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第 29 讲 尺规作图与定义、命题、定理
目 录
题型01 尺规作图-作线段
题型02 尺规作图-作一个角等于已知角
题型03 尺规作图-尺规作角的和、差
题型04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
题型05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
题型06 尺规作图-作角平分线
题型07 尺规作图-作垂直平分线
题型08 尺规作图-作三角形的中线与高
题型09 尺规作图- 画圆
题型10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
题型11 尺规作图-找圆心
题型12 尺规作图-作外接圆
题型13 尺规作图-作内切圆
题型14 尺规作图-作圆内接正多边形
题型15 尺规作图-格点作图
题型16 判断是否命题
题型17 判断命题真假
题型18 举反例说明命题为假命题
题型19 写出命题的逆命题
题型20 反证法证明中的假设
题型21 用反证法证明命题
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题型 01 尺规作图-作线段
1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
【答案】见解析
【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．
【详解】解：如图所示：△ABC为所求．
注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取AB=m；
（4）作BC=n．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段a．
求作：矩形ABCD，使对角线的长为a，夹角为∠α．
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】见解析
【分析】根据矩形的性质及线段、角及线段中点的作图方法作图即可．
【详解】作法：
①作直线MN与PQ交于点O，使∠QON=∠α
1
②分别以线段a的两端G、H为圆心，以大于 a长度为半径画弧，两弧交于点E、F，连接EF，交线段a于
2
1
点KG= a
2
1
③以点O为圆心，以 a 长为半径画弧，分别交OM、OP、ON、OQ与点A、B、C、D
2
④连接A、B、C、D
则四边形ABCD即为所求作的矩形．
【点睛】本题考查了线段的作图、角的尺规作图以及矩形的性质，熟练掌握作图的步骤以及矩形的性质是
解题的关键．
3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
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【答案】作图见详解
1
【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AR、AK于点B、C，再以BC为圆心，以大于 BC的长
2
度为半径作弧，交于点D，连接AD并延长，即为∠RAK的平分线；以点A为圆心，a的长度为半径作弧，
交AD于点O，点O即为所求圆的圆心；以点O为圆心，任意长为半径作弧，交AR于点E、F，再分别以E、
1
F为圆心，以大于 EF的长度为半径作弧，交与点G，连接OG并延长，交AR于点H，最后以O为圆心，OH
2
长为半径作圆即为所要求的⊙O．
【详解】解：作图如下：
【点睛】本题主要考查了尺规作图-复杂作图，涉及的知识点包括利用尺规作图作角平分线、作垂线、作
线段等于已知线段等，解题关键是熟练掌握尺规作图基本方法．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°．
求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．
作法：如图2，
①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b；
②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；
③连接BC，DC．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB=DC=a，AD= =b，
∴四边形ABCD是平行四边形( )(填推理的依据)．
∵∠MAN=90°，
∴四边形ABCD是矩形( )(填推理的依据)．
【答案】(1)见解析
(2)BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求；
（2）证明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∵∠MAN=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 02 尺规作图-作一个角等于已知角
5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，
直接判断即可．
【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行
判断．
6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．
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【答案】见解析
【分析】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．
【详解】解：如图，Rt△ABC为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上
求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
题型 03 尺规作图-尺规作角的和、差
8．（2022下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，
使∠AOB=∠α−∠β．
【答案】见解析
【分析】如图，作∠AOC=α，在∠AOC的内部作∠BOC=β，∠AOB即为所求．
【详解】解：如图，∠AOB即为所求．
．
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使
∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据做一个角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺规作
∠AOB=∠α+∠β即可解答．
【详解】解：如图所示∠AOB=∠α+∠β，
【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解
题的关键．
10．（2020下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标
明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径
作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射
线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：
∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
11．（2023下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点A，
(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可；
（2）以点B为圆心，已任意长为半径画弧，交AB于点F，交BC于点G，再以点G为圆心，以FG长为半
径，在BC的下方画弧，与之前的弧交于点H，再以点H为圆心，以FG长为半径，在点H下方画弧，与第
一个弧交于点K，连接BK，并延长至点D，即可得出∠CBD=2∠ABC．
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【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．
（2）解：如图，∠CBD即为所求，
【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
题型 04 尺规作图-过直线外一点作这条线的平行
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图
痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，
则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，
故选A．
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【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，
CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据AB=a，点B在射线AK上，过点A作AB=a；根据等边三角形性质，得
AB=BC=AC，分别过点A、B，a为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得
到答案；
（2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S'，根据平行线和相似三角形的性质，得
AD AD
= ，从而得S'D=SD，即可完成证明．
S'D SD
【详解】（1）作图如下：
四边形ABCD是所求作的四边形；
（2）设直线BC与AD相交于点S，
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∵DC//AB，
∴△SBA∽△SCD，
SA AB
∴ =
SD DC
设直线PQ与AD相交于点S'，
S' A PA
同理 = ．
S'D QD
∵P，Q分别为AB,CD的中点，
1 1
∴PA= AB，QD= DC
2 2
PA AB
∴ =
QD DC
S' A SA
∴ = ，
S'D SD
S'D+AD SD+AD
∴ = ，
S'D SD
AD AD
=
∴ ，
S'D SD
∴S'D=SD，
∴点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键
是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．
14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
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②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
根据尺规作图，完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴B´C=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．
【答案】A´P，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行
【分析】连接BP，由圆中等弦对等弧，根据圆周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根据平行线的判定定理：
内错角相等，两直线平行即可得到结论．
【详解】证明：连接BP，如图所示：
∵BC=AP，
∴B´C=A´P，
∴∠ABP=∠BPC（等弧所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查尺规作图与几何证明综合，涉及到尺规作图、圆的性质、圆周角定理和平行线的判定，
熟练掌握尺规作图及内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．
15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图
过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
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求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．
即PQ∥l
【答案】(1)见解析
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．
【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可；
（2）利用平行四边形的性质与判定证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线PQ就是所求作的直线．
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（2）证明：∵ PA=QB，AB=PQ
∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴ PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）．
即PQ//l．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
题型 05 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项
错误；
B、根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，∠ACB=∠CBD，
根据角平分线的作法可知，∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
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D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知
∠CBD=（ ）
A．80° B．60° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵AB=AC，
1 1
∴∠ABC=∠ACB= (180°−∠A)= (180°−50°)=65°．
2 2
由作图痕迹可知BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=65°．
∴∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=180°−65°−65°=50°．
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．
18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
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【答案】C
【分析】观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件.
【详解】解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,
故已知条件为：两角及夹边，
故选C.
【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.
19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知： ∠α，直线l及l上两点 A， B．
求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线l的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
【答案】见解析
【分析】先作∠DAB=α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．
【详解】解：如图，△ABC为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（2021·吉林·统考一模）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边
长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；
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（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为
腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【分析】（1）由题可知，点B满足BA=BC,∠ABC=90°这两个条件，BA=BC说明点B在AC的垂直平
分线上，∠ABC=90°说明点B在以AC为直径的圆上，故可作AC的垂直平分线及以AC为直径的圆，其交
点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以C为圆心，AC为半径作圆，交于一格点D，经计算
△ACD的面积为8，故点D即为所求.
