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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 10 三角形
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共13小题）
（2025•南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
（2025•广元）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，则∠AKH＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（2025•青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB
上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C
的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝
DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．
图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
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如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长
为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
（2025•连云港）如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分
别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2025•凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（
）条对角线．
A．6 B．7 C．8 D．9
（2025•连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
（2025•台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，
也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距
的多少倍？（ ）
A．
（2025•安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若
DE ，则AC的长是（ ）
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A．4 B．6 C．2 D．3
（2025•黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接
DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
（2025•潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：A→C→B，路程为l ．
甲
乙：A→D→E→F→B，路程为l ．
乙
丙：A→G→H→B，路程为l ．
丙
下列关系正确的是（ ）
A．l ＞l ＞l B．l ＞l ＞l
甲 乙 丙 乙 甲 丙
C．l ＞l ＞l D．l ＝l ＞l
甲 丙 乙 甲 乙 丙
（2025•凉山州）如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（
）
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A．56° B．60° C．62° D．64°
二 、填空题（本大题共10小题）
（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 ．
（2025•乐山）如图，∠1的度数为 ．
（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则
的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写
出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出
第⑤组勾股数为 ．
（2025•长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为
度．
（2025•宿迁）若等腰三角形的两边长为2cm和4cm，则该等腰三角形的周长为 cm．
（2025•资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角
形，可增加的一个条件是 ．
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（2025•广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则
AD的最小值为 ．
（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°， ，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的
动点，则△DEF周长的最小值是 ．
（2025•宁夏）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，
侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10）．将一根长度为14.6cm的铅笔放
入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）
（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记 ，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝ ；
（2）下列结论正确的是 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若 ，则5＜t＜11；
③若 ，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
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三 、解答题（本大题共7小题）
（2025•自贡）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．
（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD．
（2025•南充）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．
（1）求证：△ABC≌△AED．
（2）求证：∠BCD＝∠EDC．
（2025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
∠BAF＝∠EAD．
（1）求证：△ABC≌△AFD；
（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
（2025•福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移
得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．
（1）求∠DCE的大小；
（2）求证：△CEG是等边三角形．
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（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ ；
（2）已知OB＝OD，AC＝BD．
①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．
（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角
三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表
中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10， ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表
示上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形
组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的
距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 10 三角形答案解析
一 、选择题
【考点】三角形的外角性质
【分析】利用三角形的外角性质计算即可．
解：∵直角三角板，
∴α＝90°+60°＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
