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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 19 锐角三角函数
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共6小题）
（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（ ）
A． B．3 C． D．
（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山
峰顶端B的仰角为α，则A．B两点之间的距离为（ ）
A．（m﹣n）sinα米 B． 米
C．（m﹣n）cosα米 D． 米
（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（ ）
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A． B． C． D．
（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，AC＝2 ，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水
面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水
面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数
二 、填空题（本大题共11小题）
（2025•辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6m，
则树AB的高约为 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，
tan51°≈1.23）．
（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1： （斜面坡度是指坡面的铅直高度
BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是 ．
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（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如
图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的
正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为
α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为 m．
（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当
∠CAB＝53°时，他才能开门，那么 BD 长为 ．（参考数据：sin53°≈0.8，
cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）
（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂
直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是
m．（tan22°取0.4）
（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝ ，AB＝26，则点B
到AD的距离为 ．
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（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，
他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯
角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为 m
（结果保留根号）．
（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降
低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0
对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．
若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．
（参考数据：sin15°＝ ，sin75°＝ ）
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，3，…
的顺序沿着箭头方向移动
眼球．移动一圈后再回到
原点，反复进行．
（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．
将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则
tanα＝ ．
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（2025•南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了
两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为 ．
（2025•广元）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，
tan∠ACD＝ ，则AC的长为 ．
三 、解答题（本大题共12小题）
（2025•成都）（1）计算：（ ）﹣1﹣ +2cos45°+| ﹣2|，
（2）解不等式组： ．
（2025•兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函
数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月
球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
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说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再
借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得
∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB
于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（ 参 考 数 据 ： tan89°25′ 37.43''≈ 100.00 ， tan89°22′ 38.09''≈ 92.00 ，
sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′
′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087）
（2025•青海）数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学
揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就
像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面
所形成的夹角均为65°．
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8m，BE＝DF＝
0.3m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6m，求 OE 的长度．（结果精确到 0.1，参考数据：
sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物
的生长规律．
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（2025•乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2．
（1）求AB的长，
（2）求点C到线段AB的距离．
（2025•宜宾）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区， 所在圆的圆心为O，A．B、N、O在同一直线上．
直线AP与 所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°，从点A处沿AO方向前进8.0米到达B
处．直线BQ与 所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据： ≈1.41，
≈1.73，π≈3.14）．
（1）求圆心角∠PON的度数，
（2）求 的弧长（结果精确到0.1米）．
（2025•广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有 ．这是
解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面
示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小
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组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C，
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°，
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用
的数学知识．
（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19
分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处
（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
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（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分
米，求该连衣裙MN的长度，
（2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右
侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
（2025•山东）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣
小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以
检测该部件中l的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，
⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．
【问题解决】
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已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm 2.1cm．
（1）求∠BAO的度数， ∼
