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2025年中考数学一轮复习
第17讲 反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率
（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学
校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最
多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
1
2．抛物线y＝x2﹣2x与双曲线y= 的交点的横坐标为a，则直线y＝ax+2﹣a的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
k
3．下列函数中：①y＝kx﹣2（k＜0）；②y= (k＜0)；③y＝ax2+1（a＞0）；④y＝a（x﹣1）2﹣3
x
（a＞0），当x＞0时，y随x的增大而增大的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
k
4．如图，在平面直角坐标系中，点 P在反比例函数y= (x＞0) 的图象上，点 A，B在x轴上，且
x
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PA⊥PB，垂足为P，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP，△ABP的面积是2．则k的值是（ ）
3
A．1 B． C．√3 D．2
2
3
5．若点A（x ，﹣3），B（x ，﹣1），C（x ，1）都在反比例函数y= 的图象上，则x ，x ，x 的大小
1 2 3 x 1 2 3
关系为（ ）
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
6．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，
此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水
温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
400
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 y=
x
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（12，
k
6），反比例函数y= 的图象经过A，P两点，则k的值是（ ）
x
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A．12 B．9 C．8 D．2
8．某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利
润率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个
反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率 P（w）
与做功所用的时间t（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
60000
A．P与t的函数关系式为P=
t
B．当t＝5s时，P＝12000w
C．当t＞5s时，P＞12000w
D．P随t的增大而减小
10．伟大的古希腊物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球!”这句名言道出了
“标杆原理”的意义和价值．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻
力F （N）和阻力臂L （m）的函数图象如图，若小明想使动力F 不超
1 1 2
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过200N，则动力臂L 至少需要（ ）m．
2
A．2 B．1 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），将△ABC绕点B
k
顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线y= 的图象上，则该反比例
x
函数表达式为 ．
2 k
12．如图，反比例函数y= 的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y= 的图象
x x
经过点D，则k的值为 ．
k
13．如图，点A是反比例函数y= 图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，
x
若△AOD的面积为1，则k的值为 ．
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k
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A，B都在第一象限，反比例函数y= (x＞0)的图
x
AD 5
象经过A，B两点，AC⊥x轴交于点C，AC与OB交于点D，若 = ，△ABD的面积为1，则k的
CD 4
值为 ．
15．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … a b m n …
若a＜b，则m n．（填“＞”“＜”或“＝”）
三．解答题（共5小题）
k
16．如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），反比例函数y= （k≠0）的图象经过菱形两条
x
对角线AC，OB的交点D．
（1）求反比例函数的表达式；
k
（2）将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y= （k≠0）的图象上时，求平移的距离．
x
1 k
17．如图，正比例函数y = x和反比例函数y = (x＞0)的图象交于点A（m，2）．
1 2 2 x
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（1）求反比例函数的解析式；
k
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y = (x＞0)的图象交于点C，求C点的
2 x
坐标．
18．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，
消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC
段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第3分钟时消毒效果为 效力；
（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
k
19．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，点B的横坐标为2．（1）求
x
反比例函数的表达式及点A的坐标；
k
（2）根据图象直接写出不等式 +2x≤0的解集；
x
（3）点P是x轴上一点，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的
坐标．
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20．心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．
开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学
生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所
示，CD为反比例函数图象的一部分．
（1）当0≤x≤10时，请求出y关于x的函数解析式；
（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这
道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．
