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2025年中考数学一轮复习
第16讲 二次函数
一．选择题（共10小题）
1．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单
位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
3 4 3
A． B．1 C． D．
4 3 2
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2
5 5
﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（− ，− ），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c
2 2
1
+ （a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（ ）
4
7 7 9
A．﹣1≤m≤0 B．− ＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2 D．− ≤m＜−
2 2 4
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其
中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（ ）
A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．2或6 D．﹣2或﹣6
1
4．对于抛物线y=− (x−5) 2+3，下列说法错误的是（ ）
3
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
6．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚
被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小
面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 v 不
0
1
可能为（提示h= gt2 ，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）
2
A．2.5m/s B．3m/s C．3.5m/s D．5m/s
7．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
1 3 1 3 3 1
A．− B． C．− 或 D．− 或
2 2 2 2 2 2
8．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛
物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
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x 0 1 2 3
y 1 m n 1
下列判断正确的是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m＝2n
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态
下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹
簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间
的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
二．填空题（共5小题）
11．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度 y（m）与水平距离x（m）之
间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 m．
12．将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为
．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴
上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度
均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴
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于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
15．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，
喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于 y轴对称，y轴左
5 65 125
侧喷泉可用y=− x2− x− 表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 m．
48 12 12
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y ）、B（2+m，y ）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y
1 2 1
＜y ；
2
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范
围．
17．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所
示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
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18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且
不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满
足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能
使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
19．
制作简易水流装置
设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器
的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节
器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，
EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐
标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶
点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线
的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该
水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形
水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略
不计）
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任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心 P在x轴上运
动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的
取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后
落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里 OA表示起跳点A到
地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所
示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水
1
平方向上移动的距离 x（单位：m）近似满足函数关系y=− x2+bx+c．已知OA＝70m，OC＝
12
60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）
具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；当他在点P着陆时，飞行时间为5s．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
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2025年中考数学一轮复习之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单
位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
3 4 3
A． B．1 C． D．
4 3 2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据开口向上，开口越小a越大，进而建立坐标系，求解析式求得a的值，即可求解．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点A，B，C时，抛物线开口向上，a的值最大，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，﹣3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（1，﹣3）代入得，
﹣3＝﹣2a，
3
解得：a= ，
2
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故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，解
题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2
5 5
﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（− ，− ），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c
2 2
1
+ （a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（ ）
4
7 7 9
A．﹣1≤m≤0 B．− ＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2 D．− ≤m＜−
2 2 4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据雅系点的概念令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即
5 5 25 1
4ac＝25，方程的根为 =− ，从而求得a＝﹣1，c=− ，所以函数y＝ax2﹣4x+c+ =−x2﹣4x﹣
