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2025年中考数学一轮复习
第18讲 图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．如图，∠MON的度数可能是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．120°
2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标的汉字是（ ）
A．祖 B．国 C．厉 D．害
3．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1余角的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
4．如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向
右转70°后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转100°后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再向右
转45°后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（ ）
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A．南偏东15° B．南偏西45° C．南偏东75° D．南偏东85°
5．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（ ）
A．点A在点O的北偏东30°方向上
B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东60°方向上
D．点D在点O的南偏东45°方向上
6．如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块
三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC与DG交于点F．
若∠EDB＝58.1°，则∠AFD的大小为（ ）
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A．63.1° B．73.1° C．76.9° D．58.1°
8．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正
确的是（ ）
A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”
B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”
C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”
D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”
9．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中
点O25cm（L ＝25cm）处挂一个重9.8N（F ＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木
1 1
杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F L .
1 1
若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（ ）
A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤50
10．小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观
察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不
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透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之
和最大是 ．
12．若∠A与∠B互为补角，并且∠B度数的一半比∠A的度数小30°，则∠B的度数为 ．
13．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么
∠AOB＝ ．
14．如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°，如果A、B两地同时
开工，那么∠B为 °时，才能使公路准确接通．
15．有一个正六面体骰子放在桌面上，若将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°为一次，则滚
动第2023次后，骰子朝下一面的点数是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分
别为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形．
（1）立体图形①的名称是 ；
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1
（2）请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？（用含 a 和 的式子表示，V = πr2h，
圆锥 3
π
V =πr2h)
圆柱
17．如图，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°方向，
求∠ACB的度数．
18．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
（1）该盒子的底面的长为 （用含a的式子表示）．
（2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整
式的和相等，求x的值．
（3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．
19．【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板
COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．
【解决问题】
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（1）在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系 ；
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
（3）当∠AOC、∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直
接写出所有满足条件的t值．
20．某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）．
（1）求景点C，D之间的距离．（用含m的代数式表示）
（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．
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2025年中考数学一轮复习之图形认识初步
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，∠MON的度数可能是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．120°
【考点】角的概念；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据量角器的用法将量角器移至正确位置即可判定求解．
【解答】解：由量角器的位置可判断ON与70°的刻度线接近平行，
∴将量角器右移，使点O与量角器的中心点位置重合时，ON与70°刻度线接近重合，
∴∠MON是70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查角的概念，平行线的性质，掌握量角器的用法是解题的关键．
2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“的”字所在的面相对的面上标的汉字是（ ）
A．祖 B．国 C．厉 D．害
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
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“祖”与“厉”是相对的面，
“国”与“的”是相对的面，
“我”与“害”是相对的面，
故选：B．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相
对的面”是正确解答的关键．
3．一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1余角的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】由题意可得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，再利用余角的定义即可求解．
【解答】解：由题意知：∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，
得∠1＝∠BCD﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，
所以∠1的余角为90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查余角及角的和差关系，解答的关键是由图形得到∠1的度数．
4．如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向
右转70°后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转100°后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再向右
转45°后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（ ）
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A．南偏东15° B．南偏西45° C．南偏东75° D．南偏东85°
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，根据三角形外角的性质得出∠ADB＝30°，然后再计算出∠FCM＝75°，根据方向角的定义
即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠ADB＝100°﹣70°＝30°，∠CED＝90°，
∴∠DCF＝30°+90°＝120°，
∴∠FCM＝120°﹣45°＝75°，
∴此时点M在C点的南偏东75°．
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，关键是熟练掌握三角形的外角的性质和方向角的定义．
5．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（ ）
A．点A在点O的北偏东30°方向上
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B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东60°方向上
D．点D在点O的南偏东45°方向上
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据方向角的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、点A在点O的北偏东60°方向上，故A符合题意；
B、点D在点O的东南方向上，故B不符合题意；
C、点A在点O的北偏东60°方向上，故C不符合题意；
D、点D在点O的南偏东45°方向上，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
6．如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块
三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝
3∠BOD，可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解．
【解答】解：根据题意得：∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣
∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝3∠AOC，
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∴3∠AOC+∠BOC＝180°，
∴2∠AOC+∠AOB＝180°，
∴2∠AOC+90°＝180°，
解得：∠AOC＝45°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了角的和与差，解题的关键是正确推理．
7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA＝∠DGE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，AC与DG交于点F．
若∠EDB＝58.1°，则∠AFD的大小为（ ）
A．63.1° B．73.1° C．76.9° D．58.1°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理得到∠EDG＝45°，再由平角的定义得到∠ADF＝76.9°，则由三角形内角
和定理可得∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°．
【解答】解：∵∠DGE＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDG＝180°﹣∠G﹣∠E＝45°，
∵∠EDB＝58.1°，
∴∠ADF＝180°﹣∠EDB﹣∠EDG＝76.9°，
∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝73.1°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正
确的是（ ）
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A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”
B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”
C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”
D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；点到直线的距离；三角形的稳定性；线段垂直
平分线的性质．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性，两点确定一条直线，垂线段最短，圆的认识进行判断即可．
【解答】解：A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”，故本选项不合题
意；
B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点确定一条直线”，故本选
项符合题意；
C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”，
故本选项不符合题意；
D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，两点确定一条直线，垂线段最短，圆的认识等知识点，熟记
相关的性质或定理即可．
9．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中
点O25cm（L ＝25cm）处挂一个重9.8N（F ＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木
1 1
杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F L .
