备考2026中考数学真题2025分类精编精练11四边形（含解析）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2026年中考复习（更新中）_备考2026中考数学真题2025分类精编精练

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 11 四边形 姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________ 一 、选择题（本大题共10小题） （2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（ ） A．20° B．40° C．70° D．110° （2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A 互余的角共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2025•泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 （2025•湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（ ） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） （2025•湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为 （ ） A．6 B．9 C．12 D．18 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•山西）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段 ▱ 的数量关系中一定成立的是（ ） A．OE AD B．OE BC C．OE AB D．OE AC （2025•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动， 动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速 度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动 点的运动时间为t s，当QP＝QH时，t的值为（ ） A． B．4 C． D． （2025•广元）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP， 点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（ ） A．1 B． C．2 D．4 （2025•黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接 DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（ ） 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C．2 D． （2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形 OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点， 则平移后点E的对应点坐标为（ ） A． B． C． D． 二 、填空题（本大题共10小题） （2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长 为 m． （2025•湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． （2025•青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 ． 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ▱ ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ADC＝90°．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． （2025•兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若 ，则AF＝ ． （2025•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G 为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是 ． （2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝ 90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 ． （2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接 FG，则FG的长为 ． （2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则 △ABF的面积为 ． （2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 ．（写出一个即可） 三 、解答题（本大题共10小题） （2025•长春）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3．求证： ABCD是菱形． ▱ ▱ （2025•泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE． （2025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•徐州）已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE， ▱ CF．求证： （1）△AGF≌△CGE， （2）四边形AECF是菱形． （2025•大庆）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线 对称． （1）求证：四边形ABCD是菱形， （2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长． （2025•青岛）如图，在 ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF ▱ 交FE的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△AEF≌△BEG， （2）已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形 状，并证明你的结论． 条件①：EF CD， 条件②：EF⊥CD． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2025•青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点 E，连接AD，BE． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形， （2）若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明． （2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形， （2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长． （2025•云南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD． 记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l，△BOC的周长为l，四边形ABCD的周长为l． 1 2 3 （1）求证：四边形ABCD是矩形， （2）若l﹣l＝2，l＝28，求AC的长． 2 1 3 （2025•德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图， 点E、F处是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O（两个门E、F的大 小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由， 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）同学们测得AD＝4米，AE＝3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条 2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上， 并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并 说明理由． 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 11 四边形答案解析 一 、选择题 【考点】三角形中位线定理． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AC，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠A＝70°，同理得到 DF∥AB，得到∠EDF＝∠DEB＝70°． 解：∵点D，E分别BC、AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB＝∠A＝70°， 同理可得：DF∥AB， ∴∠EDF＝∠DEB＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 【考点】直角三角形斜边上的中线，余角和补角． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，推出∠B＝∠BCD，∠ADE＝∠CDE，而 ∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，即可得到答案． 解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线， ∴CD AB， ∴CD＝AD＝BD， ∴∠B＝∠BCD， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴图中与∠A互余的角共有4个． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，余角和补角，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出 CD＝AD＝BD，掌握余角的概念． 【考点】矩形的性质，菱形的性质． 【分析】对于选项A，根据矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等即可对该选项进行判断， 对于选项B，根据矩形和菱形的对角线都互相平分即可对该选项进行判断， 对于选项C，根据菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直即可对该选项进行判 断， 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 对于选项D，根据矩形和菱形的对角都相等即可对该选项进行判断， 综上所述即可得出答案． 解：对于选项A， ∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等， ∴该选项矩形具有而菱形不具有， 故选项A符合题意， 对于选项B， ∵矩形和菱形的对角线都互相平分， ∴该选项矩形和而菱形都具有， 故选项B不符合题意， 对于选项C， ∴菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直， ∴该选项菱形具有而矩形不具有， 故选项C不符合题意， 对于选项D， ∵矩形和菱形的对角都相等， ∴该选项矩形和而菱形都具有， 故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决问题的关键． 【考点】平行四边形的性质，坐标与图形性质． 【分析】由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 解：由题意A，C关于原点对称， ∵A（﹣1，2）， ∴C（1，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题． 【考点】菱形的判定与性质． 【分析】根据菱形的判定定理得到四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质计算即可． 解：∵对角线AC与BD互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形， ∵AB＝3， ∴四边形ABCD的周长为：3×4＝12， 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选：C． 【点评】本题考查的是菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理． 【分析】根据平行四边形的性质、三角形中位线定理求解即可． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC的中点， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵点E是边AD的中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴OE CD AB， 故A．B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位 线定理是解题的关键． 【考点】矩形的判定和性质，等腰三角形的性质 【分析】由题意得 AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，求得PH＝20﹣3t，根据等腰三角形的性质得到 ，再利用CQ＝BE，列式计算即可求解． 解：作QE⊥AB于点E，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形BCQE是矩形， ∴CQ＝BE， 由题意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t， ∴PH＝20﹣AP﹣BH＝20﹣3t， ∵QP＝QH，QE⊥AB， ∴ ， 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵CQ＝BE， ∴ ， 解得 ， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键． 【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理． 【分析】由平行四边形的性质得BO＝DO，因为AB＝8，点P是AB的中点，所以BP＝AP＝4，由点O是 DB的中点，点E是DP的中点，根据三角形中位线定理得OE BP＝2，于是得到问题的答案． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴BO＝DO， ∵AB＝8，点P是AB的中点， ∴BP＝AP AB＝4， ∵点O是DB的中点，点E是DP的中点， ∴OE BP＝2， 故选：C． 【点评】此题重点考查线段中点的定义、平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，求得BP＝ 4，并且推导出BO＝DO是解题的关键． 【考点】勾股定理，三角形中位线定理． 【分析】连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK AD ＝2，NK CE ，由勾股定理即可求出MN的长． 解：连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK， 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点M、N分别是AC、DE的中点， ∴MK、NK分别是△ACD和△DCE的中位线， ∴MK∥AB，NK∥BC，MK AD，NK CE， ∵AD＝4，CE＝3， ∴MK＝2，NK ， ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∴MK⊥NK， ∴∠MKN＝90°， ∴MN ． 故选：A． 【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出MK∥AB， NK∥BC，MK AD，NK CE． 【考点】正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移． 【分析】待定系数法求得直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可 求解． 解：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1）， ∴ ，解得 ， 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1， ∵E（1，2）， A．当E为 时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位， ∴直线FG平移后的解析式为 ，此时经过原点，对应的EH经过整点 （2，1），符合题意， B．当E为 时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位， ∴直线FG平移后的解析式为 ，此时原点在FG下方，对应的EH 在整点（2，1）上方，不符合题意， C．当E为 时，平移方式为向右平移 个单位， ∴直线FG平移后的解析式为 ，此时点H在正方形内部，不符合题意， D．当E为 时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位， ∴直线FG平移后的解析式为y＝﹣2（x ）﹣1 2x ，此时点E和（2，1）在EF边上，不符 合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的 灵活运用． 二 、填空题 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵E是AB的中点， ∴DE AB 8＝4（m）． 故答案为：4． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【考点】矩形的性质． 【分析】根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长x宽即可解答． 解：根据题意可得矩形的面积是2m， 故答案为：2m． 【点评】该题考查了列代数式，正确列出式子是解题的关键． 【考点】菱形的性质，三角形中位线定理． 【分析】由三角形中位线定理得到AC＝2EF＝4，由菱形的面积公式即可求出菱形ABCD的面积． 解：∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴AC＝2EF＝2×2＝4， ∴菱形ABCD的面积 BD•AC 6×4＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半 菱形的面积公式． 【考点】正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论． 