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中考数学一轮复习 圆
一．选择题（共10小题）
1．（2025•安顺）如图， O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为
（ ） ⊙
A．2√2 B．4 C．4√2 D．8
2．（2025•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且
满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
3 8√13 12√13
A． B．2 C． D．
2 13 13
3．（2025•泸州）如图，在平面直角坐标系中， P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函
数y＝x的图象被 P截得的弦AB的长为4√2⊙，则a的值是（ ）
⊙
A．4 B．3+√2 C．3√2 D．3+√3
4．（2025•兰州）如图，四边形ABCD内接于 O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大
小为（ ） ⊙
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A．45° B．50° C．60° D．75°
5．（2025•科左中旗校级一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为
16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A．(4+√5) cm B．9 cm C．4√5cm D．6√2cm
6．（2025•枣庄）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则
CD的长为（ ） ⊙
A．√15 B．2√5 C．2√15 D．8
7．（2025•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，
BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．√2+1 B．√2+ C．2√2+1 D．2√2−
2 2
8．（2025•常德）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数
为（ ） ⊙
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A．50° B．80° C．100° D．130°
9．（2025•南召县模拟）如图， O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝
84°，则∠E等于（ ） ⊙
A．42° B．28° C．21° D．20°
10．（2025•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于 O，EF与BC、CD分别相交于点
⊙
EF
G、H，则 的值是（ ）
GH
√6
A． B．√2 C．√3 D．2
2
二．填空题（共5小题）
11．（2025•张家界）如图，AB、CD是半径为5的 O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，
AB⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F，P 为 EF⊙上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为
．
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12．（2025•长沙）如图，AB是 O的直径，点C是 O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC
于点D，则OD的长为 ⊙ ． ⊙
13．（2025•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中， P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为
2，函数y＝x的图象被 P截得的弦AB的长为2√3，则⊙a的值是 ．
⊙
14．（2025•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接
PM，以点P为圆心，PM长为半径作 P．当 P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为
． ⊙ ⊙
15．（2025•安顺）如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半
径画弧交AB于点E，连接▱CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ）．
π
三．解答题（共5小题）
16．（2025•阿坝州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的 O交AB于
点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． ⊙
（1）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝⊙8，OA＝2，求线段DE的长．
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17．（2025•枣庄）如图，AC是 O的直径，BC是 O的弦，点P是 O外一点，连接PB、AB，
∠PBA＝∠C． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
（2）连接OP，若⊙OP∥BC，且OP＝8， O的半径为2√2，求BC的长．
⊙
18．（2025•永州）如图，已知△ABC内接于 O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上
的一点，使CF∥BD． ⊙
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
19．（2025•台州）如图，四边形ABCD内接于 O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； ⊙
（2）求证：∠1＝∠2．
20．（2025•南通）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在 O上，MD恰好经过圆心
O，连接MB． ⊙ ⊙
（1）若CD＝16，BE＝4，求 O的直径；
⊙
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（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
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中考数学一轮复习 圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025•安顺）如图， O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为
（ ） ⊙
A．2√2 B．4 C．4√2 D．8
【考点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于 O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定
⊙
√2
理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC＝2√2，然后利用CD＝2CE
2
进行计算．
【解答】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵ O的直径AB垂直于弦CD，
∴⊙CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
√2
∴CE= OC＝2√2，
2
∴CD＝2CE＝4√2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
2．（2025•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且
满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
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3 8√13 12√13
A． B．2 C． D．
2 13 13
【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．
【答案】B
【分析】首先证明点P在以AB为直径的 O上，连接OC与 O交于点P，此时PC最小，利用
勾股定理求出OC即可解决问题． ⊙ ⊙
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OB⊙C＝90°，BC＝4，OB⊙＝3，
∴OC=√BO2+BC2=5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点 P位置，
学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
3．（2025•泸州）如图，在平面直角坐标系中， P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函
数y＝x的图象被 P截得的弦AB的长为4√2⊙，则a的值是（ ）
⊙
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A．4 B．3+√2 C．3√2 D．3+√3
【考点】垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D
点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根
1
据垂径定理得AE＝BE= AB＝2√2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD=√2
2
PE=√2，所以a＝3+√2．
【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵ P的圆心坐标是（3，a），
∴⊙OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x得y＝3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
1 1
∴AE＝BE= AB= ×4√2=2√2，
2 2
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE=√32−(2√2) 2=1，
∴PD=√2PE=√2，
∴a＝3+√2．
故选：B．
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【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查
了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
4．（2025•兰州）如图，四边形ABCD内接于 O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大
小为（ ） ⊙
A．45° B．50° C．60° D．75°
【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【答案】C
{α+β=180°
【分析】设∠ADC的度数＝ ，∠ABC的度数＝ ，由题意可得 1 ，求出 即可解决
α= β
2
α β β
问题．
【解答】解：设∠ADC的度数＝ ，∠ABC的度数＝ ；
∵四边形ABCO是平行四边形，α β
∴∠ABC＝∠AOC；
1
∵∠ADC= ，∠ADC＝ ；而 + ＝180°，
2
β α α β
{α+β=180°
∴ 1 ，
α= β
2
