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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 4 方程
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共18小题）
（2025•贵州）已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2025•内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结
果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌
椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x）
B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）
C．60（100+x）＝72（100﹣3+x）
D．
（2025•宿迁）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两，牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金
几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各
值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A．
C．
（2025•凉山州）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±2 D．2
（2025•浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料
用量如表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品
A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
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A．
C．
（2025•台湾）如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准
备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入在下列哪一个范围？（ ）
A．4300～4399元 B．4400～4499元
C．4500～4599元 D．4600～4699元
（2025•台湾）若二元一次联立方程式 的解为 ，则a+2b之值为何？（ ）
A．33 B．9 C．﹣3 D．﹣27
（2025•乐山）若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x和x，则 x+x 的值为（ ）
1 2 2 1
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
（2025•辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔
共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共
60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（ ）
A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864
C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864
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（2025•广西）已知x，x是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x+x＝（ ）
1 2 1 2
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通
工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月
至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．8000（1+2x）＝1200
B．8000（1+x）2＝12000
C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000
D．8000×2（1+x）＝12000
（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面
积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（ ）
A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40
（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客
达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10% B．20% C．22% D．44%
（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙
的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客
车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，
其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直
角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二 、填空题（本大题共10小题）
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（2025•遂宁）已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝ ．
（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步．问车几何？
其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9
人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有 x辆车，可列方程为
．
（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相
同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小
时采摘4kg，小康采摘的时长是 小时．
（2025•徐州）若二元一次方程组 的解为 ，则a+b的值为 ．
（2025•广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻
译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横
行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中
填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy＝ ．
（2025•广元）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（a﹣1）x 0有两个相等的实数根，则a＝
．
（2025春•雨花区校级期末）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 ．
（2025•南通）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管
的总根数为 （写出一种情况即可）．
（2025•宿迁）方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣
2026）＝ ．
（2025•宜宾）已知a、a、a、a、a是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，
1 2 3 4 5
和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a+a+a+a+a＝ ．
1 2 3 4 5
三 、解答题（本大题共7小题）
（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12．
（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种
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盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品
共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内
部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你
求出小路的宽度．
（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高
速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次
全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路 广西境内其他路
段 段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高
速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代
数式表示）
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元，周一从K市原路返回到A市，
高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价
分别是多少元．
（2025•江西）某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸
馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率 100%）如表：
类别 原材料 出酒
率
粮食 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30%
酒
芋头 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
酒
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤，第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒
共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
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（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米
占比约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
（2025•台湾）商店中贩卖一款包含A．B两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为16公分×5公分、18
公分×5公分的长方形，如图1所示．
小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图2的长方形，其中
奇数层为A图案，偶数层为B图案，且最后一层为A图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个A图案？
（2）已知每个组合包中A．B两种圆案的艺术纸片数量比为4：3，若小灿想购买一些组合包，贴成图
（2）的长方形，其中第一层的A图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术
纸片用完？请说明理由．
