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专题 09 因动点产生的相似三角形问题（解析版）
通用的解题思路：
第一类：设点法，当三角形的边长能用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用设点法，先设点，
再表示出边长，然后再用对应线段成比例来列出比例方程求出设点法中所包含的参数值；
第二类：求点法，当三角形的边长不好用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用数形结合的方
法，根据平行、垂直、对称等位置关系，求出动点所在的直线方程，再与二次函数解析式联立，求出符合
条件的交点。
第Ⅰ类：设点法
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，四边形
是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，已知点 是线段 上的动点，过点 作
轴交抛物线于点 ，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点 在直线 上方时，请用含 的代数式表示 的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存
在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1） 四边形 是矩形，点 坐标为 ， 点的坐标是 ，
点 和点 在抛物线上， ， ， 该抛物线的解析式为： ；
（2） ，解得 或0， 抛物线与直线 的交点为 ， ， ，
点 在直线 上方时， 的取值范围是： ， ， ， 轴交抛物线于点
，交 于点 ， ， ， ，
（3） 抛物线的解析式为： ；设点 ， ， ，
， ， ， ， ，
以 、 、 为顶点的三角形与 相似且 ， ， ，
， ， 或 （舍 ，即：
。
2．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线
的对称轴是直线 且经过 、 两点，与 轴的另一交点为点 ．
（1）①直接写出点 的坐标；
②求抛物线解析式．
（2）若点 为直线 上方的抛物线上的一点，连接 ， ．求 的面积的最大值，并求出此时
点 的坐标．
（3）抛物线上是否存在点 ，过点 作 垂直 轴于点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形与
相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）① 当 时， ，当 时， ， ， ，
由抛物线的对称性可知：点 与点 关于 对称， 点 的坐标为 ．
② 抛物线 过 ， ， 可设抛物线解析式为 ，
又 抛物线过点 ， ， ．
（2）设 ．过点 作 轴交 于点 ，
， ， ，
， 当 时， 的面积有最大值是4，此时 ．
（3） ， ， ， ， ， 轴，
若以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，则 ， ，
设 ， ，
① ， ， ， ，
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② ， ， ， ，
综上所述：存在 ， ， ， ，使得以点 、 、 为顶点的三角形与
相似．
3．（雅礼）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与 轴交于点 ， 点坐标为 ，点 为抛
物线上一动点，以 为圆心， 为半径的圆交 轴于 ， 两点 在 的左侧）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点 在抛物线上运动时，弦 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出
弦 的长；
（3）当 与 相似时，求出 点的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为 ． 将 代入得： ，解得 ，
抛物线的解析式为 ．
（2） 的长不发生变化．
理由：如图1所示，过点 作 轴，垂足为 ，连接 、 ．
设点 的坐标为 ， ． ， ． ，
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． ． ． 不发生变化．
（3）如图2所示：
①当点 与点 重合时． 经过点 ， 为圆 的直径． ． 点 ， ．
②如图3所示：
， ，即 ．
设 ，则 ，解得： ， （舍去），
又 点 ， ． 点 的坐标为 ， ．
如图4所示：
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， ．
设 ，则 ，解得： ， （舍去）．又 点 ，
． 点 的坐标为 ， ．
4．（2018•长沙中考）如图，在平面直角坐标系 中，函数 为常数， ， 的图象经过
点 和 ，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，点 是该函数图象上的一个动点，
过点 分别作 轴和 轴的垂线，垂足分别为 ， ．
（1）求 的度数；
（2）当 ， 时，存在点 使得 ，求此时点 的坐标；
（3）当 时，矩形 与 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
【解答】解：（1）设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
，令 ，得到 ， ，令 ，得到 ， ，
， ， ．
（2）设 ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
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或2，当 时， ， ， ， ， （舍弃），
当 时， ， ， ， ，成立， ．
（3）不存在．理由如下：
当 时， ， ，设 ， 的解析式为： ， 的解析式为 ，
①当 时，如图1中，
， ， ， ， 化 简 得 到 ：
，
△ ， 没有实数根．
②当 时，如图2中，
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， 不存在，
③当 时，如图3中，
， 不存在，综上所述，不存在．
5．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，交 轴于 、 两点，连接 、
，已知 ， ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴 上找一点 ，使 的值最大，并求出这个最大值；