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2025年中考数学一轮复习之反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率
（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学
校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最
多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，
甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同．
【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
1
2．抛物线y＝x2﹣2x与双曲线y= 的交点的横坐标为a，则直线y＝ax+2﹣a的图象大致是（ ）
x
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A． B．
C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函
数的图象；反比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数和反比例函数的性质画出图象，结合图象得
出a＞2，即可解答．
【解答】解：把y＝0代入y＝x2﹣2x，
则x2﹣2x＝0，
解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
∴抛物线与x轴相交于（0，0），（2，0），
∵y＝x2﹣2x，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线图象经过第一、二、四象限，
1
∵y= ，k＝1＞0，
x
∴双曲线图象位于一、三象限，
∴抛物线与双曲线交点位于第一象限，即a＞0，
∴y＝ax+2﹣a必过一、三象限，
∵抛物线与x轴相交于（0，0），（2，0）
∴由图可知，抛物线与双曲线交点在（2，0）右边，
∴a＞2，
∴2﹣a＜0，
∴直线y＝ax+2﹣a的图象经过一、三、四象限，
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故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性
质定理．
k
3．下列函数中：①y＝kx﹣2（k＜0）；②y= (k＜0)；③y＝ax2+1（a＞0）；④y＝a（x﹣1）2﹣3
x
（a＞0），当x＞0时，y随x的增大而增大的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解答】解：①y＝kx﹣2（k＜0），y随x的增大而减小，不符合题意；
k
②y= (k＜0)当x＞0时，y随x的增大而增大，符合题意；
x
③y＝ax2+1（a＞0）当x＞0时，y随x的增大而增大，符合题意；
④y＝a（x﹣1）2﹣3（a＞0），当x＞1时，y随x的增大而增大，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题
目．
k
4．如图，在平面直角坐标系中，点 P在反比例函数y= (x＞0) 的图象上，点 A，B在x轴上，且
x
PA⊥PB，垂足为P，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP，△ABP的面积是2．则k的值是（ ）
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3
A．1 B． C．√3 D．2
2
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】连接OP，作PD⊥x轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形POB的面积，再求证出三
角形POB是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可．
【解答】解：连接OP，作PD⊥x轴于D，
∵△ABP的面积是2，AO＝BO，
∴△OBP的面积为1，
∵PA⊥PB，AO＝BO＝BP，
1
∴sin∠PAB= ，
2
1
∵sin30°= ，
2
∴∠PAB＝30°，
∴∠PBA＝60°，
∴△POB为等边三角形，
1 1
∴S△POD =
2
S△POB =
2
，
|k| 1
∴ = ，
2 2
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∴k＝±1，
∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴k＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题
关键．
3
5．若点A（x ，﹣3），B（x ，﹣1），C（x ，1）都在反比例函数y= 的图象上，则x ，x ，x 的大小
1 2 3 x 1 2 3
关系为（ ）
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，结合“点A（x ，3）、B（x ，﹣1）、C（x ，1）在反比例函数y
1 2 3
3
= 的图象上”，根据各个点纵坐标的正负，即可判断横坐标的正负，当x＞0时，根据反比例函数y
x
3
= 的增减性，即可判断两个正数横坐标的大小，综上，可得到答案．
x
3
【解答】解：∵点A（x ，3）、B（x ，﹣1）、C（x ，1）在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3 x
又∵y＞0时，x＞0，y＜0时，x＜0，
即x ＞0，x ＞0，x ＜0，
1 3 2
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴x ＜x ，
1 3
综上可知：x ＜x ＜x ，
2 1 3
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增
减性是解题的关键．
6．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，
此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水
温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
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A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
400
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 y=
x
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
【考点】反比例函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y
k
与x的函数关系式为y= ，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为
x
20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；
分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃，
100−20
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为 =4（min），故A选项正确，不符合题意；
20
k
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y= ，
x
k
由题意得，点（4，100）在反比例函数y= 的图象上，
x
k
∴4= ，
100
解得：k＝400，
400
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y= ，故B选项正确，不符合题意；
x
400
令y＝20，则 =20，
x
∴x＝20，
