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备战 2024 中考数学一轮复习
第七章图形的变换
第 2 讲图形的对称、平移、旋转与位似(含图形的运动与坐
标）
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 2 讲图形的对称、平移、旋转与位似
(含图形的运动与坐标）
该板块知识以考查平面几何的三大变换的基本运用为主.年年都有考查，分值在8-10分左
右。预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也
可能综合题结合出现。这三大变换贯穿于初中所学的平面几何之中，利用平移、旋转、对
称能解决三角形、四边形、圆、二次函数、反比例函数的性质等问题,利用变换在解决问题
时往往能起到化繁为简的功效，激活思维，让人茅塞顿开.
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一平移
考向二对称
考向三旋转
考向四位似
第 2 讲图形的对称、平移、旋转与位似
(含图形的运动与坐标）
→➊考点精析←
一、轴对称图形与轴对称
轴对称图形 轴对称
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图
形
如果一个图形沿着某条直线对折 如果两个图形对折后，这两个图形
定 后，直线两旁的部分能够完全重 能够完全重合，那么我们就说这两
义 合，那么这个图形就叫做轴对称图 个图形成轴对称，这条直线叫做对
形，这条直线叫做对称轴 称轴
对应线段 AB=A′B′，BC=B′C′，
AB=AC
相等 AC=A′C′
性 对应角相 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠B=∠C
质 等 ∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状 (1)轴对称是指两个图形的位置关
区 的图形，只对一个图形而言； 系，必须涉及两个图形；
别 (2)对称轴不一定只有一条 (2)只有一条对称轴
(1)沿对称轴对折，两部分重合； (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；
关 (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成 (2)如果把两个成轴对称的图形拼在
系 “两个图形”，那么这“两个图 一起，看成一个整体，那么它就是
形”就关于这条直线成轴对称 一个轴对称图形
1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其
次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我
们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出
答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．
3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤
1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法
截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．
4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤
1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；
2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．
二、图形的平移
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1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动
叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质：
1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同
一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．
4．作图步骤：
1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和
平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平
移后的图形．
三、图形的旋转
1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这
样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3．性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，
所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、
锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
四、中心对称图形与中心对称
中心对称图形 中心对称
图
形
定 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与 如果一个图形绕某点旋转180°后与
义 它自身重合，我们就把这个图形叫做中 另一个图形重合，我们就把这两个
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心对称图形，这个点叫做它的对称中心 图形叫做成中心对称
点A与点A′，点B与点B′，点C与
对应点 点A与点C，点B与点D
点C′
性 AB=CD，
对应线段 AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
质 AD=BC
∠A=∠C
对应角 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
∠B=∠D
区 中心对称图形是指具有某种特性的一个
中心对称是指两个图形的关系
别 图形
把成中心对称的两个图形看成一个
联 把中心对称图形的两个部分看成“两个
“整体”，则“整体”成为中心对
系 图形”，则这“两个图形”成中心对称
称图形
常见的中心对称图形
平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这
些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.
五、位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行
（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似
比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位
似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之
比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于
一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即
要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺
序连接所作的各个对应点．
→➋真题精讲←
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考向一平移
1．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，将 沿 向右平移得到 ，若
， ，则 的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】利用平移的性质得到 ，即可得到 的长．
【详解】解：∵ 沿 方向平移至 处．
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的
图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某
一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在 中， ， ，
．点F是 中点，连接 ，把线段 沿射线 方向平移到 ，点D在 上．
则线段 在平移过程中扫过区域形成的四边形 的周长和面积分别是( )
A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
【答案】C
【分析】先论证四边形 是平行四边形，再分别求出 、 、 ，继而用平行四
边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知： ，
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∴四边形 是平行四边形，
在 中， ， ， ，
∴
在 中， ， ，点F是 中点
∴
∵ ，点F是 中点
∴ ， ，
∴点D是 的中点，
∴
∵D是 的中点，点F是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴四边形 的周长为： ，
四边形 的面积为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形 是平行
四边形和 是 的中位线是解题的关键．
考向二对称
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在直角坐标系中， 各点坐标分别为
， ， ．先作 关于x轴成轴对称的 ，再把 平
移后得到 ．若 ，则点 坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三点 ， ， 的对称点坐标为 ， ，
，结合 ，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算
即可．
【详解】∵三点 ， ， 的对称点坐标为 ， ，
，结合 ，
∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
故 坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题
的关键．
4．（2023·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
点 均为格点（网格线的交点）．
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(1)画出线段 关于直线 对称的线段 ；
(2)将线段 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段 ，画出线
段 ；
(3)描出线段 上的点 及直线 上的点 ，使得直线 垂直平分 ．
【答案】见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到 关于直线 的对称点， ，连接 ，则
线段 即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段 即为所求；
（3）勾股定理求得 ， ，则 证明
得出 ，则 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段 即为所求；
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（2）解：如图所示，线段 即为所求；
（3）解：如图所示，点 即为所求
如图所示，
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∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴
∴ ，
∴ 垂直平分 ．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
