文档内容
2013年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算﹣|﹣3|+1结果正确的是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
2．（3分）某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元，将2580000用科学记数法表示为（
）
A．2.58×107元 B．2.58×106元
C．0.258×107元 D．25.8×106
3．（3分）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
6．（3分）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树
梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
7．（3分）若 是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数
8．（3分）下列各数中，3.14159， ，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1
第1页（共24页）个），﹣ ， ， ，无理数的个数有（ ）
π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知一组数据3，7，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的中位数是（ ）
A．9 B．9.5 C．3 D．12
10．（3分）如图，A、B、C三点在 O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（ ）
⊙
A．100° B．80° C．50° D．40°
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：﹣ + + ＝ ．
12．（4分）分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ ．
13．（4分）4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3＝8是二元一次方程，那么a﹣b＝ ．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，BC＝8，则△ABC的面积为 ．
15．（4分）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝ ．
16．（4分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜ ，则a的取值范围是 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段
AB′，则点B′的坐标为 ．
18．（4分）直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这
第2页（共24页）样的操作后，直线上共有 个点．
三、解答题（共8小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（8分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20130﹣|1﹣ |
20．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a＝ ﹣1．
21．（10分）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．
实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划
完成这一工程的时间是多少月？
22．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比
例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB ＝4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
第3页（共24页）23．（12分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得
EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
24．（12分）某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽查本校九年级的
200名学生，调查的结果如图所示．请根据该扇形统计图解答以下问题：
（1）求图中的x的值；
（2）求最喜欢乒乓球运动的学生人数；
（3）若由3名最喜欢篮球运动的学生，1名最喜欢乒乓球运动的学生，1名最喜欢足球运动
的学生组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能
情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．
第4页（共24页）25．（12分）如图，AB是 O直径，D为 O上一点，AT平分∠BAD交 O于点T，过T作AD
的垂线交AD的延长线⊙于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：CT为 O的切线；
（2）若 O半径为⊙2，CT＝ ，求AD的长．
⊙
第5页（共24页）26．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等
腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
第6页（共24页）2013 年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算﹣|﹣3|+1结果正确的是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【考点】15：绝对值；19：有理数的加法．
【分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|﹣3|＝3，再根据有理数的加法法则
进行计算即可．
【解答】解：﹣|﹣3|+1＝﹣3+1＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的加法，用到的知识点是有理数的加法法则、绝对值，理解绝对
值的意义，熟悉有理数的加减法法则是解题的关键．
2．（3分）某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元，将2580000用科学记数法表示为（
）
A．2.58×107元 B．2.58×106元
C．0.258×107元 D．25.8×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2580000元用科学记数法表示为：2.58×106元．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】先利用平移中点的变化规律求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可
判断点B所处的象限．
第7页（共24页）【解答】解：点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为（1，﹣3），
故点在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．注意平移中点的变化规律
是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知
数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32﹣3k﹣6＝0成立，解
得k＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
5．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】求出AF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
第8页（共24页）B、根据AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正
确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理
有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．（3分）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树
梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【考点】KU：勾股定理的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的
路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
第9页（共24页）在Rt△AEC中，AC＝ ＝10m，
故选：B．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．（3分）若 是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±l D．任意实数
【考点】G1：反比例函数的定义．
【专题】2B：探究型．
【分析】先根据反比例函数的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．
【解答】解：∵此函数是反比例函数，
