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专题 33 与圆有关的计算【二十个题型】
【题型1 求正多边形中心角或边数】......................................................................................................................1
【题型2 正多边形与圆中求角度、面积、周长】.................................................................................................3
【题型3 正多边形与圆中求边心距、边长、线段长】.........................................................................................4
【题型4 正多边形与圆中求最值】..........................................................................................................................5
【题型5 尺规作图-正多边形】................................................................................................................................6
【题型6 正多边形与圆的规律问题】......................................................................................................................8
【题型7 由弧长公式求弧长】..................................................................................................................................9
【题型8 利用弧长及扇形面积公式求半径、圆心角】.......................................................................................10
【题型9 求某点的弧形运动路径长度】................................................................................................................11
【题型10 由扇形面积公式求扇形面积】................................................................................................................13
【题型11 求图形旋转后扫过的面积】....................................................................................................................14
【题型12 求弓形面积】............................................................................................................................................15
【题型13 求圆锥侧面积、底面半径、高】...........................................................................................................16
【题型14 求圆锥侧面积展开图的圆心角】...........................................................................................................17
【题型15 圆锥的实际问题】....................................................................................................................................18
【题型16 圆锥侧面上的最短路径问题】................................................................................................................19
【题型17 不规则图形的面积的有关计算之和差法】...........................................................................................20
【题型18 不规则图形的面积的有关计算之等面积法】.......................................................................................22
【题型19 不规则图形的面积的有关计算之旋转法】...........................................................................................23
【题型20 不规则图形的面积的有关计算之全等或对称法】...............................................................................24
【知识点 与圆有关的计算】
1. 正多边形与圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多
边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2. 弧长、扇形面积、圆锥的有关计算
n°的圆心角所对的弧长l为： 。
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圆心角为n°的扇形面积S为： ；
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为 ，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 ．
圆锥与侧面展开图的等量关系： ，
【题型1 求正多边形中心角或边数】
【例1】（2023·四川南充·统考一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若BC，AB，AC分别是⊙O内接正
三角形．正方形，正n边形的一边，则n=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【变式1-1】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=36°，弦
AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ．
【变式1-2】（2023·吉林延边·模拟预测）AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P
不与点A，B重合）且BP∥OA，AP与OB交于点C，则∠OCP的度数为 ．
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【变式1-3】（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看
作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，
N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
(1)∠NOP=________°
(2)若OA=16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．
【题型2 正多边形与圆中求角度、面积、周长】
【例2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则
正六边形的面积为（ ）
23√3 7√21 21√3 27√3
A． B． C． D．
4 3 3 2
【变式2-1】（2023·陕西西安·校考一模）如图，已知⊙O的内接正四边形ABCD，点E是⊙O上任意一
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点（除A、B两点外）则∠AEB的度数是（ ）
A．45° B．60° C．60°或120° D．45°或135°
【变式2-2】（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD
于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为( )
A．55° B．60° C．72° D．80°
【变式2-3】（2023·江苏·模拟预测）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（
）
A．5 B．6 C．30 D．36
【题型3 正多边形与圆中求边心距、边长、线段长】
【例3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为
一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分．现有一个门环图片和抽象示意图如图所
示，图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并
交DE于点Q，若AQ=12√3cm，则该圆的半径为（ ）cm．
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A．2√6 B．3+2√3 C．3+√6 D．3√3
【变式3-1】（2023·山东泰安·统考一模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是
（ ）
