备考2026中考数学真题2025分类精编精练15命题与定理、尺规作图（含解析）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2026年中考复习（更新中）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 15 命题与定理、尺规作图 姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________ 一 、选择题（本大题共8小题） （2025•成都）下列命题中，假命题是（ ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 （2025•资阳）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN，再分别以点M和点N为圆心、大于线 段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD，过点D作DE∥BC交BA于点 E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° （2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心， 适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N，（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点 N′，再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点 M′，（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（ ） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC （2025•天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与 边AB相交于点E，与边AC相交于点F，②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G，③ 以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H，④作射线BH，与CD相交于点 M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD （2025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作 弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE 的度数是（ ） A．30° B．50° C．60° D．75° （2025•眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当 长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点，②分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧， 两弧相交于点P，③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 （2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点 B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大 小为（ ） 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．80° B．100° C．110° D．120° （2025•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D．在线段 AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点 N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE．则 △DAE的周长为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 二 、多选题（本大题共1小题） （2025•潍坊）下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A．若a2＝b2，则a＝b B．若|a|＞|b|，则a3＞b3 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 （多选） 三 、填空题（本大题共6小题） （2025•北京）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ ，b ＝ ． （2025•大庆）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使 AM＝AN．分别以M，N为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交 BC于点D，则点D到AC的距离为 ． 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （Ⅰ）线段PA的长为 ， （Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上， 满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简 要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． （2025•湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于 的长为半 径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ． （2025•广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点 D，（2）分别以点C和点D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点F，（3）画射线AF交BC 于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 ． 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•齐齐哈尔）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径 作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 ． 四 、解答题（本大题共14小题） （2025•青岛）已知：如图，D是∠AOB内部一点． 求作：等腰△COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D． （2025•甘肃）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制 可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国 古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门 的设计图，月洞门呈圆弧形，用 表示，点O是 所在圆的圆心， AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D， ②在射线DM上截取DC＝a， ③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O， ④以点O为圆心，OC的长为半径作 ． 则 就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P， 使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法） （2025•徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连 成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续 的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． （1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”， （2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不 写作法） （2025•宿迁）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P，使点P在∠AOB的平分线上． 小明的作法如下： 如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA．OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心， 大于 长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点． 理由：如图3，连接EP、FP、OP， 由作图可知OE＝OF，PE＝PF， 又因为OP＝OP， 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 所以 ． 所以∠EOP＝∠FOP． 所以OP平分∠AOB． 即点P为所求点． 