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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 13 圆①
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共10小题）
（2025•青海）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．50° C．40° D．25°
（2025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
（2025•凉山州）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若am＜bm，则a＜b
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O， ，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（
）
A．20° B．35° C．55° D．70°
（2025•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若 ，则
∠D的度数为（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．75°
（2025•新疆）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
（2025•福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝
30°，则∠BCP的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
（2025•南充）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为
弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
（2025•青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点
A．若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为（ ）
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A．52° B．54° C．64° D．74°
（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，
以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
二 、填空题（本大题共10小题）
（2025•长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为
．
（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm．
（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧 的长为
．
（2025•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2 ，则 的长为 ．
（2025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，
∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高
度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为 °．
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（2025•南通）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心， 为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A
交于B，C两点，则BC的最小值为 ．
（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，
则图中阴影部分的面积为 ．
（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的
两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 度．
（2025•广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切
点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是 ，若过点O作OC∥PA交
直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数
解析式为 ．
（2025•泸州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积
为16π，则点B到CD的距离为 ．
三 、解答题（本大题共8小题）
（2025•广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：
AD平分∠BAC．
（2025•湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点
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C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数，
（2）求证：AC＝BC．
（2025•宿迁）如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，线段OB与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线交直线
AB于点D，且AD＝CD．
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由，
（2）若∠B＝30°，CD＝4，求图中阴影部分的面积．
（2025•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小，
（Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求
ED和EG的长．
（2025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交
⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．
（1）求证：FD＝FG，
（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．
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（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于
点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB ，求四边形ODCE的面积．
（2025•青海）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线，
（2）已知BC＝2，求 的长（结果保留π）．
（2025•遂宁）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接
四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接
四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．
其中是邻等内接四边形的有 （填序号）．
（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四边形ABCD
的面积．
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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 13 圆①答案解析
一 、选择题
【考点】圆周角定理，直角三角形的性质
【分析】根据AB是⊙O的直径得出∠ACB＝90°，即可求解．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∠CAB+∠B＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠B＝50°，
∠ADC＝∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或
等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系
【分析】直接利用圆周角定理求解．
解：∵∠AOB和∠C都对 ，
∴∠C ∠AOB 100°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半．
【考点】垂径定理，线段垂直平分线的性质，正方形的判定
【分析】互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A，
