文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 29 讲 尺规作图与定义、命题、定理
目 录
题型01 尺规作图-作线段
题型02 尺规作图-作一个角等于已知角
题型03 尺规作图-尺规作角的和、差
题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
题型06 尺规作图-作角平分线
题型07 尺规作图-作垂直平分线
题型08 尺规作图-作三角形的中线与高
题型09 尺规作图- 画圆
题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
题型11 尺规作图-找圆心
题型12 尺规作图-作外接圆
题型13 尺规作图-作内切圆
题型14 尺规作图-作圆内接正多边形
题型15 尺规作图-格点作图
题型16 判断是否命题
题型17 判断命题真假
题型18 举反例说明命题为假命题
题型19 写出命题的逆命题
题型20 反证法证明中的假设
题型21 用反证法证明命题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 尺规作图-作线段
1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段a．
求作：矩形ABCD，使对角线的长为a，夹角为∠α．
3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°．
求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．
作法：如图2，
①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b；
②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；
③连接BC，DC．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=DC=a，AD= =b，
∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据)．
∵∠MAN=90°，
∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据)．
题型 02 尺规作图-作一个角等于已知角
5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线
6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．
7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上
求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
题型 03 尺规作图-尺规作角的和、差
8．（2022下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，
使∠AOB=∠α−∠β．
9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使
∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
10．（2020下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标
明字母）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2023下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
题型 04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图
痕迹，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，
CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
直线PC即为所求作．
根据尺规作图，完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴B´C=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．
15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图
过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．
即PQ∥l
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是
（ ）．
A． B． C． D．
17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知
∠CBD=（ ）
A．80° B．60° C．45° D．50°
18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知： ∠α，直线l及l上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线l的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
20．（2021·吉林·统考一模）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边
长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为
腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8.
题型 06 尺规作图-作角平分线
21．（2021·山东青岛·统考一模）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上
的高为a．
22．（2023·吉林长春·校联考一模）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作
图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
1
A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD= AD
2
24．（2023·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
25．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
题型 07 尺规作图-作垂直平分线
26．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分
1
别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE= AE=1，则CD＝ ．
3
27．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
1
∠B=20°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，
2
交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
28．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为
1
圆心，大于 AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接
2
DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
题型 08 尺规作图-作三角形的中线与高
29．（2021·江西·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度
直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作△ABC的高AM；
（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）
30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐标系中，画出点A(0,2)，点B(4,0)，点C与点A关于x
轴对称．
（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．
（2）求出△ABE的面积．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
31．（2022·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图
法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
题型 09 尺规作图- 画圆
32．（2022·福建·一模）如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．
(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
(2)在（1）的条件下，已知∠BOC=α，将线段AB绕点A逆时针旋转α后与⊙O交于点E．试证明：B、
C、E三点共线．
33．（2022·山东青岛·校考二模）已知：△ABC．．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上，
34．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图求
作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
35．（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．
(1)过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．
36．（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
题型 11 尺规作图-找圆心
37．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上
的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)在△ABC中，连接AO交BC于点E，连接OB，当AB=AC=10cm,BC=16cm时，求图片的半径R；
25
(3)若直线l到圆心的距离等于 ，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
3
38．（2021·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点
A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
题型 12 尺规作图-作外接圆
39．（2023·江西·统考二模）如图，一个含有30°角的直角三角形内接于圆，点D是AC上的点，
AD=2DC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作直角三角形的外心O；
(2)在图2中作直角三角形的内心H．
40．（2022·福建龙岩·校联考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)作Rt△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，过点C作⊙O的切线CD，求证：∠A＝∠DCB．
题型 13 尺规作图-作内切圆
42．（2023·陕西渭南·校考一模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法作出△ABC的内切圆⊙O. (只
保留作图痕迹，不写作法和证明)
题型 14 尺规作图-作圆内接正多边形
43．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出
⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
44．（2019·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要
求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
45．（2018·山西太原·统考一模）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
题型 15 尺规作图-格点作图
46．（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图
痕迹．
1
(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的 ．
2
1
(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 ．
2
(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．
47．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请
仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)在图1中作出AB边上的点E，使得BE=4 AE；
(2)在图2中作出AC边上的点F（不与点A重合），连接DF，使得DF=BD；
3
(3)在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠BCG= ．
4
48．（2023·江苏宿迁·模拟预测）用无刻度直尺作图：
(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45°；
(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；
(3)如图2，在BC上作点N，使CN=5BN；
(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC．
题型 16 判断是否命题
49．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知直线l和直线l外一点P，下列说法不正确的是
（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线l平行
B．过点P有且只有一条直线与直线l垂直
C．在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D．过点P作直线l的垂直平分线，只能作一条
50．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）以下不是命题的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题
C．画线段AB=5cm D．全等三角形对应角相等
题型 17 判断命题真假
51．（2023·江苏泰州·统考一模）下列4个命题中，真命题是（ ）
A．正五边形是中心对称图形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．同位角相等
1
D．函数y= 中，y随x的增大而减小
x
52．（2021·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）命题“如果x= y，那么x2= y2”的逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
53．（2023·湖南娄底·统考一模）下列命题中是假命题的是（ ）
A．同位角相等 B．单项式3a2b的次数是3
C．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直
54．（2023·广东深圳·校考模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．若三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．相等的弧所对的弦相等