解：正确的组合是①②或①③， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：①②或①③． 【点评】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【考点】菱形的性质，线段垂直平分线的性质,勾股定理 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝4 ，∠ABD＝∠CBD，由锐角三角函数可求∠BAE＝30°，由直 角三角形的性质可得AF＝BF，EF＝2，即可求解． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝4 ，∠ABD＝∠CBD， ∵BE＝CE， ∴BE＝CE＝2 ， ∵sin∠BAE ， ∴∠BAE＝30°， ∴∠ABE＝60°， ∴∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴∠BAE＝∠CBD＝∠ABD，BF＝2EF，BE EF， ∴AF＝BF，EF＝2， ∴AF＝BF＝2EF＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关 键． 【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理 【分析】由勾股定理可求BD的长，由三角形中位线定理可得BF＝2GH，当BF有最大值时，GH有最大 值，即当点F与点D重合时，BF有最大值为10，即可求解． 解：如图，连接BD，BF， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD 10， ∵点G为BE的中点，点H为EF的中点， ∴BF＝2GH， ∴当BF有最大值时，GH有最大值， ∵点F是CD的点， ∴当点F与点D重合时，BF有最大值为10， 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴GH的最大值为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的 关键． 【考点】三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求 出DF． 解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE AC 4＝2， 在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC＝8， 则FE BC 8＝4， ∴DF＝DE+FE＝2+4＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等 于第三边的一半是解题的关键． 【考点】菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理． 【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得 ，AC⊥BD，取OE中点 H，连接GH，则 ，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可． 解：方法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12， ∴ ，AC⊥BD， 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2， 如图，取OE中点H，连接GH， ∵点G为BE的中点，点H为OE的中点， ∴GH是三角形EBO的中位线， ∴ ，GH∥OB， ∴∠GHE＝∠BOA＝90°， ∵OF＝1， ∴ ， 在直角三角形GFH中，由勾股定理得： ， 方法二：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，AE＝2，OF＝1， ∴OB＝6，OC＝4， ∴CE＝8﹣2＝6，CF＝OC﹣OF＝4﹣1＝3， ∴F为CE的中点， 又∵点G为BE的中点， ∴GF为△BCE的中位线， ∵BC 2 ， ∴FG ． 故答案为： ． 【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是 解答本题的关键． 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，先根据平行线间的 距离处处相等得出FN＝BM，继而得出S ＝S ，通过解直角三角形得出 ， △ABF △ABM 即可求解． 解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠FMC， ∴AB∥FM， ∴FN＝BM， ∵ ， ， ∴S ＝S ， △ABF △ABM ∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°， ∴∠BFC＝90°， ， ∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为： ． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知 识点是解题的关键． 【考点】平行四边形的性质，三角形的三边关系 【分析】由平行四边形两个邻边长分别为3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角 线长n的取值范围． 解：如图， ∵平行四边形两个邻边长分别为3和4， ∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3， 即它的一条对角线长n的取值范围是：1＜n＜7． ∴n＝2或3或4或5或6． 故答案为：2或3或4或5或6． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三 边关系的应用． 三 、解答题 【考点】菱形的判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质． 【分析】由勾股定理定理的逆定理可证AC⊥BD，由菱形的判定方法可证 ABCD是菱形． ▱ 证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴AB2＝25＝9+16＝OA2+OB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形． ▱ 【点评】本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【考点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质． 【分析】由菱形的性质得AB＝BC，再证明BE＝BF，然后证明△ABF≌△CBE（SAS），即可得出结论． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝BC﹣CF， 即BE＝BF， 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形 全等是解题的关键． 【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据矩形的性质得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，然后利用ASA即可证明△ABE≌△DCF， （2）由（1）△ABE≌△DCF，得AE＝DF＝13，根据勾股定理即可求出BE的长． （1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）， （2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF＝13， ∵AB＝12， ∴BE 5． 【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【考点】菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝BE＝EC，由等腰三角形的性质可得AG＝GC，由ASA可证 △AGF≌△CGE， （2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，可证四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，可证 AECF是 ▱ 菱形． 证明：（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点， ∴AE＝BE＝EC， ∵EF⊥AC， 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴EF垂直平分AC， ∴AG＝GC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， 又∵∠AGF＝∠CGE， ∴△AGF≌△CGE（ASA）， （2）∵△AGF≌△CGE， ∴AF＝CE， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴ AECF是菱形． ▱ 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性 质，证明△AGF≌△CGE是解题的关键． 