（3）点 为 轴右侧抛物线上一动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，问：是否存在点 ，
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使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1）将 ， 代入函数解析式，得 ，解得 ，
抛物线的解析式是 ；
（2）由抛物线的对称性可知，点 与点 关于对称轴对称， 对 上任意一点有 ，
联立方程组 ，解得 （不符合题意，舍）， ， ，
当点 ， ， 共线时， 取最大值，即为 的长，过点 作 轴于点 ，
在 中，由勾股定理，得 ， 取最大值为 ；
（3）存在点 使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，在 中， ，
，在 中， ， ， ，
过点 作 轴于 点， ，设 点坐标为 ，
①当 时， ， ， ，
， ，即 ， ，
解得 ， （舍去）， 点的纵坐标为 ， ，
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②当 时， ， ， ，
， ，即 ， ，
解得 （舍去）， （舍去） 此时无符合条件的点 ，
综上所述，存在点 ．
第Ⅱ类：求点法
6．（雅礼）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，已知 点的坐标为
， 点的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点 为抛物线上的动点，且位于第二象限，过 ， 两点作直线 交 轴于点 ，交直线
于点 ．是否存在这样的直线 ：以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出这样
的直线 的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点 和点 关于抛物线的对称轴对称，点 在抛物线上，且 ，求 点的
横坐标．
【解答】解：（1）抛物线 过 ， ，
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，解得： ， 函数解析式为： ；
（2）存在直线 使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
当 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似， ，
在 和 中， ， △ ，
，解 ，得： （不符合题意，舍去）， ，
， ，由 ， 的坐标得，直线 的解析式为： ；
（3）连接 ， ，作 交 于 ， 抛物线对称轴为直线： ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， 或 ，当 ，如图：
由点 、 的坐标得，直线 解析式为： ，解方程 ，
解得： 或3（舍去）， 的横坐标为 ；
当 ，如图：
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同理可得，直线 解析式为： ，解方程 ，
解得： （舍去）或 ， 的横坐标为 ，
综上所述： 的横坐标为 或 ．
7．（广益）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 为常数）与函数 为常数， ，
交于 ， 两点 在 右侧），与 轴， 轴分别交于 ， 两点．
（1）求 的值；
（2）如图1，若点 的坐标为 ，在 轴上是否存在点 ，使 与 相似，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将直线 平移到直线 ，其中点 为 ，点 在 轴上，连接 ，若 且
，求 的值．
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【解答】解：（1）对 ，令 ，则 ，令 ，则 ， ， ，
由题意可得 ， ， ；
（2）存在， 在 和 上， ， ，解得 ，
， ， 直线 的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ，
解方程组 得： ， ， ，
若 与 相似，由于 为公共角，
则有两种情况：① 时，如图，
满足 与 相似，此时 ， ，即 ；
②当 时，如图，
满足 与 相似，此时 ， ， ，
，解得 ， ，即点 ；
综上所述， 或 ， ；
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（3）由题意可得平移后的直线 解析式为 ， ， ， ，
过点 作 于 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图，
则四边形 是矩形， ， ， ， ， ，
， ，
，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，由于 ， 都在双曲线上，
，解得 ， ，
．
8．（郡维）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的左、右
两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）点 在抛物线的对称轴上且在 轴下方，点 在射线 上．当 与 相似时，请直接写出
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所有满足条件的点 的坐标．
【解答】解：（1） ， 点 ，点 ，
抛物线解析式为： ，
， ；
（2）如图1，过点 作 于 ，
， ， ， ， ， ，
点 横坐标为 ， 点 坐标为 ， ，
设直线 的函数解析式为： ，由题意可得： ，解得： ，
直线 的函数解析式为 ；
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（3） 点 ，点 ，点 ， ，
， ， ，对称轴为直线 ， 直线 与 轴交于点 ，
点 ， ， ， ，
如图2，过点 作 于 ，
， ， ， ，
如图，设对称轴与 轴的交点为 ，即点 ，
若 ， ， ， ， ，
当 ， ， ， 点 ， ；
当 ， ， ， 点 ， ；
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若 ， ， ，
当 ， ， ，
点 ， ；
当 ， ， ， 点 ， ；
综上所述：满足条件的点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， ．
9．如图，已知抛物线 与 轴负半轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ， ，
