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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题24 动点问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）如图，在菱形 中， ， ，点P是 边上一个动点，在
延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接 交于点M．当点P从B点运动
到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，
解题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作 交 于点H，根据 ，四边形 是菱形， ，算出
，得出 ， 垂直平分 ，再证明 ，得出 ，证明
垂直平分 ，点M在 上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作 交 于点H，
∵ ，四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴点M在 上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点 ，
此时，∵ ，四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ．
故点M的运动路径长为 ．
故选：B．
2.（ 2024四川广元）如图①，在 中， ，点P从点A出发沿A→C→B以1 的速度
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匀速运动至点B，图②是点P运动时， 的面积 随时间x（s）变化的函数图象，则该三角
形的斜边 的长为（ ）
A. 5 B. 7 C. D.
【答案】A
【解析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知， 面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到 ，由图象可知
， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知， 面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时， 的面积最大，
∴ ，即 ，
由图象可知，当 时， ，此时点P运动到点B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
3.（ 2024甘肃临夏）如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点 从 出发，沿着
的路径行进，过点 作 ，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与 的函数
图象如图2，则 的长为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定 的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
由图象得： ，当 时， ，此时点P在 边上，
设此时 ，则 ， ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
，
故选：B．
4.（ 2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到点C
时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点
时， 的长为（ ）
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A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】结合图象，得到当 时， ，当点P运动到点B时， ，根据菱形的
性质，得 ，继而得到 ，当点P运动到 中
点时， 的长为 ，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，
直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当 时， ，
当点P运动到点B时， ，
根据菱形的性质，得 ，
故 ，
当点P运动到 中点时， 的长为 ，
故选C．
5.（ 2024江苏苏州）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每
秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂
足为G，则 的最大值为（ ）
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A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直
角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出 的
轨迹，从而求出 的最大值．
【详解】解：连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
，
在 与 中，
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，
，
， ， 共线，
， 是 中点，
∴在 中， ，
的轨迹为以 为圆心， 为半径即 为直径的圆弧．
∴ 的最大值为 的长，即 ．
故选：D．
6.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰 中， ， ，动点E，F同时从点
A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随
之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方
形 和等腰 重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象
之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当 与 重合时，及当 时
图象的走势，和当 时图象的走势即可得到答案．
【详解】当 与 重合时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当 在 下方时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
二、填空题
1.（ 2024江苏连云港）如图，在 中， ， ， ．点P在边 上，过点P
作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在点P从点A
到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
【答案】 ##
【解析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的
距离，以 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，利用含30度角的直角三角形
的性质，求出点 的坐标，得到点 在直线 上运动，求出点 分别与 重合时，点
的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，
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则： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，则： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
令 ，
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则： ，
∴点 在直线 上运动，
当点 与 重合时， ，此时 ，
当点 与 重合时， ，此时 ，
∴点E所经过的路径长为 ；
故答案为： ．
2.（ 2024江西省）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过点C的弦 ，
将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段 的长为______．
【答案】 或 或2
【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据 ，可得 或2，利用勾股定
理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】 为直径， 为弦，
，
当 的长为正整数时， 或2，
当 时，即 为直径，
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将 沿 翻折交直线 于点F，此时 与点 重合，
故 ；
当 时，且在点 在线段 之间，
如图，连接 ，
此时 ，
，
，
，
，
；
当 时，且点 在线段 之间，连接 ，
同理可得 ，
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，
综上，可得线段 的长为 或 或2，
故答案为： 或 或2．
3.（ 2024四川凉山）如图， 的圆心为 ，半径为 ， 是直线 上的一个动点，过点
作 的切线，切点为 ，则 的最小值为______
【答案】
【解析】【分析】记直线 与x，y轴分别交于点A，K，连接 ；由直线解析式可
求得点A、K的坐标，从而得 均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：
，由 ，则当 最小时， 最小，点P与点K重合，此时 最小值
为 ，由勾股定理求得 的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线 与x，y轴分别交于点A，K，连接 ，
当 ， ，当 ，即 ，
解得： ，
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即 ；
而 ，
∴ ，
∴ 均是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 最小时即 最小，
∴当 时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时 最小值为 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ 最小值为 ．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加
辅助线是解题的关键．
4.（ 2024黑龙江绥化）如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、点 为
射线 上的两个动点，当 的周长最小时，则 ______．
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【答案】 ## 度
【解析】本题考查了轴对称 最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关
于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点时， 的
周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】作 关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是 与 ， 的交点