根据不等式的性质可知，只有当m＞0时，原式才正确，据此可判断B，
根据正方形的判定定理可判断C，
根据垂径定理可判断D．
解，A．若|a|＝|b|，则a＝±b，原说法错误，不符合题意，
B、若am＜bm（m＞0），则a＜b，原说法错误，不符合题意，
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意，
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，掌握以上知
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识点是解题的关键．
【考点】圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝110°，根据 得到∠ADB＝∠BDC，即可得到
∠BDC的度数．
解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
∵ ，
∴∠ADB＝∠BDC ∠ADC＝55°．
故选：C．
【点评】此题考查圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系等知识，关键是根据圆内接四边形的
性质得到∠ADC＝110°解答．
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系
【分析】根据已知易得：∠AOC＝∠BOC＝90°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
解：连接OC，
∵ ，AB为⊙O的直径，
∴∠AOC＝∠BOC ∠AOB＝90°，
∴∠D ∠AOC＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
【考点】圆周角定理，垂径定理
【分析】先根据垂径定理得到∠ADC＝∠BDC＝30°，再根据圆周角定理即可得到∠BOC＝60°．
解：连接BD，
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∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，
∴∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握以上性质是解题的关键．
【考点】切线的性质，圆周角定理
【分析】连接OA．OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边
三角形的判定和性质解答即可．
解：如图，连接OA．OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB＝∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【考点】圆周角定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
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【分析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，由垂径定理得 ，进而得∠AOC＝
∠COF＝∠BOF＝60°，∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间
线段最短得当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，在利用直角三角形的性质即可
求解．
解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，
∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，
∴ ，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF，
∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，
∴点F关于AB的对称点为点M，
∴PM＝PF，
∴PE+PF＝PE+PM≥EM，
当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，
∵∠AOC＝60°，AD⊥AB，
∴∠D＝30°，
∴OD＝2OA，
∵CD＝4，
∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4，
∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4，
∵AF⊥OC，∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴ ，
∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6．
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故选：C．
【点评】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟
练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．
【考点】切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【分析】连接AC，由圆周角定理得到AC是圆的直径，由切线的性质推出∠CAE＝90°，由圆内接四
边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD＝52°，由圆周角定理得到∠CAD＝∠CAB
∠BAD＝26°，即可求出∠DAE的度数．
解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与⊙O相切于点A，
∴EA⊥AC，
∴∠CAE＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝128°，
∴∠BAD＝52°，
∵CD＝BC，
∴ ，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠CAD ∠BAD＝26°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝64°，
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是由圆内接四边形的性质
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得到∠BAD+∠BCD＝180°，由圆周角定理推出∠CAD＝∠CAB．
【考点】三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】根据题意，等腰△ABC 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD＝3，当
⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入数值求解r的范围，进而确定选项．
解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，
锐角三角形ABC中，AB＝AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得： ，
设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r，
即|5﹣r|＜3＜5+r，
解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件
是关键．
二 、填空题
【考点】垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】由垂径定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的长．
解：∵OC⊥AB于点C，
∴AB＝2AC＝2×3＝6，
∴OA＝AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查垂径定理，关键是由垂径定理推出AB＝2AC．
【考点】点与圆的位置关系
【分析】根据“点P在圆上⇔d＝r”求解即可．
解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，
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∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆
心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r．
【考点】三角形的外接圆与外心，弧长的计算
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式计算即可．
解：如图，连接OB、OC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴劣弧 的长为： π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
【考点】三角形的外接圆与外心，弧长的计算，圆周角定理
【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角
