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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 17 相似②
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共8小题）
（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个
条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
（2025•长春）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（
）
A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN
C．AN＝BQ NQ D．
（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积
为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
（2025•宜宾）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成
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面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2025•遂宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ
的长为（ ）
A． B． C．6 D．
（2025•连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上
一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF .当BF最短时，则AE的长度为（ ）
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A． B．4 C．2 D．2
（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且
BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：
①MN＝AF，②∠EAH＝∠EHA，③EN•BF＝EC•HN，④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC ，⑤图中共有5
个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二 、填空题（本大题共8小题）
（2025•烟台）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点
P为位似中心作△ABC 与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧，以点P为位似中心
1 1 1
作△ABC 与△ABC 位似，相似比为2，且与△ABC 位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A 的
2 2 2 1 1 1 1 1 1 3
坐标为 ．
（2025•黑龙江）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、
CM，若CM＝3，则AM BM的最小值为 ．
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（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是 上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG
＝FG＝3，则⊙O的直径为 ．
（2025•宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为
点E，则 的最小值是 ．
（2025•青岛）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD的中点．连接BF并延长交AE于点G，交CD的
延长线于点M，H为BE的中点，连接GH，CH，CG．下列结论：①CH∥AE，②∠M＝30°，③S S
△CGH
，④AG•MF＝CD•AF．正确的是 （填写序号）．
正方形ABCD
（2025•兰州）如图，黄金矩形ABCD中 ，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形
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CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作
，曲线 AFHK 叫做“黄金螺线”．若 AD＝2，则“黄金螺线”AFHK 的长为
．（结果用π表示）
（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA，在射
1
线 CA 上取一点 D，连结 AD，使得△ACD 面积为 24，连结 BD，则 BD 的最大值是
1
．
（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的
值为 ，点 E 在 BC 的延长线上，连接 DE，若∠CED＝∠ABD，则 CE 的长为
．
三 、解答题（本大题共5小题）
（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC，
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离，
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求 的值．
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（2025•广元）综合与实践
（1）【初步感知】
如图①，△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE•AB＝AD•AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数，
（2）【深入探究】
如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作
FA⊥EA，使S S ，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距离的最大
△AEF 矩形ABCD
值，
（3）【学以致用】
如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，点E是线段AB的中点，点F是线
段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S S ，当△ADG的面积最小时，求
△EFG 梯形ABCD
EG的长．
（2025•乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、
CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即 ，则这种分割称为黄金分
割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
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【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵ ，
∴⋯⋯
请补全以上解题过程，
【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，
不写作法，保留作图痕迹），
【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE
和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD，
【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
（2025•江西）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放
缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为
，k的值为 ，
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为
点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求 的值，