【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线 AB平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） （2025•广元）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，2为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N 为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，画射线OC交 于点E，连接 MC，NC． （1）求证：∠AOC＝∠BOC， （2）若∠AOB＝60°，求 的长． （2025•威海）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的 四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由， （2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M 在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法， 保留作图痕迹） 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•长春）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为 格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形， （2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形， （3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． （2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M， 交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交 AB于点D． （1）求∠BCD的度数， （2）若BC＝2.5，求AD的长． （2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD， 交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． （2025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完 成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点， （2）在图2中作出△ABC的重心． （2025•山东）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1． （1）求∠ADC的度数， （2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交 BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长． 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作 法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空 第一步：构造角平分线． 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边 上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分 线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴③ ∴OP平分∠AOB． 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 15 尺规作图答案解 析 一 、选择题 【考点】命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质 【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断． 解：A．B、C中的命题是真命题，故A．B、C不符合题意， D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，掌握 以上知识点是解题关键． 【考点】作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的性质 【分析】由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线，可得∠ABC＝2∠CBD．由平行线的性质得 ∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，则可得∠AED＝∠ABC＝60°． 解：由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABC＝2∠CBD． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠AED＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查作图—基本作图、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、角平 分线的定义是解答本题的关键． 【考点】作图—基本作图，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形 【分析】判断出选项A，B，C正确可得结论． 解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°， ∴DB＝DC，∠BDC＝90°， 故选项A，B，C正确． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关 键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点】作图—基本作图，角平分线的定义 【分析】由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD．根据 ∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，进而可得∠BDM＝ 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∠BMD，则BM＝BD，即可得出答案． 解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC． ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD． ∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°， ∴∠ADC＝∠BMC， ∴∠BDM＝∠BMD， ∴BM＝BD， 故D选项一定正确． 故选：D． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 解决问题． 【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形的外接 圆与外心 【分析】由MN是AB的垂直平分线，可得DA＝DB，可得∠BAD＝∠ABD＝30°，再进一步求解即可． 解：由作图可得： ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，而∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠AOE＝2∠ABD＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，掌握以上性质是解 题的关键． 【考点】作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的性质 【分析】由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线，可得∠BAG＝∠DAG．由平行线的性质可得∠AGB＝ ∠DAG，则∠BAG＝∠AGB，可得BG＝AB＝6，则可得CG＝BC﹣BG＝4． 解：由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线， ∴∠BAG＝∠DAG． ∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴BG＝AB＝6， ∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4． 故选：A． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义、平 行线的性质是解答本题的关键． 【考点】作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质 【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，则△ABC为等边三角形，可得∠ACB＝ 60°．证明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO ， 50°， 则可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝100°． 解：连接AB，AC，BC， 由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠ACO＝∠BCO ， 50°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故选：B． 【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的 关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质, 全等三角形的判定和性质 【分析】根据作图可知CE⊥BD，证明△BOC≌△BOE，得到OC＝OE，BC＝BE，进而求出AE的长，得到 BD垂直平分CE，得到DE＝CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可． 解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC＝∠BOE＝90°， 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（ASA）， ∴OC＝OE，BC＝BE＝12， ∴BD垂直平分CE，AE＝AB﹣BE＝4， ∴DE＝CD， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+AD+CD＝AE+AC＝14， 故选：B． 