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2025年中考数学一轮复习
第30讲 尺规作图
一．选择题（共10小题）
1
1．如图，已知线段AB＝6，小欣进行了如下操作：以线段AB的中点O为圆心， AB的长为半径画弧，
2
再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则BC的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3√3 D．6
2．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．66° D．80°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC
1
于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于 DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC
2
于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，再分别以点C，E为圆
1
心，大于 CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．若AB＝8，BC＝10，则CG
2
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长为（ ）
10 √6
A．5 B． C．2√2 D．
3 2
5．下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
1
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC长为半径作弧，
2
两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论
中错误的是（ ）
A．∠ACD＝65° B．∠ACB＝90°
C．∠CAD＝50° D．点D是△ABC的外心
7．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下：
（1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部；
（2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是
∠AOB的平分线．
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在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
8．已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：
嘉嘉： 淇淇：
①作射线PC；
②在射线PC上任取点A，用尺规作与
∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；
①将直尺紧
③连接AB，则AB∥PQ．
贴直线PQ；
②含60°角的三角板的顶点C落在直尺
上；
③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线
重合，则AB∥PQ．
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确
B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确
C．嘉嘉和淇淇的作法都正确
D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点
1
D，再分别以B、D为圆心、大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点 M、N，作直线MN分别交
2
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AB、BC于点E、F，则线段BE的长为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
10．如图，对于△ABC的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①△ABC≌△ADC；
②四边形ABCD是中心对称图形；
③AC是BD的中垂线；
④BD平分∠ABC．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
二．填空题（共5小题）
1
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于
2
M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB＝16，AC＝8，则BE长为 ．
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12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M ，M ；分别以M ，M 为圆心，大
1 2 1 2
1
于 M M 的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．
2 1 2
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与 BC，AB相交于点N ，N 分别以N ，N 为圆心，大于
1 2 1 2
1
N N 的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．
1 2
2
③连接CP．
根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 ．
13．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P表示的数
是 ．
1
14．如图， ABCD的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于
2
▱
E、F两点；作直线EF交AB于点G，连接OG．若AD＝5，则OG＝ ．
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15．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E
1
为圆心，以大于 AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过
2
点B．若DE＝3，则BC的长度是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B位于格点处．
（1）分别在图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC，使其内部（不含边）均有2个格点．
（2）任选一个你所画的格点△ABC，判断其是否为等腰三角形并说明理由．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△ABC内求作点D，使∠BCD＝∠CAD＝30°（保留作图痕迹，不
写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长CD交AB于点H，若H为AB中点且AB＝8，求△ACD的面积．
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18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
19．如图，在 ABCD中，BD是对角线．
（1）利用尺▱规作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规
作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段BF与DE的数量关系，并加以证明．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B(1，√3)，点C在线段OA上．
（1）读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE＝OB；
②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．
（2）求证：△CEF≌△OBA．
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2025年中考数学一轮复习
第30讲 尺规作图
一．选择题（共10小题）
1
1．如图，已知线段AB＝6，小欣进行了如下操作：以线段AB的中点O为圆心， AB的长为半径画弧，
2
再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则BC的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3√3 D．6
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，由作图知，AC＝OA＝OC＝OB，根据等边三角形的性质和直角三角形的判定和性质
以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
由作图知，AC＝OA＝OC＝OB，
∴△AOC是等边三角形，∠B＝∠BCO，
∴∠A＝∠AOC＝60°，
∴∠B+∠BCO＝∠AOC＝60°，
∴∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，
1 1
∴AC= AB= ×6＝3，
2 2
∴BC=√AB2−AC2=3√3，
故选：C．
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【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确地判
断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
2．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．66° D．80°