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类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆
时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，
点F落在BC上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由，
（4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）．
（2025•成都）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交
射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．
【特例感知】
（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ，
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长，
【拓展延伸】
（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若 ，求 的值．（用含n的代数式表示）
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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 17 相似②答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等
角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进
行判断，当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似
三角形的判定方法可对B选项进行判断，当添加∠1＝∠4时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝
∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断，当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角
相等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断．
解：∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，
当添加∠B+∠4＝180°时，
∵∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意，
当添加CD∥AB时，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意，
当添加∠1＝∠4时，
∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意，
当添加∠2＝∠3时，
∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，
∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的
性质．
【考点】相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），平行线分线段成比例
【分析】由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，则MN∥DE∥PQ∥BC，那么
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△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判
断即可．
解：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，
∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意，
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴ ， ，
∴BC＝2DE，DE＝2MN，
∴BC＝4MN，
∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意，
∵MN∥PQ∥BC，
∴ ， ， ，
∴ ， ，故C正确，不符合题意，
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
∴ ， ， ，
∴ ，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握
各知识点并灵活运用是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质
【分析】根据正方形性质及勾股定理求出AE＝BE＝2，CE ，证明△BCE和△AEF相似得EF
，再根据三角形的面积公式即可得出△CEF的面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，
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∴AE＝BE AB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE ，
∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝∠AEF，
∴△BCE∽△AEF，
∴ ，
∴EF ，
∴△CEF的面积为： CE•EF 5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形
的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的面积
【分析】如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，证明出△AFD∽△ACB，得到 ，
，设 S ＝4s，S ＝9s，表示出 ，然后得到
△AFD △ACB
，进而求解即可．
解：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，
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∵AD＝2DB，
∴ 2，
∴
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴设S ＝4s，S ＝9s，
△AFD △ACB
∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 3．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
【考点】相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
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【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，利用角平分线的性质
可得CM＝MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明△ABQ∽△MBC，再根据相似三角形的性质求
解即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴ ，
由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG，
设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，
则CM＝MN，
设CM＝MN＝x，
∵S ＝S +S ，
△ABC △MBC △ABM
∴ ，
即5×12＝5x+13x，
解得： ，即 ，
则 ，
由作图痕迹可知：AQ⊥BH，
∴∠AQB＝∠C＝90°，
∵∠CBG＝∠ABG，
∴△ABQ∽△MBC，
∴ ，即 ，
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解得： ．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判
定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键．
【考点】含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质
【分析】设BC＝x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB＝2x， ，根据角平分线的性