1 1
若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（ ）
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A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤50
【考点】两点间的距离．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据弹簧秤平衡的结论FL＝F L ，以及F≤7，解不等式即可．
1 1
【解答】解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧，所以L≤50，
F L 9.8×25
又∵FL＝F L ，即F= 1 1= ≤7，
1 1
L L
∴L≥35，
所以35≤L≤50．
故选：D．
【点评】本题考查两点间的距离，理解“杠杆平衡的条件”以及F不超过7N的意义，列不等式进行解答
解答即可．
10．小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观
察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
【考点】展开图折叠成几何体．
【专题】推理填空题；空间观念．
【答案】B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【解答】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．
故选：B．
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【点评】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，
从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
二．填空题（共5小题）
11．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不
透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之
和最大是 5 3 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】53．
【分析】分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最大的情况
即可．
【解答】解：要使几何体能看得到的面上数字之和最大，
最右边的那个正方体所能看到的4个数字为3，4，5，6，和为18；
最上边的那个正方体所能看到的6个数字为2，3，4，5，6，和为20；
左下角的那个正方体所能看到的3个数字为4，5，6，和为15；
所以这个几何体能看得到的面上数字之和最大为：18+20+15＝53，
故答案为：53．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是解题
的关键．
12．若∠A与∠B互为补角，并且∠B度数的一半比∠A的度数小30°，则∠B的度数为 100 ° ．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】100°．
【分析】根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于∠A、∠B的二元一次方程组，求解即可．
1
【解答】解：根据题意可得：∠A+∠B＝180°①，且 ∠B＝∠A﹣30°②，
2
由①得：∠A＝180°﹣∠B③，
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1
把③代入②得： ∠B＝180°﹣∠B﹣30°，
2
解得∠B＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
13．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么
∠AOB＝ 141 ° ．
【考点】方向角．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣54°＝36°，
∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．
故答案为：141°．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
14．如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°，如果A、B两地同时
开工，那么∠B为 11 0 °时，才能使公路准确接通．
【考点】方向角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】110．
【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案．
【解答】解：∵使公路准确接通，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题主要考查方向角，灵活利用平行线的性质是解题的关键．
15．有一个正六面体骰子放在桌面上，若将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°为一次，则滚
动第2023次后，骰子朝下一面的点数是 5 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：数字的变化类．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】5．
【分析】根据题意可得：3和4是相对面，2和5是相对面，且朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且4
次一循环，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3和4是相对面，2和5是相对面，且朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且4次一循环，
∵2023÷4＝505...3，
∴滚动第2023次后，骰子朝下一面的点数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分
别为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形．
（1）立体图形①的名称是 圆锥 ；
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1
（2）请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？（用含 a 和 的式子表示，V = πr2h，
圆锥 3
π
V =πr2h)
圆柱
【考点】点、线、面、体；列代数式．
【专题】推理能力．
【答案】（1）圆锥；
1
（2）立体图形②比立体图形①的体积大
πa3
．
3
【分析】（1）根据立体图形的定义即可解答；
（2）设图形①、②的体积分别为V 、V ，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．
1 2
【解答】解：（1）以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆锥．
故答案为：圆锥．
（2）设图形①、②的体积分别为V 、V ，
1 2
1 2
则 V = πa2 ⋅2a= πa3 ，V =πa2 ⋅a=πa3 ，
1 3 3 2
2 1 1
∴V −V =πa3− πa3= πa3 ．即立体图形②比立体图形①的体积大 πa3 ．
2 1 3 3 3
【点评】本题主要考查了圆锥的定义、圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解
题的关键．
17．如图，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°方向，
求∠ACB的度数．
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【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】90°．
【分析】先根据题意得出∠BAC的度数，由AE∥DB可得出∠DBA的度数，进而可得出∠ABC的度数，
最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：根据题意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE
＝45°+30°
＝75°．
∵AE∥DB，
∴∠DBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA
＝60°﹣45°
＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC
＝180°﹣15°﹣75°
＝90°．
【点评】本题考查的是方向角的概念，即用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以
对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
18．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
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（1）该盒子的底面的长为 3 a （用含a的式子表示）．
（2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整
式的和相等，求x的值．
（3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；列代数式；整式的加减．
【专题】整式；几何直观．
【答案】（1）3a；
（2）4；
（3）见解答过程．
【分析】（1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为2a，即可得到底面的长；
（2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可；
（3）依据长方体的展开图的特征，即可在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．
【解答】解：（1）由题可得，无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为3a﹣a＝2a，
∴底面的长为5a﹣2a＝3a，
故答案为：3a；
（2）∵①，②，③，④四个面上分别标有整式2（x+1），x，﹣2，4，且该盒子的相对两个面上的整
式的和相等，
∴2（x+1）+（﹣2）＝x+4，
解得x＝4；
（3）如图所示：（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展