【考点】作图—基本作图．
【专题】三角形；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，可得AD＝BD，∠ABD＝
∠CBD，则∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．根据∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，可得∠ABC＝64°，再结合三
角形内角和定理可得答案．
【解答】解：由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．
∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠BAD＝64°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝66°．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟
练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解答本题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC
1
于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于 DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于
2
点F，则BF的长为（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．
【解答】解：由作图知，AF⊥BC，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．
∴AB=√3AC＝4√3，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
√3 √3
∴BF= AB= ×4√3=6，
2 2
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是理解作图过程．
4．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，再分别以点C，E为圆
1
心，大于 CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．若AB＝8，BC＝10，则CG长
2
为（ ）
10 √6
A．5 B． C．2√2 D．
3 2
【考点】作图—基本作图；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观；运算能力．
【答案】A
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【分析】连接 EG，由尺规作图过程可知，BE＝BC＝10，BF 为∠EBC 的平分线，可证明
△BEG≌△BCG，则CG＝EG，由矩形的性质及勾股定理可得AE=√BE2−AB2=6，DE＝4，设CG＝
EG＝x，则DG＝8﹣x，在Rt△DEG中，由勾股定理可列方程为x2＝42+（8﹣x）2，解方程即可．
【解答】解：连接EG，
由尺规作图过程可知，BE＝BC＝10，BF为∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
∵BG＝BG，
∴△BEG≌△BCG（SAS），
∴CG＝EG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
∴AE=√BE2−AB2=6，
∴DE＝AD﹣AE＝4，
设CG＝EG＝x，
则DG＝CD﹣CG＝8﹣x，
在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2＝DE2+DG2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴CG长为5．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（ ）
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A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【答案】A
【分析】根据作已知三角形的高的作图方法判定即可．
【解答】解：图（1）和图（2）中，由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，AJ垂
直平分GH，BC垂直平分AK，故作图正确；
图（3）中，依据“直径所对的圆周角等于90°”可知，BC所对的圆周角为直角，故作图正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，掌握利用尺规作图作高的方法是解决问题的关键．
1
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC长为半径作弧，
2
两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中
错误的是（ ）
A．∠ACD＝65° B．∠ACB＝90°
C．∠CAD＝50° D．点D是△ABC的外心
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】C
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【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，
根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠CDA＝25°+25°＝50°．
∵CD＝AD，
180°−50°
∴∠ACD＝∠CAD= =65°，
2
∴A正确，C错误；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故D正确；
∵∠ACD＝65°，∠BCD＝25°，
∴∠ACB＝65°+25°＝90°，故B正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下：
（1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部；
（2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线 DC于点P，作射线OP，射线OP就是
∠AOB的平分线．
在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
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【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】观察作图步骤，写出证明过程即可得到答案．
【解答】解：观察作图步骤可知，证明射线OP是∠AOB的平分线的过程如下：
∵∠ADC＝∠AOB，
∴DC∥OB，
∴∠DPO＝∠POB，
∵DO＝DC，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POB＝∠DOP，
∴射线OP就是∠AOB的平分线，
在证明过程中，没有用到“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上“，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线性质和判定，等腰三角形性质等知识．
8．已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：
嘉嘉： 淇淇：
①作射线PC；
②在射线PC上任取点A，用尺规作与
∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；
①将直尺紧
③连接AB，则AB∥PQ．
贴直线PQ；
②含60°角的三角板的顶点C落在直尺
上；
③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线
重合，则AB∥PQ．
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确
B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确
C．嘉嘉和淇淇的作法都正确
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D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确
【考点】作图—基本作图；平行线的判定；平行线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意，嘉嘉利用同旁内角互补得出两直线平行，淇淇利用同位角相等得出两直线平行．
【解答】解：嘉嘉：斜边BC与量角器的60°刻度线重合，
∴∠BCQ＝60°
又∵直角板∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠A+∠ACQ＝180°，
∴AB∥PQ，
则嘉嘉的作法正确，
淇淇：∵∠CAB＝∠APQ，
∴AB∥PQ，
则淇淇的作法正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了作图—基本作图，平行线的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识
的灵活运用．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点
1
D，再分别以B、D为圆心、大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、
2
BC于点E、F，则线段BE的长为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出及做法求出AB，BD，BE＝DE，即可得的答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=√AC2+BC2=10．