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（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成
本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率，
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件
甲种商品．
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答案解析
一 、选择题
【考点】一元一次方程的解
【分析】经已知解代入方程x+m＝7中解得m的值即可．
解：已知x＝2是关于x的方程x+m＝7的解，
则2+m＝7，
解得：m＝5，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合总利润不变，即可列出关于x的一元一次
方程，此题得解．
解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
题的关键．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5
头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得5x+2y＝10，
由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得2x+5y＝8，
因此可列方程组 ，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【考点】解二元一次方程组，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，平方根
【分析】先根据偶次方的非负性质，绝对值的非负性质，得出方程组 ，解方程
组求出x，y的值，即可得出x+y的值，再根据平方根定义即可得出答案．
解：∵（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，
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∴ ，
②×2，得4x+2y﹣22＝0③，
①﹣②，得﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得2×3+y﹣11＝0，
解得：y＝5，
∴x+y＝3+5＝8，
∴ ，
∴x+y的平方根是 ．
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，非负数性质：绝对值，非负数性质：偶次方，平方根，掌握
解二元一次方程组的方法，绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，平方根定义是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“一共用了17张彩色纸和10捆细木条，”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，
此题得解．
解：根据题意可列方程组 ．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设售出x组早餐组合，利用总价＝单价×数量，结合今日准备的餐点全部售出且收入共为
8700元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入70x中，即可求出结论．
解：设售出x组早餐组合，
根据题意得：50（120﹣x）+40（100﹣x）+70x＝8700，
解得：x＝65，
∴70x＝70×65＝4550（元），
∴售出早餐组合的收入在4500～4599元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
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【考点】二元一次方程组的解
【分析】依据题意，把 代入 得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入
求出a+2b的值即可．
解：把 代入 得：
，
①+②得，60a＝120，
∴a＝2，
把a＝2代入①得：37×2+2b＝81，
∴b＝3.5，
∴a+2b＝2+2×3.5＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题时要能熟练掌握并能根据题意建立方程组是
关键．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x+x和xx，再利用整体思想即可解决问题．
1 2 1 2
解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x和x，
1 2
∴x+x＝1，xx＝﹣2，
1 2 1 2
∴ x+x xx（x+x）＝﹣2×1＝﹣2，
2 1 1 2 1 2
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【考点】根的判别式
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
解：由题知，Δ＝（﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣4k2﹣7＜0，
所以方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据题意，设宽为x步，则长为（60﹣x）步，利用矩形面积公式即可列出方程．
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解：利用矩形面积公式即可列出方程为：
x（60﹣x）＝864，
故选：A．
【点评】本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键．
【考点】根与系数的关系
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
解：根据根与系数的关系得x+x 20．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x，x是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x
1 2 1 2
，xx ．
1 2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
解：由题意可得，
8000（1+x）2＝12000，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据围栏的长度及矩形的宽，可得出矩形的长为（24﹣2x）m，结合矩形场地的面积为40m2，
即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m，
∴矩形的长为（24﹣2x）m．
根据题意得：x（24﹣2x）＝40．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2024年接待游客人次数＝该
景区2022年接待游客人次数×（1+该景区这两年接待游客的年平均增长率）2，可列出关于x的一
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元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
根据题意得：25（1+x）2＝36，
解得：x＝0.2＝20%，x＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
1 2
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，
计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得
出结论．
解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得：45x+60y＝900，
整理得：x＝20 y，
∵x、y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴租车方案有4种，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用
【分析】设购买x个足球，y个篮球，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结
合x，y均为正整数，即可得出共有4种购买方案．
解：设购买x个足球，y个篮球，
根据题意得：80x+120y＝1200，
∴y＝10 x，
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
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∴共有4种购买方案．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【考点】根的判别式，一元二次方程的定义
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于a的一元一次不等式组，解之即可
得出实数a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴ ，
解得：a≤2且a≠1，
∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式
Δ≥0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
【考点】根与系数的关系，点的坐标
【分析】先求出两根之和、两根之积，从而判断m，n的符号可以得解．
解：由方程x（x+2）﹣3＝0，
得到x2+2x﹣3＝0．
两根之和： ，
两根之积： 3．
∴m，n都为负数，
∴点（m，n）在第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、点的坐标，解题时要熟练掌握根与系数的关系是解题关
键．
二 、填空题
【考点】一元一次方程的解，解一元一次方程
【分析】把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，可得3a﹣4＝2，解一元一次方程即可得出答案．
解：把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，即3a﹣4＝2，
移项、合并同类项，得3a＝6，
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将系数化为1，得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的方法，一元一次
方程解的定义是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：依题意，得：3（x﹣2）＝2x+9．
故答案为：3（x﹣2）＝2x+9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
题的关键．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案．
解：设小康和小悦采摘了x小时，
依题意：6x﹣4x＝2.4，
解得：x＝1.2，
因此，小康采摘了1.2小时，
故答案为：1.2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】由题意可知 ，解二元一次方程组即可求解．
解：∵二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
①+②得5a＝5，
解得a＝1，
将a＝1代入①得b＝0，
∴a+b＝1+0＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用
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【分析】根据每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可列出关于x，y的二元
一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入xy中，即可求出结论．
解：根据题意得： ，
解得： ，
∴xy＝60＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