2a 2 4 4
6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，
由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，
5 5
又方程的根为 =− ，
2a 2
25
解得a＝﹣1，c=− ，
4
1
故函数y＝ax2﹣4x+c+ =−x2﹣4x﹣6，
4
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与y轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经
过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴x＝﹣2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当
0≤x≤m时，函数y＝﹣x2﹣4x﹣6的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．
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【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的
判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其
中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（ ）
A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．2或6 D．﹣2或﹣6
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，
由它们的顶点与原点的连线互相垂直，根据勾股定理得出关于m的方程，解方程即可求得．
【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+m，
∴这条抛物线的顶点为（2，m﹣4），
∴关于y轴对称的抛物线的顶点（﹣2，m﹣4），
∵它们的顶点与原点的连线互相垂直，
∴2×[22+（m﹣4）2]＝42，
整理得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
∴m的值是2或6．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，勾
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股定理的意义，关于y轴对称的点和抛物线的关系．
1
4．对于抛物线y=− (x−5) 2+3，下列说法错误的是（ ）
3
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可
以解答本题．
1
【解答】解：∵抛物线y=− (x−5) 2+3，
3
∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；
函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确；
开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确；
当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质解答．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
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【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的
正半轴相交，排除D；根据抛物线得a＜0，故排除A．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除D；
∵抛物线得a＜0，
∴排除A；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
6．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚
被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小
面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 v 不
0
1
可能为（提示h= gt2 ，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）
2
A．2.5m/s B．3m/s C．3.5m/s D．5m/s
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据高度求出运动时间，结合水平移动的范围求出运动的初速度范围，从而确定速度的大小．
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1
【解答】解：∵h= gt2 ，
2
√2h √2×0.45
∴t= = =0.3（s），
g 10
∵L＜x＜L+2R，
根据x＝v t，
0
L 0.3
可得最小速度为： = = 1（m/s），
t 0.3
L+2R 0.3+2×0.5 13
最大速度为： = = （m/s），
t 0.3 3
由此可知，选项A，B，C在此范围内，不符合题意，选项D.5m/s不在此范围内，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
7．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
1 3 1 3 3 1
A．− B． C．− 或 D．− 或
2 2 2 2 2 2
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值＝
2，解方程求出m的值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，
∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点坐标为（m，2m+1），
∵顶点到x轴的距离为2，
∴|2m+1|＝2，
即2m+1＝2或2m+1＝﹣2，
1 3
解得m= 或− ，
2 2
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标．
8．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛
物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
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A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴 PM，QC，交AD于点M，C，得四边形PMCQ是矩形，利用
抛物线的对称性计算即可．
【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，
∴四边形PMCQ是矩形，
∴MC＝PQ，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
1 1 15 1 1 11
∴MA=MC= AC= (AB+BC)= ，BC=CD= BD= (CD+BC)= ，
2 2 2 2 2 2
11 15
∴MN＝AD﹣AM﹣CD＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣CD=21− − =8，
2 2
∴PQ＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3
y 1 m n 1
下列判断正确的是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m＝2n
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
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【分析】根据表格中的数据，可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，即可得到
m和n的关系．
【解答】解：由表格可得，
0+3 3
该函数的对称轴为直线x= = ，
2 2
3 1 3 1
∵ −1= ，2− = ，
2 2 2 2
∴m＝n．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态
下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹
簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间
的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最
大时，弹簧的长度即可解答．
【解答】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，
故选项A不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，
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故选项B不符合题意；
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，
此时弹簧的长度为12﹣2＝10（cm），
故选C不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，
此时弹簧的长度为12﹣6＝6（cm），
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题．
二．填空题（共5小题）
11．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度 y（m）与水平距离x（m）之
间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 8 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当y＝0时自变量的值即可．
【解答】解：由题意得：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2．
将点（0，1.28）代入y＝a（x﹣3）2+2，
2
得a=− ，
25
2
即抛物线解析式为：y=− （x﹣3）2+2，
25
当y＝0时，化简得：
2
− （x﹣3）2+2＝0，
25
解得：x ＝8，x ＝﹣2（舍去）．
1 2
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
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12．将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移 3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为
（ 2 ，﹣ 3 ） ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象平移的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标即可．