三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OC＝OB BC 2 2，
∴ 的长为： π，
故答案为：π．
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【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
【考点】切线的性质，圆周角定理
【分析】根据平行线的性质求出∠OFH，根据切线的性质得到∠OFI＝90°，进而求出∠IFH．
解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，
∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，
∵GD∥HF，
∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，
∵FI是⊙O的切线，
∴OF⊥FI，
∴∠OFI＝90°，
∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，
故答案为：43．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【考点】垂径定理，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2得直线y＝kx﹣3k+2过定点（3，2），再求出AP＝2
得点P在⊙A内部，根据垂径定理得当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，此时BC
＝2BP，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP＝3，进而可得BC的最小值．
解：对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2，
∴直线y＝kx﹣3k+2过定点P（3，2），
∵点A（3，0），
∴AP 2，
又∵⊙A的半径为 ，AP ，
∴点P在⊙A内部，
根据垂径定理得：当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，如图所示：
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则BP＝CP，
∴BC＝2BP，
在Rt△ABP中，AB ，AP＝2，
由勾股定理得：BP （ 3，
∴BC＝2BP＝6，
即BC的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，熟练掌握一次函数的图象，垂径定理，勾股定
理是解决问题的关键．
【考点】垂径定理，扇形面积的计算，菱形的性质
【分析】根据菱形的判定与性质证明证明OB⊥AC，根据等边三角形的判定与性质证明∠AOB＝
60°，利用扇形面积公式，根据S ＝S 计算即可．
阴影 扇形AOB
解：如图，连接OB．
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝AB，
∴▱OABC是菱形，
∵OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
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∴∠AOB＝60°，
∴S ＝S π×12 ．
阴影 扇形AOB
故答案为： ．
【点评】本题考查垂径定理、菱形的性质，掌握垂径定理、菱形的判定与性质、扇形面积计算公式是
解题的关键．
【考点】直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形内角与外角
【分析】分两种情况，由正多边形的性质，即可求解．
解：如图：
∵∠MPN是正五边形的一个内角，
∴∠MPN 108°，
如图：
∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角，
∴∠OAB＝∠OBA 72°，
∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴这个角的度数为108°或36°．
故答案为：108或36．
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【点评】本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，关键是要分两种情
况讨论．
【考点】切线的性质，，勾股定理，函数关系式
【分析】由题意知点P在⊙O外，得到d＞6，由平行线的性质和角平分线定义推出∠POC＝∠CPO，
得到PC＝OC，由勾股定理得到（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，即可得到y关于x的函数关系式．
解：∵过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，
∴点P在⊙O外，
∴d＞6，
∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，
∴OP平分∠APB，
∴∠APO＝∠BPO，
∵OC∥PA，
∴∠POC＝∠APO，
∴∠POC＝∠CPO，
∴PC＝OC，
∵PA＝x，CD＝y，
∴PC＝OC＝y+6，
∴BC＝PB﹣PC＝x﹣（y+6）＝x﹣y﹣6，
连接OB，
∴半径OB⊥PB，
∴∠OBC＝90°，
∴OC2＝BC2+OB2，
∴（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，
∴y ．
故答案为：d＞6，y ．
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【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，函数关系式，关键是由勾股定理列出关于x、y的等式．
【考点】切线的性质，梯形, 切线长定理, 勾股定理
【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，连接BD，过点B作BH⊥DC于H，根据圆的面
积公式求出⊙O的半径，根据勾股定理求出BE，进而求出BC，再根据三角形面积公式计算即可．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，连接BD，过点B作BH⊥DC于H，
则四边形AEFD为矩形，
∴AD＝EF，
∵⊙O的面积为16π，
∴⊙O的半径为4，
∴AE＝8，
由勾股定理得：BE 6，
∵⊙O与梯形ABCD的各边都相切，AB＝CD＝10，
∴AD+BC＝AB+CD＝20，
∴AD＝EF （20﹣6×2）＝4，
∴BC＝6+4+6＝16，
∵S BC•AE CD•BH，
△BDC
∴BH ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是切线的性质、梯形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
三 、解答题
【考点】切线的性质，圆周角定理
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，再证明OD∥AB，所以∠ODA＝∠BAD，然后利
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用∠ODA＝∠OAD得到∠BAD＝∠OAD，从而得到结论．
证明：连接OD，如图，
∵以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴OD∥AB，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CB，根据题意计算即可，
（2）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的判定证
明．
（1）解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°，
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC．
【点评】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半
径是解题的关键．
【考点】切线的性质，扇形面积的计算，直线与圆的位置关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）连接OA，OD，由直线CD与⊙O相切，可得∠OCD＝90°，证明△OAD≌△OCD（SSS），则
∠OAD＝∠OCD＝90°，然后通过切线的判定方法即可求证，
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（2）由（1）得△OAD≌△OCD，∠OAD＝∠OCD＝90°，则∠AOD＝∠COD，S ＝S ，所以∠AOD＝
△OAD △OCD
∠ COD ＝ 30° ， 通 过 直 角 三 角 形 性 质 得 OD ＝ 2CD ＝ 8 ， 由 勾 股 定 理 得
，最后通过S ＝S +S ﹣S 即可求解．
阴影 △OAD △OCD 扇形AOC
解：（1）直线AB与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，OD，
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O半径，
∴直线AB与⊙O相切，