【点评】本题考查尺规作图作垂线，掌握全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质是解题的 关键． 二 、多选题 【考点】命题与定理，绝对值，等腰三角形的性质，三角形中位线定理 【分析】由绝对值的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，即可判断． 解：A．若a＝b，则a2＝b2，正确，故A符合题意， B、如果a3＞b3，那么|a|不一定大于|b|，例如：a＝﹣1，b＝﹣3，满足a3＞b3，但是|a|＜|b|，故B不 符合题意， C、平行线于三角形一边的线段不一定是三角形的中位线，故C不符合题意， D、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故D符合题意． 故选：AD． 【点评】本题考查命题与定理，绝对值，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握 绝对值的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理． 三 、填空题 【考点】命题与定理 【分析】根据举反例的方法找到a，b满足a2＞4b2，但是不满足a＞2b即可． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：当a＝﹣3，b＝1时，a2＞4b2，但是a＜2b， 故答案为：﹣3，1（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是 解题的关键． 【考点】作图—基本作图，含30度角的直角三角形 【分析】先利用基本作图得到∠BAD＝30°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BD AB ，然后根据角平分线的性质求解． 解：由作法得AD平分∠BAC， ∴∠BAD ∠BAC 60°＝30°， 在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝30°， ∴BD AB ， ∵AD平分∠BAC， ∴点D到AB、AC的距离相等， 而点D到AB的距离为 ， ∴点D到AC的距离为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度 角的直角三角形三边的关系和角平分线的性质． 【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心, 三角形中位线的判 定和性质 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可， （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 一确定线段AC的中点G，利用网格确定点J为线段AQ的中点，则G，J为三角形的中位线，利用一 组平行线确定点N为线段AQ的中点，证明△ABH≌△CBH和△AHQ≌△CHM，得出AQ＝CM，即CM＝ 2AN，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出△AMQ为等腰三角形，再利用等腰三角形的 性质得出MN⊥AQ． 解：（1）由勾股定理得 ， 故答案为： ， （2）如图所示，点M，N即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为M，取圆与网格线的交点D和E，连接DE，取格点F，连接AF，与 DE相交于点O，连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H，连接CH并延长，与网格 线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I，连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N 即为所求． 理由：∵∠DAE＝90°， ∴DE为圆的直径， ∵AF为正方形的对角线， ∴∠DAF＝∠EAF＝45°， ∴AF垂直平分线段DE， ∴点O为圆的圆心， ∴OA＝OC， 又∵AB＝BC，OB＝OB， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴BG 平分∠ABC， ∴点G为线段AC的中点， 由网格可知点J为线段AI的中点， ∴GJ为△ACI的中位线， ∴GJ∥CI， 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点N为线段AQ的中点， ∴AQ＝2AN， ∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH， ∴∠QAH＝∠MCH， 又∵∠AHQ＝∠CHM， ∴△AHQ≌△CHM（ASA）， ∴AQ＝CM，即CM＝2AN， 延长BH交QM于点T， ∵AB＝BC，AQ＝CM， ∴BQ＝BM， ∵∠QBH＝∠MBH， ∴BT⊥QM， ∵AM为圆的切线， ∴∠OAH＝90°， ∴∠OAB+∠QAM＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， 即∠QAM+∠OBA＝90°， ∵∠OBA+∠AQM＝90°， ∴∠QAM＝∠AQM， ∴△AMQ为等腰三角形， ∴MN⊥AQ， ∴点M，N即为所求． 【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形 中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理 【分析】由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，可得点D为AB的中点，进而可得DE为 △ABC的中位线，则DE 3． 解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴点D为AB的中点． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点E是AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE 3． 故答案为：3． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理，熟练掌握线段垂 直平分线的性质、三角形中位线定理是解答本题的关键． 【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理 【分析】连接AD，由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC，可得∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝ CE，进而可得∠BAD＝∠B，则AD＝BD＝13，CD＝BC﹣BD＝10，DE 5，再由勾股定理得AE 12． 解：连接AD， 由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC， ∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE． ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝13． ∵BC＝23，BD＝13， ∴CD＝BC﹣BD＝10， ∴DE 5， ∴AE 12． 故答案为：12． 【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 用所学知识解决问题． 【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理 【分析】设MN交AC于点O，由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，可得点O为AC的中 点，∠CON＝90°，进而可得ON为△ABC的中位线，可得ON∥AB，则∠CAB＝∠CON＝90°，再根据 勾股定理可得AC ． 解：设MN交AC于点O， 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴点O为AC的中点，∠CON＝90°． ∵点N为BC的中点， ∴ON为△ABC的中位线， ∴ON∥AB， ∴∠CAB＝∠CON＝90°． ∵BC＝2AB＝8， ∴AB＝4， ∴AC ． 故答案为： ． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，解题的 关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 四 、解答题 【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的判定与性质 【分析】以O为圆心，任意长为半径作分别交OA，OB于点M，F，连接MF，OD交于点G，作∠TDO＝ ∠OGM，直线DT交OA，OB于点C，点E，△COE即为所求． 解：如图，△COE即为所求． 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图 形． 【考点】作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，垂径定理的应用 【分析】根据作图步骤作图即可． 解：如图3所示． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、垂径定理的应用，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点】作图—复杂作图，平行线的性质 【分析】先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，则点P即为 所求． 解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P， ∴ 25°， ∴∠AOP＝25°，CP∥OB， 则点P即为所求． 