质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到 ，进而求出CD的长，勾股定理求出AD的
长，等角的正弦值相等，得到 ，求出BE的长，进而求出 的长即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC， ，
设BC＝x，则AB＝2x， ，
∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，
∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAD，
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∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
解法二：延长AC与BE相交于点F，
利用相似三角形求出比值，
故选：A．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，掌握直角三角
形的性质是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理，矩形的判定与性质
【分析】在点A的右侧取一点G，使得 ，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，先根据相
似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF
最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得GF和CG的长，最后根据相似三角形的性质，
即可求得答案．
解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得 ，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l∥BC，∠ACB＝90°，
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∴∠CAG＝90°，
∵EF⊥CE， ，
∴ ，
∴ ，
∵∠CEF＝∠CAG＝90°，
∴△CEF∽△CAG，
∴ ，∠ECF＝∠ACG，
∴ ，∠GCF＝∠ACE，
∴△GCF∽△ACE，
∴∠CGF＝∠CAE＝90°，
∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°，
∴∠HGF＝∠ACG，
∵tan∠ACG ，
∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N，
∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°，
∴四边形ACNH是矩形，
∴HN＝AC＝4，AH＝CN，
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∵BF⊥GF，∠CGF＝90°，
∴BF∥CG，
∴∠FBN＝∠GCN，
∵AH∥CN，
∴∠CGA＝∠GCN，
∴∠FBN＝∠CGA，
∵∠FNB＝∠CAG＝90°，
∴△FNB∽△CAG，
∴ ，
∵AG AC，
∴FN＝2BN，
设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x，
∴FH＝4﹣2x，
∴AH＝CN＝x+5，
∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3，
∵tan∠ACG＝tan∠HGF，
∴ ，
∴ ，
解得x＝1，
∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4，
∴GF 2 ， ，
∵△GCF∽△ACE，
∴ ，
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∴ ，
解得AE＝4，
∴当BF最短时，则AE的长度为4．
故选：B．
【点评】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，
勾股定理等知识，探究线段BF最短时的几何图形是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【分析】根据题意容易证明△AEB≌△AFB（SAS），从而可得∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，进
而可得∠EAH＝∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≌∠BCK
（AAS），结合四边形BMNK是平行四边形可得MN＝BK＝AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC﹣
△BAF，△AEC﹣△HNC，可得EN•BF＝CN•AF＝CN•AE＝EC•HN，从而得出结论③正确，过点F作
FP⊥AC，设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，解三角形求出 ， 从而求出
故结论④正确，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC、
△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误．
解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，
在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，
∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，
∴△AEB≌△AFB（SAS），
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵EG⊥AF，
∴∠NEC+∠AFE＝90°，
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又∵∠BAF+∠AFE＝90°，
∴∠NEC＝∠BAF，
∵BK∥EN，
∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，
∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，
设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，
∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，
∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确，
∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，
∵在△ABF和△BCK中，
，
∴△ABF≌∠BCK（AAS），
∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，
∵BK∥EN，AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴MN＝BK，
∴MN＝AF，故结论①正确，
∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴△NEC﹣△BAF，
∴ ，
∴EN•BF＝CN•AF，
∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，
∴△AEC∽△HNC，
∴ ，
∴CN•AE＝EC•HN，
∵AE＝AF，
∴CN•AF＝EC•HN，
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∴EN•BF＝EC•HN，故结论③正确，
过点F作FP⊥AC，如图2，
设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，
∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，
∵
∴AP 5 ，
∴ ，
故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，
∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，
∴△CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形，
全等三角形的判定与性质等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．
二 、填空题
【考点】位似变换，规律型：点的坐标
【分析】利用待定系数法求出直线AP的解析式，利用两点间的距离公式求出AP，根据位似变换的