2√3
A．2√3cm B．√3cm C． cm D．1cm
3
【变式3-2】（2023·河北唐山·统考二模）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB=1cm，则
点P到这个正六边形六条边的距离之和为 cm．
【变式3-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，正六边形的半径为1，点M在边ED上运动，连接AM，
则AM的长度可以是 （只写出一个满足条件的值即可）．
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【题型4 正多边形与圆中求最值】
【例4】（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和
正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A．√2 B．2 C．4+2√2 D．4−2√2
【变式4-1】（2023·河北张家口·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，且点O为正六边形的中
心，将半径为√3的⊙M沿六边形作逆时针滚动，连接OM，过点M作MP⊥OM，并且OM=MP，连接
OP，则在⊙M滚动的过程中，RtΔOMP面积的最大值是（ ）
9
A．2√3 B． C．16 D．8
2
【变式4-2】（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当
∠APB=90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．2√11−2 B．2√13−2 C．6 D．4√3
【变式4-3】（2023·北京·模拟预测）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=4，点E是A´D上任意一
点，CF⊥BE于F．当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，则AF的最小值为 ．
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【题型5 尺规作图-正多边形】
【例5】（2023·河北承德·模拟预测）作图与计算：
(1)在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．画
出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA B ，并写出线段OB扫过的扇形的面积 ．（结果含π）
1 1
(2)利用尺规在图中作圆内接正六边形（不写作法，保留痕迹），并写出正六边形半径、边心距、边长的比
．
【变式5-1】（2023·安徽合肥模拟预测）(1)如图，EF是⊙O的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形
ABCD，要求所作正方形的一组对边AD、BC垂直于EF见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹)；
(2)连接EA、EB，求出∠EAD、∠EBC的度数．
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【变式5-2】（2023·江苏苏州模拟预测）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在⊙O上任取
一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③
连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形
AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA=∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF=√2AF
【变式5-3】（2023·江西赣州·模拟预测）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并
回答下列问题：
作法如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是等边三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【题型6 正多边形与圆的规律问题】
【例6】（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，正六边形A B C D E F 的边长为2，正六边形
1 1 1 1 1 1
A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切，正六边形A B C D E F 的外接圆
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3
与正六边形A B C D E F 的各边相切……按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为
2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10
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．
【变式6-1】（2023·湖南湘西·模拟预测）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，
正方形ABCD，正五边形ABCDE，…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，图1中
∠MON=120°，图2中∠MON=90°，图3中∠MON=72°…，根据这样的规律，图n中∠MON的
度数是 ．
【变式6-2】（2023·宁夏银川·模拟预测）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A B C D E F ，
1 1 1 1 1 1
边A B 、F E 分别在射线OM、ON上，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，以A F 为边
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
作正六边形A B C D E F ，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，再以A F 为边作正六
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
边形A B C D E F ，…，依此规律，经第n次作图后，点B 到ON的距离是 ．
3 3 3 3 3 3 n
【变式6-3】（2023·河北·校联考二模）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图
的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是
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正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转 °，所得图形与原图的重叠部分是正多边
形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为 ．
【题型7 由弧长公式求弧长】
【例7】（2023·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，直线OB交⊙O于点
C,D,∠B=∠C．若OD=2，则劣弧AD的长为 ．
【变式7-1】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，已知AB=1，BC=√3,∠B=90°，BC与A´C相切于点C，
则A´C的长= ．
【变式7-2】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，⊙O半径为3cm，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至
点E，若∠DCE=60°，则B´D的长是 cm．
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【变式7-3】（2023·山西临汾·模拟预测）现将一块含60°的直角三角板按如图放置，顶点C落在以AB为
直径的半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半圆交于点D，若AB=4，则弧BD的长为 ．
【题型8 利用弧长及扇形面积公式求半径、圆心角】
【例8】（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的圆心角为100°，面积为10π，则此扇形的弧长
为 ．（结果保留π）
【变式8-2】（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若
其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
【变式8-3】（2023·山东淄博·模拟预测）如图，把长为a，宽为b的矩形纸片ABCD分割成正方形纸片
ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则
a
= ．
b
【题型9 求某点的弧形运动路径长度】
【例9】（2023·广东深圳·深圳市文锦中学校考模拟预测）如图，点B，A，E和点C，A，D分别在同一
条直线上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC=2AD=2AE=2，将△ADE绕着点A顺时针
旋转得到△AD'E'，直线BE'，CD'交于点P，当点D'落在AC上时，P点经过的路径长是 ．
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【变式9-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点
A(3,0)，C(0,2)，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，旋转后点B的对应点B'的坐标和点B在旋转过