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∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min，
{y=20x+20(0≤x≤4)
水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为 400 ，
y= (4＜x≤20)
x
上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10，
400
∴当x＝10时，y= =40，
10
即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
400
在降温过程中，水温为40℃时，40= ，
x
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键
在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（12，
k
6），反比例函数y= 的图象经过A，P两点，则k的值是（ ）
x
A．12 B．9 C．8 D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
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1 1
【分析】先根据反比例函数的对称性和菱形的性质得到AO=OP= AP，OP= OC，进而求得点P
2 3
坐标即可求解．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴AP＝PC，
k
∵反比例函数y= 的图象经过A，P两点，
x
1 1
∴AO=OP= AP，则OP= OC，
2 3
过点P、C分别作CE⊥x轴，PF⊥x轴，垂足为E，F，则PF∥CE，
∴△OPF∽△OCE，
PF OF OP 1
∴ = = = ，
CE OE OC 3
∵点C的坐标为（12，6），
∴OE＝12，CE＝6，
∴OF＝4，PF＝2
∴点P坐标为（4，2），
∴k＝4×2＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、
反比例函数的图象和性质、菱形的性质等，属于基础综合题型，难度适中．
8．某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利
润率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个
反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（ ）
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A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，根据图象判断即可．
【解答】解：根据题意，可知xy的值即为专卖店获得利润，
∵描述甲、丁两家专卖店的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丁两家专卖店的获得利润相同，
∵点丙专卖店在反比例函数图象上面，点乙在反比例函数图象下面，
∴丙专卖店的xy的值最大，即获得利润最多，丁专卖店的xy的值最小，即获得利润最少，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象
上点的坐标含义是解题的关键．
9．在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率 P（w）
与做功所用的时间t（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
60000
A．P与t的函数关系式为P=
t
B．当t＝5s时，P＝12000w
C．当t＞5s时，P＞12000w
D．P随t的增大而减小
【考点】反比例函数的应用．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先设出P与t的函数解析式，再把A（15，4000）代入解析式即可．
k
【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P= （k≠0），
t
k
把t＝15，P＝4000代入解析式得：4000= ，
15
解得：k＝60000，
60000
∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P= ；
t
故A不符合题意；
60000
当t＝5s时，P= =12000w；
5
故B不符合题意；
当t＞5s时，P＜12000w；
故C符合题意；
∵60000＞0，
∴在第一象限内，P随t的增大而减小；
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
10．伟大的古希腊物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球!”这句名言道出了
“标杆原理”的意义和价值．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻
力F （N）和阻力臂L （m）的函数图象如图，若小明想使动力F 不超
1 1 2
过200N，则动力臂L 至少需要（ ）m．
2
A．2 B．1 C．3 D．4
【考点】反比例函数的应用．
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【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力 F （N）和阻力臂L （m）的函数关系式，然后
1 1
根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得到动力臂L 的取值范围．
2
k
=
【解答】解：阻力F （N）和阻力臂L （m）的函数关系式为F ，
1 1 1 L
1
∵点（0.5，1200）在该函数图象上，
∴k＝0.5×1200＝600，
600
=
∴阻力F （N）和阻力臂L （m）的函数关系式为F ，
1 1 1 L
1
∴F L ＝600，
1 1
∵F L ＝F L ＝600，
1 1 2 2
∴当F ＝150时，L ＝4，
2 2
∴小明想使动力F 不超过150N，则动力臂L （单位：m）需满足L ≥4，
2 2 2
∴至少需要4米，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），将△ABC绕点B
k
顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线y= 的图象上，则该反比例
x
12
函数表达式为 y=− ．
x
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
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12
【答案】y=− ．
x
【分析】先根据题意得出AB，BC的长，再由勾股定理求出AC的长，根据图形旋转的性质得出BA′
＝AB＝10，BC′＝BC＝10，A′C′＝AC＝10√2，再由勾股定理得出OA′的长，进而得出点A′的
坐标，设C′（a，b），利用两点间的距离公式得出BC′2，A′C′2的表达式，进而得出a的值，求
出C点坐标，代入反比例函数的解析式即可．
【解答】解：∵A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），
∴AB⊥x轴，AB＝10，BC＝10，
∴AC=√AB2+BC2=√102+102=10√2，
∵将△ABC 绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，
∴BA′＝AB＝10，BC′＝BC＝10，A′C′＝AC＝10√2，
在Rt△OBA′中，OA′=√A'B2−OB2=√102−62=8，
∴A′（0，8），
设C′（a，b），
∴BC′2＝（a+6）2+b2＝100①，A′C′2＝a2+（b﹣8）2＝200②，
−3a−18
①﹣②得 b= ③，
4
把③代入①整理得a2+12a﹣28＝0，
解得 a ＝﹣14 舍去），a ＝2．
1 2
当a＝2时，b＝﹣6，
∴C′（2，﹣6），
k