直线 过 、 两点，点 为线段 上一动点，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与 轴正半轴交于点 ，设点 的横坐标为 ，四边形 的面积为 ，请写出 与 的
函数关系式，并判断 是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点 的坐标；如果不
存在，请说明理由．
（3）连接 ，是否存在点 ，使得 和 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明
理由．
【解答】解：（1）当 时，有 ，解得： ， ，
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点 的坐标为 ．当 时， ， 点 的坐标为 ． ，
，解得： ， 抛物线的解析式为 ．
（2） 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 直线 的解析式为 ．
点 的横坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
（如图 ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ， ， ．
， 当 时， 取最大值，最大值为18，此时点 的坐标为 ，
与 的函数关系式为 ， 存在最大值，最大值为18，此时点 的坐标为
．
（3） ， ，
若要 和 相似，只需 或 （如图 ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
， ．
①当 时， ， ， ，
为等腰直角三角形． ，即 ，解得： （舍去）， ，
点 的坐标为 ；
②当 时，点 的纵坐标为4， ，
解得： ， （舍去）， 点 的坐标为 ．
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综上所述：存在点 ，使得 和 相似，此时点 的坐标为 或 ．
10．如图，已知抛物线 为常数，且 与 轴从左至右依次交于 ， 两点，与 轴
交于点 ，经过点 的直线 与抛物线的另一交点为 ．
（1）若点 的横坐标为 ，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求 的值；
（3）在（1）的条件下，设 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段
以每秒1个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到 后停止．当点 的坐
标是多少时，点 在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：（1）抛物线 ，令 ，解得 或 ， ， ．
直 线 经 过 点 ， ， 解 得 ， 直 线 解 析 式 为 ：
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．
当 时， ， ， ． 点 ， 在抛物线 上，
， ． 抛物线的函数表达式为： ．
即 ；
（2）由抛物线解析式，令 ，得 ， ， ．因为点 在第一象限内的抛物线上，
所以 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是 或 ．
①若 ，则有 ，如答图 所示．
设 ，过点 作 轴于点 ，则 ， ．
，即： ， ．
，代入抛物线解析式 ，
得 ，整理得： ，
解得： 或 （与点 重合，舍去）， ． ，
，即 ，解得： ；
②若 ，则有 ，如答图 所示．
设 ，过点 作 轴于点 ，则 ， ．
，即： ， ．
，代入抛物线解析式 ，
得 ，整理得： ，
解得： 或 （与点 重合，舍去），
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． ， ， ，解得 ，
， ，综上所述， 或 ．
（3）如答图3，由（1）知： ， ，
如答图 ，过点 作 轴于点 ，则 ， ， ，
， ．
过点 作 轴，则 ．过点 作 于点 ，则 ．
由题意，动点 运动的路径为折线 ，运动时间： ，
，即运动的时间值等于折线 的长度值．
由垂线段最短可知，折线 的长度的最小值为 与 轴之间的垂线段．
过点 作 于点 ，则 ， 与直线 的交点，即为所求之 点．
点横坐标为 ，直线 解析式为： ，
， ， ．
综上所述，当点 坐标为 ， 时，点 在整个运动过程中用时最少．
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11．已知，如图（a），抛物线 经过点 ， ， ， ， ，其顶点为 ．以
为直径的 交 轴于点 、 ，过点 作 的切线交 轴于点 ． ， ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）连接 、 ，在（1）中的抛物线上是否存在一点 ，使得 与 相似（除去全等这一情
况）？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b），点 为 上的动点 不与 、 重合），连接 交 轴于点 ，问： 是
否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）圆的半径 ．
如答图1，连接 ， 是切线， ．
在 中， ， ， ， ， ，
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， ． 点 、 的坐标分别为 、 ．
抛物线过 、 两点，所以可设抛物线解析式为： ，
又 抛物线经过点 ， ，解得 ．
抛物线的解析式为： ． ，
顶点 的坐标为 ．
（2）如答图2，由抛物线的对称性可知： ， ．
若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点 ，使 与 相似，
必须有 ．设 交抛物线的对称轴于 点，显然 ，
直线 的解析式为 ，由 ，得 （舍去）， ．
．过 作 轴，垂足为 ，在 中， ， ，
． ． 与 不相似，
，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 点．
所以在该抛物线上不存在点 ，使得 与 相似．
（3）如答图3，连接 、 ，
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在 和 中，由垂径定理易知：弧 弧 ． ，
又 ， ， ，
在 中， （或利用
即： 为定值．
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