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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题30 尺规作图类问题
一、选择题
1.（ 2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中
射线 为 的平分线的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性
质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．
【详解】第一个图为尺规作角平分线的方法， 为 的平分线；
第二个图，由作图可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ 为 的平分线；
第三个图，由作图可知 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ 为 的平分线；
第四个图，由作图可知： ， ，
∴ 为 的平分线；
故选D．
2. （2024四川眉山）如图，在 中， ， ，分别以点 ，点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于点 ， ，过点 ， 作直线交 于点 ，连接 ，则 的
周长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明 ，根据
的周长 ，即可求出答案．
【详解】由作图知， 垂直平分 ，
，
的周长 ，
， ，
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的周长 ，
故选：C．
3.（ 2024天津市）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交
于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半
径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角
互余可求出 ，由作图得 ，由三角形的外角的性质可得 ，故可
得答案
【详解】∵ ，
∴ ，
由作图知， 平分 ，
∴ ，
又
∴
故选：B
4. （2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
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A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
【答案】B
【解析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得 ，从而可得答
案．
由作图可得： ，
∴线段 一定是 的高线；
故选B
5.（ 2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形 ：①画 ；②以点 为圆心， 个单位长
为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；③分别以点 ， 为圆心， 个单位长为半径画弧，两弧交
于点 ；④连接 ， ， ．若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形 是菱形，进而根据菱形
的性质，即可求解．
【详解】解：作图可得
∴四边形 是菱形，
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∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
6.（ 2024四川南充）如图，已知线段 ，按以下步骤作图：①过点B作 ，使 ，连
接 ；②以点C为圆心，以 长为半径画弧，交 于点D；③以点A为圆心，以 长为半径画
弧，交 于点E．若 ，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得 ，再根据 ，设 ，然后
在 中，利用勾股定理可得 ，再根据题意可得： ，从
而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，设
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∴ ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A
7. （2024北京市）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆心，
长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依
据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
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【解析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】根据上述基本作图，可得 ，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
8. （2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 平分 的是（ ）
A. B. C. D. 只有
【答①案②】B ①③ ②③ ①
【解析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线
的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断 平分
；在图③中，利用作法得 ， 可证明 ，有
，可得 ，进一步证明 ，得 ，继而可证明
，得 ，得到 是 的平分线；在图②中，利用基本作图
得到D点为 的中点，则 为 边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断 平分 ；
在图③中，利用作法得 ，
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在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为 的中点，则 为 边上的中线．
则①③可得出射线 平分 ．
故选：B．
9.（ 2024四川成都市）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径作弧，
分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
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内交于点 ；③作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．若 ， ，下
列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的
综合．先由作图得到 为 的角平分，利用平行线证明 ，从而得到
，再利用平行四边形的性质得到 ，再证明
，分别求出 ， ，则各选项可以判定．
【详解】由作图可知， 为 的角平分，
∴ ，故A正确；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故D错误；
∵ ，
∴ ，故C正确，
故选：D．
10（. 2024湖北省） 为半圆 的直径，点 为半圆上一点，且 ．①以点 为圆心，适当
长为半径作弧，交 于 ；②分别以 为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点 ；③
作射线 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出
，根据作图可得 ，故可得答案
【详解】∵ 为半圆 的直径，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
由作图知， 是 的角平分线，
∴ ，
故选：C
二、填空题
1. （2024湖南省）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取线段
， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于
点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
________．
【答案】6
【解析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知 平分 ，根据角平分线
的性质可知 ，结合 求出 ， ．
【详解】作图可知 平分 ，
∵ 是边 上的高， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
故答案为：6．
2. （2024贵州省）如图，在 中，以点A为圆心，线段 的长为半径画弧，交 于点D，连接
．若 ，则 的长为______．
【答案】5
【解析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出 ，即可求解．
由作图可知∶ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为∶5．
3.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正
半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第
一象限交于点H，画射线 ，若 ，则 ______．
【答案】2
【解析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第
一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．
【详解】根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；
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，
解得： ，
故答案为： ．
4.（ 2024山东枣庄）如图，已知 ，以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 、 相
交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内部相交于点 ，
作射线 ．分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 分
别与 ， 相交于点 ， ．若 ， ，则 到 的距离为________．
【答案】
【解析】如图，过 作 于 ，证明 ， ， ，再
证明 ，再结合勾股定理可得答案.