【解答】解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的
关键．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ﹣ 1 或 5 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣1或5．
【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝
5，求出x的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2，
m
∴− = 2，解得m＝﹣4，
2
∴关于x的方程x2+mx＝5可化为x2﹣4x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣5）＝0，解得x ＝﹣1，x ＝5．
1 2
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴
上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度
均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴
于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4. 5 ．
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【考点】二次函数的最值；矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】4.5．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此
b−2 1 1
得出BF＝AE =
2
，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH ＝S△EFG +S△EFH =
2
EF•OG得出S△FGH ==
2
（6
1
﹣b）•b=− （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
2
【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
b−2
当y＝2时，x= ，
2
b−2
∴E（ ，2），
2
b−2
∴AE= ，
2
b−2
∴BF＝AE= ，
2
b−2
∴EF＝4﹣2× =6﹣b，
2
1 1 1
∴S△FGH ＝S△EFG +S△EFH =
2
EF•OG =
2
（6﹣b）•b =−
2
（b﹣3）2+4.5，
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1
∵− ＜0，
2
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了待定系数法求由此函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，
1 1
二次函数的最值，利用S△FGH ＝S△EFG +S△EFH 得出S△FGH =
2
（6﹣b）•b =−
2
（b﹣3）2+4.5是解题的关
键．
15．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，
喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于 y轴对称，y轴左
5 65 125
侧喷泉可用y=− x2− x− 表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 5 2 m．
48 12 12
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】52．
5 65 125
【分析】依据题意，先求出y=− x2− x− 的顶点坐标，再根据对称性求出另一个顶点坐标，
48 12 12
进而可以得解．
5 65 125 5
【解答】解：由题意，∵y=− x2− x− =− （x+26）2+60，
48 12 12 48
∴y轴左侧喷泉最高点坐标为（﹣26，60）．
：两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，
∴y轴右侧喷泉最高点坐标为（26，60）．
∴两个喷泉最高点之间的距离是26﹣（﹣26）＝52（m）．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关
键．
三．解答题（共5小题）
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16．已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y ）、B（2+m，y ）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y
1 2 1
＜y ；
2
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范
围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
1 1
（3）a＞0或− ＜a＜0或a＜− ．
4 2
【分析】（1）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，进而即可得到结论；
（2）分别用作差法和二次函数图象的对称性比较y 、y 大小即可；
1 2
（3）分当a＞0时和a＜0时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2﹣m，y ）、B（2+m，y ）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
1 2
∴y =a(2−m) 2+(1−4a)(2−m)+3，y =a(2+m) 2+(1−4a)(2+m)+3，
1 2
∴y −y =a(2−m) 2+(1−4a)(2−m)+3−a(2+m) 2−(1−4a)(2+m)−3
1 2
＝a（﹣4m）+（1﹣4a）（﹣2m）
＝﹣2m，
∵m＞0，
∴y ﹣y ＜0，即y ＜y ；
1 2 1 2
1−4a 1
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线x=− =2− ，
2a 2a
1 1 1 1
|2−m−2+ |=| −m|，|2+m−2+ |=| +m|，
2a 2a 2a 2a
1 1
当a＞0时，| −m|＜| +m|，此时，y ＜y ，
2a 2a 1 2
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1 1
当a＜0时，| −m|＞| +m|，此时，y ＜y ，
2a 2a 1 2
综上所述：y ＜y ；
1 2
1
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线x=2− ＜2，
2a
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
1 1
当a＜0且2− ＜3或2− ＞4时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
2a 2a
1 1
∴− ＜a＜0或a＜− ．
4 2
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键．
17．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所
示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
【考点】二次函数的最值；函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）44cm；y＝22﹣x；
（2）当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值，用x表示
出y的值即可；
（2）利用矩形的面积公式得出S矩形 与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可．
【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），
∴a＝2（x+y），
∵当x＝12时，y＝10，
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∴a＝2（12+10）＝44（cm）．
a＝44cm，a＝2（x+y），
∴y＝22﹣x；
（2）∵由（1）知，
∴S矩形 ＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），
22
∴当x=− =11时，S矩形最大 ＝﹣112+22×11＝121（cm2）．
−2
答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形 与x之间的函数关系式是解题的关键．
18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且
不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满
足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能
使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润＝每本利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入，
{22k+b=36
得： ，
24k+b=32
{k=−2
解得： ，
b=80
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；
（2）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，
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∴20≤x≤28，
∴当x＝28时，w最大，w最大 ＝﹣2×（28﹣30）2+200＝192，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售
问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
19．
制作简易水流装置
设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器
的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节
器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，
EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐
标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶
点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线
的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该
水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形