（2）由（1）得△OAD≌△OCD，∠OAD＝∠OCD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD，S ＝S ，
△OAD △OCD
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝∠COD＝30°，
∴OD＝2CD＝8，
∴ ，
∴ ，
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∴S ＝S +S ﹣S
阴影 △OAD △OCD 扇形AOC
．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角
形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键
【考点】切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【分析】（I）连接OC，由切线的性质得OC⊥AB，而OA＝OB，∠AOB＝80°，所以∠COB＝∠COA＝
40°，则∠CED ∠COB＝20°，
（Ⅱ）连接OC，因为DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3，所以∠DEG＝90°，DG＝6，由EC∥OA，得
∠EFG＝∠AOB＝80°，而∠CED＝20°，则∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°，所以∠G＝30°，则ED
DG＝3，求得EG 3 ．
解：（I）如图①，连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝80°，
∴∠COB＝∠COA ∠AOB＝40°，
∴∠CED ∠COB＝20°，
∴∠CED的度数为20°．
（Ⅱ）如图②，连接OC，
∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3，
∴∠DEG＝90°，DG＝6，
∵EC∥OA，
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∴∠EFG＝∠AOB＝80°，
由（I）得∠CED＝20°，
∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°，
∴ED DG＝3，
∴EG 3 ，
∴ED的长是3，EG的长是3 ．
【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股
定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
【考点】等腰三角形的判定和性质，切线的性质，三角形的外接圆与外心
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到AB∥GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解，
（2）根据垂径定理得到AE＝BE＝6，△ADE是等腰直角三角形，由（1）得到FD＝10，则EF＝4，如图
所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，由此勾股定理即可求解．
（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，
∴AB∥GF，
∴∠BAC＝∠G＝45°，
∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形，
∴FD＝FG，
（2）解：∵DF⊥AB，
∴ ，
∵∠BAC＝45°，
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∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴EA＝ED＝6．
由（1）得FD＝FG＝10，
∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4，
如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，
∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴（x+4）2＝62+x2，
解得， ，
∴ ，
∴⊙O的半径为 ．
【点评】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，
切线的性质等周四，数形结合分析是关键．
【考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，得到∠ODB＝∠C，证明OD∥AC，根
据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质证明，
（2）根据等边三角形的性质求出∠A＝60°，解直角三角形求出EC，再根据梯形面积公式计算即可．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由作图可知：OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
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∴OE⊥AC，
∴OD⊥OE，
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB ，
则OA 2，AE 1，
∴AB＝2 ，
∴EC＝AC﹣AE＝2 1＝1 ，
则四边形ODCE的面积为： （ 1） 3 ．
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半
径是解题的关键．
【考点】切线的判定与性质，弧长的计算，圆周角定理
【分析】（1）连接OD，因为∠A＝∠B＝30°，所以∠BOD＝2∠A＝60°，则∠ODB＝90°，即可证明直
线BD是⊙O的切线，
（2）由∠ODB＝90°，∠B＝30°，得OB＝2OD＝2OC，推导出OC＝BC＝2，而∠COD＝60°，即可根据
弧长公式求得 ．
（1）证明：连接OD，
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠BOD＝2∠A＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠B﹣∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且BD⊥OD，
∴直线BD是⊙O的切线．
（2）解：∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC，
∴OB＝2OD＝2OC，
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∵BC＝OB﹣OC＝2OC﹣OC＝OC，且BC＝2，
∴OC＝2，
∵∠COD＝60°，
∴ ，
∴ 的长是 ．
【点评】此题重点考查圆周角定理、三角形内角和定理、切线的判定、直角三角形中30°角所对的
直角边等于斜边的一半、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
【考点】点与圆的位置关系，勾股定理，圆内接四边形的性质,三角形的的中位线定理
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答，
（2）先根据勾股定理算出 ，设OH＝x， ，结合勾股定理整理得BO2
﹣OH2＝AB2﹣AH2，代入数值得x＝0.7，再证明OH是△BDC的中位线，则DC＝2HO＝1.4，分别算出
S 和S ，即可作答．
△BDC △BDA
解：（1）依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③，
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴ ，
∵四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，且BC为直径，
把BC的中点记为点O，即A，B，C，D四点在⊙O上，
连接BD，AO，相交于点H，
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∵BC＝5，
∴ ，
设OH＝x， ，
∵AB＝AD，
∴AO⊥BD，BH＝DH，
则在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，
在Rt△BOH 中，BH2＝BO2﹣OH2，
∴BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，
即 ，
解得x＝0.7，
∴AH＝2.5﹣0.7＝1.8，
则 ，
即BD＝2.4×2＝4.8，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵BH＝DH，BO＝OC，
∴OH是△BDC的中位线，
∴DC＝2HO＝1.4，
则 ，
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，
∴四边形ABCD的面积＝S +S ＝3.36+4.32＝7.68．
△BDC △BDA
【点评】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
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