABC的面积等于20，则a的值为（ ）
A．1或−9 B．9 C．1或9 D．9或−9
题组三：利用割补法求面积
特征：将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=3OB，以
2 k
AB为边向上作正方形ABCD，点C在反比例函数y = 的图像上，点D在反比例函数y = 的图像上，
1 x 2 x
DC交y轴于点E．
(1)求k的值；
(2)求四边形AOED的面积．2.阅读以下材料，并解决问题：
小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(5,2)，求△OAB的面积．小明用割补法解
决了此问题，如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则
S =S +S −S
△OAB △OAM 梯 形AMNB△OBN
1 1 1
= ×1×4+ ×(2+4)(5−1)− ×5×2=9
2 2 2
解决问题后小明又思考，如果将问题一般化，是否会有好的结论，于是它首先研究了点A，B在第一象限
内的一种情形：如图，点A(x ,y )，B(x ,y )，其中x y
1 1 2 2 1 2 1 2
（1）请你帮助小明求出这种情形下△OAB的面积．（用含x ，x ，y ，y 的式子表示）
1 2 1 2
（2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A，B
（点O，A，B不共线）与坐标原点O构成的三角形△OAB的面积公式，请利用此公式解决问题：已知
点A(a,a+2)，B(b,b)在第一象限内，探究是否存在点B，使得对于任意的a>0，都有S =3？若存
△OAB
在，求出点B的坐标；若不存在说明理由．
3.已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边
形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S = .
三角形ABC4.如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，顶点为D，连
接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)求四边形ABDC的面积；
3
(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S = S 时，求点P的坐标．
△PBC 5 △ABC
5.对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一
种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l ，l ，l ，l 之间的距离d叫做水
1 2 1 2
平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；
如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l
3
，l
4
，l
3
，l
4
之间的距离ℎ叫做四边形的铅垂高．
【结论提炼】
1
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dℎ”
2
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A(−5,2)，B(5,0)，C(0,5)，则△ABC的水平宽为10，铅垂高为______，所以
△ABC面积的大小为______．
【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带
着这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A(−4,2)，B(1,5)，C(4,1)，D(−2,−4)四个点，得到四边形
ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______；用其它
1
的方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“S= dℎ”这一方法对求图4中四边形的面
2
积______．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A(−5,2)，B(1,5)，C(4,2)，D(−2,−3)四个点，得到了四边
形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______，用其
1
它的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“S= dℎ”这一方法对求图5中四边形的面
2
积______．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A(−4,2)，B(1,5)，C(5,1)，D(−1,−5)四个点，得到了四边
1
形ABCD．通过计算发现：用“S= dℎ”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或
2
“不适合”）【归纳总结】
我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“
1 1
S= dℎ”来求面积．那么，可以用“S= dℎ”来求面积的四边形应满足的条件是：______．
2 2
题组四：利用补形法求面积
特征：当所求图形的边都不在x轴或y轴上时，一般用该方法.
1.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是(−4，3)．
(1)点B的坐标为（______，_______），点C的坐标为（_______，_____）．
(2)△ABC的面积是______．
(3)作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是_______．
2.【知识呈现】
当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利
用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形）
再运用和、差关系进行求解．
【问题解答】
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−3,−1)，C(2,1)．(1)如图1，分别以点A，B，C向坐标轴作垂线构造长方形BDEF，求△ABC的面积；
(2)在图1中过点A作AG∥y轴交BC于点G，如图2．
①求AG的长；
②猜想：△ABC的面积S与DE·AG的数量关系式为______．题组五：与图形面积相关的存在性问题
1.如图在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，M(−1.5，−2)，其中a、b满足
|a+1|+(b−3) 2=0．
(1)求△ABM的面积；
(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；
(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．
2.如图，在直角坐标系中，已知A(0,a)、B(b,0)、C(b,c)三点，其中a、b，c满足关系式
|a−2|+(b−3) 2+√c−4=0．
(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点P(m,1)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P
的坐标，若不存在，请说明理由？
3.如图在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，M(−1.5，−2)，其中a、b满足
|a+1|+(b−3) 2=0．(1)求△ABM的面积；
(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；
(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．4.在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是(a,0)(b,0)，a，b满足方程组¿，C为y轴正半轴上一点，且
S =6．
△ABC
(1)求A、B、C三点的坐标；
1
(2)是否存在点P(t,t)，使S = S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
△PAB 3 △ABC
(3)若点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，当运动时间t为多少秒时，四边形ABCD的面
积S为15个平方单位？求出此时点D的坐标．
(4)连接AD、CD，若P为CB上一动点（不与C、B重合）连接DP、AP，探究点P在运动过程中，
∠CDP、∠BAP、∠DPA之间的数量关系并证明．
5.如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a、0），B（b，0），且a，b满足|a+6|
+√3a−2b+26=0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD，其
中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，BD．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段
AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，试说明理由．考点三：函数
题型一：函数的概念辨析
1.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正
确的是（ ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
4
2.球的体积是V，球的半径为R，则V = πR3 ，其中变量和常量分别是（ ）
3
4 4
A．变量是V，R；常量是 ，π B．变量是R，π；常量是
3 3
4
C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π
3
3.下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）．
A． B． C． D．
4.观察表1和表2，下列判断正确的是（ ）
表1：
x −2 1
y 1 2 3 4
1
表2：
x −2 2 −1 1
y 4 1
2
A．y 是x的函数，y 不是x的函数 B．y 和y 都是x的函数
1 2 1 2
C．y 不是x的函数，y 是x的函数 D．y 和y 都不是x的函数
1 2 1 2
5.下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．6.下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为a元/min，某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时间x；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长x，其中，变量y与变量x之间的函
数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y=√x中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m −3 −2 −1 1 2 3
n −2 −3 −6 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
题型二：根据实际问题列函数解析式
1.一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长
0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为（ ）
A．y=12−0.5x B．y=12+0.5x C．y=10+0.5x D．y=0.5x
2.汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的
增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x的函数解析式是（ ）
300
A．y=0.1x B．y=−0.1x+30 C．y= D．y=−0.1x2+30x
x
3.某登山队大本营所在地的气温为8°C．海拔每升高1km，气温下降6°C．队员由大本营向上登高xkm，
气温为y°C，则y与x的函数关系式为（ ）
3 3
A．y=8+6x B．y=8−6x C．y=6− x D．y=8− x
4 44.油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的
函数关系是（ ）
A．Q=0.2t B．Q=40−0.2t C．Q=0.2t+40 D．Q=0.2t−40
5.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，
超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额
为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为 ．
6.盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的
3
概率是 ，则x和y满足的关系式为 ．
8
7.下面的五个问题中都有两个变量：
①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x；
②汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x；
③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x；
④三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x；
⑤矩形面积一定时，周长y与一边长x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①④⑤
8.请写出一个图象经过(2，−2)的函数的解析式 ．
题型三：求自变量的取值范围
1
1.函数y= +(x−2) 0 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+1
A．x≥−1 B．x>2 C．x>−1且x≠2 D．x≠−1且x≠2
2.函数y=√2x的自变量x的取值范围是（ ）
1
A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥
2
x
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3√x+2
4.函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥−2且x≠0 B．x≥−2 C．x>−2或x≠0 D．x>−2
1
5.在函数y= +√x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥2 B．x≥−2 C．x>2 D．x>−2
√ 1
6.函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
x−1
A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≠1
7.函数y=√x−1的自变量x的取值范围是 ．
题型四：求自变量的值或函数值
1.在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
1
A．y=x+1 B．y=−2x C．y=x2−1 D．y=
x
题型五：函数图象的识别
1.“和谐号”动车从萍乡北站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间后，动车减速到达
下一个车站并停靠，乘客上下车后，动车又加速，一段时间后再次开始匀速行驶.下列图中可以近假刻画
该动车在这段时间内速度变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，速度随时间变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
3.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是
（ ）
A. B． C． D．4.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至
点B，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终
点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后 2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关
系的图象是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出
一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，y （粗实线）表示水池中水面高度
1 2
（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y ,y
1 2
随时间t变化的函数图象大致为（ ）
A. B． C． D．
6.已知两个函数关系：①小明从家匀速步行到图书馆，看了一会书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家．设所
用时间为x（分钟），离家的距离为y（千米）；②将挂在弹簧测力计下方的一个铁块匀速浸入水中，在
铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再以比之前快的速度匀速将铁块拉出水中，过程所用时间为x（s），
铁块所受浮力为y（N）；则它们的图象符合下图的是（ ）
A．① B．② C．①② D．都不符合
7.小赵一家开车去观看电影．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到达剧场，
小赵在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离家的距离y（千
米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）A． B． C． D．8.由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．
若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对
应关系的是（ ）
A． B． C． D．