把C（2，﹣6）代入 y= 得k＝2×（﹣6）＝﹣12．
x
12
∴y=− ．
x
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，熟知反比例函数图
象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
2 k
12．如图，反比例函数y= 的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y= 的图象
x x
1
经过点D，则k的值为 ．
2
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【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
1
【答案】 ．
2
2 a 1 k
【分析】设A（a， ），由点D是OA的中点可知D（ ， ），代入反比例函数y= ，求出k的值
a 2 a x
即可．
2
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，
x
2 a 1
∴设A（a， ），则D（ ， ），
a 2 a
k
∵反比例函数y= 的图象经过点D，
x
a 1 1
∴k＝xy= • = ，
2 a 2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解题的关键．
k
13．如图，点A是反比例函数y= 图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，
x
若△AOD的面积为1，则k的值为 ﹣ 4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；模型思想．
【答案】﹣4．
【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
1 k
∵S△AOC =
2
|k|＝2，且反比例函数y=
x
图象在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
k
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这
x
一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
k
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A，B都在第一象限，反比例函数y= (x＞0)的图
x
AD 5
象经过A，B两点，AC⊥x轴交于点C，AC与OB交于点D，若 = ，△ABD的面积为1，则k的
CD 4
36
值为 ．
5
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
36
【答案】 ．
5
k 4k 5k
【分析】由题意设点A(m， )(m＞0)，得C（m，0），D(m， )，AD= ，进而可知直
m 9m 9m
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4k
{y= x
4k 9m2 3 2k
线 OD 的解析式为： y= x，联立 ，可得点 B 的坐标为( m， )，再根据
9m2 k 2 3m
y=
x
1
S = AD⋅(x −x )列出方程即可求解．
△ABD 2 B D
k
【解答】解：由题意设点A(m， )(m＞0)，
m
AD 5 CD 4 AD 5
∵AC⊥x轴交于点C， = ，则 = ， = ，
CD 4 AC 9 AC 9
4k 5k
∴C（m，0），D(m， )，AD= ，
9m 9m
4k 4k
设直线OD的解析式为：y＝ax，则 =am，得a= ，
9m 9m2
4k
∴直线OD的解析式为：y= x，
9m2
4k 3
{y= x {x= m
9m2 2
联立 ，解得： （负值舍去），
k 2k
y= y=
x 3m
3 2k
∴点B的坐标为( m， )，
2 3m
1 1 5k 3 5k
则S = AD⋅(x −x )= × ×( m−m)= =1，
△ABD 2 B D 2 9m 2 36
36
∴k= ．
5
36
故答案为： ．
5
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，图形与坐标，熟练掌握反比例
函数的性质是解题的关键．
15．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … a b m n …
若a＜b，则m ＜ n．（填“＞”“＜”或“＝”）
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【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】＜．
【分析】根据反比例函数的变化性质判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1，a＜b，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∵1＜2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
k
16．如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），反比例函数y= （k≠0）的图象经过菱形两条
x
对角线AC，OB的交点D．
（1）求反比例函数的表达式；
k
（2）将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y= （k≠0）的图象上时，求平移的距离．
x
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上
点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
8
【答案】（1）y= ；
x
（2）6．
【分析】（1）延长BC交y轴于点E，交反比例函数于点F，根据勾股定理求出OC的长，再由菱形的
性质得出OA的长，进而得出A点坐标，利用中点坐标公式得出D点坐标，代入反比例函数解析式求
出k的值即可；
（2）根据点C（3，4），BC＝OC，BC∥OA得出B点坐标，再求出F点的坐标，求出BF的长即可．
【解答】解：（1）如图，延长BC交y轴于点E，交反比例函数于点F，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），
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∴OC=√OE2+CE2=√42+32=5，
∴OC＝OA＝BC＝5，
∴A（5，0），
5+3 4
∴D（ ， ），即（4，2），
2 2
k
∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D，
x
∴k＝xy＝4×2＝8，
8
∴反比例函数的解析式为：y= ；
x
（2）∵点C（3，4），BC＝OC＝5，BC∥OA，
∴B（8，4），
8
∵反比例函数的解析式为y= ，
x
8
∴4= ，
x
解得x＝2，
∴F（2，4），
∴BF＝8﹣2＝6，
k
∴当点B落在反比例函数y= （k≠0）的图象上时，平移的距离是6．
x
【点评】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，反比例函数图象上点的
坐标特征，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
1 k
17．如图，正比例函数y = x和反比例函数y = (x＞0)的图象交于点A（m，2）．
1 2 2 x
（1）求反比例函数的解析式；
k
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y = (x＞0)的图象交于点C，求C点的
2 x
坐标．
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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
8
【答案】（1）y= ；
x
（2）（2，4）．
1
【分析】（1）先把A（m，2）代入正比例函数y = x，求出m的值即可得出A点坐标，再代入反比
