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专题三 《逻辑用语》讲义
知识梳理 . 逻辑用语
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)．
0 0 0 0
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再
对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则 p 是 q 的充分条件 ；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则 p 是 q 的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合 .
题型一 . 真假命题
1．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：该方程两根之和为2；
乙：该方程两根异号；
丙：x＝1是方程的根；
丁：x＝3是方程的根．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
∴两根之和不为2，而x＝1，x＝3与两根异号矛盾，与题意不符；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∴两根不异号，即方程有两个相等的根，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x ＝3，则x ＝﹣1，符合题意；
1 2
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
令x ＝1，则x ＝1，与题意不符．
1 2
故选：C．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若x C，x2+1＝0，则x＝i
B．若复∈数z
1
，z
2
满足z
1
2+z
2
2＝0，则z
1
＝z
2
＝0
C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1
【解答】解：由x2+1＝0，x2＝﹣1，x C，令x＝a+bi，
∴x2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，则a2﹣∈b2＝﹣1，2ab＝0，
得a＝0，b2＝1，∴b＝±1．即x＝±1．故A错．
设z ＝（a +b i），z ＝（a +b i），
1 1 1 2 2 2
则z 2+z 2 0，得 ，
1 2 =(a +b i) 2+(a +b i) 2= a2+a2−b2−b2=0
1 2 2 2 1 2 1 2
可得：2（a b +a b ）＝0，当a ＝﹣b ，a ＝b 时成立，则B错．
1 1 2 2 2 1 1 2
设z＝mi，|z|2＝m2，z2＝（mi）2＝﹣m2，∴|z|2≠z2，故C答案错误．
由复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，|3﹣4i|＝5，z（2+i）＝5，
5
z= =2﹣i，
2+i
∴z＝2﹣i，则复数z的虚部为﹣1，故D答案正确．
故选：D．
3．给出下列命题：
①若空间向量→，→满足|→|＝|→|，则→ →；
a b a b a=b②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量→，由→ → → →，则→ →；
c a⋅c=b⋅c a=b
④在向量的数量积运算中 → → → → → → ．
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①若|→|＝|→|，则→与→的模长相等，但方向不确定，只有当两个向量的方
a b a b
向相同时，才有→ →，即①错误；
a=b
②单位向量只代表长度相等，均为1，但方向不确定，即②错误；
③ 由 平 面 向 量 的 数 量 积 可 知 ， 若 → → → →， 则
a⋅c=b⋅c
→ → → → → → ，即③错误；
a⋅cos＜a，c＞=b⋅cos＜b，c＞
④由于平面向量的方向无法确定，所以向量的数量积运算不满足结合律，即④错误；
所以①②③④都是错误的，
故选：D．
4．已知m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（
） α β γ
A．若m⊥ ，n⊥ ，且 ⊥ ，则m⊥n
B．若m∥α，n∥β，且mα β，n ，则 ∥
C．若m∥α，n∥α，则m⊂∥βn ⊂β α β
D．若 ⊥α， ⊥α，则 ∥
【解答α】解γ：βA：γ若m⊥α ，βn⊥ ， ⊥ ，，由线面垂直，面面垂直的性质得m⊥n，
∴A正确， α β α β
B：若m∥ ，n∥ ，m ，n ，则 ∥ 或相交，∴B错误，
C：若m∥α，n∥β，则⊂mα∥n⊂或β相交或α异β面，∴C错误，
D：若 ⊥α， ⊥α，则 ∥ 或相交，∴D错误．
故选：αA．γ β γ α β
5．给出下列命题：（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）设a，b，c为实数，若a＞b，则ac2＞bc2；
π π π
（3）设0＜α＜β＜ ，则 ﹣ 的取值范围是(− ， )．
2 2 2
α β
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：对于（1），在ABC中，若A＞B，则a＞b，
a b
由正弦定理 = =2R，
sinA sinB
得2RsinA＞2RsinB，
即sinA＞sinB成立，（1）正确；
对于（2），a，b，c是实数，“a＞b，且c＝0，则ac2＝bc2”，
则“a＞b”推不出“ac2＞bc2”所以（2）不正确；
π π π π
对于（3），设0＜α＜β＜ ，− ＜−β＜0，则 ﹣ 的取值范围是(− ， )．
2 2 2 2
α β
因此（3）正确；
故选：C．
6．下列五个命题：
①在某项测量中，测量结果 服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若 在（0，2）内取
值的概率为0.4，则 在（0，ξ+∞）内取值的概率为0.8； ξ
②集合A＝{x Z|x2+ξ2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；
③命题“若x2 ∈﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；
1
④若(2x− ) n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为
√x
80；
⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次
2
抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 ．
3