解得： ＝120°， ＝60°，∠ADC＝60°，
故选：βC． α
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
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5．（2025•科左中旗校级一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为
16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A．(4+√5) cm B．9 cm C．4√5cm D．6√2cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
1
【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则OD= a，
2
√5
由勾股定理求出OA＝OB＝OE= a，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可
2
求出答案．
【解答】解：
连接OA、OB、OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵在Rt△ADO和Rt△BCO中
{OA=OB
∵ ，
AD=BC
∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL），
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
1 1 1
设AD＝a cm，则OD＝OC= DC= AD= a cm，
2 2 2
√5
在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE= a cm，
2
∵小正方形EFCG的面积为16cm2，
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∴EF＝FC＝4cm，
√5 2 1 2
在△OFE中，由勾股定理得：( a) =42+( a+4) ，
2 2
解得：a＝﹣4（舍去），a＝8，
√5
a＝4√5（cm），
2
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计
算的能力，用的数学思想是方程思想．
6．（2025•枣庄）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则
CD的长为（ ） ⊙
A．√15 B．2√5 C．2√15 D．8
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【答案】C
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用
AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直
1
角三角形的性质计算出OH= OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=√15，所以
2
CD＝2CH＝2√15．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，
∴∠POH＝60°，
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1
∴OH= OP＝1，
2
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH=√OC2−OH2=√15，
∴CD＝2CH＝2√15．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查
了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
7．（2025•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，
BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．√2+1 B．√2+ C．2√2+1 D．2√2−
2 2
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形中位线定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的 B上，通过画图可知，C在BD与圆B
的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根⊙据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在 B上，且半径为1，
取OD＝⊙OA＝2，连接CD，
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∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
1
∴OM= CD，
2
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2√2，
∴CD＝2√2+1，
1 1 1
∴OM= CD=√2+ ，即OM的最大值为√2+ ；
2 2 2
故选：B．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定 OM为最大值时点C
的位置是关键，也是难点．
8．（2025•常德）如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数
为（ ） ⊙
A．50° B．80° C．100° D．130°
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【答案】D
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互
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补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠BAD＝100°÷2＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD
＝180°﹣50°
＝130°
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四
边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对
角）．
9．（2025•南召县模拟）如图， O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝
84°，则∠E等于（ ） ⊙
A．42° B．28° C．21° D．20°
【考点】圆的认识；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝
1
∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E= ∠AOC进行
3
计算即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
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∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
1 1
∴∠E= ∠AOC= ×84°＝28°．
3 3
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣
弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
10．（2025•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于 O，EF与BC、CD分别相交于点
⊙
EF
G、H，则 的值是（ ）
GH
√6
A． B．√2 C．√3 D．2
2
【考点】正多边形和圆．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】首先设 O的半径是r，则OF＝r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF＝60°，在
Rt△OIF中，求出⊙FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值
EF
是多少，再用EF的值比上GH的值，求出 的值是多少即可．
GH
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF， ，
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设 O的半径是r，
则⊙OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
√3
∴FI＝r•sin60°= r，
2
√3
∴EF= r×2=√3r，
2
∵AO＝2OI，
1 1 1
∴OI= r，CI＝r− r= r，
2 2 2
GH CI 1
∴ = = ，
BD CO 2
1 1
∴GH= BD= ×2r=r，
2 2
EF √3r
∴ = =√3，
GH r
EF
即则 的值是√3．
GH
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形
的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外
接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心
角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•张家界）如图，AB、CD是半径为5的 O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，
AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任⊙意一点，则PA+PC的最小值为 7√2 ．
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【考点】垂径定理；轴对称的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC＝PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，
PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．
1 1
根据垂径定理，得到BE= AB＝4，CF= CD＝3，
2 2
∴OE=√OB2−BE2=√52−42=3，
OF=√OC2−CF2=√52−32=4，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7√2，
则PA+PC的最小值为7√2．
故答案为：7√2
【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
12．（2025•长沙）如图，AB是 O的直径，点C是 O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC
于点D，则OD的长为 4 ⊙． ⊙
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【解答】解：∵OD⊥BC，
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1
∴BD＝CD= BC＝3，
2
1
∵OB= AB＝5，
2
∴OD=√OB2−BD2=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
13．（2025•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中， P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为