1 2
k
例函数y = 的解析式，求出k的值即可；
2 x
（2）求出直线OA向上平移3个单位后的函数解析式，再与（1）中反比例函数的解析式联立求出交
点坐标即可．
1
【解答】解：（1）∵正比例函数y = x过点A（m，2），
1 2
1
∴ m＝2，
2
解得m＝4，
∴A（4，2），
k
∵反比例函数y = (x＞0)的图象过点A（4，2），
2 x
k
∴ = 2，
4
解得k＝8，
8
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）∵将直线OA向上平移3个单位，
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1
∴平移后的函数解析式为y= x+3，
2
1
{y= x+3
2
∴ ，
8
y=
x
{x =2 {x =−8
1 2
解得 或 （负值舍去），
y =4 y =−1
1 2
∴C（2，4）．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出m的值是解题的关键．
18．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，
消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC
段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第3分钟时消毒效果为 0. 9 效力；
（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
3 3 180
【答案】（1）0.9；（2）y= x+ ，y= ；（3）本次消毒有效．
20 2 x
【分析】（1）求得线段AB所在直线的解析式后代入x＝3求得y的值即可；
（2）设BC段的函数解析式为y＝kx+b，把（10，3）和（30，6）代入得求得BC段的函数解析式为y
3 3 m 180
= x+ ，设CD段的函数解析式为y= ，把（30，6）代入求得CD段的函数解析式为y= ；
20 2 x x
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3 3 180 50
（3）把y＝4分别代入y= x+ 和y= 得到x= 或x＝45，于是得到结论．
20 2 x 3
【解答】解：（1）设线段AB所在直线的解析式为y＝kx，
∵经过（10，3），
∴10k＝3，
3
解得：k= ，
10
3
∴解析式为y= x，
10
3
当x＝3时，y= ×3＝0.9，
10
故答案为：0.9．
（2）设BC段的函数解析式为 y＝kx+b，
{10k+b=3
把（10，3）和（30，6）代入得 ，
30k+b=6
3
{k=
20
解得： ，
3
b=
2
3 3
∴BC段的函数解析式为 y= x+ （4≤x≤30），
20 2
m m
设CD段的函数解析式为 y= ，把（30，6）代入得 6= ，
x 30
∴m＝180，
180
∴CD段的函数解析式为 y= （x≥30）；
x
3 3 180 50
（3）把y＝4分别代入 y= x+ 和 y= 得，x= 和x＝45，
20 2 x 3
50 1
∵45− =28 ＞28，
3 3
∴本次消毒有效．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此
题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作
答．
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k
19．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，点B的横坐标为2．（1）求
x
反比例函数的表达式及点A的坐标；
k
（2）根据图象直接写出不等式 +2x≤0的解集；
x
（3）点P是x轴上一点，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的
坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
8
【答案】（1）y=− ，点A的坐标为（﹣2，4）；
x
（2）x≤﹣2或0＜x≤2；
（3）点P的坐标为（10，0）或（﹣10，0）．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，由点B的坐标，利用反比例函
数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可求出反比例函数的表达式，再由点的坐标，结合点A，B
关于原点O对称，可求出点A的坐标；
k
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式 +2x≤0的解集；
x
（3）当点P在x轴正半轴时，过点B作BC⊥x轴于点C，由点B的坐标，可得出OC及OB的长，易
证△PBO∽△BCO，利用相似三角形的性质，可求出OP的长，进而可得出点P的坐标，同理，可求
出点P在x轴负半轴时点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝﹣2×2＝﹣4，
∴点B的坐标为（2，﹣4），
k
∵点B（2，﹣4）在反比例函数y= 的图象上，
x
k
∴﹣4= ，
2
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∴k＝﹣8，
8
∴反比例函数的表达式为y=− ．
x
又∵点A，B关于原点O对称，且点B的坐标为（2，﹣4），
∴点A的坐标为（﹣2，4）；
k
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，正比例函数y＝﹣2x的图象在反比例函数y=
x
的图象上方，
k
∴不等式 +2x≤0的解集为x≤﹣2或0＜x≤2；
x
（3）当点P在x轴正半轴时，过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵点B的坐标为（2，﹣4），
∴OC＝2，BC＝4，
∴OB=√OC2+BC2=√22+42=2√5，
∵∠PBO＝∠BCO＝90°，∠POB＝∠BOC，
∴△PBO∽△BCO，
OP OB OP 2√5
∴ = ，即 = ，
OB OC 2√5 2
∴OP＝10，
∴点P的坐标为（10，0）；
当点P在x轴负半轴时，同理可求出点P的坐标为（﹣10，0）．
∴点P的坐标为（10，0）或（﹣10，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及
相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用正（反）比例函数的对称性，求出点B的坐标；
（2）观察函数图象，找出不等式的解集；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出点 P的
坐标．
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20．心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．
开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学
生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所
示，CD为反比例函数图象的一部分．
（1）当0≤x≤10时，请求出y关于x的函数解析式；
（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这
道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝1.6x+24；
（2）经过适当的安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和23比较，大于23则能讲完，否则
不能．
a
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y= ，
x
由题意可得：C（24，40），
则a＝24×40＝960，
960
故y= ，
x
960
则x＝40时，y= =24，
40
则D（40，24），故A（0，24）；