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：P（0＜ ＜2）＝0.4，并且测量结果 服从正态分布N（2，σ2）（σ＞
0）， ξ ξ则P（ ＞0）＝P（0＜ ＜2）+P（ ＞2）＝0.4+0.5＝0.9，故①错误；
经计算ξ可得A＝{x Z|x2 ξ+2x﹣3≤0}ξ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}，
则其真子集的个数∈为2n﹣1＝3，故②正确；
原命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0“，故③
正确；
1
(2x− ) n 的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，可得n＝5，
√x
1 5− 3r ，令 3r ，解得r＝2，
Cr (2x) 5−r (− ) r=(−1) r25−rCrx 2 5− =2
5 √x 5 2
则展开式中x2项的系数为 ，故④正确；
(−1) 2×23×C2=80
5
在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到
7
理科题的概率为 ，
10
7 6 7
第1次和第2次都抽到理科题的概率为 × = ，
10 9 15
7
15 2
∴在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 = ，故⑤正确．
7 3
10
所以有四个正确的命题．
故选：C．
题型二 . 量词与命题的否定
1．命题“ n N*，f（n） N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A． n N*，f∀（∈n） N*且f（∉n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∀ ∈ ∉ 且f（n ）＞n
∃n ∈N∗，f(n )∉N∗ 0 0
0 0
D． 或f（n ）＞n
∃n ∈N∗，f(n )∈N∗ 0 0
0 0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ n N*，f（n） N*且f
∀ ∈ ∉
（n）≤n”的否定形式是： 或f（n ）＞n ．
∃n ∈N∗，f(n )∈N∗ 0 0
0 0故选：D．
π
2．已知f（x）＝sinx﹣x，命题P： x （0， ），f（x）＜0，则（ ）
2
∀ ∈
π
A．P是假命题，❑ ￢P：∀x∈(0， )，f(x)≥0
2
π
B．P是假命题，❑ ￢P：∃x ∈(0， )，f(x )≥0
0 2 0
π
C．P是真命题，❑ ￢P：∀x∈(0， )，f(x)＞0
2
π
D．P是真命题，❑ ￢P：∃x ∈(0， )，f(x )≥0
0 2 0
【解答】解：∵f（x）＝sinx﹣x，∴f′（x）＝cosx﹣1≤0
∴f（x）是定义域上的减函数，
∴f（x）≤f（0）＝0
π
∴命题P： x （0， ），f（x）＜0，是真命题；
2
∀ ∈
π
∴该命题的否定是❑ ￢P：∃x ∈(0， )，f(x )≥0．
0 2 0
故选：D．
3．对于下列四个命题，其中的真命题是（ ）
1 x 0 1 x 0
p ： x （0，+∞），（ ） ＜（ ） ；
1 0
2 3
∃ ∈
p ： x （0，1），log x＞log x ；
2 0 1 0 1 0
2 3
∃ ∈
p
3
： x （0，+∞），（
1 ）x＞log
1x；
2 2
∀ ∈
p
4
： x （0，
1
），（
1 ）x＜log
1x．
3 2 2
∀ ∈
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
1 3 1 4 2 3 2 4
1 1
x x
( ) ( )
2 3 3 2 3 1
【解答】解：∵ =（ ）x，当x＞0时，（ ）x＞1．即 =（ ）x＞1，即（
1 2 2 1 2 2
x x
( ) ( )
3 3
1
）x＞（ ）x，
31 1
则p
1
： x
0
（0，+∞），（ ）❑ x 0＜（ ）
❑
x
0
；为假命题，
2 3
∃ ∈
1 1
= =
❑ ❑
log 1x 1，log 1x 1，
0 0
2 log 3 log
x 02 x03
∵x （0，1），
0
∈ 1 1
1 1 ＞
∴0＜log❑ ＜log❑ ＜1则 1 1，
x 02 x 03 log log
x 02 x03
即p
2
： x
0
（0，1），log❑ 1x
0
＞log
1
x
0
成立，
2 3
∃ ∈
当x=
1
时，（
1 ）x＞log
1x不成立，即p
3
是假命题，
2 2 2
由图象知 x （0，
1
），（
1 ）x＜log
1x．成立，
3 2 2
∀ ∈
故真命题为p ，p ，
2 4
故选：D．
4．若命题“ x R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为 （﹣
5 ， 3 ） ．∃ ∈
【解答】解：命题“ x R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，
即命题“ x R，使得∃x∈ 2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，
则判别式∀△＝∈ （a+1）2﹣4×4＜0，
即△＝（a+1）2＜16，
则﹣4＜a+1＜4，
即﹣5＜a＜3，
故答案为：（﹣5，3）．
题型三 . 充分必要条件
1．（2015•福建）若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“l⊥m”是
“l∥ ”的（ ） α
A．充α分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面 ，则“l⊥m”可能“l∥ ”也可
能l ， α α
⊂α反之，“l∥ ”一定有“l⊥m”，
所以l，m是α两条不同的直线，m垂直于平面 ，则“l⊥m”是“l∥ ”的必要而不充分
条件． α α
故选：B．
2．（2020•天津）设a R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A．充分不必要条件∈ B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
3．设a，b都是不等于1的正数，则“log 3＞log 3＞1”是“3a＜3b”的（ ）
a b
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a，b都是不等于1的正数，
由log 3＞log 3＞1，得1＜a＜b＜3，∴3a＜3b；
a b
反之，由3a＜3b，得a＜b，若0＜a＜1，b＞1，则log 3＜0，故log 3＞log 3＞1不成立．
a a b
∴“log 3＞log 3＞1”是“3a＜3b”的充分不必要条件．
a b
故选：B．
b a
4．设a，b是实数，则“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
b a √b a
