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专题 19 圆
考点 01 垂径定理及其应用
1．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图
是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切于点
，连接 ， ，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
2．（2025·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形 的顶点都在半圆O上， 是半圆O的直径，连接 ，
．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是 的弦，半径 于点 ．若 ， ．则
的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高
点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在 中，直径 于点E， ，则弦 的
长为 ．
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7．（2023·内蒙古·中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，垂
足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
8．（2025·陕西·中考真题）如图， 为 的直径， ， ，则 的度数为 ．
9．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月
洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法
式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞
门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 表示，点O是 所在圆的圆心， 是月洞门的横跨， 是月
洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为 ，拱高
的长度为a．作法如下：
①作线段 的垂直平分线 ，垂足为 ；
②在射线 上截取 ；
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③连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点O；
④以点O为圆心， 的长为半径作 ．
则 就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明
的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点
，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，
主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
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A． B． C． D．
考点 02 圆中的角
1．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的
外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为 ．
2．（2024·海南·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且 ，点P在
上，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
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D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
4．（2024·云南·中考真题）如图， 是 的直径，点 、 在 上．若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在 中，直径 与弦 交于点 ．连接 ，过点
的切线与 的延长线交于点 ．若 ，则 °．
6．（2025·湖北·中考真题）如图， 内接于 ．分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接
， ，则 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
7．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南长沙·中考真题）如图， ， 为 的弦，连接 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
10．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，四边形 内接于 ，点 在 的延长线上．若
，则 度．
11．（2025·山西·中考真题）如图， 为 的直径，点 是 上位于 异侧的两点，连接
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ， ，连接BD，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
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13．（2025·青海·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为直径 延长线上一点， ，
，则 ．
16．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ， ．将射线 绕点C顺时
针旋转 到 ，在射线 上取一点D，连结 ，使得 面积为24，连结 ，则 的最大值是
1
．
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17．（2023·重庆·中考真题）如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图中阴影部分的面
积为 ．（结果保留 ）
考点 03 正多边形与圆
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心，
轴，点 在双曲线 为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，点
恰好落在双曲线上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．
3．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
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4．（2025·青海·中考真题）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点
儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全
相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
平面图 每个内角度
能否整除 能否密铺
形 数
正三角
能
形
正方形 ①________ ②________ 能
正五边
不能
形
正六边
能
形
正七边
不能
形
正八边
③________ ④________
形
．．． ．．． ．．． ．．．
（1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________．
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内
切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．
观察图1，发现 是正三角形 的内切圆，与 切于点 ， ， ， ，在
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中， ，则 的周长为 ．
（2）如图2，正方形 的周长为__________；
（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边
形的面积为__________．
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．
5．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是
该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上， ，
则 ．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形 和正五边形 内接于 ， 和 相交于点
，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数是
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
考点 0 4 弧长及扇形面积
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形 中 ，以宽 为边在其内部作正方形
，得到四边形 是黄金矩形，依此作法，四边形 ，四边形 也是黄金矩形．依次以
点E，G，L为圆心作 ， ， ，曲线 叫做“黄金螺线”．若 ，则“黄金螺线”
的长为 ．（结果用 表示）
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2．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海域
某处 位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所在经线圈
上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）
A． （千米） B． （千米）
C． （千米） D． （千米）
3．（2025·浙江·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线，以点C为圆心，
长为半径作弧，与 的另一个交点为点E．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在 中，如果 的圆心角所对的弧长是 ，那么 的半径是
（ ）
A． B． C． D．
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5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上的动点，
将 沿直线 翻折得到 ，过点 作 ，垂足为 ，点 是线段 上一点，且
．当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
6．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心， 长为半径
作圆，则该圆被正六边形截得的 的长为 ．
7．（2025·广东·中考真题）如图，在直径 为 的圆内有一个圆心角为 的扇形 ．随机地往圆
内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形 的边长为4，中心为点 ，以点 为圆心，以
长为半径作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
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9．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
， ．
(1)将 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 ，请画出 ．
(2)请画出 关于 轴对称的 ．
(3)将 着原点 顺时针旋转 ，得到 ，求线段 在旋转过程中扫过的面积（结果保留
）．
10．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．
该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆 的距离
是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众
同时观看演出．（ 取3.14， 取1.73）
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11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形 中， ，连接 ， ，以点D为圆心、
的长为半径作圆弧 ，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2025·山西·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 为圆心、 的
长为半径画弧，与 的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·四川成都·中考真题）如图， 的半径为1，A，B，C是 上的三个点．若四边形 为
平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点与半圆
的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
15．（2023·四川资阳·中考真题）如图，边长为6的正三角形 内接于 ，则图中阴影部分的面积是
．
16．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为 的正方形 内接于 ，分别过点A，D作⊙O的
切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．
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