【详解】如图，过 作 于 ，
由作图可得： ， ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 到 的距离为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三
角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
5. （2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 均在格点上．
（1）线段 的长为______；
（2）点 在水平网格线上，过点 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与 的
延长线相交于点 中，点 在边 上，点 在边 上，点 在边 上．请用无刻度
的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，使 的周长最短，并简要说明点 的位
置是如何找到的（不要求证明）______．
【答案】 ①. ②. 图见解析，说明见解析
【解析】【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据圆的相关性质和网格特点进行作图即可．
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【详解】（1）由勾股定理可知， ，
故答案为：
（2）如图，根据题意，切点为 ；连接 并延长，与网格线相交于点 ；取圆与网格线的交点 和
格点 ，连接 并延长，与网格线相交于点 ；连接 ，分别与 相交于点 ，则
点 即为所求．
三、解答题
1. （2024福建省）如图，已知直线 ．
（1）在 所在的平面内求作直线 ，使得 ，且 与 间的距离恰好等于 与 间的距离；（要
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 与 间的距离为2，点 分别在 上，且 为等腰直角三角形，
求 的面积．
【答案】（1）见解析； （2） 的面积为1或 ．
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【解析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：
（1）先作出与 的垂线，再作出夹在 间垂线段的垂直平分线即可；
（2）分 ； ； 三种情况，结合三
角形面积公式求解即可
【小问1详解】
解：如图，
直线 就是所求作的直线．
【小问2详解】
①当 时，
，直线 与 间的距离为2，且 与 间的距离等于 与 间的距离，根据图形的对称性可
知： ，
，
．
②当 时，
分别过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
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．
，直线 与 间的距离为2，且 与 间的距离等于 与 间的距离，
．
， ，
， ，
．
在 中，由勾股定理得 ，
．
．
③当 时，同理可得， ．
综上所述， 的面积为1或 ．
2. （2024广西）如图，在 中， ， ．
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（1）尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作
法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于 为半径画弧，分别交 ， 于点D，E，作直线 ，则
直线l即为所求．
（2）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角可得出 ，
由三角形内角和得出 ，则得出 为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出
的长．
【小问1详解】
解：如下直线l即为所求．
【小问2详解】
连接 如下图：
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∵ 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形
内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
3.（ 2024陕西省）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角 ，使得顶
点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作 ，垂足为 ，再在直线l上截取
点C，使 ，连接 ，则 是所求作的等腰直角三角形．
【详解】等腰直角 如图所示：
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4. （2024内蒙古赤峰）如图，在 中，D是 中点．
（1）求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边
形 是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段 的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为 ， 的中点，根据中位线的性质，得到 ， ，结合
，得到 ，即可证明结论成立．
【小问1详解】
解：直线l如图所示，
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；
【小问2详解】
证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为 的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
5. （2024黑龙江绥化）已知： ．
（1）尺规作图：画出 的重心 ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
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（2）在（1）的条件下，连接 ， ．已知 的面积等于 ，则 的面积是______ ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；
（1）分别作 的中线，交点即为所求；
（2）根据三角形重心的性质可得 ，根据三角形中线的性质可得
【小问1详解】
解：如图所示
作法：①作 的垂直平分线交 于点
②作 的垂直平分线交 于点
③连接 、 相交于点
④标出点 ，点 即为所求
【小问2详解】
解：∵ 是 的重心，
∴
∴
∵ 的面积等于 ，
∴
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又∵ 是 的中点，
∴
故答案为： ．
6. （2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问
景
题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问
素
题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
材
已
知
点 与坐标原点 重合，点 在 轴 的正半轴上且坐标为
条
件
①分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ；
操
②以点 为圆心， 长为半径作圆；
作
步
③以 的长为半径，在 上顺次截取 ；
骤
④顺次连接 ， ， ， ， ，得到正六边形 ．
问题解决
任
根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作
务
法）
一
任
务 将正六边形 绕点 顺时针旋转 ，直接写出此时点 所在位置的坐标：______．
二
【答案】任务一：见解析；任务二：
【解析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
任 务 一 ： 根 据 操 作 步 骤 作 出 ， 再 根 据 弧 、 弦 、 圆 心 角 的 关 系 ， 分 别 作 出
，即得出 ，最后顺次连接即可；
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任务二：由旋转的性质可知 ，即得出 ，即此时点 所在位置的坐
标为 ．
【详解】解：任务一：如图，正六边形 即为所作；
任务二：如图，
由旋转可知 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7.（ 2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩
绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精
品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定
位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知 和圆上一点
M．作法如下：
①以点M为圆心， 长为半径，作弧交 于A，B两点；
②延长 交 于点C；
即点A，B，C将 的圆周三等分．
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（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写
作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接 ， ， ，若 的半径为 ，则 的周长为______ ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2）连接 ，设 的交点为D，得到 ，根据 的半径为 ， 是直径，
是等边三角形，计算即可．
本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的
关键．
【小问1详解】
根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的 的圆周三等分点．
【小问2详解】
连接 ，设 的交点为D，
根据垂径定理得到 ，
∵ 的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
8. （ 2024河南省）如图，在 中， 是斜边 上的中线， 交 的延长线于点
E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作 ，使 ，且射线 交 于点F（保留作图痕迹，
不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形 是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先证明四边形 是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出
，最后根据菱形的判定即可得证．
【小问1详解】
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解：如图，
；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵在 中， 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
9.（ 2024武汉市）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 三个顶