2，函数y＝x的图象被 P截得的弦AB的长为2√3，则⊙a的值是 2+√2 ．
⊙
【考点】垂径定理；坐标与图形性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、
DC，相加即可．
【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵AB＝2√3，
∴AE=√3，PA＝2，
∴PE＝1．
∵点D在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD=√2．
∵ P的圆心是（2，a），
∴⊙点D的横坐标为2，
∴OC＝2，
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∴DC＝OC＝2，
∴a＝PD+DC＝2+√2．
故答案为：2+√2．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形
等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．
14．（2025•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接
PM，以点P为圆心，PM长为半径作 P．当 P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3 或
4√3 ． ⊙ ⊙
【考点】切线的性质；正方形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当 P与直线CD相切时；如图2中当 P与直线AD
相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四⊙边形PKDC是矩形； ⊙
【解答】解：如图1中，当 P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
⊙
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
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∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当 P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
⊙
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB=√82−42=4√3．
综上所述，BP的长为3或4√3．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
15．（2025•安顺）如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半
▱
1
径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 3− （结果保留 ）．
3
π π
【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积
＝ ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△▱BCE的面积，计算即可求解．
【▱解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
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∴阴影部分的面积：
30×π×22
4×1− −2×1÷2
360
1
＝4− ﹣1
3
π
1
＝3− ．
3
π
1
故答案为：3− ．
3
π
【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝
ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．
三．▱解答题（共5小题）
16．（2025•阿坝州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的 O交AB于
点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． ⊙
（1）判断直线DE与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝⊙8，OA＝2，求线段DE的长．
【考点】直线与圆的位置关系；线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；与圆有关的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD＝OA，利用等边对等角得到一
对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；
（2）连接OE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列
出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与 O相切，理由如下：
连接OD， ⊙
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
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∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE，
∵OD为圆的半径，D为半径外端点，
∴直线DE与 O相切；
（2）连接OE⊙，
设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠ODE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2＝OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的
性质是解本题的关键．
17．（2025•枣庄）如图，AC是 O的直径，BC是 O的弦，点P是 O外一点，连接PB、AB，
∠PBA＝∠C． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
（2）连接OP，若⊙OP∥BC，且OP＝8， O的半径为2√2，求BC的长．
⊙
【考点】切线的判定．
【答案】见试题解答内容
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【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由OA＝
OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是 O的直径，
∴∠ABC⊙＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是 O的切线；
（2）解⊙：∵ O的半径为2√2，
∴OB＝2√2，⊙AC＝4√2，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
BC AC
∴ = ，
OB OP
BC 4√2
即 = ，
2√2 8
∴BC＝2．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练
掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
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18．（2025•永州）如图，已知△ABC内接于 O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上
的一点，使CF∥BD． ⊙
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF＝DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD＝
CD，可证明结论；
（3）设DE＝x，则根据CE2＝DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．
【解答】（1）证明：∵AD是 O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°， ⊙
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
{AB=AC
，
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
{
∠FCE=∠DBE
BE=CE ，
∠BED=∠CEF=90°
∴△BED≌△CEF（ASA），
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∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
AE EC
∴ = ，
CE ED
∴CE2＝DE•AE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x（10﹣x），
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD=√CE2+DE2=√42+22=2√5．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱
形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
19．（2025•台州）如图，四边形ABCD内接于 O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； ⊙
（2）求证：∠1＝∠2．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题．
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC＝DC得到∠CBD＝∠CDB＝39°，再根据圆周角定理
得∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，所以∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝78°；
（2）根据等腰三角形的性质由 EC＝BC得∠CEB＝∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB＝
∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，加上∠BAE＝∠CBD，所以∠1＝∠2．
【解答】（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
20．（2025•南通）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在 O上，MD恰好经过圆心
O，连接MB． ⊙ ⊙
（1）若CD＝16，BE＝4，求 O的直径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的⊙度数．
【考点】垂径定理；圆周角定理；勾股定理．
【专题】几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
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∴CE＝DE＝8，
设OB＝x，
又∵BE＝4，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴ O的直径是20．
⊙
1
（2）∵∠M= ∠BOD，∠M＝∠D，
2
1
∴∠D= ∠BOD，
2
∵AB⊥CD，
∴∠D＝30°．
【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆
周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
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