【详解】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解
题的关键.
题型 06 尺规作图-作角平分线
21．（2021·山东青岛·统考一模）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上
的高为a．
【答案】见解析
【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交∠MAN的两
边于B，C．
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【详解】作法：(1)作∠MAN=∠α，
(2)作∠MAN的平分线AP，并在射线AP上截取AD=a，
(3)过点D作直线BC⊥AD分别交∠MAN的两边于B，C，
则△ABC为所求的三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知
点作垂线的尺规作图．
22．（2023·吉林长春·校联考一模）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：OA=OC,AB=BC，
又∵OB=OB，
∴△OAB≅△OCB，
∴∠AOB=∠COB，
∴OB平分∠AOC．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
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由作图可知：OA=OB,OC=OD，
又∵∠COB=∠AOD，
∴△OBC≅△OAD，
∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，
∴AC=BD，
∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，
∴△AEC≅△BED，
∴AE=BE，
∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，
∴△OAE≅△OBE，
∴∠AOE=∠BOE，
∴OE平分∠AOB．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，
∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，
∴∠DOB=∠CDO，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD平分∠AOB．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
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由作图可知：OA=BC,OC=AB，
又∵OB=OB，
∴△AOB≅△CBO，
∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
23．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作
图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
1
A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD= AD
2
【答案】D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
1
∴∠ABC=∠ACB= （180°-36°）=72°，
2
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
2
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
1
没有条件能证明CD= AD，故选项D不成立；
2
故选：D．
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【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24．（2023·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，
2 2
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
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【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的
判定与性质是解答本题的关键．
25．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四边
形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，
∵AB=BC，
∴AB=EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCE为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以
及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
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题型 07 尺规作图-作垂直平分线
26．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分
1
别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE= AE=1，则CD＝ ．
3
【答案】√6
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明AE=BE,AD=BD, 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
1
【详解】解：∵ CE= AE=1，
3
∴AE=3,AC=4,
如图，连结BE,
由作图可得：MN是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=3,AD=BD,
∵∠ACB=90°,
∴BC=√32−12=2√2,
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∴AB=√42+(2√2) 2=2√6,
1
∴CD= AB=√6.
2
故答案为：√6
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基
本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
27．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
1
∠B=20°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，
2
交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ．
【答案】50°/50度
【分析】根据作图可知DA=DB，∠DAB=∠B=20°，根据直角三角形两个锐角互余，可得
∠CAB=70°，根据∠CAD=∠CAB−∠DAB即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=70°，
由作图可知MN是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴ ∠DAB=∠B=20°，
∴ ∠CAD=∠CAB−∠DAB =70°−20°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分
析得出MN是AB的垂直平分线，是解题的关键．
28．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为
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1
圆心，大于 AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接
2
DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】(1)垂直平分线
(2)见详解
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；
（2）由题意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF，然后可证△AOF≌△AOE，则有
OF=OE，进而问题可求证．
【详解】（1）解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴∠AOF=∠AOE=90°,AO=DO,AF=DF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAO=∠EAO，
∵AO=AO，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴OF=OE，
∵AO=DO，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线
段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
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题型 08 尺规作图-作三角形的中线与高
29．（2021·江西·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度
直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作△ABC的高AM；
（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）格点△ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高
AM；
（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1
格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF⊥AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那
么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE⊥AC交AC与点D，又三角形的三条高所在
的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．
【详解】（1）如图1，∵格点△ABC中AB=AC且垂直，
∴以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM⊥BC
（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线
∴过点C且是4×1格的对角线即为如图所示的CF，
∴CF⊥AB
同理AC是4×3格的对角线，
∴过点B且是3×4格的对角线即为如图所示的BE
∴BE⊥AC
∵三角形的三条高所在的直线交于一点
∴连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．
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【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，
利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直；三角形的三
条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键．
30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐标系中，画出点A(0,2)，点B(4,0)，点C与点A关于x
轴对称．
（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．
（2）求出△ABE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）标出点A(0,2)，点B(4,0)，依据轴对称的性质，即可得到点C，依次连结，再利用中点坐
标公式得出E点坐标，画出AE即可；
（2）根据三角形面积计算公式，即可得到△ABE的面积S的值．
【详解】解：∵点C与点A关于x轴对称且A(0,2)，
∴C(0,−2)
如下图所示，依次在图中画出点A、点B与点C并连接即可，
又∵ AE是BC边上的中线，
∴E(2,−1)
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如图所示，连接AE即可；
1 1 1
（2）S = S = × ×4×4=4
△ABE 2 △ABC 2 2
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系基础，解题的关键是学会利用轴对称性质求坐标及面积．
31．（2022·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图
法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】根据CD=2BD，可得S =2S ，，在边AC上找一点P，使△PAD的面积等于△BAD的面
△ADC △ABD
积，即找到AC的中点即可，即作AC的垂直平分线交AC于点P，点P即为所求．
【详解】如图，点P即为所求，
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，作垂直平分线，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．