【考点】根的判别式，一元二次方程的定义
【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合一元二次方程的定义即可解决问题．
解：因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（a﹣1）x 0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（a﹣1）2﹣4×（a﹣1）×（ ）＝0，
解得a＝1，a＝﹣1，
1 2
又因为a﹣1≠0，
所以a≠1，
所以a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程根的判别式及一
元二次方程的定义是解题的关键．
【考点】一元二次方程的解
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答．
解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设可以截成x根3m长的钢管，y根1m长的钢管，根据把一根长10m的钢管截成3m长和1m
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长两种规格的钢管，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
解：设可以截成x根3m长的钢管，y根1m长的钢管，
根据题意得：3x+y＝10，
∴y＝10﹣3x，
又∵x、y均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种不同的截法，x+y＝8或6或4，
∴可能截得钢管的总根数为8或6或4，
故答案为：8或6或4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【考点】根与系数的关系
【分析】如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x，x，则 ， .根据根与系数
1 2
的关系和方程的解得到m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，代入，
并再将原式化简为 mn﹣（m+n）+1，即可求解．
解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，
∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，
∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025，
∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）
＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026）
＝（m﹣1）（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝﹣2025﹣2024+1
＝﹣4048，
故答案为：﹣4048．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系
是解题的关键．
【考点】一元一次方程的应用，整式的加减
【分析】设a+a+a+a+a＝m，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设m﹣a＝m﹣a
1 2 3 4 5 i j
（i≠j），那么这四个不同的值可以表示为m﹣a，m﹣a，m﹣a，m﹣a（假设a与前面某一个数相
1 2 3 4 5
等）且为这四个值分别是45、46、47、48，再说明3m+a＝186，然后分四种情况解答即可．
5
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解：设a+a+a+a+a＝m，那么去掉a后和为m﹣a，去掉a后和为m﹣a，去掉a后和为m﹣a，去
1 2 3 4 5 1 1 2 2 3 3
掉a后和为m﹣a，去掉a后和为m﹣a，
4 4 5 5
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m﹣a＝m﹣a（i≠j），
i j
那么这四个不同的值可以表示为m﹣a，m﹣a，m﹣a，m﹣a（假设a与前面某一个数相等），
1 2 3 4 5
∵这四个值分别是45、46、47、48，
∴（m﹣a）+（m﹣a）+（m﹣a）+（m﹣a）＝45+46+47+48＝186，即4m﹣（a+a+a+a）＝186，
1 2 3 4 1 2 3 4
∵a+a+a+a+a＝m，
1 2 3 4 5
∴a+a+a+a＝m﹣a，
1 2 3 4 5
∴4m﹣（m﹣a）＝186，即3m+a＝186，
5 5
当m﹣a＝m﹣a＝45时，即a＝m﹣45，
5 1 5
∴3m+m﹣45＝186，解得： ，不是整数，不符合题意，
当m﹣a＝m﹣a＝46时，a＝m﹣46，
5 2 5
∴3m+m﹣46＝186，解得：m＝58，符合题意，
当m﹣a＝m﹣a＝47时，即a＝m﹣47，
5 3 5
∴3m+m﹣47＝186，解得： ，不是整数，不符合题意，
当m﹣a＝m﹣a＝48时，a＝m﹣48，
5 4 5
∴3m+m﹣48＝186，解得： ，不是整数，不符合题意，
综上，m＝58，即a+a+a+a+a＝58，
1 2 3 4 5
方法2：设a+a+a+a+a＝m，令a+a+a+a＝45，a+a+a+a＝46，a+a+a+a＝47，a+a+a+a＝
1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 4 5
48，a+a+a+a＝x，
2 3 4 5
∴4（a+a+a+a+a）＝45+46+47+48+x，
1 2 3 4 5
∴4m＝186+x，
∵x是45、46、47、48中的一个，并且m是整数，
∴x＝46，
∴a+a+a+a+a＝58，
1 2 3 4 5
故答案为：58．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解
题的关键．
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三 、解答题
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可．
解：整理得：x2﹣7x+12＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，
所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，
解得x＝4，x＝3．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开
平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据游客购买了甲、乙两种商品共10盒，
花费230元列方程组即可解得答案．
解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
根据题意得： ，
解得 ，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，根
据小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符
合题意的值，即可得出结论．
解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，
根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x ，x＝8（不符合题意，舍去）．
1 2
答：小路的宽度为 m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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【考点】一元一次方程的应用，列代数式
【分析】（1）根据题意列出代数式即可，
（2）根据题意列出方程组求解即可．
解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元，
实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝（0.95a+0.5c）元，
优惠了a+b+c﹣（0.95a+0.5c）＝（0.05a+b+0.5c）元，
（2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别x元和y元，
，
解得： ，
故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1
元．
【点评】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键．
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用
【分析】（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，根据第一次及第二次实验蒸馏出
粮食酒和芋头酒的总质量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论，
（2）设需要准备m公斤大米，根据在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，可列出关于m
的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，
根据题意得： ，
解得： ．
答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅，
（2）设需要准备m公斤大米，
根据题意得：（m ）×30%×80%＝（40+40×2）×30%，
解得：m＝37.5．
答：需要准备37.5公斤大米．
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【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组，（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）先求出16与18的最小公倍数为144，进而得出答案，
（2）设图案A的层数为m，B图案的层数为n，列出方程组，进而得出答案．
解：（1）16与18的最小公倍数为144，
144÷16＝9（个），
答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有9个A图案．
（2）不可以，理由如下：
设图案A的层数为m，B图案的层数为n，
解得： ，
∵m、n为整数，
故不可以．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．
【考点】一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商
品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论，
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结
合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结
论．
解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：125（1﹣x）2＝80，
解得：x＝0.2＝20%，x＝1.8（不符合题意，舍去）．
1 2
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%，
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，
根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800，
解得：y≥40，
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∴y的最小值为40．
答：最少购进40件甲种商品．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出一元二次方程，（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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