程中绕过的路径长分别是（ ）
√13 √13
A．(−2,3)和 π B．(−3,2)和 π
2 2
√13 √13
C．(−2,3)和 π D．(−3,2)和 π
4 4
【变式9-2】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，
△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,−1)，B(2,−5)，C(5,−4)．
(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A B C ；
1 1 1
(2)在（1）的条件下，求点A旋转到点A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
1
【变式9-3】（2023·江苏盐城·校考一模）“鹿鸣·博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠）这一课
题研究．已知矩形ABCD，点E、F分别是AB、CD边上的动点．
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(1)若四边形ABCD是正方形，如图①，将四边形BCFE沿EF翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点
M恰好是AD的中点．
①若AD=8，求AE的长度；
②若MN与CD的交点为G，连接EG，试说明AE+DG=EG．
(2)若AB=2√3，AD=2，如图②，且AE=CF，将四边形BCFE沿EF翻折，点B、C的对应点分别为B'、
C'．当点E从点A运动至点B的过程中，点B'的运动路径长为_________．
(3)若四边形ABCD是正方形，AD=8，如图③，连接DE交AC于点M，以DE为直径作圆，该圆与AC交
于点A和点N，将ΔEMN沿EN翻折，若点M的对应点M'刚好落在BC边上，求此时AE的长度．
【题型10 由扇形面积公式求扇形面积】
【例10】（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交
⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
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π 2π 3π 3π
A． B． C． D．
3 5 10 5
【变式10-1】（2023·四川成都·模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径
为3，∠ADB=30°，则扇形BOC的面积为 ．
【变式10-2】（2023·安徽·校联考模拟预测）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图
阴影部分所示，已知四边形ABOE为菱形，C,D分别为OB，OE的中点，扇形COD的圆心角为
72°,AB=10cm，求零件的截面周长和面积．（参考数据：
sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,π取3.14）
【变式10-3】（2023·江苏·模拟预测）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就
有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示
意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，
OB=1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
9π 17π 2√5π
A． m2 B．3πm2 C． m2 D． m2
4 4 3
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【题型11 求图形旋转后扫过的面积】
【例11】（2023·山东泰安·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，
H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线
1 1
段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
7 7 4 7 4
A． π− √3 B． π+ √3 C．π D． π+√3
3 8 3 8 3
【变式11-1】（2023·河北唐山·统考二模）如图，已知A´B的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是A´B的中
点，将 绕点 逆时针旋转 后得到 ，三位同学提出了相关结论：
A´B A 90° A ´ B'
嘉嘉：点P到AB的距离为2
淇淇：AP的长为2√3
嘉淇：线段AP扫过的面积为2√5π
下列结论正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇错 B．淇淇对，嘉淇错
C．嘉嘉错，嘉淇错 D．淇淇错，嘉淇对
【变式11-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点
均在小正方形的格点上．
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(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A B C ，画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
【变式11-3】（2023·广东梅州·统考一模）如图，在矩形ABCD中AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点
B旋转得到矩形A'BC'D'，点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积
为 ．
【题型12 求弓形面积】
【例12】（2023·河南周口·校联考三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为
圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式12-1】（2023·云南红河·统考一模）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边
形，∠ABC=2∠ADC，且A´D=C´D，则图中阴影部分的面积等于 (结果保留π)．
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【变式12-2】（2023·广东佛山·校考一模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于
点D，连接AD．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交AD于F点，
并证明：AF×DF=BF×EF；
(2)若⊙O的半径等于4，且⊙O与AC相切于A点，求劣弧AD的长度和阴影部分的面积（结果保留π）．
【变式12-3】（2023·浙江温州·统考模拟预测）如图，墙上有一个矩形门洞ABCD，现要将其改为直径为
4m的圆弧形，圆弧经过点B，C分别交AB，CD于E，F．若AB=4m，BC=2m，则要打掉的墙体面积为
m2．
【题型13 求圆锥侧面积、底面半径、高】
【例13】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）一个扇形的半径长为5cm，面积为15πcm2，
用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的高h= ．
【变式13-1】（2023·广东惠州·校考二模）圣诞节快要到了，某同学准备做一个圆锥形帽子．如图，在矩
形纸片ABCD中，AB=10cm，取AD中点O．以O为圆心，以10cm长为半径作弧，分别交AB，CD于
点M，N，得到扇形纸片OMN，发现点M，N恰好分别是边AB，CD的中点，则用此扇形纸片围成的圆
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锥形帽子的侧面积为 cm2．（结果保留π）
【变式13-2】（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考三模）如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC,AD=2,AB=2√2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交于点F，用扇形AFD
围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【变式13-3】（2023·四川南充·统考一模）若将半径为8，圆心角为112.5°的扇形围成一个圆锥体，则圆
锥体底面圆的半径最大为 ．
【题型14 求圆锥侧面积展开图的圆心角】
【例14】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）圆锥母线长l=8，底面圆半径r=2，则圆
锥侧面展开图的圆心角θ是 ．
【变式14-1】（2023·浙江·模拟预测）如图，圆锥的底面圆的半径是4，其母线长是8，则圆锥侧面展开图
的扇形的圆心角度数是 ．
【变式14-2】（2023·广西钦州·统考一模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略
不计），若该圆锥的底面周长为8πcm，侧面积为48πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 ．
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【变式14-3】（2023·辽宁盘锦·统考二模）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的
圆心角为 °．
【题型15 圆锥的实际问题】
【例15】（2023·云南昆明·统考二模）云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使
得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的