【解答】解：若a＞0，b＞0，则 + ≥2 ⋅ =2，故充分性成立，
a b a b
b a b a √b a
若a＜0，b＜0，满足 ＞0， ＞0，满足 + ≥2 ⋅ =2，但a＞0，b＞0不成立，
a b a b a b
b a
故“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分不必要条件，
a b
故选：A．
a b c
5．在△ABC中，设命题p： = = ，命题q：△ABC是等边三角形，那么命
sinC sinA sinB
题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
a b c a b c
【解答】解：由正弦定理可知 = = ，若 = = =t，
sinA sinB sinC sinC sinA sinB
a b c
则 = = =t，
c a b
即a＝tc，b＝ta，c＝bt，
即abc＝t3abc，即t＝1，
则a＝b＝c，即△ABC是等边三角形，
π a b c
若△ABC是等边三角形，则A＝B＝C= ，则 = = =1成立，
3 sinC sinA sinB
即命题p是命题q的充要条件，
故选：C．
6．（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“ → 与 → 的夹角为锐角”是“| → → |＞|
AB AC AB+AC
→ |”的（ ）
BC
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：点A，B，C不共线，
→ → → ，∴ → → → → → ，
BC=AC−AB BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB
→ → →
当 → 与 → 的夹角为锐角时， → → AC2+AB2−BC2 0，
AB AC AC⋅AB= ＞
2
∴“ → 与 → 的夹角为锐角” “| → → |＞| → |”，
AB AC AB+AC BC
⇒
“| → → |＞| → |” “ → 与 → 的夹角为锐角”，
AB+AC BC AB AC
⇒
∴设点A，B，C不共线，则“ → 与 → 的夹角为锐角”是“| → → |＞| → |”的充分
AB AC AB+AC BC
必要条件．
故选：C．
7．已知“x2﹣x﹣2＞0”是“2x+p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是 （﹣∞，﹣
4] ．p p
【解答】解：由2x+p＞0，得x＞− ，即A＝{x|x＞− }，
2 2
由x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，令B＝{x|x＞2或x＜﹣1}，
由题意知A B时，
p ⊆
即− ≥2，
2
解得p≤﹣4，
∴实数p的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
故答案为：（﹣∞，﹣4]．
8．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不
1
充分条件，则实数a的取值范围是 [ 0 ， ] ．
2
1
【解答】解：解|4x﹣3|≤1，得 ≤x≤1． 解 x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0． 得
2
a≤x≤a+1．
因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，
即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．
1
∴[ ，1]⫋[a，a+1]．
2
1 1
∴a≤ 且a+1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤ ．
2 2
1
∴实数a的取值范围是：[0， ]．
2
题型四 . 存在问题、恒成立问题
1．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x R恒成立的充要条件是m （﹣ 8 ， 0 ] ．
【解答】解：∵不等式mx2﹣mx﹣2＜∈0对任意x R恒成立， ∈
∈
∴m＝0或{ m≠0 ，
(−m) 2+8m＜0
解得﹣8＜m≤0．
∴不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x R恒成立的充要条件是m （﹣8，0]．
故答案为：（﹣8，0]． ∈ ∈π
2．若“对任意实数x∈[0， ]，sinx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ．
2
π
【解答】解：“对任意实数x∈[0， ]，sinx≤m”是真命题，
2
∴sinx≤1，
∴m≥1，
∴实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
3．已知命题p： x R，使得ex≤2x+a为假命题，则实数a的取值范围是 （﹣∞， 2 ﹣
ln 2 ） ． ∃ ∈
【解答】解：若命题“ x R，使得ex≤2x+a”成立
则a大于等于函数y＝ex ∃﹣∈2x的最小值．
函数y＝ex﹣2x的导数为y′＝ex﹣2．
令y′＝0，解得x＝ln2，此时函数y＝ex﹣2x有最小值，y ＝2﹣2ln2．
min
则命题“ x R，使得ex≤2x+a”是假命题时
数a的取值∃ 范∈围是（﹣∞，2﹣ln2）
故答案为：（﹣∞，2﹣ln2）．
1
4．已知函数f（x）＝log x，g（x）＝2x+a，若存在x ，x ∈[ ，2]，使得f（x ）＝g
2 1 2 2 1
（x ），则a的取值范围是（ ）
2
A．[﹣5，0] B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）
C．（﹣5，0） D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）
1 1
【解答】解：当 ≤x≤2时，log ≤f（x）≤log 2，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值
2 2
2 2
域为[﹣1，1]，
1 1
当 ≤x≤2时，2× +a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为
2 2
[1+a，4+a]，
1
若存在x ，x ∈[ ，2]，使得f（x ）＝g（x ），
1 2 2 1 2
则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠ ，
若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，
则1+a＞1或4+a＜﹣1， ∅得a＞0或a＜﹣5，
则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠ 时，﹣5≤a≤0，
即实数a的取值范围是[﹣5，0]∅，
故选：A．