设线段AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，
{ b=24
把B（10，40），（0，24）代入得， ，
10k+b=40
{k=1.6
解得： ，
b=24
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∴y＝1.6x+24；
（2）令直线AB函数中，y＝32，
∴32＝1.6x+24，
∴x＝5，
令反比例函数中y＝32，
960
∴32= ，
x
∴x＝30，
∵30﹣5＝25＞23，
∴经过适当的安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中
找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
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考点卡片
1．一次函数的图象
b
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（− ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
k
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
k
形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围
x
是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义
k
去判断，其形式为y= （k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
x
4．反比例函数的性质
反比例函数的性质
k
（1）反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；
x
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（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
5．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
k
在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
x
是定值|k|．
1
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
2
|k|，且保持不变．
6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
7．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
k
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y= （k为常数，k≠0）；
x
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
8．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者
有交点，方程组无解，则两者无交点．
k
（2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y= 2在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
1
x
k
①当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y= 2在同一直角坐标系中有2个交点；
1 2 1
x
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k
②当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y= 2在同一直角坐标系中有0个交点．
1 2 1
x
9．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的
实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
10．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模
能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性
质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这
个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直
接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
11．二次函数的性质
b 4ac−b2 b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（− ， ），对称轴直线x=− ，二次函数y＝
2a 4a 2a
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
b b
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜− 时，y随x的增大而减小；x＞− 时，
2a 2a
b 4ac−b2
y随x的增大而增大；x=− 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
2a 4a
b b
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜− 时，y随x的增大而增大；x＞− 时，
2a 2a
b 4ac−b2
y随x的增大而减小；x=− 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
2a 4a
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b
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|− |个单位，再向上或
2a
4ac−b2
向下平移| |个单位得到的．
4a
12．二次函数图象上点的坐标特征
b 4ac−b2
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（− ， ）．
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=− 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
2a
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x
1 2
x +x
= 1 2．
2
13．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
14．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个⇒点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就
是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相
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应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，
上移加，下移减．）
15．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形⇒的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角
度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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