∵以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝6，BD＝AB﹣AD＝4，
∵分别以B、D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，
∴MN是线段BD的垂直平分线．
∴BE＝DE＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的做法是解决本题的
关键．
10．如图，对于△ABC的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①△ABC≌△ADC；
②四边形ABCD是中心对称图形；
③AC是BD的中垂线；
④BD平分∠ABC．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【考点】作图—复杂作图；中心对称图形；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】利用作法可判断AC垂直平分BD，则可对①③进行判断；利用“SSS”可对③进行判断；通过
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说明∠ABD≠∠CBD可对④进行判断．
【解答】解：利用AB＝AC，CD＝CB，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以①正确；
由作法得AB＝AD，CB＝CD，则AC垂直平分BD，点B与点D关于点E对称，而点A与点C不关于E对
称，所以②错误，③正确；
由于AD与BC不平行，则∠ADB≠∠CBD，而∠ADB＝∠ABD，则∠ABD≠∠CBD，所以④错误．
所以正确的是①③．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，中心对称图形，垂直平分线的性质以及全等三角形的判定，掌握
相关定义是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
1
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于
2
M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB＝16，AC＝8，则BE长为 1 0 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10．
【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接CE，
由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
设CE＝BE＝x，
∵∠A＝90°，AE＝16﹣x，AC＝8√82+(16−x) 2，
∴BE＝CE=√AC2+AE2=√82+(16−x) 2=x，
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解得x＝10，
∴BE＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是证明CE＝BE．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M ，M ；分别以M ，M 为圆心，大于
1 2 1 2
1
M M 的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．
1 2
2
1
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N ，N 分别以N ，N 为圆心，大于
1 2 1 2 2
N N 的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．
1 2
③连接CP．
根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 √2 ．
【考点】作图—复杂作图；点到直线的距离．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】√2．
【分析】过P点作PD⊥AB于D点，PE⊥BC于E点，如图，根据点到直线的距离得到PE＝1，利用基本
作图得到PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，则根据角平分线的性质得到PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，从而
可判断△PCF为等腰直角三角形，所以PC=√2PF．
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【解答】解：过P点作PD⊥AB于D点，PE⊥BC于E点，如图，则PE＝1，
由作法得PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=√2PF=√2．
故答案为：√2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几
何图形的性质和基本作图方法．也考查了角平分线的性质．
13．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P表示的数
10
是 ．
3
【考点】作图—复杂作图；数轴．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
10
【答案】 ．
3
x 1
【分析】设点P表示的数为x，根据平行线分线段成比例可得， = ，求出x的值，即可得答案．
10−x 2
【解答】解：设点P表示的数为x，
x 1
根据平行线分线段成比例可得， = ，
10−x 2
10
解得x= ，
3
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10
经检验：x= 是原方程的解且符合题意，
3
10
∴点P表示的数是 ．
3
10
故答案为： ．
3
【点评】本题考查数轴、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1
14．如图， ABCD的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于
2
▱
5
E、F两点；作直线EF交AB于点G，连接OG．若AD＝5，则OG＝ ．
2
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
5
【答案】 ．
2
【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AG＝BG，再根据平行四边形的性质得到OB＝OD，然
后根据三角形中位线性质求解．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OG为△ABD的中位线，
1 5
∴OG= AD= ．
2 2
5
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平
分线的性质和平行四边形的性质．
15．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E
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1
为圆心，以大于 AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点
2
B．若DE＝3，则BC的长度是 3√3 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用矩形的性质得到AB＝CD＝6，∠C＝90°，再利用基本作图得MN垂直平分AE，则根据线
段垂直平分线的性质得到BE＝BA＝6，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【解答】解：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，∠C＝90°，
由作法得MN垂直平分AE，
∴BE＝BA＝6，
在Rt△BCE中，BC=√BE2−CE2=√62−32=3√3．
故答案为：3√3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平
分线的性质和矩形的性质．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B位于格点处．
（1）分别在图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC，使其内部（不含边）均有2个格点．
（2）任选一个你所画的格点△ABC，判断其是否为等腰三角形并说明理由．
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【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．
【专题】网格型；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）图1，图2中的三角形ABC都为等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定结合勾股定理以及网格作出图形即可；
（2）根据勾股定理以及等腰三角形的判定即可求解．
【解答】解：（1）图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC如图所示；
（2）图1，图2中的三角形ABC都为等腰三角形，理由如下：
如图1，∵AC=√12+22=BC，
∴三角形ABC为等腰三角形；
如图2，∵BC=√32+12=AB，
∴三角形ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣应用设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定，熟记全等三角形的
判定，等腰三角形的判定是解题的关键．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△ABC内求作点D，使∠BCD＝∠CAD＝30°（保留作图痕迹，不写
作法）；