∴ ，解得a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比
例函数．
8．（3分）下列各数中，3.14159， ，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1
个），﹣ ， ， ，无理数的个数有（ ）
π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】26：无理数．
【专题】1：常规题型．
【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣ ，共两个．
故选：B． π
第10页（共24页）【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
9．（3分）已知一组数据3，7，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的中位数是（ ）
A．9 B．9.5 C．3 D．12
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【专题】11：计算题．
【分析】先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从
小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：∵众数是9，
∴x＝9，
从小到大排列此数据为：3，7，9，9，10，12，
处在第3、4位的数都是9，9为中位数．
所以本题这组数据的中位数是9．
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对
这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排
好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即
为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
10．（3分）如图，A、B、C三点在 O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（ ）
⊙
A．100° B．80° C．50° D．40°
【考点】M5：圆周角定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】由圆周角定理知，∠ACB＝ ∠AOB＝40°．
【解答】解：∵∠AOB＝80°
∴∠ACB＝ ∠AOB＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
第11页（共24页）这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：﹣ + + ＝ ．
【考点】2C：实数的运算．
【专题】11：计算题．
【分析】本题涉及二次根式，三次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据
实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：﹣ + +
＝﹣6+ +3
＝﹣ ．
故答案为﹣ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对
值等考点的运算．
12．（4分）分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ 2 a （ a ﹣ 2 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，
＝2a（a2﹣4a+4），
＝2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（4分）4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3＝8是二元一次方程，那么a﹣b＝ 0 ．
【考点】91：二元一次方程的定义；98：解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组
求得a，b的值，则代数式的值即可求得．
第12页（共24页）【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
则a﹣b＝0．
故答案为：0．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个
未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，BC＝8，则△ABC的面积为 2 4 ．
【考点】T7：解直角三角形．
【专题】11：计算题．
【分析】根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行
计算即可．
【解答】解：∵tanA＝ ＝ ，
∴AC＝6，
∴△ABC的面积为 ×6×8＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表
示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．
15．（4分）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝ 3 ： 5 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．
【解答】解：∵DE：EC＝1：2
∴EC：CD＝2：3即EC：AB＝2：3
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BF：EF＝AB：EC＝3：2．
第13页（共24页）∴BF：BE＝3：5．
【点评】此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．
16．（4分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜ ，则a的取值范围是 a ＞ 1 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根
据不等式的基本性质便可求出不等式的解集．
【解答】解：由题意可得1﹣a＜0，
移项得，﹣a＜﹣1，
化系数为1得，a＞1．
【点评】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移
项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数整式不等
号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式
的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段
AB′，则点B′的坐标为 （ 4 ， 2 ） ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】46：几何变换．
【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．
【解答】解：AB旋转后位置如图所示．
B′（4，2）．
第14页（共24页）【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转
方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．
18．（4分）直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这
样的操作后，直线上共有 1607 3 个点．
【考点】IA：直线、射线、线段．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据题意分析，找出规律解题即可．
【解答】解：第一次：2010+（2010﹣1）＝2×2010﹣1，
第二次：2×2010﹣1+2×2010﹣1﹣1＝4×2010﹣3，
第三次：4×2010﹣3+4×2010﹣3﹣1＝8×2010﹣7．
∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2010﹣7＝16073个点．
故答案为：16073．
【点评】此题为规律型题．解题的关键是找对规律．
三、解答题（共8小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（8分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20130﹣|1﹣ |
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等四个考点．针对每
个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2× + ﹣1﹣（ ﹣1）＝ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、
负指数幂等考点的运算．
20．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a＝ ﹣1．
第15页（共24页）【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】2B：探究型．
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ ×
＝a+1．
当a＝ ﹣1时，原式＝ ﹣1+1＝ ．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（10分）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．
实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划