三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A．240πcm2 B．576πcm2 C．624πcm2 D．120πcm2
【变式15-1】（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米
堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多
少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．
【变式15-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若
用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
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A．(30+5√29)π米2 B．40π米2
C．(30+5√21)π米2 D．55π米2
【变式15-3】（2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方
案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用
餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底
面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时
“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【题型16 圆锥侧面上的最短路径问题】
【例16】（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是2√3，母线长是6√3．如果A是底面
圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．
【变式16-1】（2023·广东·统考一模）已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=20√15cm,现在有一只蚂蚁从
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底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【变式16-2】（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直
径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B．3√3 C．3√2 D．6√3
【变式16-3】（2023·山东青岛·统考二模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF
长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE
上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为
cm．
【题型17 不规则图形的面积的有关计算之和差法】
【例17】（2023·山东青岛·统考三模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将
Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以
O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
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5 π 7 π
A．π B．π+5 C． − D． −
2 4 2 4
【变式17-1】（2023·四川眉山·统考模拟预测）如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别
1
以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E，连接AE，
2
则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C．2π−4 D．2√3−π
【变式17-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，以BC的长为半径
的⊙O经过A，B两点，点D，E分别在AC，BC上， DE∥AB，且与过A，B两点的⊙O相切，则图
中阴影部分的面积是 ．
【变式17-3】（2023·湖北·一模）四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，AC是⊙O的直径，过点A作
MN∥BD．
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(1)如图1，求证：MN是⊙O的切线；
(2)如图2，当AB=2√3，∠BAD=60°时，连接DO并延长，分别交AM，AB于点E，F，交⊙O于点
G．求图中阴影部分的面积．
【题型18 不规则图形的面积的有关计算之等面积法】
【例18】（2023·江苏南通·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的
延长线上，且∠EAC=∠CAB．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
1
(2)若OE=6,sin∠E= ，求图中阴影部分的面积．
2
【变式18-1】（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线
EF交AB于点E(E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，
N．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 1 π 1 π 1 π 1
A． − B． − C． − D． −
8 8 8 4 2 8 2 4
【变式18-2】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，将扇形AOB翻
折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在的直线l与A´B交于点C.若OA=4，则图中阴影部分的面积是（
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）
8π 8π
A． B． −4√3 C．2√3 D．4√3
3 3
【变式18-3】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C
的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若⊙O的半径4，DE=2，求图中阴影部分的面积．
【题型19 不规则图形的面积的有关计算之旋转法】
【例19】（2023·河北承德·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
AC=2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，分别得到Rt△AB C 和Rt△AB C ，则图中
1 1 2 2
阴影部分的面积为（ ）
7π √3 7π √3 7π−√3 3π √3
A． − B． − C． D． −
6 2 12 2 6 4 2
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【变式19-1】（2023·河南郑州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，以BC为直径的圆恰好与AD
相切于点F，将点F绕点C逆时针旋转，其旋转路径与BC交于点E．图中阴影部分的面积为 ．
【变式19-2】（2023·河南洛阳·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝√2，BC=1，将矩形ABCD绕点A
旋转得到矩形 ，点C的运动路径为 ，图中阴影部分的面积为 ．
AB'C'D' C ´ C'
【变式19-3】（2023·河北保定·模拟预测）如图，扇形POQ可以绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转，
若∠POQ=120°，OP等于正六边形ABCDEF的边心距的2倍，AB=2，则阴影部分的面积为（ ）
4 16
A． π−2√3 B．4π−2√3 C．4π−√3 D． π−4√3
3 3
【题型20 不规则图形的面积的有关计算之全等或对称法】
【例20】（2023·河南周口·统考二模）如图1所示的是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6，沿着垂直于
AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB向右平移至扇形OBC'，如图2，其中点A与点O重合，点O与点B
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重合，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式20-1】（2023·山东东营·模拟预测）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若
AC=BC= √2，则图中阴影部分的面积是 .
【变式20-2】（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆
O 的直径，半圆O 过C点且与半圆O 相切，则图中阴影部分的面积( )
1 2 1
7−π 5−π 7 5
A． B． C． D．
9 9 9 9
【变式20-3】（2023·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如图，扇形POQ可以绕着正六边形
ABCDEF的中心O旋转，若∠POQ=120°，OP等于正六边形ABCDEF的边心距的2倍，AB=2，则阴
影部分的面积为（ ）
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A． π−2√3 B．4π−2√3 C．4π−√3 D． π−4√3
3 3
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