时， 的周长最短，连接 ，
关于 对称，
∴ ，
同理， ， ，
， ，
是等腰三角形．
，
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故答案为： ．
三、解答题
1.（ 2024甘肃临夏）如图1，在矩形 中，点 为 边上不与端点重合的一动点，点 是对角线
上一点，连接 ， 交于点 ，且 ．
【模型建立】
（1）求证： ；
【模型应用】
（2）若 ， ， ，求 的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形 是正方形， ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握
相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出 ，即可得证；
（2）延长 交 于点 ，证明 ，得到 ，再证明 ，
求出 的长，进而求出 的长；
（ 3 ） 设 正 方 形 的 边 长 为 ， 延 长 交 于 点 ， 证 明 ， 得 到
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，进而得到 ，勾股定理求出 ，进而求出 的长，即可得出结
果．
【详解】解：（1）∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 交 于点 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设正方形 的边长为 ，则： ，
延长 交 于点 ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ．
2.（ 2024河北省）已知 的半径为3，弦 ， 中， ．
在平面上，先将 和 按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在 上，点C在 内），随
后移动 ，使点B在弦 上移动，点A始终在 上随之移动，设 ．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧 的长；
（2）当 时，如图2，求点B到 的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到 的距离为d．
①当点A在劣弧 上，且过点A的切线与 垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
【答案】（1）
（2）点B到 的距离为 ；
（3）① ；②
【解析】【分析】（1）如图，连接 ， ，先证明 为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合
弧长公式可得答案；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，证明四边形 是矩形，可得
， ，再结合勾股定理可得答案；
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（3）①如图，由过点A的切线与 垂直，可得 过圆心，过 作 于 ，过 作
于 ，而 ，可得四边形 为矩形，可得 ，再进一步利用勾股定
理与锐角三角函数可得答案；②如图，当 为 中点时，过 作 于 ，过 作
于 ， ，此时 最短，如图，过 作 于 ，而 ，证明 ，
求解 ，再结合等角的三角函数可得答案．
【小问1详解】
解：如图，连接 ， ，
∵ 的半径为3， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的长为 ；
【小问2详解】
解：过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
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∵ ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴点B到 的距离为 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：①如图，∵过点A的切线与 垂直，
∴ 过圆心，
过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
②如图，当 为 中点时，
过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，此时 最短，
如图，过 作 于 ，而 ，
∵ 为 中点，则 ，
∴由（2）可得 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： （不符合题意的根舍去），
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，
锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3. （2024江苏苏州） 如图， 中， ， ， ， ，反比例函数
的图象与 交于点 ，与 交于点E．
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（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数 图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过
点P作 ，交y轴于点M，过点P作 轴，交 于点N，连接 ，求 面积的
最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1） ，
（2） 最大值是 ，此时
【解析】【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的函数表达式，把D的坐标代入直线 的
函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长 交y轴于点Q，交 于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出 ，设点P
的坐标为 ， ，则可求出 ，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解： ， ，
．
又 ，
．
，
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点 ．
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
将点 代入 ，得 ．
．
将 代入 ，得 ．
【小问2详解】
解：延长 交y轴于点Q，交 于点L．
， ，
．
轴，
， ．
，
，
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，
．
设点P的坐标为 ， ，则 ， ．
．
．
当 时， 有最大值 ，此时 ．
4.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴交于
点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点
，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线
于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当 时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
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，则 的最小值为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成
为解题的关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明 可得 ，设 ，则
,可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐
标；
（4）如图：将线段 向右平移 单位得到 ,即四边形 是平行四边形，可得
,即 ，作 关于对称轴 的点 ,则
，由两点间的距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得
即可解答．
【小问1详解】
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解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∵ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得： ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
综上，点D的坐标为 ．
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【小问3详解】
解：如图：∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∵设 ，则 ,
∴ ，
∴ ，解得： （负值舍去），
当 时， ，
∴ ．
【小问4详解】
解： ∵抛物线的解析式为： ，
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∴抛物线的对称轴为：直线 ，
如图：将线段 向右平移 单位得到 ,
∴四边形 是平行四边形，
∴ ,即 ,
作 关于对称轴 的点 ,则
∴ ,
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
5.（ 2024吉林省）如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线．
动点P从点A出发，以 的速度沿折线 向终点B运动．过点P作 ，交
于点Q，以 为边作等边三角形 ，且点C，E在 同侧，设点P的运动时间为 ，
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与 重合部分图形的面积为 ．
（1）当点P在线段 上运动时，判断 的形状（不必证明），并直接写出 的长（用含t的代
数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）过点Q作 于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到 ，由
，得到 ，解 得到 ；
（2）由 为等边三角形得到 ，而 ，则 ，故 ，解得
；
（3）当点P在 上，点E在 上，重合部分为 ，过点P作 于点G，
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，则 ，此时 ；当点P在 上，点E在 延长
线上时，记 与 交于点F，此时重合部分为四边形 ，此时
，因此 ，故可得
，此时 ；当点P在 上，重合部分为
， 此时 ， ，解直角三角形得
，故 ，此时 ，再综上即可求
解．
【小问1详解】
解：过点Q作 于点H，由题意得：
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ；
【小问2详解】
解：如图，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
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【小问3详解】
解：当点P在 上，点E在 上，重合部分为 ，过点P作 于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