（2）在（1）的条件下，延长CD交AB于点H，若H为AB中点且AB＝8，求△ACD的面积．
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【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理．
【专题】作图题；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）2√3．
【分析】（1）先作AC的垂直平分线，再以AC的中点O为圆心，AO为半径画圆，再以点C为圆心，
CO为半径画圆，交 O于点D，连接AD、CD；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 易⊙得 ∠ ACH ＝ 60° ， ∠ ADC ＝ 90° 由 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 的 性 质 可 得
1 1
CH=AH=BH= AB=4，证明△ACH是等边三角形，可得CD=DH= CH=2，根据勾股定理求出
2 2
AD的长度，即可计算△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求，
（2）由（1）可得∠BCD＝∠CAD＝30°，
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∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH＝60°，∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝90°
∵H为AB中点且∠ACB＝90°，AB＝8，
1
∴CH=AH=BH= AB=4，
2
∵CH＝AH，∠ACH＝60°，
∴△ACH是等边三角形，AC＝CH＝4，
∵∠ADC＝90°，
1
∴CD=DH= CH=2，
2
∴AD=√AC2−CD2=2√3，
1
∴△ACD的面积为 CD•AD＝2√3．
2
【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合
运用以上知识是解题的关键．
18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】作图—基本作图；菱形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
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【分析】（1）利用基本作图作∠ABF的平分线；
（2）利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB＝∠BAC，则AB＝BC，同理可证AB＝AD，所以AD＝
BC，于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB＝BC可判断四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）解：如图，射线BD为所求；
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
同理可证AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了菱形
的性质．
19．如图，在 ABCD中，BD是对角线．
（1）利用尺规▱作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作
图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段BF与DE的数量关系，并加以证明．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
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（2）BF＝DE，理由见解答．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）BF＝DE．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠OBF＝∠ODE，∠BFO＝∠DEO，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴BF＝DE．
【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B(1，√3)，点C在线段OA上．
（1）读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE＝OB；
②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．
（2）求证：△CEF≌△OBA．
【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；全等三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）①见解答．
②见解答．
（2）见解答．
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【分析】（1）①结合平行线的判定，作∠ACD＝∠AOB，交AB于点D，则CD即为所求．以点C为圆
心，OB的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，则CE即为所求．
②根据垂线的作图方法作图即可．
（2）过点B作BG⊥OA于点G，则OA＝4，OG＝1，BG=√3，AG＝OA﹣OG＝3．由勾股定理及勾股定
理的逆定理可得∠ABO＝90°，则∠ABO＝∠FEC．由平行线的性质可得∠FCE＝∠AOB，再结合全等三
角形的判定可得结论．
【解答】（1）解：①如图，作∠ACD＝∠AOB，交AB于点D，
则CD∥OB，
则CD即为所求．
以点C为圆心，OB的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，
则CE即为所求．
②如图，EF即为所求．
（2）证明：过点B作BG⊥OA于点G．
∵A（4，0），B（1，√3），
∴OA＝4，OG＝1，BG=√3，
∴AG＝OA﹣OG＝3．
在Rt△OBG中，由勾股定理得，OB=√OG2+BG2=√12+(√3) 2=2，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，AB=√AG2+BG2=√32+(√3) 2=2√3，
∴OA2＝OB2+AB2，
∴∠ABO＝90°．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ABO＝∠FEC，
∵CD∥OB，
∴∠FCE＝∠AOB，
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∵CE＝OB，
∴△CEF≌△OBA（ASA）．
【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形
的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到
y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当
的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出
或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，
两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内
角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
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定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
1
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△ =
2
×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
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10．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中
线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
11．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一
个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
12．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
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14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对
称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
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（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
18．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
19．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
逐步操作．
20．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
21．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形
自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33