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题型 09 尺规作图- 画圆
32．（2022·福建·一模）如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．
(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
(2)在（1）的条件下，已知∠BOC=α，将线段AB绕点A逆时针旋转α后与⊙O交于点E．试证明：B、
C、E三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要作AB的垂直平分线，其与AC的交点即为圆心O，由此作图即可；
1 1
（2）先由圆周角定理求出∠BAC= α，再由旋转的性质求出∠CAE= α，从而得到∠COE=α，证明
2 2
△OBC≌△OEC得到∠OCE=∠OCB=90°，则∠OCB+∠OCE=180°，即可证明B、C、E三点共线．
【详解】（1）解：如图所示，圆O即为所求；
（2）解：如图所示，连接CE，OE，
∵∠BOC=α，
1 1
∴∠BAC= ∠BOC= α，
2 2
由旋转的性质可知∠BAE=α，
1
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC= α，
2
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∴∠COE=2∠CAE=α，
在△OBC和△OEC中，
¿，
∴△OBC≌△OEC（SAS），
∴∠OCE=∠OCB=90°，
∴∠OCB+∠OCE=180°，
∴B、C、E三点共线．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，画圆，圆周角定理，旋转的性质，全等三角形的性
质与判定等等，熟知性格知识是解题的关键．
33．（2022·山东青岛·校考二模）已知：△ABC．．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上，
【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即
O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
如下图所示：
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【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
34．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图求
作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BC于点P，以P为圆心，BP为半径作⊙P即可．
【详解】解：如图，⊙P即为所求作．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型 10 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
35．（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．
(1)过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作OP的垂直平分线，交OP于一点，再以这个点为圆心，以该点到O点的距离为半径画
弧线交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可；
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（2）先证明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，从而证得PI平分∠APB，进一步得
到OP垂直平分AB，再证明∠OAD=∠API，最后根据∠OAI=∠OIA证得∠DAI=∠PAI，得到AI平
分∠BAP，即可证得点I是△ABP的内心．
【详解】（1）解：如图所示，PA，PB圆为所求作的⊙O的两条切线，
其中切点分别为A，B．
（2）证：连接AI,BI,OA,OB，记AB与OP的交点为D．
由（1）得PA,PB都是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥PA,OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴∠OAD+∠DAP=90°．
∵OA=OB,OP=OP，
∴RtΔAOP≌RtΔBOP，
∴PA=PB,∠API=∠BPI，
即PI平分∠APB，
∴点O，P在线段AB的垂直平分线上，
即OP垂直平分AB．
∴∠ADP=90°，
∴∠OAD+∠API=90°，
∴∠OAD=∠API．
∵OA=OI，
∴∠OAI=∠OIA，
即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，
∴∠DAI=∠PAI，
即AI平分∠BAP，
∴点I是△ABP的内心．
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【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．
36．（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
【答案】见解析
【分析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作⊙P，再过D点作AB的垂线交⊙P于Q
点，接着在AC上截取AF=AQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，
OF为半径作圆即可．
【详解】如图，⊙O为所作．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
题型 11 尺规作图-找圆心
37．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上
的三点A，B，C．
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(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在△ABC中，连接AO交BC于点E，连接OB，当AB=AC=10cm,BC=16cm时，求图片的半径R；
25
(3)若直线l到圆心的距离等于 ，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
3
【答案】(1)见解析
25
(2) cm
3
(3)相切
【分析】（1）分别作AB、AC的垂直平分线，二者的交点O即为圆心；
（2）根据题意可得AE⊥BC，则BE=CE=8cm，利用勾股定理求出AE=6cm，进而利用勾股定理求出
半径R即可；
（3）根据直线到圆的距离等于半径，即可知直线l与圆相切．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）解：∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
1
∴BE=CE= BC=8cm，
2
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在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√AB2−BE2=6cm，
∴OE=OA−AE=(R−6)cm，
在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，
∴R2=82+(R−6) 2，
25
解得R= ，
3
25
∴所求圆的半径为 cm；
3
25 25
（3）解：∵直线l到圆心的距离等于 ，且圆的半径为 ，
3 3
∴直线l与圆相切，
故答案为：相切．
【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等等，灵活运用所
学知识是解题的关键．
38．（2021·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点
A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
3
【答案】（1）答案见解析；（2）①(6,2)，(2,0)，②2√5；（3） ．
5
【分析】（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是
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D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用△AOC的面积等积转换求得AM的
长度，然后在Rt△AMC中利用正弦函数的定义求得∠ACO的正弦值．
【详解】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝√OD2+AO2=√22+42=2√5，
故答案为：2√5；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
1 1 1 1
则 OA•CH＝ OC•AM，即 ×4×6＝ ×2√10•AM，
2 2 2 2
6√10
解得，AM＝ ；
5
6√10
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝AM 5 3．
= =
AC 2√10 5
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；
利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
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题型 12 尺规作图-作外接圆
39．（2023·江西·统考二模）如图，一个含有30°角的直角三角形内接于圆，点D是AC上的点，
AD=2DC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作直角三角形的外心O；
(2)在图2中作直角三角形的内心H．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形外心的性质，直角三角形的外心在斜边上，且与斜边的中点重合，即可得到答
案；
（2）根据三角形内心的定义：三角形的内心为三条角平分线的交点，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1，点O即为所求，
，
连接BD并延长与圆交于点E，延长AE、BC交于点F，连接DF与AB交于点O，点O即为所求；
（2）解：如图2，点H即为所求，
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连接BD并延长与圆交于点G，延长AG、BC交于点M，连接DM与AB交于点O，延长MO与圆交于点
N，连接CN与BG交于点H，点H即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—直角三角形的内心、外心，熟练掌握三角形内心、外心的定义与性质，
是解题的关键．
40．（2022·福建龙岩·校联考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
(1)作Rt△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，过点C作⊙O的切线CD，求证：∠A＝∠DCB．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知，Rt△ABC外接圆的圆心为线段AB的中点，作AB的垂直平分线MN，MN与
AB的交点即为圆心O，然后以OA为半径画圆即可，如图1所示；
（2）如图2，由题意知∠OCD=90°，∠ACB=90°，可求∠ACO=∠DCB，由等边对等角得
∠A=∠ACO，进而结论得证．
【详解】（1）解：由题意知，Rt△ABC外接圆的圆心为线段AB的中点，作AB的垂直平分线MN，MN
与AB的交点即为圆心O，然后以OA为半径画圆即可，如图1所示，
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（2）证明：如图2，
由题意知∠OCD=90°，∠ACB=90°
∵∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠DCB=90°
∴∠ACO=∠DCB
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠DCB．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，三角形的外接圆，切线的性质，直径所对的圆周角为90°，等边
对等角等知识．解题的关键在于画出直角三角形的外接圆．
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题型 13 尺规作图-作内切圆
42．（2023·陕西渭南·校考一模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法作出△ABC的内切圆⊙O. (只
保留作图痕迹，不写作法和证明)
【答案】见解析
【分析】作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过O点作OH⊥BC于H点，再以O点为圆心，
OH为半径作圆，则⊙O为△ABC的内切圆．
【详解】解：作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过O点作OH⊥BC于H点，再以O点为圆
心，OH为半径作圆，如图，
则⊙O为所作．
【点睛】本题主要考查了复杂作图、三角形的内切圆与内心等知识点，熟悉基本几何图形的性质，结合几