由（2）知当点E与点C重合时， ，
∴ ；
当点P在 上，点E在 延长线上时，记 与 交于点F，此时重合部分为四边形 ，如
图，
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∵ 是等边三角形，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点P与点D重合时，在 中， ，
∴ ，
∴ ；
当点P在 上，重合部分为 ，如图，
∵ ，
由上知 ，
∴ ，
∴此时 ，
∴ ，
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∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当点P与点B重合时， ，
解得： ，
∴ ，
综上所述： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三
角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
6.（ 2024山东威海）如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上一动点，
以 为一边作 ， 交射线 于点 ，连接 ．点 从点 出发，沿 方
向以每秒 的速度运动至点 处停止．设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒．
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（1）求证： ；
（2）求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）求 为何值时，线段 的长度最短．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） ．
【解析】【分析】（ ）设 与 相交于点 ，证明 ，可得 ，
，利用三角形外角性质可得 ，即得 ，即可求证；
（ ）过点 作 于 ，解直角三角形得到 ，
，可得 ，由等腰三角形三线合一可得
，即可由三角形面积公式得到 与 的函数表达式，最后由 ，可得自
变量 的取值范围；
（ ）证明 为等边三角形，可得 ，可知线段 的长度最短，即 的长度最短，当
时， 取最短，又由菱形的性质可得 为等边三角形，利用三线合一求出 即可求
解；
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解
析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判
定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
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证明：设 与 相交于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
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∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
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∴线段 的长度最短，即 的长度最短，当 时， 取最短，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，线段 的长度最短．
7. （2024天津市）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，
点 在第一象限，且 ．
（1）填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
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（2）若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应
点 落在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出
结合勾股定理 ，即可作答．
（2）①由折叠得 ， ，再证明 是等边三角形，运用线段的和
差关系列式化简， ，考虑当 与点 重合时，和当 与点B重合时，分别作
图，得出 的取值范围，即可作答．
②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出 ，再分别以 时， 时，
， 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图：过点C作
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∵四边形 是平行四边形， ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为： ，
【小问2详解】
解：①∵过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点 落在 轴的正半轴上，
∴ ， ，
∴
∵
∴
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∴
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
∴
∵
∴
∴ ；
当 与点 重合时，
此时 与 的交点为E与A重合，
如图：当 与点B重合时，
此时 与 的交点为E与B重合，
∴ 的取值范围为 ；
②如图：过点C作
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由（1）得出 ，
∴ ，
∴
当 时，
∴ ，开口向上，对称轴直线
∴在 时， 随着 的增大而增大
∴ ；
当 时，如图：
∴ ， 随着 的增大而增大
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∴在 时 ；在 时 ；
∴当 时，
∵当 时，过点E作，如图：
∵由①得出 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴开口向下，在 时， 有最大值
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∴在 时，
∴
则在 时， ；
当 时，如图，
∴ ， 随着 的增大而减小
∴在 时，则把 分别代入
得出 ，
∴在 时，
综上：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
8. （2024四川德阳）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，求 的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3） 的最小值为：
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求解 的对称轴为直线 ，而 ，再利用二次函数的性质可得答
案；
（3）求解 ， ，可得 ，求解直线 为 ，及 ，证明 在
直线 上，如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，可得 ，
，证明 ，可得 ，可得
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，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
【小问2详解】
解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ，
∴函数最小值为： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴函数值的范围为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
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设直线 为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 为 ，
∵拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，而顶点为 ，
∴ ，
∴ 在直线 上，
如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵对称轴与 轴平行，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线的对称性可得： ， ，
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∴ ，
当 三点共线时取等号，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求
解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
9.（ 2024四川南充）如图，正方形 边长为 ，点E为对角线 上一点， ，点P在
边上以 的速度由点A向点B运动，同时点Q在 边上以 的速度由点C向点B运
动，设运动时间为t秒（ ）．
（1）求证： ．
（2）当 是直角三角形时，求t的值．
（3）连接 ，当 时，求 的面积．
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【答案】（1）见解析 （2） 秒或2秒 （3）
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，得到 ，再题意得到 ，从而得到
；
（2）利用题目中的条件，分别用t表示 、 、 ，再分别讨论当 、
和 时，利用勾股定理构造方程求出t即可；
（3）过点A作 ，交 的延长线于点F，连接 交 于点G．由此得到 ，由已
知得到 进而得到 ，由题意 ，则 ，再依
次证明 、 ，得到 ，从而证明 ，即
是等腰直角三角形．则 ，再用 求出 的面积．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
．
，
．
【小问2详解】
解：过点E作 于点M，过点E作 于点N．
由题意知 ，
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∵
∴ ，
∵
∴
由已知，
．
，即 ，
，即 ，
，即 ．
①当 时，有 ．
即 ，整理得 ．
解得 （不合题意，舍去） ．
②当 时，有 ．
即 ，整理得 ，解得 ．
③当 时，有 ．
即 ，整理得 ，该方程无实数解．
综上所述，当 是直角三角形时，t的值为 秒或2秒．
【小问3详解】
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解：过点A作 ，交 的延长线于点F，连接 交 于点G．
，
．
又 ，
．
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
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是等腰直角三角形．
，
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理．解答过程中，灵
活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键．
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