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解 决问题． 【考点】作图—应用与设计作图，确定圆的条件，垂径定理 【分析】（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案， （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 解：（1）如图，连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦即可， 若将图中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七， （2）如图所示，先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心即可， 【点评】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点】作图—复杂作图 【分析】[任务阅读]根据作图可知，作图可知OE＝OF，PE＝PF，又OP＝OP，所以△OEP≌△OFP （SSS），然后通过全等三角形性质即可求证， [实践操作]作∠CPD＝∠PAB即可，然后通过同位角相等两直线平行即可求证． 解：[任务阅读]理由：如图3， 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 连接EP、FP、OP，由作图可知OE＝OF，PE＝PF， 又∵OP＝OP， ∴△OEP≌△OFP（SSS）， ∴OP平分∠AOB， 即点P为所求点， 故答案为：△OEP≌△OFP（SSS）， [实践操作]如图4，作∠CPQ＝∠PAB即可， 理由，由作图可知，∠CPQ＝∠PAB， ∴PQ∥AB， ∴点Q为所求． 【点评】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的 关键． 【考点】作图—基本作图，角平分线的定义，弧长的计算 【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可， （2）利用弧长公式求解． （1）证明：在△OCM和△OCN中， ， ∴△OCM≌△OCN（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， （2）∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC 60°＝30°， ∴ 的长 ． 【点评】本题考查作图﹣角平分线的定义，弧长公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【考点】作图—复杂作图，翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质 【分析】（1）结论：四边形EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可， （2）分别以点D、C为圆心，大于 DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于 点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧 交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求． 解：（1）结论：四边形EFGH是矩形． 理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG， ∵∠AFB＝180°， ∴2∠EFK+2∠KFG＝180°， ∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°， 同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， （2）如图，分别以点D、C为圆心，大于 DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与 DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半 径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形 的性质． 【考点】作图—应用与设计作图，等腰直角三角形的定义 【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可， （2）根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可， （3）作一个腰为 的等腰直角三角形即可． 解：（1）如图①中，△ABC即为所求， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图②中，△ABC即为所求， （3）如图③中，△ABC即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【考点】作图—基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义即可解决问题， （2）根据三角形内角和定理证明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．进而可以解决问题． 解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴∠ACB＝∠B＝72°， 由作图可知：CD是∠ACB的角平分线， ∴ ， （2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°， ∴∠BDC＝∠B， ∴CD＝CB， ∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°， ∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝BC＝2.5． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基 本作图方法． 【考点】作图—复杂作图，垂径定理，相交两圆的性质，扇形面积的计算 【分析】（1）作OP平分∠MON即可， （2）作线段ON的垂直平分线垂足为D，以O为圆心，OD为半径作弧交OM于点C，弧CD即为所求． 解：（1）如图，射线OP即为所求， 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图2中，弧CD即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，线段的垂直平分线，角平分线的定义，解题的关键 是理解题意，正确作出图形． 【考点】作图—复杂作图，平行四边形的判定与性质 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，垂足为O，点O即为所求， （2）证明AE＝CO，AE∥CO即可． （1）解：如图，点O即为所求， （2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E是AD的中点，O是BC的中点， ∵AE＝DE＝OC＝OB， ∵AE∥OC， ∴四边形AOCE是平行四边形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问 题． 【考点】作图—应用与设计作图，三角形的重心，线段垂直平分线的性质 【分析】（1）利用网格直接画图即可． （2）结合三角形的重心的定义，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，则点O即为所 求． 解：（1）如图1，点D即为所求． 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O， 则点O即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、线段垂直平分线的性质，解题的关键是 理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求∠ADC的度数， （2）连接CF，由作图过程可得MN是CD的垂直平分线，所以FC＝FD，证明△CDF是等边三角形，利 用含30度角的直角三角形的性质即可求出DF． 解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， （2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD，∠ADB＝60°， ∴∠CDF＝60°， 如图2，连接CF， 由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线， 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴FC＝FD， ∴△CDF是等边三角形， ∴FC＝FD＝CD＝AD， ∵AB＝3，∠BAD＝30°， ∴AD 2 ， ∴DF＝AD＝2 ． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角 的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【考点】作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质 【分析】根据要求作出图形，利用HL证明Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）即可． 解：图形如图所示： 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴∠POE＝∠POF， ∴OP平分∠AOB． 故答案为：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF， 【点评】不能太空舱作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是 掌握相关知识解决问题． 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 28关注公众号：陆陆高分冲刺 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