水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略
不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心 P在x轴上运
动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的
取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
1
【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：y=− x2+2x+15．
5
任务二：水流不能流到圆柱形水杯内；
任务三：2+3√5＜OP＜8+3√5．
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b
【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到− =5，那
2a
么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣
10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；
任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若
圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内；
任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可．
【解答】解：任务一：
∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：x＝5．
b
∴− = 5．
2a
∴b＝﹣10a．
把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得：
15a+b+1＝0，
把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得：
15a﹣10a+1＝0，
1
解得：a=− ，
5
∴b＝2，
1
∴水流抛物线的函数表达式为：y=− x2+2x+15．
5
任务二：
圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12，
1
当x＝12时，y=− ×122+2×12+15＝10.2，
5
∵11＞10.2，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三：2+3√5＜OP＜8+3√5．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出函数图象的对称轴和关键点的坐标是解决本题的
关键．
20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后
落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里 OA表示起跳点A到
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地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所
示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水
1
平方向上移动的距离 x（单位：m）近似满足函数关系y=− x2+bx+c．已知OA＝70m，OC＝
12
60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）
具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；当他在点P着陆时，飞行时间为5s．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
1 17
【答案】（1）y与x的函数关系式为y=− x2+ x+70；
12 12
13
（2）当n＝13时，MN最大，此时t= ．
6
【分析】（1）将A（0，70），P（30，37.5）代入解析求解即可；
{t=0 { t=5
（2）①设x＝kt+m，将 ， 代入求解即可；
x=0 x=30
设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，
1 17 3
设M(n，− n2+ n+70)，则N(n，− n+60)，进而求出MN的长度，利用二次函数的性质
12 12 4
解答即可．
【解答】解：（1）将A（0，70），P（30，37.5）代入，得：
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{
c=70，
1
− ×900+30b+c=37.5
12
{ 17
b=
解得： 12
c=70
1 17
∴y与x的函数关系式为y=− x2+ x+70．
12 12
（2）①设x＝kt+m，
{t=0 { t=5
将 ， 代入，
x=0 x=30
{ m=0
得：
5k+m=30
{k=6
解得： ，
m=0
∴x＝6t．
②设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将（0，60），（30，37.5）代入得：
{ d=60
，
30k+d=37.5
{d=60
解得： 3，
k=−
4
3
∴直线BC的解析式为y=− x+60，
4
设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，
1 17 3
设M(n，− n2+ n+70)，则N(n，− n+60)
12 12 4
1 13
∴MN=− n2+ n+10，
12 6
13
∴当n＝13时，MN最大，此时t= ．
6
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最值，一次函数解析式是解答本题的
关键．
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考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到
y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当
的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些
点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点 P（x，y）的x、y
的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式
这个点就不在函数的图象上．．
3．一次函数的图象
b
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（− ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
k
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
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①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对
称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上
2a
4ac−b2
或向下平移| |个单位得到的．
4a
5．二次函数的性质
b 4ac−b2 b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（− ， ），对称轴直线x=− ，二次函数y＝
2a 4a 2a
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
b b
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜− 时，y随x的增大而减小；x＞− 时，
2a 2a
b 4ac−b2
y随x的增大而增大；x=− 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
2a 4a
b b
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜− 时，y随x的增大而增大；x＞− 时，
2a 2a
b 4ac−b2
y随x的增大而减小；x=− 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
2a 4a
b
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|− |个单位，再向上或
2a
4ac−b2
向下平移| |个单位得到的．
4a
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
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②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
b 4ac−b2
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（− ， ）．
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=− 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
2a
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x
1 2
x +x
= 1 2．
2
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求
出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即
可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
b 4ac−b2
图象有最低点，所以函数有最小值，当x=− 时，y= ．
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
b 4ac−b2
图象有最高点，所以函数有最大值，当x=− 时，y= ．
2a 4a
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
从而获得最值．
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10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于
x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴
1 2
的交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
11．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
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（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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