完成这一工程的时间是多少月？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设原来计划完成这一工程的时间为x个月，根据工程问题的数量关系建立方程求
出其解即可．
【解答】解：设原来计划完成这一工程的时间为x个月，由题意，得
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解．
答：原计划完成这一工程的时间是30个月．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，工作总量＝工作效率×工作时间的运
用，解答时根据工作效率的数量关系建立方程是解答的关键
22．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比
例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB ＝4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
第16页（共24页）【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】11：计算题；41：待定系数法．
【分析】（1）先由A（﹣2，0），得OA＝2，点B（2，n），S△AOB ＝4，得 OA•n＝4，n＝4，则点
B的坐标是（2，4），把点B（2，4）代入反比例函数的解析式为y＝ ，可得反比例函数的解
析式为：y＝ ；再把A（﹣2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为y＝kx+b可得直线AB的
解析式为y＝x+2．
（2）把x＝0代入直线AB的解析式y＝x+2得y＝2，即OC＝2，可得S△OCB ＝ OC×2＝
×2×2＝2．
【解答】解：（1）由A（﹣2，0），得OA＝2；
∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB ＝4，
∴ OA•n＝4；
∴n＝4；
∴点B的坐标是（2，4）；
设该反比例函数的解析式为y＝ （a≠0），
将点B的坐标代入，得4＝ ，
∴a＝8；
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
第17页（共24页）将点A，B的坐标分别代入，得 ，
解得 ；
∴直线AB的解析式为y＝x+2；
（2）在y＝x+2中，令x＝0，得y＝2．
∴点C的坐标是（0，2），
∴OC＝2；
∴S△OCB ＝ OC×2＝ ×2×2＝2．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应
用知识、解决问题的能力．此题有点难度．
23．（12分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得
EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【考点】KX：三角形中位线定理；LA：菱形的判定与性质．
【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和
EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF
是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
第18页（共24页）∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2 ，
∴菱形的面积为4×2 ＝8 ．
【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知
识点．
24．（12分）某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽查本校九年级的
200名学生，调查的结果如图所示．请根据该扇形统计图解答以下问题：
（1）求图中的x的值；
（2）求最喜欢乒乓球运动的学生人数；
（3）若由3名最喜欢篮球运动的学生，1名最喜欢乒乓球运动的学生，1名最喜欢足球运动
的学生组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能
情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．
【考点】VB：扇形统计图；X4：概率公式．
【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】（1）考查了扇形图的性质，注意所有小扇形的百分数和为1；
（2）根据扇形图求解，解题的关键是找到对应量：最喜欢乒乓球运动的学生人数对应的百
分比为x%；
（3）此题可以采用列举法，注意要做到不重不漏．
【解答】解：（1）由题得：x%+5%+15%+45%＝1，
解得：x＝35．（2分）
（2）最喜欢乒乓球运动的学生人数为200×45%＝90（人）．（4分）
第19页（共24页）（3）用A ，A ，A 表示3名最喜欢篮球运动的学生，B表示1名最喜欢乒乓球运动的学生，
1 2 3
C表示1名喜欢足球运动的学生，则从5人中选出2人的情况有：（A ，A ），（A ，A ），（A ，
1 2 2 1 1
A ），（A ，A ），（A ，B），（B，A ），（A ，C），（C，A ），（A ，A ），（A ，A ），（A ，B），（B，
3 3 1 1 1 1 1 2 3 3 2 2
A ），（A ，C），（C，A ），（A ，B），（B，A ），（A ，C），（C，A ），（B，C），（C，B）共计20种．
2 2 2 3 3 3 3
（6分）
选出的2人都是最喜欢篮球运动的学生的有（A ，A ），（A ，A ），（A ，A ），（A ，A ），（A ，
1 2 2 1 1 3 3 1 2
A ）（A ，A ）共计6种，（7分）
3 3 2
则选出2人都最喜欢篮球运动的学生的概率为 ．（9分）
【点评】此题考查了扇形图与概率的知识，综合性比较强，解题时要注意认真审题，理解题
意；在用列举法求概率时，一定要注意不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
25．（12分）如图，AB是 O直径，D为 O上一点，AT平分∠BAD交 O于点T，过T作AD
的垂线交AD的延长线⊙于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：CT为 O的切线；
（2）若 O半径为⊙2，CT＝ ，求AD的长．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得
CT⊥OT，CT为 O的切线；
（2）证明四边形⊙OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：连接OT，
∵OA＝OT，
∴∠OAT＝∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT＝∠OAT，
第20页（共24页）∴∠DAT＝∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为 O的切线；
⊙
（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形，
∵CT＝ ，
∴OE＝ ，
又∵OA＝2，
∴在Rt△OAE中， ，
∴AD＝2AE＝2．
【点评】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问
题转化为证明垂直的问题．
26．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等
腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
第21页（共24页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交
点式（两点式）解答均可．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和
纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理
判断出直角梯形中的直角，便可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx+3（a≠0），
根据题意，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1．
若以CD为底边，则PD＝PC，
①设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
第22页（共24页）解得x ＝ ，x ＝ ＜1，应舍去，
1 2
∴x＝ ，
∴y＝4﹣x＝ ，
即点P坐标为 ．
若以CD为一腰，
②∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为 或（2，3）．
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，
得CB＝ ，CD＝ ，BD＝ ，
∴CB2+CD2＝BD2＝20，
∴∠BCD＝90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1，
∴∠CDF＝45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°，点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC，
∴四边形BCDM为直角梯形，
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．
第23页（共24页）【点评】此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形
的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
第24页（共24页）