性质求出AP，再根据两点间的距离公式列出方程，解方程得到答案．
3
解：设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
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解得： ，
则直线AP的解析式为y x+6，
AP ，
由题意得：AP＝2AP＝5，AP＝2AP＝10，AP＝2AP＝20，
1 2 1 3 2
设A 的坐标为（m， m+6），
3
则（m﹣6）2+（ m+6 ）2＝202，
解得：m＝﹣10，m＝22（舍去），
1 2
当m＝﹣10时， m+6 ，
∴点A 的坐标为（﹣10， ），
3
故答案为：（﹣10， ）．
【点评】本题考查的是位似变换，图形的变化规律，熟记两点间的距离公式是解题的关键．
【考点】相似三角形的应用，勾股定理
【分析】在BC上取点G，使CG＝1，构造出△MCG﹣△BCM，得 ，再根据两点之间线段最短
得出即当M在AG上时， 取最小值．
解：在BC上取点G，使CG＝1，
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又∵BC＝9，CM＝3， ，
又∵∠MCG＝∠MCB，
∴△MCG∽△BCM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即当M在AG上时， 取最小值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出
．
【考点】相似三角形的判定与性质，矩形的性质，垂径定理，圆周角定理
【分析】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导出
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∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以
∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得 1，则DG＝EG＝3，求得AD＝7，
CD ，则⊙O的直径AC 2 ．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AF＝1，EG＝FG＝3，
∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠BAC，
∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，
∵∠ABE＝∠ACG，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，
∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，
∴△CDG∽△AEG，
∴ 1，
∴DG＝EG＝3，
∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD ，
∴AC 2 ，
∴⊙O的直径为2 ，
故答案为：2 ．
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【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、90°的圆周角所对的弦是直径、相似三角
形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K，利用 计算出CF，证
△EDK∽△CDF，推出 ，可得EK取最大值时， 取最小值，点D运动过程中，始终保持
AE⊥CD，所以点E在以AC中点O为圆心， 长为半径的圆上，当点E，K，O共线时，EK取最大值，
分两种情况讨论：当点E在弧AF上时，当点E在弧CF上时，进一步解答即可．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ．
∵CF⊥AB，EK⊥AB，
∴∠EKD＝∠CFD＝90°，
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又∵∠EDK＝∠CDF，
∴△EDK∽△CDF，
∴ ，
∵ ，是定值，
∴EK取最大值时， 取最小值，
∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD，
∴点E在以AC中点O为圆心， 长为半径的圆上，
当点E在弧AF上时，当点E，K，O共线时，即点E在E′位置时，EK取最大值，
∵∠AK′O＝∠ACB＝90°，∠K′AO＝∠CAB，
∴△K′AO∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，即EK的最大值为 ，
∴ ，
∴ 的最小值是3，
当点E在弧CF上时，
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同理可知，E与点C重合时，D与B重合，EK最大，
∴ 的最小值是1，
综上所述， 的最小值是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，找出点E的运动轨迹是解题的关键．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形
【分析】证明△ADE≌△BCE（SAS），推出∠AED＝∠BEC，再由直角三角形斜边中线的性质求得∠HCE
＝∠BEC，推出∠HCE＝∠AED，可得到CH∥AE，故①正确，证明∠M＝∠ABF，由正切函数的定义可判
断②错误，由平行线的性质求得S ＝S ，即可求得 ，故③错误，证明
△CGH △CEH
△AFG∽△MFD，推出 ，再等量代换即可证明④正确．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠AED＝∠BEC，
∵点H为BE的中点，
∴ ，
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∴∠HCE＝∠BEC，
∴∠HCE＝∠AED，
∴CH∥AE，故①正确，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，即AB∥DM，
∴∠M＝∠ABF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAF＝90°，
∵点F为AD的中点，
∴ ，
∴ ，
∴∠M≠30°，故②错误，
∵CH∥AE，
∴S ＝S ，
△CGH △CEH
设正方形ABCD的边长为2a，
∴S ＝（2a）2＝4a2， ，
正方形ABCD
∴ S S ，故③错误，
正方形ABCD 正方形ABCD
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠BAF＝90°，
∵点E，F分别为CD，AD的中点，
∴DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠EAD＝∠FBA，
∵∠M＝∠FBA，
∴∠M＝∠EAD，
∵AB∥DM，
∴△ABF∽△DMF，
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∴ ，
∵点F为AD的中点，
∴ ．
∴DM＝AB＝CD，
∵∠AFG＝∠MFD，∠M＝∠EAD，
∴△AFG∽△MFD，
∴ ，
∵DM＝CD，
∴ ．
∴AG•MF＝CD•AF，故④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角
三角形，掌握以上知识是解题的关键．
【考点】黄金分割，矩形的性质，正方形的判定与性质
【分析】先根据黄金矩形 ABCD 中 ，且 AD＝2，求出 ，进而求出
， ，再根据弧长公式即可求出“黄金螺
线”AFHK的长．
解∵黄金矩形ABCD中 ，且 AD＝2，
∴ ，
∵四边形ABFE是正方形，
∴ ，
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∴ ，
∵四边形FGHC是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形LKDH是正方形，
∴ ，
∴“黄金螺线”AFHK的长为
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式 ，根据黄金矩形的定义求出AB的长，
以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，圆周角定理，旋转的性质
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【分析】先整理得AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，则 ，结合∠BCE＝
∠ACD＝90°，整理得∠ACB＝∠ECD，证明△CED∽△ACB，即∠EDC＝∠ABC＝90°，运用定角定弦，