是解题的关键．
【考点】多边形内角与外角
【分析】因为八边形ABCDEFGH为正八边形，所以每个内角都相等，每条边也相等，所以∠HAB＝
∠ABC＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∠BAC＝∠BCA＝∠ABH＝∠AHB＝（180°﹣135°）÷2＝
22.5°，∠AKH＝∠BAC+∠ABH＝22.5°+22.5°＝45°．
解：因为八边形ABCDEFGH为正八边形，
所以∠HAB＝∠ABC
＝（8﹣2）×180°÷8
＝6×180°÷8
＝135°，
所以∠BAC＝∠BCA＝∠ABH＝∠AHB＝（180°﹣135°）÷2＝22.5°，
∠AKH＝∠BAC+∠ABH＝22.5°+22.5°＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟练运用多边形的内角和公式求出
内角度数．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】利用SSS证明△OMC≌△ONC，得∠COM＝∠CON，即可解决问题．
解：在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠COM＝∠CON，
即射线OC是∠AOB的平分线，
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故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关
键．
【考点】全等三角形的应用
【分析】根据SAS可证明结论．
解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【分析】由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD，得到△BDC的周长＝BC+AC＝13．
解：∵DE垂直平分线段AB，
∴BD＝AD，
∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推
出BD＝AD．
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形周长公式计算即可．
解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝7，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等．
【考点】多边形内角与外角,多边形的对角线
【分析】设这个多边形的边数为n，n边形的内角和为180°•（n﹣2），外角和为360°，从n边形的
一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方
程求出n的值即可得到答案．
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解：设这个多边形的边数为n，
180°•（n﹣2）＝360°×4，
180°n﹣360°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引10﹣3＝7条对角线．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形外角与内角和综合，多边形的对角线，掌握相应的定义是关键．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析判断即可．
解：A．1+2＝3，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、2+3＞4，能构成三角形，故本选项符合题意；
C、3+5＝8，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+4＜10，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质，勾股定理
【分析】如图标记字母，求出BC，进而即可得解．
解：如图，标记字母，过A作AD⊥BC于点D，
∵AD＝H，
∴BD＝CD H，
∴螺纹间距为BC H，
∵螺纹深度＝H H H H，
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∴ ，
∴螺纹深度是螺纹间距的 倍，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
【考点】含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，由tanC ，求出DC＝3，由线段的中点
定义得到AC＝2DC＝6．
解：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C （180°﹣120°）＝30°，
∵ED⊥AC，
∴∠CDE＝90°，
∵tanC＝tan30° ，
∴DC＝3，
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由锐角的正切定义求出CD的长．
【考点】三角形中位线定理，勾股定理
【分析】连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK AD
＝2，NK CE ，由勾股定理即可求出MN的长．
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解：连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，
∵点M、N分别是AC、DE的中点，
∴MK、NK分别是△ACD和△DCE的中位线，
∴MK∥AB，NK∥BC，MK AD，NK CE，
∵AD＝4，CE＝3，
∴MK＝2，NK ，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∴MK⊥NK，
∴∠MKN＝90°，
∴MN ．
故选：A．
【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出MK∥AB，
NK∥BC，MK AD，NK CE．
【考点】等边三角形的判定与性质,三角形三边关系
【分析】在图丙中，延长AG，BH交于点P，在图甲中，根据△ABC是等边三角形得AC＝BC＝AB＝a，进
而得l ＝AC+BC＝2a，在图乙中，根据△DAE和△FEB都是等边三角形得AD＝DE＝AE，DF＝FB＝
甲
EB，由此得l ＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；在图丙种，根据△PAB是等边三角形得AP＝AB＝
乙
a，根据三角形三边之间的关系得 GH＜PG+PH，由此得AG+GH+HB＜PA+PB＝2a，进而得l ＝
丙
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AG+GH+HB＜2a，综上所述即可得出答案．
解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示：
设AB＝a，
在图甲中，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴甲所行走的路程l ＝AC+BC＝2a，
甲
在图乙中，AE+BE＝AB＝a
∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝90°，
∴△DAE和△FEB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，
∴乙所行走的路程l ＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；
乙
在图丙种，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴AP＝AB＝a，
根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH，
∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a，
∴丙所行走的路程l ＝AG+GH+HB＜2a，
丙
∴l ＝l ＞l ，
甲 乙 丙
故选：D．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握等边三角形的判定
与性质，三角形三边关系是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】设AC与BD相交于点O，先证明∠BAE＝∠CAD，进而可依据“SAS”判定△BAE和△CAD全
等得∠ABE＝∠ACD，再根据三角形外角性质得∠BAC＝∠BDC＝56°，然后根据AB＝AC即可得到出
∠ABC的度数．
解：设AC与BD相交于点O，如图所示：
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∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角，
∴∠BOC＝∠ABE+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∵∠BDC＝56°，
∴∠BAC＝∠BDC＝56°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （180°﹣∠BAC） （180°﹣56°）＝62°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三