D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0
55．（2022·北京海淀·校考模拟预测）下列命题中的假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形
B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形
C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形
D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 18 举反例说明命题为假命题
56．（2020·北京东城·二模）判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，只需举出一个反例，反
例中的n可以为（ ）
1 1
A． B．− C．0 D．−2
2 2
57．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，
CE是△ABC的中线．要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个
三角形是（ ）
A．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC
C．△CDE和△BCD D．△ACD和△BCD
58．（2023·浙江杭州·校联考二模）能说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是
．
59．（2023·江苏无锡·校考二模）能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，
b的值可以是 ．
题型 19 写出命题的逆命题
60．（2023·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等
61．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等
62．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题是
．
63．（2023·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果|a|>|b|，那么a>b”的逆命题是 ．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
64．（2023·安徽宿州·统考一模）命题“如果√3 a+√3 b=0，那么a+b=0”的逆命题为 ．
题型 20 反证法证明中的假设
65．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之
一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设
（ ）
A．a∥b B．c∥b C．a与b相交 D．a与c相交
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a//b”时，应先假设
（ ）
A．a与b不平行 B．a⊥b C．a，b都不垂直于c D．a不垂直于c
67．（2018·江苏泰州·统考一模）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第
一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
题型 21 用反证法证明命题
68．（2019·河北唐山·校联考一模）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证
法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
69．（2020·河北·校联考二模）求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若AB//CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF=∠EO'D
以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A'OF=∠EO'D，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②依据理论依据1，可得A'B'//CD，
③假设∠AOF≠∠EO'D，
④∴∠AOF=∠EO'D．
⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
70．（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么√32不是有理数”，完成问题．
证明：假设√32是有理数，
n
那么存在两个互质的正整数n，m，使得√32=
，则___________．
m
∵n3是2的倍数，
∴____________________，
可设n=2t（t为正整数），则n3=8t3，
∴_____________，即4t3=m3，
∴__________________，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即√32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①8t3=2m3； ②n3=2m3； ③m是2的倍数； ④n是2的倍数．
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧在
2
∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG=4，GD=5，则CH
的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角
1
的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内
2
一点P，连接OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若
∠AOB=60°，OP=6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．12√3cm2 B．6√3cm2 C．3√3cm2 D．2√3cm2
3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于 DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并
2
延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）
A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠DGB=∠EGC D．AG=AC
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
4．（2023·海南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC
2
的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为
（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，
1
大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画
2
1
弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接
2
AM，AM和CD交于点N，连接ON若AB=9,AC=5，则ON的长为（ ）
5 9
A．2 B． C．4 D．
2 2
6．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，
1
以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，
2
作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．∠BCE=36° B．BC=AE
BE √5−1 S √5+1
C． = D． △AEC =
AC 2 S 2
△BEC
7．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，以点A为圆心，
1
适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，
2
两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
3 3 4 5
A． B． C． D．
5 4 3 3
8．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3．按下列步骤
作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA,DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以
1
大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
2
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列
结论不一定正确的是（ ）
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．AD=AE B．AD=DF C．DF=EF D．AF⊥DE
10．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，
AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若CD=BE，则∠DCB=∠EBC B．若∠DCB=∠EBC，则CD=BE
C．若BD=CE，则∠DCB=∠EBC D．若∠DCB=∠EBC，则BD=CE
11．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心
对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2023·四川达州·统考中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=3:4:5，则△ABC是直角三角形
13．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）下列命题：
①a3 ⋅a2=a5；
②−π>−3.14；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
14．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于 AB
2
的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP=35°，则A´B的长l= （结果保留π）．
15．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长
1
为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，
2
作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
16．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，
小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线EB于点M，交射线EF于点N；
1
（2）分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BEF内交于点P；
2
（3）作射线EP交直线CD于点G；若∠EGF=29°，则∠BEF= 度．
17．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于
圆，且顶点A，B均在格点上．
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）线段AB的长为 ；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使
△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以
点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，
交DB于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'：④过点N'作
BE
射线DN'交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4:21，则 的值为 ．
CE
三、解答题
19．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接FB，若∠D=140°，求∠CBF的度数．
20．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
(1)求证：AC=AD；
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标
明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若∠ABC=60°,AB=4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
22．（2023·山东青岛·统考中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．
23．（2023·青海·统考中考真题）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥BE.
(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线
段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出△ABE，且AB=BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
是点M，点D的对应点是点N），连接EN，请直接写出线段EN的长．
25．（2023·江西·统考中考真题）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
(2)在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
26．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长
均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按
下列要求作△ABC，点C在格点上．
9
(1)在图①中，△ABC的面积为 ；
2
(2)在图②中，△ABC的面积为5
5
(3)在图③中，△ABC是面积为 的钝角三角形．
2
27．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成
4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问
题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∠P OA=45°
1
①在CB上取点P ，使CP =4． ，点P 表示
1 1 1
45°．
∠P OA=30°
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC 2
，点P 表示
交于点P ． 2
2 30°．
③分别以O,P 为圆心，大于OP 长
2 2
度一半的长为半径作弧，相交于点 …
E,F，连结EF与BC相交于点P ．
3
④以P 为圆心，OP 的长为半径作
2 2
弧，与射线CB交于点D，连结OD交 …
AB于点P ．
4
(1)分别求点P ,P 表示的度数．
3 4
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P ，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
5
29