故点D在以CE为直径的圆上，连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D ，运用勾股定理得
1
，即可作答．
解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA，在射线CA 上取一点D，连结AD，连接DE，
1 1
∴∠ACD＝90°，
∵△ACD面积为24，
∴ ，
∴AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，
∵BC＝6，
∴BC×CE＝6×8＝48，即AC×CD＝BC×CE，
∴ ，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
∴∠ACB＝∠ECD，
∵ ，
∴△CED∽△CAB，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
∵CE＝8，
即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，
记圆心为直径CE的中点O，
即⊙O的半径OD＝4，
连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D，
1
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此时BD 为BD的最大值，
1
故 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点
D在以CE为直径的圆上是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】作AH⊥BC．DG⊥BC．DF⊥AH，垂足分别为H．G．F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG＝FH，DF
＝HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG＝DG，三线合一得到BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，证明
△ADF∽△ACH，得到 ，设DF＝3x，CH＝5x，求出DG，CG的长，正切的定义
求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值，证明△DEC∽△BED，列出比例式进行求
解即可．
解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，
∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，
∵∠DBC＝45°
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BG＝DG，
∵AB＝AC，
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∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACH，
∴ ，
∴设DF＝3x，CH＝5x，
则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，
∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，
∴ ，
∴在Rt△CGD中， ，
由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，
∴ （负值舍去），
∴ ，BC＝2CH＝10x ，
∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDE＝∠CBD＝45°，
又∵∠E＝∠E，
∴△DEC∽△BED，
∴ ，
∴ ，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE，
∴ ，
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解得：CE＝0（舍去）或CE ，
故答案为：4， ．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊
图形和相似三角形是解题的关键．
三 、解答题
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到 ，得到BC
＝2CM，求得AD＝2CM，得到 ，于是得到AG＝2GC，
（2）①根据勾股定理得到 ，求得BD＝AC＝10，如图，过点I作IH⊥BC，垂足为
H，设IH＝r，则 （BC+CD+BD）•r BC•CD，得到r＝2，于是得到结论，
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，由AB+AC＝
2BC得 ，在△BCD中， ，解方程得到 ，根据相似三
角形的性质得到 ，求得 ，得到GQ＝IH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADG∽△CMG，
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∴ ，
∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM，
∴AD＝2CM，
∴ ，
∴AG＝2GC，
（2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴ ，
∴BD＝AC＝10，
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，
设IH＝r，则 （BC+CD+BD）•r BC•CD，
∴r＝2，
即IH＝2，
∴点I到BC的距离为2，
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，
设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，
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由AB+AC＝2BC得 ，
在△BCD中， ，
∴ ，
∵GQ∥AB，
∴△CGQ∽△CAB，
∴ ，
∵AG＝2GC，
∴AC＝3GC，
∴ ，
∴ ，
∴GQ＝IH，
∵IH⊥BC，GQ⊥BC，
∴GQ∥IH，
∴四边形GQHI是平行四边形，
∴GI∥BC，
即EF∥BC，
∴ ，
∴△DEF∽△DBC，
∴ ，
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∴ ．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌
握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由∠CAD＝∠EAB 推出∠CAB＝∠DAE，结合 AE•AB＝AD•AC 得比例式，证明
△ABC∽△ADE，利用∠C＝90°得出∠E的度数．
（2）由矩形面积和△AEF面积关系得AE•AF的定值，结合FA⊥EA和矩形中∠ABE＝90°，证明
△ABE∽△AFD，得出∠AFD＝90°，即可得出F在以AD为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求
解．
（3）先计算梯形的面积和△EFG的面积，结合GE⊥FE得FE•GE的定值，根据（2）构造矩形QPEB，证
明△PEG∽△FEB，得出∠PGE＝∠FBE＝90°，得出G在PE为直径的圆上，进而求得出当△ADG的
面积最小时，得出△PGE是等腰直角三角形，勾股定理即可得出EG的长．
（1）解：∵∠CAD＝∠EAB，
∴∠CAD+∠DAB＝∠EAB+∠DAB，
即∠CAB＝∠DAE，
∵AE•AB＝AD•AC，
∴ ，
∴△ABC∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等），
∵∠C＝90°，
∴∠E＝∠C＝90°，
（2）证明：∵FA⊥EA， ，
∴ ，
即AF•AE＝AB•AD，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
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∴∠BAD＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，
∵FA⊥EA，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAD＝∠BAE＝90°﹣∠DAE，
∴△ABE∽△AFD，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上运动，
∴F到BC的最大距离为 ，
（3）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，
∴ ，