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的
长度是否符合要求．（参考数据： ≈1.73）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？
如果能，写出一个，如果不能，说明理由．
（2025•山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于
内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，
内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下
活动报告．
项 景物的测量与计算
目
主
题
驱 如何测量内栏墙围成泉池的直径
动
问
题
活 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
动
内
容
活 方 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆
动 案 的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上．
过 说
图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙
程 明
AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各
点都在同一竖直平面内．
数 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．
据 图中墙的厚度均忽略不计．
测
量
计 …
算
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交 …
流
展
示
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径 BC 的长（结果精确到 1 米．参考数据：
（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）．
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（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b
上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C
位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西
45°方向上．已知AB＝800m．
（1）求∠ACB的度数，
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
（2025•潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O
上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，
平面示意图如图2所示．
（1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的
体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，
并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°≈ ，sin66.87°≈0.92，
cos66.87°≈0.39． ≈1.73，π≈3.14）
（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，
C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙
无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方
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向上，B位于C的北偏西30°方向上．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.65）
（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位），
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速
度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多
少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 19 锐角三角函数答
案解析
一 、选择题
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】根据正弦的定义即可求得答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，
∴sinA＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果．
解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米，
∴sinA＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】根据题意，结合图形，Rt△ABC中，AB＝ ，得到结果．
解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，
∴AB＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【考点】锐角三角函数的定义，勾股定理
【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∴sinB＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键．
【考点】解直角三角形，勾股定理
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【分析】依题意画出示意图，根据正切函数的定义得tanA＝ ＝ ，再根据AC＝ 即可得出BC
的长．
解：如图所示：
在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
∴tanA＝ ＝ ，
∵AC＝ ，
∴BC＝ AC＝ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，垂径定理的应用
【分析】延长DC交EF于点H，根据三角函数的定义得到CH＝ ，DH＝ ，由CD
＝DH﹣CH，求出EH，即可求出EF，即可得到答案．
解：如图，延长DC交EF于点H．
由题意知CD＝AB，FH＝1.5+2＝3.5（米），
在Rt△ECH中，∠AHC＝90°，tan∠ECH＝ ，
∴CH＝ ，
在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，tan∠EDH＝ ，
∴DH＝ ，
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∵CD＝DH﹣CH，
∴ ﹣ ＝AB，
∴EH＝ ，
∴EF＝EH+FH＝（ 3.5）（米）．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关
键．
二 、填空题
【考点】解直角三角形的应用
【分析】在Rt△ABC中，由AB＝BC×tan∠CAB即可求解．
解：由题意得AB⊥BC，∠ACB＝51°，BC＝6m，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，即tan51°＝ ，
AB≈6×1.23＝7.4（m），
故答案为：7.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1： ，
∴BC：AC＝1： ，
∵BC＝15m，
∴AC＝15 m，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝15 （m），
故答案为：15 m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水
平宽度l的比是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α，
∴AB＝AP•cosα＝500×0.98＝490（m），
答：A处到B处的距离为490m．
故答案为：490．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关
键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的
和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．
由题意易知四边形CDBE是矩形，
∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．
∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．
在Rt△ACE中，
∵tanA＝ ，
∴CE＝tanA•AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．
∴BD＝1.2m．
故答案为：1.2m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定是解决
本题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】根据题意可得：PD∥CB，从而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分别在
Rt△PAC和Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：PD∥CB，
∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，
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在Rt△PAC中，PC＝120m，
∴AC＝ ＝120（m），
在Rt△PBC中，∠PBC＝22°，
∴BC＝ ≈ ＝300（m），
∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m），
∴A，B之间的距离约是180m，
故答案为：180．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行
分析添加适当的辅助线是解题的关键．
【考点】解直角三角形，角平分线的性质
【分析】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，利用
面积法求解．
解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠C＝90°，cos∠CAD＝ ＝ ，
∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝5k，
设点B到AD的距离为h，则有 ×13k×h＝ ×26×5k，
解得h＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB
＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，
最后进行计算即可解答．
解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
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由题意得：EF∥AB，
∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝90m，
∴AD＝ ＝ ＝30 （m），
在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝90 （m），
∴AB＝AD+BD＝120 （m），
∴湖泊两端A，B的距离为120 m，
故答案为：120 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用，规律型：图形的变化类
【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首
先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD＝75°，解直角三角形求出 ，
然后利用三线合一求解即可．
解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，3，…
的顺序沿着箭头方向移动
眼球．移动一圈后再回到
原点，反复进行．
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由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，
∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，
∴360°÷12＝30°，
∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，
∴∠AOB＝30°×5＝150°，
∴ ，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝75°，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴ ，
∴这条线段的长为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握
以上知识点．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝x cm，则 CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不
变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的
定义计算即可得．
解：如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，
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设DN＝x cm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变，且放
在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 （9﹣x）cm的长方体的体积与长
为9cm、宽为9cm、高为x cm的长方体的体积的一半之和，
∴ ，
解得x＝4，
即DN＝4cm，
∵AN∥FG，
∴∠AEF＝∠F＝α，
∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠AEF＝α，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练
掌握正切的定义是解题关键．
【考点】解直角三角形，三角形的面积，相似三角形的判定与性质
【分析】设NC＝x，证明△ANC∽△MAD，可求得 ，根据△BMN的面积为3，得到S +S ＝2，
△AMD △ANC
求得x+ ＝4，解方程得到x＝2+ ，根据勾股定理求得AN＝ ，最后得到sin∠MNB的值．
解：如图，在图中标注C，D，
设NC＝x，
∵AD∥NB，
∴∠MAD＝∠ANC，
∵∠MDA＝∠ACN，
∴△ANC∽△MAD，
∵AC＝AD＝1，
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∴ ，
∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1，
∴S +S ＝3﹣1＝2，
△AMD △ANC
∴ ×MD×AD+ ×NC×AC＝2，
即 ＝2，
∴x+ ＝4，
解得x＝2+ ，x＝2﹣ （舍去），
1 2
∵AN2＝AC2+NC2
＝1+4+4 +3
＝8+4 ，
∴AN＝ ，
∴sin∠MNB＝sin∠ANC＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，掌握以上性
质是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】过点B，D分别作AC的垂线段，利用△ODE﹣△OBF得到OF＝2OE，BF＝2DE，再利用AB＝
2AD，推出 Rt△AED～Rt△AFB，进而得到 AF＝2AE，设OE＝x，结合O是AC的中点则可推出AE＝
3x，CE＝5x，由 可表示 ，在Rt△ADE勾股定理建立方程即可求解x，则
AC＝8x可求．
解：如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，
∵∠OED＝∠OFB＝90°，∠DOE＝∠BOC，
∴△ODE∽△OBF，则 ，
设OE＝x，则OF＝2x，EF＝3x，
∵AB＝4，AD＝2，
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∴ ，
∴ ，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，
∴Rt△AED∽Rt△AFB，
∴ ，
∴AF＝2AE，即AE＝EF＝3x，
∴AO＝AE+OE＝4x，
∵O是AC的中点，
∴CO＝AO＝4x，
∴CE＝CO+OE＝5x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADE 中，AD＝2，由勾股定理：AE2+DE2＝AD2，
即 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作
垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．
三 、解答题
【考点】解一元一次不等式组，特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂
【分析】（1）利用负整数指数幂，算术平方根的定义，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再
算加减即可，
（2）解各不等式得到对应的解集后再求得它们的公共部分即可．
解：（1）原式＝4﹣3+2× +2﹣
＝4﹣3+ +2﹣
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＝3，
（2）解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤8，
故原不等式组的解集为2＜x≤8．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌
握解不等式组的方法及相关运算法则是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意，设PH＝x万千米，在Rt△PHB中表示出BH，在Rt△PHA中表示出AH，利用AH+BH
＝AB，得到方程，解方程得到结果．
解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′，
∴BH＝ ＝ ≈ ，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′，
∴AH＝ ＝ ≈ ，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴ ，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意，结合图形，在Rt△OEH中利用三角函数，求出OE长，结合已知条件，求出OA即
可．
解：如图，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵∠AEF＝∠CFE＝65°，
∴OE＝OF，
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∵EF＝0.6m，
∴EH＝ EF＝0.3（m），
∵在Rt△OEH中，∠OHE＝90°，∠OEF＝65°，
∴OE＝ ＝ ≈ ≈0.7（m），
∵AB＝1.8m，BE＝0.3m，
∴OA＝AB﹣OE﹣BE＝1.8﹣0.7﹣0.3＝0.8（m），
问题总结：OA＝0.8m．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练解直角三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形，点到直线的距离
【分析】（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J．解直角三角形求出AJ可得结论，
（2）求出BC，再利用面积法求解．
解：（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J．
在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°，
∴AJ＝AC•sin60°＝ ，CJ＝AC•cos60°＝1，
在Rt△ABJ中，∠B＝45°，
∴AJ＝BJ＝ ，
∴AB＝ AJ＝ ，
（2）过点C作CK⊥AB于点K．
由（1）可知BC＝BJ+CJ＝1+ ，
∵ •AB•CK＝ •BC•AJ，
∴CK＝ ＝ ，
∴点C到线段AB的距离为 ．
【点评】本题考查解直角三角形，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求解．
【考点】解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，弧长的计算
【分析】（1）由圆的切线的性质得到∠APO＝90°，再由直角三角形锐角互余即可求解，
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（2）先解Rt△BQO，设BQ＝x，BO＝2x， ，再解Rt△APO，得到 ，求出x，求出
半径，再由弧长公式即可求解．
解：（1）∵直线AP与 所在⊙O相切于点P，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PON＝90°﹣∠PAO＝45°，
（2）∵直线BQ与 所在⊙O相切于点Q，
∴∠BQO＝90°，
∵∠QBO＝60°，
∴ ，
设BQ＝x，BO＝2x，
∴ ，
∵AB＝8.0m，
∴AO＝AB+BO＝（8.0+2x）m，
∵在Rt△APO中，∠A＝45°，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的弧长为： ，
答： 的弧长为24．lm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活
运用是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根据题意可得
，代入数据求出AB的长，即可解答，
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，
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∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°，
由题意得， ，
又∵BC≈341m，
∴ ，