【考点】菱形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）证明△ABO≌△CDO（ASA），得AB＝CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形 的判定即可得出结论， （2）由菱形的性质得OC＝OA AC，AD＝BC＝CD＝5，则BE＝BC+CE＝8，再由勾股定理求出DE＝4， BD＝4 ，然后由菱形面积求出OC的长即可． （1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称， ∴BD⊥AC，BO＝DO， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD， 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形， （2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA AC，AD＝BC＝CD＝5， ∴BE＝BC+CE＝5+3＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， 在Rt△CED中，由勾股定理得：DE 4， 在Rt△BED中，由勾股定理得：BD 4 ， ∵S ＝DE•BC，S AC•BD＝OC•BD， 菱形ABCD 菱形ABCD ∴DE•BC＝OC•BD， ∴OC ． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知 识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定 【分析】（1）由平行线的性质推出∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE，由线段的中点定义得到AE＝BE， 即可证明△AEF≌△BEG（AAS）， （2）判定四边形AGBF是平行四边形，推出EF FG，由平行四边形的性质得到AB＝CD，而EF CD，得到FG＝AB，判定四边形AGBF是矩形． （1）证明：∵BG∥AF， ∴∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE， ∵E是AB的中点， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AE＝BE， 在△AEF和△BEG中， ， ∴△AEF≌△BEG（AAS）， （2）解：已知①，四边形AGBF是矩形，理由如下： 由（1）知△AEF≌△BEG（AAS）， ∴AF＝BG， ∵AF∥BG， ∴四边形AGBF是平行四边形， ∴EF FG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵EF CD， ∴FG＝AB， ∴四边形AGBF是矩形． 故答案为：①． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握AAS，对 角线相等的平行四边形是矩形． 【考点】平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理． 【分析】（1）证明OD是△ABC的中位线，得OD∥AC，再证明四边形AEDC是平行四边形，得AE＝CD， 进而证明AE＝BD，然后由平行四边形的判定即可得出结论， （2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，再由矩形的判定即可得出结论． （1）证明：∵点O，D分别是边AB，BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵AE∥BC， ∴四边形AEDC是平行四边形， 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AE＝CD， ∵点D是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， （2）解：当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形，证明如下： ∵AB＝AC，点D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形， ∴平行四边形AEBD是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识， 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理 【分析】（1）根据正方形性质得AB＝CD，AB∥CD，再根据BE＝DF得AE＝CF，由此根据平行四边形的 判定即可得出结论， （2）过点E作EH⊥CD于点H，证明四边形EBCH是矩形得EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，进而得DH＝7， 再根据BE＝DF＝5得HF＝2，然后在Rt△EFH中，由勾股定理即可求出EF的长． （1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴AE＝CF， 又∵AB∥CD， ∴四边形AECF是平行四边形， （2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示： ∴∠EHC＝∠EHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，BC＝12， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°， ∴四边形EBCH是矩形， 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5， ∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7， ∵BE＝DF＝5， ∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2， 在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF ． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握平行四 边形的判定，勾股定理是解决问题的关键． 【考点】矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理． 【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是矩形， （2）根据矩形的性质得l﹣l＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，解方程组可得AB 2 1 3 ＝6，BC＝8，再利用勾股定理即可解决问题． （1）证明：∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， （2）解：∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l，△BOC的周长为l，四边形ABCD的周长为l， 1 2 3 ∴l﹣l＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28， 2 1 3 ∴ ， ∴ ， ∴AB＝6，BC＝8， ∴AC 10． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾 股定理，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【考点】正方形的性质，全等三角形的应用，勾股定理的应用． 【分析】（1）根据正方形性质得BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，根据DE＝CF得AE＝DF，进而可依 据“SAS”判定△BAE和△ADF全等，则BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，由此可证明∠AOB＝90°，据此可 得出这道路AF与BE等长，且相互垂直， 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）先由勾股定理求出BE＝5（米），由（1）得AF＝BE＝5米，AF⊥BE，再由三角形的面积公式OA＝ 2.4米，则OF＝2.6米，根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为2.6米，因此路段OB 上不存在点P，设点P在边界BC上时，由勾股定理得PC ，则BP ，然后根据 即可得出答案． 解：（1）两条路等长，它们有什么位置关系是：互相垂直，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°， ∵DE＝CF， ∴AD﹣DE＝CD﹣CF， ∴AE＝DF， 在△BAE和△ADF中， ， ∴△BAE≌△ADF（SAS） ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵∠BAE＝∠BAO+∠DAF＝90°， ∴∠BAO+∠ABE＝90°， 在△AOB中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABE）＝90°， ∴AF⊥BE， ∴道路AF与BE等长，且它们相互垂直， （2）能建成一条这样的直路，且点P在边界BC上，理由如下： ∵AD＝AB＝CD＝4米，AE＝3米， ∴DE＝CF＝1米， 在RtABE中，由勾股定理得：BE 5（米）， 由（1）得：AF＝BE＝5米，AF⊥BE， 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴由三角形的面积公式得：S BE•OA AB•AE， △ABE ∴OA 2.4（米）， ∴OF＝AF﹣OA＝5﹣2.4＝2.6（米）， 根据“垂线段最短”得：点F到路段OB的最短距离为2.6米， ∴路段OB上不存在点P到点F的距离等于2.5米， ∴点P不在路段OB上， 设点P在边界BC上时， 在Rt△PCF中，由勾股定理得：PC ， ∴BP＝BC﹣PC ， ∵ ， ∴ ， ∴点P符合题意， 即能建成一条这样的直路． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质， 垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计 算是解决问题的关键． 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 29