5．（2023·四川广安·统考中考真题）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用
这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①
网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都
在格点上）．
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【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．
【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形
即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形 即
为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形 即为
所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形
即为所求．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿
着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转
能够和原图形重合．
考向三旋转
6．（2023·山东枣庄·统考中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇
形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为 ，将银杏叶绕原
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点顺时针旋转 后，叶柄上点A对应点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵B，C的坐标分别为 ，
∴坐标系的位置如图所示：
∴点 的坐标为： ，
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．
7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图， 中， ，将 逆时针旋转
得到 ， 交 于F．当 时，点D恰好落在 上，此时
等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转可得 ，再结合旋转角 即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 和 是以点 为直角顶点的等腰直
角三角形，把 以 为中心顺时针旋转，点 为射线 、 的交点．若 ，
．以下结论：
① ；② ；
③当点 在 的延长线上时， ；
④在旋转过程中，当线段 最短时， 的面积为 ．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明
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得出 ，即可判断③；以 为圆心， 为半径画圆，当 在
的下方与 相切时， 的值最小，可得四边形 是正方形，在 中
，然后根据三角形的面积公式即可判断④．
【详解】解：∵ 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
设 ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，故②正确；
当点 在 的延长线上时，如图所示
∵ ， ，
∴
∴
∵ ， ．
∴ ，
∴
∴ ，故③正确；
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④如图所示，以 为圆心， 为半径画圆，
∵ ，
∴当 在 的下方与 相切时， 的值最小，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ 取得最小值时，
∴
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最
短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形 的顶点C为旋转中心，按顺时针
方向旋转，使得新五边形 的顶点 落在直线 上，则正五边 旋转的度
数至少为______°．
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【答案】
【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到 的度数，进而得出旋转的角度．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴新五边形 的顶点 落在直线 上，则旋转的最小角度是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．
10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 为 的平分线，且 ，
将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，且 ，则四边
形 旋转的角度是______．
【答案】
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【分析】根据角平分线的性质可得 ，根据旋转的性质可得
， ，求得 ，即可求得旋转的角
度．
【详解】∵ 为 的平分线， ，
∴ ，
∵将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
11．（2023·江西·统考中考真题）如图，在 中， ，将 绕点
逆时针旋转角 （ ）得到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，
旋转角 的度数为_______．
【答案】 或 或
【分析】连接 ，根据已知条件可得 ，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
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∴
∴ ，
如图所示，当点 在 上时，此时 ，则旋转角 的度数为 ，
当点 在 的延长线上时，如图所示，则
当 在 的延长线上时，则旋转角 的度数为 ，如图所示，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 是矩形，
∴
即 是直角三角形，
综上所述，旋转角 的度数为 或 或
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与
判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在 中， ， ，
．将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的对应点 恰好落在线段
上，则点 的运动路径长是___________cm（结果用含 的式子表示）．
【答案】
【分析】由于 旋转到 ，故C的运动路径长是 的圆弧长度，根据弧长公式求解
即可．
【详解】以A为圆心作圆弧 ，如图所示．
在直角 中， ，则 ，
则 ．
∴ ．
由旋转性质可知， ，又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
由旋转性质知， ．
故弧 的长度为： ；
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故答案为：
【点睛】本题考查了含 角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识
点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．
13．（2023·北京·统考中考真题）在 中、 ， 于点
M，D是线段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到
线段 ．
(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，
直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出
，可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到H使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出
，设 ， ，求出 ，证明
，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2） ；
证明：如图2，延长 到H使 ，连接 ， ，
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∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形
中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形
是解题的关键．
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考向四位似
14．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角
形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点 成位似关系，则位似中心的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意确定直线 的解析式为： ，由位似图形的性质得出 所在直
线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得： ，
设直线 的解析式为： ，将点代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当 时， ，
∴位似中心的坐标为 ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形
的特点是解题关键．
15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别为
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，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为2的
位似图形 ，则顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵ 的位似比为2的位似图形是 ，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
16．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，
原点O是位似中心，且 ．若 ，则 点的坐标是___________．
【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
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∵ 与 位似，原点 是位似中心，且 ．若 ，
∴位似比为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴
故答案为： .
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
17．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图， 和 是以点 为位似中心的位似
图形，点 在线段 上．若 ，则 和 的周长之比为__________．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解： ，
，
设 周长为 ，设 周长为 ，
和 是以点 为位似中心的位似图形，
．
．
和 的周长之比为 ．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
26