答：A，B两岛间的距离为499m，
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形，
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数，
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝a m，AC＝b m．
计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵在 Rt△ACD中， ， ，
∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m），
∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m），
∵在Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2，
∴ ，
答：A，B两岛间的距离为
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AGM中利用勾股定理求出AG的长，得到AB长，即可得到
结果，
（2）结合图形，在Rt△AGM中利用三角函数求出AK，可求出BK，即可得到结果．
解：（1）∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，
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∴ （分米），
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），
∴MN＝BG＝14（分米），
∴该连衣裙MN的长度为14分米，
（2）如图2，过M作MK⊥AB于K，
∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，
∴AK＝AM•cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），
∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用，由三视图判断几何体，圆周角定理，切线的性质
【分析】（1）根据切线长定理求解即可，
（2）解直角三角形求得 ，推出 ，据此求解即可，
（3）能，将圆柱换成正方体．
解：（1）∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴AB＝AD， ，
（2）∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC＝OB＝1，
∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
∴ ，
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∴ ，
同理 ，
∴ ，
∵1.9＜2.06＜2.1，
该部件l的长度符合要求，
（3）能，将圆柱换成正方体．
【点评】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正多边形和圆
【分析】根据题意可得：EF＝AD＝26，AD∥EF，从而可得∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝
8.5°，然后设BE＝CF＝x米，则CE＝（26﹣x）米，BC＝（26﹣2x）米，分别在Rt△ABE和Rt△ACE中，
利用锐角三角函的定义求出AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：由题意得：EF＝AD＝26，AD∥EF，
∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，
设BE＝CF＝x米，则CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米，
在Rt△ABE中， ，
∴AE＝BE•tan∠ABE＝x•tan37°，
在Rt△ACE中， ，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝（26﹣x）•tan8.5°，
∴x•tan37°＝（26﹣x）•tan8.5°，
解得： ，
∴ （米），
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正多边形和圆，准确熟练地进行计算是
解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用
【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以
解决问题，
（2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景
点B位于景点D的南偏西45°方向上，
∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，
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∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，
∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°，
（2）方法一：
∵∠CBE＝60°，
∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
由（1）得∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵AB＝800m，
∴AB＝AC＝800m，
在Rt△ACM中， ，
∴ （m），
（m），
∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴DM＝BM＝1200m，
∴ ，
∴景点C与景点D之间的距离为 ．
方法二：
∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．
设AM＝x m，
∴AC＝2x m，
∴CM＝ AM＝ x（m），
在Rt△BCM中，
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，
即 ，
解得x＝400，
经检验得x＝400是原方程的解，
∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴BM＝DM＝1200m，
∴ ．
∴景点C与景点D之间的距离为（ ）m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
【考点】解直角三角形的应用，垂径定理的应用，直线与圆的位置关系，切线的性质，弧长的计算
【分析】（1）根据题意，在△ODC中，利用勾股定理求得OD长，在Rt△ODC中，利用三角函数得到
∠ODC的度数，在Rt△OAD中求出AD和∠ADE，在Rt△ADE中求出AE即可，
（2）在△AOH利用三角函数求出∠AOH大小，得到圆心角∠AOF，则求得所用时间和弧长．
解：（1）如图，连接OA，OD，作AE⊥l，垂足为E，
根据题意可知，OC＝OB+BC＝50+10＝60（米），
∵在△ODC中，DC＝80米，OC⊥DC，
即∠OCD＝90°，
∴ （米），
∴在Rt△ODC中， ，
∴∠ODC≈36.87°，
∵DA与⊙O相切，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵在Rt△OAD中，OA＝50米，
∴ ，
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∴∠ODA＝30°，
∴ ），
∴∠ADE＝∠ODA+∠ODC＝30°+36.87°＝66.87°，
∴在Rt△ADE中，AE＝AD•sin∠ADE＝50 ×sin66.87°＝50 ×0.92＝≈79.6（米），
答：点A处的座舱到地面的距离约为79.6米，
（2）过点A作AF∥1，交⊙O于点F，延长CO，交AF于点H，连接OF，
不妨设CH＝85 米，
∵OC⊥l，
∴OH⊥AF，
∴OH＝CH﹣OB﹣BC＝85﹣50﹣10＝25（米），
∵OA＝50 米，
∴ ，
∴∠AOH＝60°，
∵OH⊥AF，
∴∠AOF＝120°，
∴最佳观赏风景的时间为 （分钟），
且 的长＝ 米），
∴座舱经过的 的长约为104.7米，
答：该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7
米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到勾股定理，弧长公式，切线性质的应用，熟练掌握
解直角三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用
【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到
千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米， 千
米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长，
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（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，由
题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝
30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，
千 米 ， 则 米 ， 由 勾 股 定 理 得
，解方程即可得到答案．
解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
由题意得，∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中， （千米），
DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴AB∥CD，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10千米， 米，
∴DF＝DE+EF＝20千米，
∴ （千米），
答：BD的长度约为26.5千米，
（2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作
MT⊥CD于T，
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由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，
在 Rt△FBC中， 千米，
千米，
∴CD＝DF+CF＝30千米，
设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米，
在 Rt△CMT 中， 千米，
MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（ x）千米，
∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10﹣ x）＝（20﹣ x）千米，
在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2，
∴ ，
∴ 或 （此时大于BC的长，舍去），
∴ （千米），
答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角
三角形是解题的关键．
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