角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角性
质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
二 、填空题
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为180°，求出多边形的每个内角的度数，
然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
解：∵多边形的每个内角都是140°，
∴多边形的每个外角都是180°﹣140°＝40°，
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∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练多边形的外角和为360°．
【考点】三角形的外角性质
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
解：∠1＝45°+55°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角
的和．
【考点】勾股数
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股
数．
解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；
第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；
第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；
第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．
故答案为：11，60，61．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．
【考点】多边形内角与外角，几何体的展开图
【分析】先根据正五边形的性质求出它的一个外角，再求出每个内角的度数，再根据∠α与3个内
角的和是一个周角，求出答案即可．
解：∵正五边形每个外角为：360°÷5＝72°，
∴正五边形每个内角为180°﹣72°＝108°，
∴∠α＝360°﹣3×108°＝360°﹣324°＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质．
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系
【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，等腰三角形两边的长为2cm和4cm，
具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：①当腰是2cm，底边是4cm时，2+2＝4，不能构成三角形，
②当底边是2cm，腰长是4cm时，能构成三角形，
则其周长＝4+4+2＝10（cm），
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所以，这个三角形的周长是10cm．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，还应验证各种情
况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．
【考点】等边三角形的判定，平行线的性质
【分析】由等边三角形的判定方法，即可得到答案．
解：要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一），理由如下：
∵CE∥DA，
∴∠A＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠BEC，
∵∠BCE＝∠B，
∴∠B＝∠BCE＝∠BEC，
∴△BCE 成为等边三角形．
故答案为：∠BCE＝∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查等边三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法：三条边
都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形．
【考点】等腰直角三角形的判定，勾股定理
【分析】过A作AH⊥BC于H，判定△ABH是等腰直角三角形，求出AH AB＝2 ，由AD≥AH，即可
得到AD的最小值．
解：过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH AB 4＝2 ，
∵AD≥AH，
∴AD的最小值为2 ．
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故答案为：2 ．
【点评】本题考查等腰直角三角形，关键是判定△ABH是等腰直角三角形．
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，得出△AMN是等腰直角三角
形，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而求得AD，即可求解．
解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，
∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN，
当N，E，F，M四点共线时取得最小值，
∵N，M是D关于AB，AC的对称点，
∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM，
又∵∠EAD+∠FAD＝45°，
∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B＝60°， ，
∴ ，
∴△DEF周长最小为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的
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关键，
【考点】勾股定理的应用，坐标与图形性质，几何体的展开图
【分析】由题意得出圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，计算出笔筒的底面圆直
径为8cm，再由勾股定理求出铅笔放入笔筒内最长为12.8cm，即可得出结果．
解：由题意得：圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，
∴笔筒的底面圆直径为： 8（cm），
铅笔放入笔筒内最长为： 12.8（cm），
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6﹣12.8≈2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、坐标与图形的性质、几何体的展开图等知识，熟练掌握圆周
长的计算和勾股定理是解题的关键．
【考点】勾股定理的逆定理，三角形三边关系，等边三角形的性质
【分析】（1）由定义直接判断求解即可；
（2）依据每一选项逐一代入求解判断即可．
解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2，
故答案为：2；
（2）①当k＝2，t＝1时，
则 ，即a2+b2＝c2，
∴三角形为直角三角形，
故①正确，符合题意；
②当k＝1， ，c＝1时，
则 ，
1°当a＞b时，a﹣b＜c，即 ，
解得：b＞2；
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2°当a＜b时，b﹣a＜c，即 ，
解得：b＜6．
综上，2＜b＜6．
当b＝2时， ，
当b＝6时， ；
∴5＜t＜11，
故②正确，符合题意；
③ ，
∴ ，
又a+b＞c，
∴ ，
不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2，
∴ ，
解得：1＜n≤7，
∴n可取2，3，4，5，6，7，
对应的t值分别为： ，共6个，
故③错误，不符合题意．
故答案为：①②．
【点评】本题主要考查了新定义题型，涉及勾股定理逆定理、三角形三边关系、等边三角形的性质
等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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三 、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根据CE＝CF得BE＝AF，由此可依据“SAS”判定△ABE和
△BAF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
证明：∵∠ABE＝∠BAF，
∴CB＝CA，
∵CE＝CF，
∴CB+CE＝CA+CF，
即BE＝AF，
在△ABE和△BAF中，
，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AE＝BF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质
是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定