何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键．
题型 14 尺规作图-作圆内接正多边形
43．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出
⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
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【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为⊙O的直径，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是⊙O的内接正方形．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
44．（2019·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要
求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）取BF＝CH＝AD构成等边三角形；
（3）作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【详解】（1）如图所示：点O即为所求．
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（2）如图所示，等边△DFH即为所求；
（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
45．（2018·山西太原·统考一模）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，A´B=B´C=C´D=D´E=E´F=A´F，则判
断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
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（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴A´B=B´C=C´D=D´E=E´F=A´F，
∴B´C+C´D+D´E=E´F+A´F+A´B，
∴BA´E=BC´E，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
题型 15 尺规作图-格点作图
46．（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图
痕迹．
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1
(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的 ．
2
1
(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 ．
2
(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的性质，寻找点D，使点D为线段AC的中点，连接BD即可；
（2）仿照（1）的方法，利用网格线与三角形各边的交点找到三边的中点，再连接一个中点与三角形的顶
点构成一条中线，连接另两个中点构成一条中位线，中线与中位线相交于点E，连接AE、BE；
（3）仿照（1）的方法，利用三角形的边与网格线的交点找到AB、AC的中点，然后构造两条三角形的
中线，两条中线的交点为F，连接AF、BF、CF．
【详解】（1）如图1中，点D即为所求．
图1
（2）如图2中，点E即为所求．
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图2
（3）如图3，点F即为所求．
图3
【点睛】本题考查了利用网络线与三角形各边的交点寻找线段中点的方法，涉及三角形全等的判定与性质、
中位线定理、三角形面积计算，解题的关键是能综合运用这些知识点．
47．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请
仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中作出AB边上的点E，使得BE=4 AE；
(2)在图2中作出AC边上的点F（不与点A重合），连接DF，使得DF=BD；
3
(3)在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠BCG= ．
4
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
(3)见解析
AF 1
【分析】（1）构造线段AF∥BD，且使 = ，连接DF，交AC于点E．利用相似三角形的性质即可证
BD 4
明点E是符合条件的点；
（2）过点A作AM⊥BC，交BC于点F．连接DF，利用直角三角形的性质可证明点F是符合条件的点；
（3）取格点K，连接BK，交网格线于点G，连接GC，取格点M，N，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、
锐角三角函数可以证得点G是符合条件的点．
【详解】（1）解：如图所示，取AF=1，BD=4，连接DF，交AC于点E．
∵AF∥BD，
∴△AFE∼△BDE
AE AF 1
∴ = = ，
BE BD 4
∴BE=4 AE，
∴点E就是所求作的符合条件的点．
（2）解：如图所示，过点A作AM⊥BC，交BC于点F，连接DF，
∵AM⊥BC于点F，
∴∠AFB=90°，
∵点D是AB的中点，
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1
∴DF= AB，
2
∴DF=BD，
∴点F就是所求作的符合条件的点．
（3）解：如图所示，取格点K，连接BK，交网格线于点G，连接GC，取格点M，N，
∵∠KNG=∠BMG=90°，∠KGN=∠BGM，
∴△KNG∼△BMG，
KG KN 1
∴ = = ，
BG BM 3
∵BC=√12+42=√17，BK=√12+42=√17，KC=√32+52=√34，
∴BC2+BK2=KC2，
∴∠CBK=90°，
3
∴在Rt△CBG中，BG= BC，
4
BG 3
∴tan∠BCG= = ；
BC 4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解
题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键．
48．（2023·江苏宿迁·模拟预测）用无刻度直尺作图：
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(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45°；
(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；
(3)如图2，在BC上作点N，使CN=5BN；
(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）作一个网格的对角线MN交AB于点E，连接CE，则点E即为所求；
（2）取（1）中CE交一格点P，过点P作PQ平行CF（1×2网格对角线），且PQ=CF=√5，连接FQ交
AB于点D，则点D即为所求；
（3）取格点G，连接AG，则AG与BC的交点即为点N；
（4）取格点P、Q，连接PQ（2×3网格的对角线）交点B所在的水平网格线于点E，连接CE交AB于点
M，则点M即为所求．
【详解】（1）解，如图，点E即为所求；
证明：网格中，AB是4×4网格的对角线，
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∴∠ABC=45°，
由勾股定理可得：AC=√22+52=2√5，
由作法可知：AE是一个网格对角线的2.5倍，即2.5√2，
AC 2√5 √10 AE 2.5√2
∴ = = = = ．
AB 4√2 4 AC 2√5
又∵∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠ACE=∠ABC=45°；
（2）解：如图，点D即为所求；
证明：由作法知PQ∥CF，PQ=CF=√12+22=√5，
∴四边形PCFQ是平行四边形，
∴FD∥CE，
∴∠AFD=∠ACE，
由（1）知：∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠AFD=∠ABC．
又∵∠AFD+∠A+∠ADF=∠ABC+∠A+∠ACB=180°，
∴∠ADF=∠ACB；
（3）解：如图，点N即为所求．
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证明：由作法知BG∥AC，BG=1，AC=5，
∴△BNG∽△CNA，
BN BG 1
∴ = = ，即CN=5BN；
CN AC 5
（4）解：如图，点M即为所求．
证明：在点P的下方取格点D、F，PD=1，PF=3，QF=2，BD=3，连接CD，如上图，
∴∠ACD=∠ABD=45°，CD=√2．
∵DE∥FQ，
∴△PDE∽△PFQ，
DE PD 1
∴ = = ，
FQ PF 3
1 2
∴DE= FQ= ，
3 3
CD ED √2
∴ = = ，
BD CD 3
又∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
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∴∠ACD+∠DCE=∠ABD+∠DBC，即∠ACM=∠ABC．
【点睛】本题主要考查了网格作图、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的
关键是学会利用数形结合思想解决问题．
题型 16 判断是否命题
49．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知直线l和直线l外一点P，下列说法不正确的是
（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线l平行
B．过点P有且只有一条直线与直线l垂直
C．在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短
D．过点P作直线l的垂直平分线，只能作一条
【答案】D
【分析】根据垂线的定义和垂线的性质及平行线的判定对各小题分析判断即可得解．
【详解】A、过点P有且只有一条直线与直线l平行，故正确，不符合题意；
B、过点P有且只有一条直线与直线l垂直，故正确，不符合题意；
C、在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短，故正确，不符合题意；
D、直线没有垂直平分线，故错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．
50．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）以下不是命题的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题
C．画线段AB=5cm D．全等三角形对应角相等
【答案】C
【分析】利用命题的定义进行判断即可确定正确的选项．
【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题，不符合题意；
B、定理一定是真命题，是命题，不符合题意；
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C、画线段AB=5cm，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
D、全等三角形对应角相等，是命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题的定义，解题的关键是了解“对一件事情作出判断的句子”是命题，难度不大．
题型 17 判断命题真假
51．（2023·江苏泰州·统考一模）下列4个命题中，真命题是（ ）
A．正五边形是中心对称图形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．同位角相等
1
D．函数y= 中，y随x的增大而减小
x
【答案】B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据正五边形的
性质、平行四边形的判定、平行线的性质、反比例函数的性质判断即可，解题的关键是要熟练掌握以上知
识的应用．
【详解】解：A、正五边形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
1
D、函数y= 中，在每个象限，y随x的增大而减小，故本选项说法是假命题，不符合题意；
x
故选：B．
52．（2021·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）命题“如果x= y，那么x2= y2”的逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【分析】本题主要考查了命题与定理，先写出原命题的逆命题，再判定逆命题的真假即可．
【详解】解：命题“如果x= y，那么x2= y2”的逆命题是“如果x2= y2，那么x= y “，逆命题是假命题，
故答案为：假．
53．（2023·湖南娄底·统考一模）下列命题中是假命题的是（ ）
A．同位角相等 B．单项式3a2b的次数是3
C．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直
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【答案】A
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据平行线的性质，单项式的概念，线段的性质，菱形的性质
逐项判断即可．