∵GE⊥FE，
∴ ，
即GE•EF＝24，
∵点E是线段AB的中点，
∴ ，
如图，取BQ＝6，作矩形QPEB，则PE＝QB＝6，∠PEB＝∠B＝90°，连接PG，
∴EB•PE＝4×6＝24，
∴EB•PE＝GE•EF，
∴ ，
又∵∠GEF＝∠PEB＝90°，
∴∠GEP＝∠FEB＝90°﹣∠PEF，
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∴△PEG∽△FEB，
∴∠PGE＝∠FBE＝90°，
∴G在PE为直径的圆上，
∴当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形，
∴ ．
【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩
形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，
利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解．
【考点】相似形综合题
【分析】【问题初探】AC＝x，则BC＝1﹣x．根据黄金分割点，得 ，代入数值计算，即可作答，
【问题再探】根据题意作出图形即可，
【知识迁移】由正方形和矩形的性质得出∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，由
点C为线段AB的黄金分割点，根据相似三角形的性质即可得出结论，
【延伸拓展】根据正五边形的性质得到∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，推出△AME∽△AED，
根据相似三角形的性质得到AE：AD＝AM：AE，得到AE2＝AD•AM，等量代换即可得到结论．
【问题初探】解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴ ，
即 ，
解得x （负值舍去）．
即黄金比为 ，
【问题再探】解：如图所示，点E即为AC的黄金分割点，
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【知识迁移】证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴ ，
∴ ，
∴△EAB∽△BCD，
【延伸拓展】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD•AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD•AM，
∴点M是AD的黄金分割点．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、黄金分割、正方形的性质、矩形
的性质、正五边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握黄金分
割和正方形的性质以及正五边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可，
（2）由题意得△AEF∽△AOB，推出∠EAB＝∠EAO， ，再得到△AFB∽△AEO，推出 ，
根据正方形的性质求解即可，
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（3）同理可证△AFB∽△AEO，得到 ，根据线段垂直平分线的性质求得AB＝2BG，再根据余
弦函数的定义求解即可，
（4）同理可证， ， ，根据BE＝OE+OB，求解即可．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAB＝∠DAC＝45°，AD OA，
∴旋转角为45°，k ，
∴k ，
故答案为：45°， ，
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF＝∠OAB， ，
∴∠FAB＝∠EAO， ，
∴△AFB∽△AEO，
∴ ，
∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴ ，
∴ ，
（3） 的值与α无关，理由如下，如图，
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同理可证△AFB∽△AEO，
∴ ，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO＝BO，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB＝2BG，cos∠ABO ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值与α无关，
（3）同理可证，∠BAO ， 2cos ，
∴BF＝OE•2cos ，BA＝OB•2cos ，
∵BE＝OE+OB，
∴BF+BA＝OE•2cos
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＝2（OE+OB）cos ，
即BF+BA＝2BEcos ．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性
质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，再结合平行四边形的性质可得∠PCG＝∠QFG，
然后根据三角形内角和定理可得∠CQE＝∠P，即可求证，
（2）根据全等三角形的性质可得EQ＝EP，从而得到FQ＝CP，可证明△FQG≌△CPG，从而得到FG＝
CG＝3，GQ＝GP＝5，再由折叠的性质得：AF＝AB，再根据△CGP∽△BAP，可得AB＝12，即可求解，
（3）延长AD，EQ交于点M，设CQ＝a，BE＝b，证明△DQM∽△CQE得出DM＝2bn，证明△FEP∽△CEQ，
得出 ，证明△AMF∽△PEF，得出 ，进而求得 ，根据PC∥AD得出
△GPC∽△GAD，根据相似三角形的性质，即可求解．
解：（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠PCG，
∴∠AFE＝∠PCG，
∵∠AFE＝∠QFG，
∴∠PCG＝∠QFG，
∵∠FGQ＝∠CGP，
∴∠CQE＝∠P，
∵CE＝BE，BE＝EF，
∴EF＝EC，
又∵∠CEQ＝∠FEP，
∴△EFP≌△ECQ（AAS），
（2）∵△EFP≌△ECQ，
∴EQ＝EP，
∵EF＝EC，
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∴FQ＝CP，
∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，
∴△FQG≌△CPG（AAS），
∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，
由折叠的性质得：AF＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△CGP∽△BAP，
∴ ，
∴ ，解得：AB＝12，
∴CD＝12，
∴DQ＝CD﹣CG﹣QG＝4，
（3）如图，延长AD，EQ交于点M，
设CQ＝a，BE＝b
∴ ，CE＝2BE，
∴DQ＝an，EC＝2b，
∴AB＝CD＝（n+1）a，AD＝3b，
∵△ABE关于AE折叠，
∴AF＝AB＝（n+1）a，
∵AD∥BC，即DM∥EC，
∴△DQM∽△CQE，
∴ ，即 ，
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∴DM＝2bn
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADQ，
又∵△ABE关于AE折叠，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠AFQ+∠AFE＝180°，
∴∠AFQ+∠ADQ＝180°，
∴∠DAF+∠DQF＝180°，
∵∠EQC+∠DQF＝180°，
∴∠EQC＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠FPE，
∴∠EQC＝∠FPE，
又∵∠FEP＝∠CEQ，
∴△FEP∽△CEQ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△AMF∽△PEF，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
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又∵PC∥AD，
∴△GPC∽△GAD，
∴ ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折
叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
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