【分析】由∠1＝∠2，得到∠ABC＝∠EBD，即可证明△ABC≌△EBD（SAS）．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBC＝∠2+∠EBC，
∴∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）先证明∠BAC＝∠EAD，进而可依据“SAS”判定△ABC与△AED全等； （2）根据AC＝AD
得∠ACD＝∠ADC，再根据全等三角形性质得∠ACB＝∠ADE，由此即可得出结论．
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（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠EAC﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
由（1）可知：△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD＝∠EDC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角
形的性质是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）由AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，得∠ACB＝∠ADF，由∠BAF＝
∠EAD，推导出∠BAC＝∠FAD，而AC＝AD，即可根据“ASA”证明△ABC≌△AFD；
（2）由全等三角形的性质得AB＝AF，而BE＝FE，根据等腰三角形的“三线合一”得AC⊥BD．
证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
∴∠ACB＝∠ADF，
∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF，
∴∠BAC＝∠FAD，
在△ABC和△AFD中，
，
∴△ABC≌△AFD（ASA）．
（2）由（1）得△ABC≌△AFD，
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∴AB＝AF，
∵BE＝FE，
∴AC⊥BF，即AC⊥BD．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出
∠BAC＝∠FAD，进而证明△ABC≌△AFD是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平移的性质
【分析】（1）等边三角形的性质推出∠DCB＝30°，垂直，得到∠BCE＝90°，角的和差关系求出
∠DCE的大小即可；
（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC＝∠DCA＝30°，角的和差关系推出∠EAC＝∠ECA，进而得到
AE＝CE，∠AEC＝120°，根据AB＝CB，推出BE垂直平分AC，进而得到 ，推出
∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，进而得到△CEG是等边三角形即可．
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵D是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA ∠ACB 60°＝30°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°，
又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，∠AEC＝120°，
又∵AB＝CB，
∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC ∠AEC 120°＝60°，
由（1）知，∠GCE＝60°，
∴∠EGC＝60°，
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∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，
∴△CEG是等边三角形．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义
【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝1时，
利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边形
ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝
90°，证明△AOD≌△EOB，得出 BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出 ，得出
，再利用勾股定理求出 ，得出 ，即可求解．
解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，
∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系；
当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系；
综上所述，BD＝2，
故答案为：2；
（2）①四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
②过点B作BE⊥AC于点E，如图，
∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴∠DAO＝∠BEO＝90°，
在△AOD和△EOB中，
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，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴BE＝DA＝1，AO＝EO，
在Rt△ABE中，由勾股定理得： ，
∴ ，
在Rt△AOD中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角
形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是
解题的关键．
【考点】勾股数，勾股定理，整式加减乘法混合运算，平方差公式
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a＝10，b，c＝26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得到答案；
（3）确定直角三角形最短边长度：已知每个三角形最短边都种21株花，因为各边上相邻两株花之
间的距离均为1m，且顶点处都种一株花，所以每个直角三角形最短边长为21﹣1＝20米，找出直
角三角形三边长度：查题干中的表可知，当最短边为20米时，直角三角形的三边长分别为20米，
21米，29米，由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形
的种植情况即可，如图所示，结合（2）中得到的规律，分析出一个直角三角形种植花数量即可得到
答案．
解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，
则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，
∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，
解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；
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故答案为：24；
（2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）；
非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数），
证明：对于本原勾股数，计算a2+b2：
（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2
＝c2，
非本原勾股数为k倍的本原勾股数，
故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]
＝k2（m2+n2）2
＝c2．
同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立；
（3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数，
一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米，
因为图案是由四个全等的直角三角形组成，
所以需要种花70×4＝280株．
【点评】本题考查勾股定理、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股
数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
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