【详解】因为同位角不一定相等，所以A是假命题，符合题意；
因为单项式3a2b的次数是2+1=3，所以B是真命题，不符合题意；
因为两点之间线段最短，所以C是真命题，不符合题意；
因为菱形的对角线互相垂直，所以D是真命题，不符合题意．
故选：A．
54．（2023·广东深圳·校考模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．若三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．相等的弧所对的弦相等
D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0
【答案】D
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题；
B、若在同一平面内，三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b，此选项说法错误，是假命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题；
D、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0，此选项说法正确，是真命题；
故选：D．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟
悉课本中的性质定理．
55．（2022·北京海淀·校考模拟预测）下列命题中的假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形
B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形
C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形
D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，以及等边三角形的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，真命题，不符合题意；
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C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；
D、等边三角形既是轴对轴图形，不是中心对称图形，假命题，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题；经过推理论证的真命题称为定理．熟练掌握相关知识是解答的关键．
题型 18 举反例说明命题为假命题
56．（2020·北京东城·二模）判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，只需举出一个反例，反
例中的n可以为（ ）
1 1
A． B．− C．0 D．−2
2 2
【答案】D
【分析】反例中的n满足n<1，使n2−1≥0，从而对各选项进行判断．
【详解】解：当n=−2时，满足n<1，但n2−1=3>0，
所以判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，举出n=−2．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要
说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
57．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，
CE是△ABC的中线．要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个
三角形是（ ）
A．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC
C．△CDE和△BCD D．△ACD和△BCD
【答案】D
【分析】利用含有30°角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，求出△ACE和△BCE的每个
角，可以判断出两个三角形三角不对应相等，对A进行判断；△BCE是等边三角形，△ABC是直角三角形，
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三角不对应相等，对B进行判断；利用AAS证明△CDE≌△CDB，并且两个三角形的三角对应相等，对C
进行判断；在△ACD和△BCD中可求三角对应相等，但是AC≠BC，可对D进行判断．
【详解】解：A、∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°
∵CD⊥AB
∴∠CAD=∠CDB=90°
∴∠BCD=30°，∠ACD=60°
∵ CE是△ABC的中线且∠ACB=90°，
∴AE=CE=BE
∴∠ACE=∠A=30°
∴∠ECD=30°，∠CEB=60°
在△ACE中，∠CAE=∠ACE=30°，∠AEC=120°
在△BCE中，∠CBE=∠CEB=∠BCE=60°，
两个三角形三角不对应相等，故本选项不符合题意；
1 1
B、∵BC= AB，CE=AE=BE= AB
2 2
∴△BCE是等边三角形，
∵△ABC是直角三角形，
∴两个三角形三角不对应相等，也不全等，故本选项不符合题意；
C、在△CDE和△BCD中，
∵∠DCE=∠DCB=30°，∠DEC=∠DBC=60°
又∵∠CDE=∠CDB=90°，且CD=CD，
∴△CDE≌△CDB
故本选项不符合题意；
D、在△ACD和△BCD中，∠A=∠BCD=30°，∠ADC=∠BDC，∠ACD=∠B
两三角形三角对应相等，但AC≠BC，这两个三角形不全等
故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，及含有30°角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，
三角形全等的判定，对命题的正确理解是解答本题的关键．
58．（2023·浙江杭州·校联考二模）能说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是
．
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【答案】X=−5
【分析】当X=−5时，满足X2=(−5) 2=25>16，但是不满足X>4，于是X=−5可以作为说明命题“若
X2>16，则X>4”是假命题的一个反例．
【详解】解：说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是：X=−5，
故答案为：X=−5．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，有些命
题的正确性是用推理证实的，这样的命题叫做定理，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，
一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
59．（2023·江苏无锡·校考二模）能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，
b的值可以是 ．
【答案】a=√3，b=−√3（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一组a，b的值即可．
【详解】解：当a=√3，b=−√3时，
a+b=√3−√3=0，
∴a=√3，b=−√3时，a+b是有理数．
故答案为：a=√3，b=−√3（答案不唯一）．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例．
题型 19 写出命题的逆命题
60．（2023·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】根据逆命题定义得到各选项的逆命题，再判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意，
B选项逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
C选项逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
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D选项逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意，
故选D；
【点睛】本题考查逆命题及命题真假判断，解题的关键是将原命题的结论与题设对调得到逆命题．
61．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等
【答案】A
【分析】先写出各个选项的逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐个进行判断
即可．
【详解】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故A符合题意；
B、逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，是假命题，故B不符合题意；
C、逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题，故C不符合题意；
D、逆命题为“对角线互相平分且相等的四边形是正方形”，是假命题，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是正确写出各个命题的逆
命题，再进行判断．
62．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题是
．
【答案】如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数
【分析】根据逆命题的定义，即可．
【详解】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，
∴命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题为：如果a，b的绝对值相等，那么a，
b互为相反数，
故答案为：如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义．
63．（2023·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果|a|>|b|，那么a>b”的逆命题是 ．
【答案】如果a>b，那么|a|>|b|
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案．
【详解】解：命题“如果||a|>|b|，那么a>b”的逆命题是：如果a>b，那么|a|>|b|．
故答案为：如果a>b，那么|a|>|b|．
【点睛】本题考查的是命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
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64．（2023·安徽宿州·统考一模）命题“如果√3 a+√3 b=0，那么a+b=0”的逆命题为 ．
【答案】如果a+b=0，那么√3 a+√3 b=0
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果√3 a+√3 b=0，那么a+b=0”的逆命题为如果a+b=0，那么√3 a+√3 b=0，
故答案为：如果a+b=0，那么√3 a+√3 b=0．
【点睛】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第
一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
题型 20 反证法证明中的假设
65．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之
一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设
（ ）
A．a∥b B．c∥b C．a与b相交 D．a与c相交
【答案】D
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可
【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，
首先应假设a与c不平行，即a与c相交．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，
要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a//b”时，应先假设
（ ）
A．a与b不平行 B．a⊥b C．a，b都不垂直于c D．a不垂直于c
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设a与b不平行，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑
结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
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67．（2018·江苏泰州·统考一模）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第
一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
【答案】C
【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，
所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD
和EF不平行”.
故选C.