9.如图表示甲乙两车某个行驶过程中速度随时间变化的图象．则表示乙的行驶路程正好是甲行驶路程4
倍的图象是（ ）
A． B． C． D．
题型六：从函数图象中获取信息
1.小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学图中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几
分钟后车修好了，他以更快的速度匀速骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该
图描绘了小明行驶的路程（千米）与他所用的时间（分钟）之间的关系．请根据图象，解答下列问题：
（1）小明行了多少千米时，自行车出现故障？修车用了几分钟？
（2）小明从早晨出发直到到达学校共用了多少分钟？
（3）小明修车前、后的行驶速度分别是多少？
（4）如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？2.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y与生产时间t的关系如图
所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务;在生产过程中， 因机器故障停止生产________时;
②当t= 时，甲、乙生产的零件个数相等;
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
3.在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于
是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位
时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．
当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为x分钟，水
库中积水量为y吨，图中的折线表示某天y与x的函数关系，下列说法中：
①这天预警水库排水时间持续了80分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分；
③预警水库最高积水量为1500吨；
④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为30吨/分．
其中正确的信息判断是( )
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④4.德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐
跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返10km（单程5km
）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（km）与甲所用的时间（h）之间的函数关系
如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 km．
5.周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别
8
以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时
5
间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与
乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则甲到B地后乙距离B地 m．
6.一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．
在整个过程中，这条小船与B码头的距离x（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，
则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（ ）
A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min7.某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为x 个单位质量，第二次用水量为x 个单位质量，总用水量为(x +x )个单位质量，两次
1 2 1 2
清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
x 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
1
x 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
2
x +x 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
1 2
C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x 和总用水量x +x 之间的关系，
1 1 2
在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到
个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位
质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
8．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的
路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则
下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型七：用描点法画函数图象
1.请结合图像完成下列问题：
(1)请在图中画出函数：y=|x|+4的图像；
(2)结合图像直接写出方程：|x|+4=−x+6的解为：_______；
(3)在图中画出函数y=x2−2|x|+4的图像，并结合图像直接写出方程：x2−4|x|+3=x+3的解为：
．
2.某班数学兴趣小组对函数y=−2|x−1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如下：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 …
y=−2|x−1|+3… −5 m −1 1 3 1 n −3 −5 …
填空：m=______，n=______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______；
(4)点A(a,b)是该函数图象上一点，现已知点A在直线y=2的下方，且b>−2，那么a的取值范围是______．
3.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我
们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=¿的图象与性质．列表：
5 3 1 1 3 5
x … −3 − −2 − −1 − 0 1 2 3 …
2 2 2 2 2 2
2 4 4 3 1 1 3
y … 1 2 1 0 1 2 …
3 5 3 2 2 2 2
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图所示．
(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
( 7 ) ( 5)
①点A(−5,y ),B − ,y ,C x , ,D(x ,6)在函数图象上，则y y ，x x ；（填“＞”，
1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
“＝”或“＜”）
②当函数值y=2时，求自变量x的值；
③若直线y=a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
题型八：动点问题的函数图象
1.折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，
用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标
志物．小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s在整个过程中，他的速度大小v（m/s）随时间t（s）
变化的图像可能是（ ）A． B． C． D．
2.如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，
△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图菱形ABCD的边长为4cm，，∠A=60°，动点P，Q同时从点A出发，都以1cm/s的速度分别沿
A→B→C和A→D→C的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y
（单位：cm2），则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC（为定值），点P为AB的中点．点D沿AB从点A运
动到点B，过点D作DE⊥AB交AC于E，设A，D两点间的距离为x，DE+DP= y，则能够反映y与x
之间函数关系的图象大致是（ ）A． B． C． D．5.如图①，在矩形ABCD中，AB