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开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
19．【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板
COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系 ∠ AOC + ∠ BOD ＝ 180 ° ；
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
（3）当∠AOC、∠BOD中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直
接写出所有满足条件的t值．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）∠AOC+∠BOD＝180°；（2）有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由略；（3）t＝4
或8．
【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论．
（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解．
（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得t的值．
【解答】解：（1））①如图，∠AOC+∠BOD＝180°．
理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠AOC，∠COB＝90°﹣∠AOC．
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB＝∠AOC+90°﹣∠AOC+∠AOC+90°﹣∠AOC＝180°．
②如图，∠AOC+∠BOD＝180°．
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理由如下：由题意得，∠DOA＝90°﹣∠DOB，∠COB＝90°﹣∠DOB．
∴∠AOC+∠BOD＝∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD＝90°﹣∠DOB+∠DOB+90°﹣∠DOB+∠BOD＝
180°．
综上，∠AOC+∠BOD＝180°．
（2）由题意得：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如图所示，
理由如下：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BOC＝∠BOD＝45°．
∴OB平分∠COD．
1
又∠BOD＝45°= ∠AOB，
2
∴OD平分∠AOB．
（3）由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t．
当∠BOD＝2∠AOC时，
又∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOC＝60°．
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∴15t＝60，解得t＝4．
当2∠BOD＝∠AOC时，
又∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOC＝120°．
∴15t＝120，解得t＝8．
综上，t＝4 或8．
【点评】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键．
20．某风景区A，B，C，D四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）．
（1）求景点C，D之间的距离．（用含m的代数式表示）
（2）若景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等，求景点B，D之间的距离．
【考点】两点间的距离；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（3+3m）千米；（2）13千米．
【分析】（1）景点C，D之间的距离等于B，D之间的距离减去B，C之间的距离；
（2）根据景点C到景点A的距离与景点C到景点D的距离相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）9+2m﹣（6﹣m）＝9+2m﹣6+m＝3+3m，
答：景点C，D之间的距离为（3+3m）千米；
（2）由题意得5+（6﹣m）＝3+3m，
解得m＝2，
∴BD＝9+2m＝13，
答：景点B，D之间的距离13千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
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考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知
识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数
量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，
设出其他未知数，然后列方程．
3．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
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①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，
去括号后括号内的各项都要改变符号．
4．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多
彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
5．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后
再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
6．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立
空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
7．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
8．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最
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后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两
点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
9．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线
是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中
间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟
表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠ ，∠ ，∠ 、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）
表示． α β γ
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线
时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝
60″．
10．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向
角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南
西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
11．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
1
则∠AOC＝∠BOC= ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
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12．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，
1
记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=
3
∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，
逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒
分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
13．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余
角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补
角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则
它们就具备相应的关系．
14．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与
直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两
个中去选择．
15．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出
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或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
16．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
17．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性
主要应用在实际生活中．
18．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
27