题型 21 用反证法证明命题
68．（2019·河北唐山·校联考一模）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证
法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B<90°，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．
故选：D．
69．（2020·河北·校联考二模）求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若AB//CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF=∠EO'D
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以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A'OF=∠EO'D，
②依据理论依据1，可得A'B'//CD，
③假设∠AOF≠∠EO'D，
④∴∠AOF=∠EO'D．
⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
【答案】D
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】解：假设∠AOF≠∠EO'D，
如图2，过点O作直线A'B'，使∠A'OF=∠EO'D，
∴A'B'//CD，
这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
∴假设不成立，
∴∠AOF=∠EO'D．
故选：D
【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进
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行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．
70．（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么√32不是有理数”，完成问题．
证明：假设√32是有理数，
n
那么存在两个互质的正整数n，m，使得√32=
，则___________．
m
∵n3是2的倍数，
∴____________________，
可设n=2t（t为正整数），则n3=8t3，
∴_____________，即4t3=m3，
∴__________________，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即√32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①8t3=2m3； ②n3=2m3； ③m是2的倍数； ④n是2的倍数．
【答案】②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设√32是有理数，
n
那么存在两个互质的正整数n，m，使得√32= ，则n3=2m3．
m
∵n3是2的倍数，
∴ n是2的倍数，
可设n=2t（t为正整数），则n3=8t3，
∴ 8t3=2m3，即4t3=m3，
∴ m是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即√32不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
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1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长
1
为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧在
2
∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG=4，GD=5，则CH
的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据题意的作图可得BH平分∠ABC，则∠ABH=∠CBH，由AB=AG，可得
∠ABG=∠AGB，从而∠CBH=∠AGB，因此AD∥BC，又AB∥CD，得证四边形ABCD是平行四
边形，得到CD=AB=4．根据AB∥CD和对顶角相等证得∠HGD=∠GHD，从而DH=GD=5，因此
CH=CD+DH即可解答．
【详解】根据题意的作图可得BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠CBH=∠AGB，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4．
∵AB∥CD，
∴∠ABH=∠CHB，
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∵∠ABG=∠AGB，∠AGB=∠HGD，
∴∠HGD=∠GHD，
∴DH=GD=5，
∴CH=CD+DH=4+5=9．
故选：C
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合
运用各个知识是解题的关键．
2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角
1
的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内
2
一点P，连接OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若
∠AOB=60°，OP=6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．12√3cm2 B．6√3cm2 C．3√3cm2 D．2√3cm2
【答案】B
【分析】过P作PM⊥OB于M，再判定四边形PFOE为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求
出面积．
【详解】解：过P作PM⊥OB于M，
由作图得：OP平分∠AOB，
1
∴∠POB=∠AOP= ∠AOB=30°，
2
1
∴PM= OP=3cm，
2
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∴OM=√OP2−PM2=3√3，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形PFOE为平行四边形，∠EPO=∠POA=30°，
∴∠POE=∠OPE，
∴OE=PE，
设OE=PE=x，
在Rt△PEM中，PE2−M P2=EM2，
即：x2−32=(3√3−x) 2 ，
解得：x=2√3，
∴S =OE·PM=2√3×3=6√3(cm)．
四边形OEPF
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的
关键．
3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于 DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并
2
延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）
A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠DGB=∠EGC D．AG=AC
【答案】D
【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG=CG即可．
【详解】根据题中所给的作图步骤可知，
AG是△ABC的角平分线，即∠BAG=∠CAG．
当AB=AC时，又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，
所以△ABG≌△ACG(SAS)，
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所以BG=CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB=∠AGC=90°，
又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，
所以△ABG≌△ACG(ASA)，
所以BG=CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB=∠EGC时，
因为∠BAG=∠CAG，AD=AE，AG=AG，
所以△ADG≌△AEG(AAS)，
所以∠AGD=∠AGE，
又∠DGB=∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB=∠AGE+∠EGC，
即∠AGB=∠AGC．
又∠AGB+∠AGC=90°，
所以∠AGB=∠AGC=90°，
则方法同（2）可得出BG=CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
1
4．（2023·海南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC
2
的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为
（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
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【答案】C
【分析】由作图可得：MN为直线BC的垂直平分线，从而得到BD=CD，则∠DBC=∠C=40°，再由
三角形外角的定义与性质进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：MN为直线BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=40°，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+40°=80°，
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义
与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，
1
大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画
2
1
弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接
2
AM，AM和CD交于点N，连接ON若AB=9,AC=5，则ON的长为（ ）
5 9
A．2 B． C．4 D．
2 2
【答案】A
【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
【详解】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，
∴OB=OC，DN=CN，
1
∴ON= BD，
2
∵AB=9，AC=AD=5，
∴BD=AB−AD=9−5=4，
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1
∴ON= ×4=2．
2
故选：A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，
1
以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，
2
作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE=36° B．BC=AE
BE √5−1 S √5+1
C． = D． △AEC =
AC 2 S 2
△BEC
【答案】C
【分析】由题意得，BC=DC，CE平分∠ACB，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线
求出∠ACE=36°=∠A，得到AE=CE，根据三角形内角和求出∠BEC=72°=∠B，得到CE=BC，
AB BC
即可判断B；证明△ABC∽△CBE，得到 = ，设AB=1,BC=x，则BE=1−x，求出x，即可判断
BC BE
C；过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，由角平分线的性质定理推出EG=EH，即可根据三角形面积
公式判断D．
【详解】解：由题意得，BC=DC，CE平分∠ACB，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵CE平分∠ABC，
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∴∠BCE=36°，故A正确；
∵CE平分∠ABC，∠ACB=72°
∴∠ACE=36°=∠A，
∴AE=CE，
∵∠ABC=72°，∠BCE=36°，
∴∠BEC=72°=∠B，
∴CE=BC，
∴BC=AE，故B正确；
∵∠A=∠BCE,∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
AB BC
∴ = ，
BC BE
设AB=1,BC=x，则BE=1−x，
1 x
∴ = ，
x 1−x
∴x2=1−x，
√5−1
解得x= ，
2
√5−1 3−√5
∴BE=1− = ，
2 2
BE 3−√5
∴ = ，故C错误；
AC 2
过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，
∵CE平分∠ACB，EG⊥BC，EH⊥AC，
∴EG=EH
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1
⋅AC⋅EH
S 2 AC √5+1
∴ △AEC = = = ，故D正确；
S 1 BC 2
△BEC ⋅BC⋅EG
2
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元
二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，以点A为圆心，
1
适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，
2
两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
3 3 4 5
A． B． C． D．
5 4 3 3
【答案】D
【分析】过点D作DM⊥AB于M，由勾股定理可求得AC=4，由题意可证明△ADC≌△ADM，则可得
AM=AC=4，从而有BM=1，在Rt△DMB中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点D作DM⊥AB于M，如图，
由勾股定理可求得AC=√AB2−BC2=4，
由题中作图知，AD平分∠BAC，
∵DM⊥AB，AC⊥BC，
∴DC=DM，
∵AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADM，
∴AM=AC=4，
∴BM=AB−AM=1；
设BD=x，则MD=CD=BC−BD=3−x，
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在Rt△DMB中，由勾股定理得：12+(3−x) 2=x2，
5
解得：x= ，
3
5
即BD的长为为 ；
3
故选：D．
【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利
用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
8．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3．按下列步骤
作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA,DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以
1
大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】先根据作图过程判断DG平分∠ADC，根据平行线的性质和角平分线的定义可得
∠CDG=∠CGD，进而可得CG=CD=3，由此可解．
【详解】解：由作图过程可知DG平分∠ADC，
∴ ∠ADG=∠CDG，
∵ AD∥BC，
∴ ∠ADG=∠CGD，
∴ ∠CDG=∠CGD，
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∴ CG=CD=3，
∴ BG=BC−CG=5−3=2，
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断
出DG平分∠ADC．
9．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列
结论不一定正确的是（ ）
A．AD=AE B．AD=DF C．DF=EF D．AF⊥DE
【答案】B
【分析】根据作图可得AD=AE,DF=EF，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得AD=AE,DF=EF，故A，C正确；
∴A,F在DE的垂直平分线上，
∴AF⊥DE，故D选项正确，
而DF=EF不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
10．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，
AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若CD=BE，则∠DCB=∠EBC B．若∠DCB=∠EBC，则CD=BE
C．若BD=CE，则∠DCB=∠EBC D．若∠DCB=∠EBC，则BD=CE
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【答案】A
【分析】由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由CD=BE，BC=CB，由SSA无法证明△BCD与
△CBE全等，从而无法得到∠DCB=∠EBC；证明△ABE≅△ACD可得CD=BE；证明
△ABE≅△ACD，可得∠ACD=∠ABE，即可证明；证明△DBC≅△ECB(ASA)，即可得出结论．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵若CD=BE，
又BC=CB，
∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，
因此无法得出∠DCB=∠EBC，故A是假命题，
∵若∠DCB=∠EBC，
∴∠ACD=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
¿，
∴△ABE≅△ACD(ASA)，
∴CD=BE，故B是真命题；
若BD=CE，则AD=AE，
在△ABE和△ACD中，
¿，
∴△ABE≅△ACD(SAS)，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DCB=∠EBC，故C是真命题；
若∠DCB=∠EBC，则在△DBC和△ECB中，
¿，
∴△DBC≅△ECB(ASA)，
∴BD=CE，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫
真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
11．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心
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对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．
【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，
故①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．
12．（2023·四川达州·统考中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=3:4:5，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，
∵三角形内角和为180°，
∴3x+4x+5x=180°，
∴x=15°
∴5x=75°，则△ABC为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌
握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
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13．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）下列命题：
①a3 ⋅a2=a5；
②−π>−3.14；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理
可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：①a3 ⋅a2=a5，故①是真命题；
②−π<−3.14，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活
运用相关知识成为解答本题的关键．
二、填空题
1
14．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于 AB
2
的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP=35°，则A´B的长l= （结果保留π）．
7 7π
【答案】 π/
18 18
【分析】先求解∠AOB=2∠BOP=2×35°=70°，再利用弧长公式计算即可．
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【详解】解：由作图知：OP垂直平分AB，
∵OA=OB，
∴∠AOB=2∠BOP=2×35°=70°，
∵扇形的半径是1，
70π×1 7
∴A´B的长= = π．
180 18
7
故答案为： π．
18
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本
题的关键．
15．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长
1
为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，
2
作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
【答案】4
【分析】由尺规作图可知，射线AF是∠BAD的角平分线，由于AD=AE=4，结合等腰三角形“三线合
一”得M是DE边中点，再由MN∥AB，根据平行线分线段成比例定理得到N是边BC中点，利用梯形中
1
位线的判定与性质得到MN= (DC+EB)即可得到答案．
2
【详解】解：由题意可知AD=AE=4，射线AF是∠BAD的角平分线，
∴由等腰三角形“三线合一”得M是DE边中点，
∵ MN∥AB，
BN EM
∴由平行线分线段成比例定理得到 = =1，即N是边BC中点，
NC MD
∴ MN是梯形BCDE的中位线，
1
∴ MN= (DC+EB)，
2
在 ▱ABCD中，CD=AB=6，BE=AB−AE=6−4=2，则MN=4，
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故答案为：4．
【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分
线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性
质是解决问题的关键．
16．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，
小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线EB于点M，交射线EF于点N；
1
（2）分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BEF内交于点P；
2
（3）作射线EP交直线CD于点G；若∠EGF=29°，则∠BEF= 度．
【答案】58
【分析】由作图得EG平分∠BEF，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得
∠BEG=∠EGF=29°，即可获得答案．
【详解】解：由作图得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°．
故答案为：58．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到EG平分∠BEF是解题关键．
17．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于
圆，且顶点A，B均在格点上．
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（1）线段AB的长为 ；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使
△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】(1)√29
(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与
网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长
与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；
（2）取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线
相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB
的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS⊥网格
线，由图可得Rt△AJF≌Rt△BLF(AAS)，根据全等三角形的性质可得Rt△IMF≌Rt△HNF(ASA)和
△AIF≌△BHF(SAS)，根据同弧所对圆周角相等可得A´D=B´K，进而得到∠1=∠2和∠PCQ=60°，再
通过证明△CAP≌△CBQ(ASA)即可得到结论．
【详解】（1）解：AB=√22+52=√29；
故答案为：√29．
（2）解：如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线
相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的
延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS⊥网格线，
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由图可得：∵∠AJF=∠BLF，∠AFJ=∠BFL，AJ=BL，
∴Rt△AJF≌Rt△BLF(AAS)，
∴FJ=FL，AF=BF，
∵MJ=NL，
∴FJ−MJ=FL−NL，即FM=FN，
∵∠IMF=∠HNF，∠IFM=∠HFN，
∴Rt△IMF≌Rt△HNF(ASA)，
∴FI=FH，
∵∠AFI=∠BFH，AF=BF，
∴△AIF≌△BHF(SAS)，
∴∠FAI=∠FBH，
∴A´D=B´K，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠1+∠PCB=60°，
∴∠2+∠PCB=60°，即∠PCQ=60°，
∵ET=GS，∠ETF=∠GSF，∠EFT=∠GFS，
∴Rt△ETF≌Rt△GSF(AAS)，
∴EF=GF，
∵AF=BF，∠AFE=∠BFG，
∴△AFE≌△BFG(SAS)，
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∴∠EAF=∠GBF，
∴∠GBF=∠EAF=∠CBA=60°，
∴∠CBQ=180°−∠CBA−∠GBF=60°，
∴∠CBQ=∠CAB，
∵CA=CB，
∴△CAP≌△CBQ(ASA)，
∴CQ=CP，
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格
线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB
的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解
题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以
点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，
交DB于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'：④过点N'作
BE
射线DN'交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4:21，则 的值为 ．
CE
2
【答案】
3
【分析】根据作图可得∠BDE=∠A，然后得出DE∥AC，可证明△BDE∽△BAC，进而根据相似三角
形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得∠BDE=∠A，
∴DE∥AC，
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∴△BDE∽△BAC，
∵△BDE与四边形ACED的面积比为4:21，
∴
S
△BDC =
4
=
(BE) 2
S 21+4 BC
△BAC
BE 2
∴ =
BC 5
BE 2
∴ = ，
CE 3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
三、解答题
19．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接FB，若∠D=140°，求∠CBF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
1
【分析】（1）分别以点A，点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，交于点M，点N，作直线MN交AB
2
于点E，交AC于点F，连接EF即可；
（2）连接FB，由菱形的性质得到∠ABC=∠D=140°，AB=CB，则∠BAC=∠BCA=20°，由线段
的垂直平分线的性质可得AF=BF，故得到∠ABF=∠BAC=20°，则
∠CBF=∠ABC−∠ABF=120°．
【详解】（1）解：
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（2）解：连接FB，
∵菱形ABCD，
∴ ∠ABC=∠D=140°，AB=CB，
1
∴ ∠BAC=∠BCA= (180°−140°)=20°，
2
∵MN垂直平分AB，
∴ AF=BF，
∴ ∠ABF=∠BAC=20°，
∴ ∠CBF=∠ABC−∠ABF=120°．
【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求
作出边AB的垂直平分线是解题的关键．
20．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
(1)求证：AC=AD；
(2)用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据边角边证明△ABC≌△AED即可证明结论成立；
（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC=AD；
（2）解：所作图形如图，
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．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作
法是解题关键．
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标
明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若∠ABC=60°,AB=4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析
16 4√3
(2) π+
27 9
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DO⊥AC，交AB于点O，以O为圆心，OB
为半径作⊙O，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设⊙O交BC于点E，连接OE，可得△OBE是
等边三角形，进而根据⊙O与△ABC重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
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（2）解：∵∠ABC=60°,AB=4，OD是⊙O的切线，
∴∠A=30°，
1
∴DO=OB= AO，
2
则AO+OB=3OB=4，
4
解得：OB= ，
3
如图所示，设⊙O交BC于点E，连接OE，
∵∠ABC=60°,OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
如图所示，过点E作EF⊥BO于点F，
∴∠OEF=30°
1 1 4
∴OF= OE= ×
2 2 3
在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=
√ (4) 2
−
(1
×
4) 2
=
1
×
4
×√3,
3 2 3 2 3
1 1 4 1 4 √3 (4) 2
∴S = ×OB×EF= × × × ×√3= × ,
△OEB 2 2 3 2 3 4 3
∴∠BOE=60°，则∠AOE=120°，
120 (4) 2 √3 (4) 2 16 4√3
∴⊙O与△ABC重叠部分的面积为 π× + × = π+ ．
360 3 4 3 27 9
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
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22．（2023·山东青岛·统考中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．
【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
23．（2023·青海·统考中考真题）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥BE.
(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）利用基本作图作∠CAE的平分线即可；
（2）先利用AB=AC得到∠B=∠ACB，再根据角平分线的定义得到∠CAD=∠EAD，则利用三角形
外角性质可判断∠EAD=∠B，所以AD∥BC，然后利用AB∥CD可判断四边形ABCD是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，AD为所作；
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（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠CAE=∠B+∠ACB，
即∠CAD+∠EAD=∠B+∠ACB，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图−基本作图、等腰三角形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握5种基本作图是
解决问题的关键．
24．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线
段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出△ABE，且AB=BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点
是点M，点D的对应点是点N），连接EN，请直接写出线段EN的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，EN=√2
【分析】（1）找到1×3的格点的E，使得BE =AB，且∠ABE>90°，连接AE,BE，则△ABE即为所求；
（2）根据平移画出MN，连接EN，勾股定理即可求解．
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【详解】（1）解：如图所示，△ABE即为所求；
（2）解：如图所示，MN，EN即为所求；
EN=√12+12=√2．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．（2023·江西·统考中考真题）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
(2)在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图，取格点K，使∠AKB=90°，在K的左上方的格点C满足条件，再画三角形即可；
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（2）利用小正方形的性质取格点M，连接PM交AB于Q，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求作的三角形；
（2）如图，Q即为所求作的点；
【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基
本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
26．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长
均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按
下列要求作△ABC，点C在格点上．
9
(1)在图①中，△ABC的面积为 ；
2
(2)在图②中，△ABC的面积为5
5
(3)在图③中，△ABC是面积为 的钝角三角形．
2
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
(3)见解析
1 9
【分析】（1）以AB=3为底，设AB边上的高为h，依题意得S = AB·h= ，解得h=3，即点C在
△ABC 2 2
AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，AB=√32+12=√10，以AB=√10为底，设AB边上的高为h，依题意得
1
S = AB·h=5，解得h=√10，将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格
△ABC 2
格点的交点即为点C；
（3）作BD=AB=√5，过点D作CD∥AB，交于格点C，连接A、B、C即可．
【详解】（1）解：如图所示，
以AB=3为底，设AB边上的高为h，
1 9
依题意得：S = AB·h=
△ABC 2 2
解得：h=3
即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
AB=√32+12=√10
以AB=√10为底，设AB边上的高为h，
1
依题意得：S = AB·h=5
△ABC 2
解得：h=√10
将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C，
答案不唯一，
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（3）如图所示，
作BD=AB=√5，过点D作CD∥AB，交于格点C，
由网格可知，
BD=AB=√22+12=√5，AD=√10，
∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD
∵CD∥AB
1 5
∴S = AB·BD= ．
△ABC 2 2
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用
网格作平行线或垂直．
27．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成
4×10的小正方形网格．在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问
题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
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∠P OA=45°
1
①在CB上取点P ，使CP =4． ，点P 表示
1 1 1
45°．
∠P OA=30°
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC 2
，点P 表示
交于点P ． 2
2 30°．
③分别以O,P 为圆心，大于OP 长
2 2
度一半的长为半径作弧，相交于点 …
E,F，连结EF与BC相交于点P ．
3
④以P 为圆心，OP 的长为半径作
2 2
弧，与射线CB交于点D，连结OD交 …
AB于点P ．
4
(1)分别求点P ,P 表示的度数．
3 4
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P ，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
5
【答案】(1)点P 表示60°；点P 表示15°
3 4
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠OP C度数，根据线段垂直平分线的性质∠P OP 度数，即可求
2 2 3
出∠P OA的度数，从而知道P 点表示度数；利用半径相等即可求出∠P OD=∠P DO，再根据平行线
3 3 2 2
的性质即可求出∠P OD=∠DOA以及对应的度数，从而知道P 点表示度数．
2 3
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【详解】（1）解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA．
∴∠OP C=∠P OA=30°
2 2
由作图可知，EF是OP 的中垂线，
2
∴OP =P P ．
3 3 2
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∴∠P OP =∠P P O=30°．
3 2 3 2
∴∠P OA=∠P OP +∠P OA=60°．
3 3 2 2
∴点P 表示60°．
3
②由作图可知，P D=P O．
2 2
∴∠P OD=∠P DO．
2 2
又∵CB∥OA，
∴∠P DO=∠DOA．
2
1
∴∠P OD=∠DOA= ∠P OA=15°．
2 2 2
∴点P 表示15°．
4
故答案为：点P 表示60°，点P 表示15°．
3 4
（2）解：如图所示，
作∠P OP 的角平分线等．如图2，点P 即为所求作的点．
3 4 5
∵点P 表示60°，点P 表示15°．
3 4
1 1 1
∠P OA= (∠P OA−∠P OA)+∠P OA= (∠P OA+∠P OA)= (60°+15°)=37.5°．
5 2 3 4 4 2 3 4 2
∴P 表示37.5°．
5
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性
质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．
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