点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线 交 于点D，使 平分 的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线 上画点E，使 ；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转 到点C，再画射线 交 于点G；
（4）在（3） 的基础上，将线段 绕点G旋转 ，画对应线段 （点A与点M对应，点B与点N对
应）．
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【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）作图见解析
（4）作图见解析
【解析】【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，
等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形 ，对角线 交 于点D，做射线 ，即可；
（2）作 ,射线 于点Q，连接 交 于点E，即可；
（3）在 下方取点F，使 ， 是等腰直角三角形，连接 ， ， 交
于点G，即可；
（4）作 ，交 于点M，作 ，交 于点N，连接 ，即可．
【小问1详解】
如图，作线段 ，使四边形 是矩形， 交 于点D，做射线 ，点D即为所求作；
【小问2详解】
如图，作 ,作 于点Q，连接 交 于点E，点E即为作求作；
【小问3详解】
如图，在 下方取点F，使 ，连接 ，连接并延长 ， 交 于点G，点F，
G即为所求作；
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【小问4详解】
如图，作 ，交射线 于点M，作 ，交 于点N，连接 ，线段 即为所求
作．
10. （2024吉林省）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ， ，则
______．
（2）如图②，在菱形 中， ， ，则 ______．
（3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点O．若 ， ，则
______；若 ， ，猜想 与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在 中， ， ， ，点P为边 上一点．
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小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ， 于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ；
（ⅲ）以点 为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点 ，点 ，K在 同侧；
（ⅳ）过点P画射线 ，在射线 上截取 ，连接 ， ， ．
请你直接写出 的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3） ， ，证明见详解，（4）10
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据菱形的面积公式计算即可；
（3）结合图形有， ，
即可得 ，问题随之得解；
（4）先证明 是直角三角形，由作图可知： ，即可证明 ，再结合
（3）的结论直接计算即可．
【详解】（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；
（2）∵在菱形 中， ， ，
∴ ，
故答案为：4；
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（3）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ，
猜想： ，
证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
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（4）根据尺规作图可知： ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴根据（3）的结论有： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆
定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．
11. （2024江苏扬州）如图，已知 及 边上一点 ．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线 上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）在（1）的条件下，以点 为圆心，以 为半径的圆交射线 于点 ，用无刻度直尺和圆规在射
线 上求作点 ，使点 到点 的距离与点 到射线 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作
法）
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（3）在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）
【解析】【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得 是直径，结合锐角三角函数的定义可得 的
值，根据勾股定理可求出 的值，在直角 中运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
∴ ；
点O即为所求
【小问2详解】
解：如图所示，
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心，以任意长为半径画弧交
于点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 并延长
交 于点 ，
∵ 是直径，
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∴ ，即 ，
根据作图可得 ，
∴ ，即 ， 是点 到 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 即为所求点的位置；
【小问3详解】
解：如图所示，
根据作图可得， ，连接 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
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设 ，则 ，
∴在 中， ，
解得， （负值舍去），
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综
合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
12.（ 2024江西省）如图， 为菱形 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保
留作图痕迹）
（1）如图 ，过点 作 的垂线；
（2）如图 ，点 为线段 的中点，过点 作 的平行线．
【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析．
【解析】【分析】（ ）作直线 ，由菱形的性质可得 ，即 为 的垂线；
（ ）连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，作直线 ，因为点 为线段 的中点，所以
，因为 ，所以 ， ，故可得 ，
得到 ，所以四边形 为平行四边形，即 ；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键
【小问1详解】
解：如图， 即为 所求；
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【小问2详解】
解：如图， 即为所求．
13. （2024山东威海）感悟
如图1，在 中，点 ， 在边 上， ， ．求证： ．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线 上取点 ，点 （点 在点 的左侧），使得 ，
且 （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线 上取一点 ，在直线 上取一点 ，使得 ，
且 （不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：
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证明 ，即可求得 ；
应用（1）：以点 为圆心，以 长度为半径作弧，交直线 于一点，该点即为点 ，以点 为圆心，
以 长度为半径作弧，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ， ；
应用（2）：以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 的延长线于一点，该点即为点 ，以点 为圆
心，以 长为半径作弧，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ．
【详解】感悟：
∵ ，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
应用：
（1）：以点 为圆心，以 长度为半径作弧，交直线 于一点，该点即为点 ，以点 为圆心，以
长度为半径作弧，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ， ，图形如图所示．
（2）：以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 的延长线于一点，该点即为点 ，以点 为圆心，以
长为半径作弧，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ，图形如图所示．
根据作图可得： ，
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又 ，
∴ ，
∴ .
14. （2024四川达州）如图，线段 、 相交于点 ．且 ， 于点 ．
（1）尺规作图：过点 作 的垂线，垂足为点 、连接 、 ；（不写作法，保留作图痕迹，并标明
相应的字母）
（2）若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】（1）见解析 （2）四边形 是平行四边形，理由见解析
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：
（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接 、 即可；
（2）先证明 ，得到 ，再证明 ，
进而证明 ，得到 ，即可证明四边形 是平行四边形．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
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【小问2详解】
解：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
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