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中考数学真题 2025 分类精编精练 6 坐标系与一次函数
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共12小题）
如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，﹣2），将线段AB平移得到线段CD，
点A的对应点C的坐标为（3，5），则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（7，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣7） D．（﹣3，﹣2）
下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y D．y
如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容
器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快
C．保持不变 D．快慢交替变化
小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、
体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（
）
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A．小明家到体育馆的距离为2km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45min
C．小明家到书店的距离为1km
D．小明从书店到家步行的时间为40min
如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如
图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（ ）
A．12A B．8A C．6A D．4A
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已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温
度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的 324 330 336 348
速度v
（m/s）
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为
（ ）
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线．点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连接
CE，点F在BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点（0，2 ），则该
图象上最低点的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ，3﹣2 ） D．（ ，3﹣2 ）
二 、多选题（本大题共1小题）
如图，一次函数y＝kx+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝kx交于点P（1，2），则下
1 2
列结论正确的是（ ）
A．k﹣k＞0
1 2
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B．P为AB的中点
C．方程kx+b＝kx的解是x＝2
1 2
D．当x＜1时，kx+b＞kx
1 2
三 、填空题（本大题共10小题）
函数y 的自变量x的取值范围是 ．
在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是
．
函数y 中，自变量x的取值范围是 ．
已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是 ．
甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填
（“甲”或“乙”先到终点）．
如图，直线l：y＝kx+b与直线l：y＝kx+b交于点A，则关于x，y的方程组 的解是
1 1 1 2 2 2
．
在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，b），且a，b满足（a﹣2）2+|b+3|＝0，则点A在第
象限．
弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F
的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量
为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．
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在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为
6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n
台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 …
A 40 60 / / / / /
B 30 55 75 90 100 105 /
C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台
设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或
“D”）；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业
可获得的总利润的最大值为 万元．
如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P
沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．
△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示．
（1）m＝ ；
（2）n＝ ．
四 、解答题（本大题共7小题）
研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．
某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表：
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气体温度 … 25 30 35 …
x（℃）
气体体积 … 596 606 616 …
y（L）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气
体温度．
某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x
（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t ．
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20
元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的 ，设购
买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费
用最低时的购买方案．
某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的
价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
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（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个
篮球时花费最少，最少费用是多少？
工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系
统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段
的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的
函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
＝
0
时
y
的
值
T 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
＝
3
时
y
的
值
T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或
保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势
用平滑曲线连接，得到曲线∁．当T＝1和T＝2时，曲线C，C如图所示．
T 1 2
（1）观察曲线C，当整数x的值为 时，y的值首次超过35；
1
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C；
3
（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最
早在完成理论学习后的第 日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在
这4日中应安排小腾先进行 日的模拟练习．
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一条公路上依次有A．B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一
辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，
轿车比货车晚 h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离
y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ，b的值是 ；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）
之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），
且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y．矩形ABCD的面积为S，
1
△ABE的面积为S，△CDF的面积为S，y ．
1 2 2
（1）请直接写出y，y分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
1 2
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y，y的图象，并分别写出函数y，y的一条性质；
1 2 1 2
（3）结合函数图象，请直接写出y＜y时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过
1 2
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0.2）．
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答案解析
一 、选择题
【考点】点的坐标
【分析】根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把
此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何
一个象限．
解：A．点A在第一象限，故此选项不符合题意；
B．点B在x轴上，故此选项不符合题意；
C．点C在第三象限，故此选项不符合题意；
D．点D在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记坐标平面的划分方法是解题的关键．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
解：已知函数 ，
则x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到
点D的坐标．
解：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，﹣2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C
的坐标为（3，5），
∴点A向上平移5个单位得到点C，
∴点B向上平移5个单位得到点D，
∴点D的坐标为（2，﹣2+5），即（2，3）；
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变换—平移，掌握平移的性质是解题的关键．
【考点】正比例函数的定义
【分析】根据形如y＝kx（k≠0）的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解．
解：A．y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；
B．y＝3x2是二次函数，故不符合题意；
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C．y 是反比例函数，故不符合题意；
D．y 是正比例函数，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是关键．
【考点】常量与变量
【分析】根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．
解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快，
故选：B．
【点评】本题考查变量的变化情况，掌握其性质是解题的关键．
【考点】函数的图象
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
解：由图象可知：
A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意；
B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意；
C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意；
D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
【考点】一次函数与一元一次不等式,一次函数的图象
【分析】观察函数图象得到即可．
解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，
所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，
所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，
所以解集为x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y
＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝
kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【考点】一次函数的图象
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【分析】根据函数系数结合一次函数图象与系数的关系，即可得出该函数图象过第一、二、三象限，
此题得解．
解：∵在一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝x+1的图象过第一、二、三象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．
【考点】正比例函数的图象
【分析】利用待定系数法求出电流I关于电压U的函数关系式，将U＝15V代入函数关系式解出即
可．
解：设I＝kU，
∵当U＝5V时，I＝4A，
∴4＝5k，
∴k ，
∴I U，
当U＝15V时，I 15＝12A．．
故选：A．
【点评】本题考查正比例函数的图象，正确记忆相关知识点是解题关键．
【考点】一次函数的性质
【分析】先根据m2025+2025m＝2025判断m的取值范围，再根据一次函数的性质判断其图象经过的
象限．
解：∵m2025+2025m＝2025，
∴m＞0且2025m＜2025，
∴0＜m＜1，
∴1﹣m＞0，
∴一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【考点】一次函数的应用
【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可．
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解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分别代入v＝at+b，
得 ，
解得 ，
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，
当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】证明∠CAD＝∠BAD＝22.5°，设AC＝BC＝m，可得 如图，在AC上
取 点 Q， 使 AQ＝ DQ， 求 解 ： ， 证 明 △ ACE∽ △ BEF， 可 得
，结合y关于x的函数
图象过点 ，求解：m＝1，再进一步利用二次函数的性质解题即可．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是角平分线，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
设AC＝BC＝m，
∴AB ，
如图，在AC上取点Q，使AQ＝DQ，
∴∠QAD＝∠QDA＝22.5°，
∴∠CQD＝45°＝∠CDQ，
CQ＝CD QD AQ’，
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∴ ，
解得： ，
∠CEF＝45°＝∠CAB，∠CEF+∠BEF＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BEF＝∠ACE，
∴△ACE∽△BEF， ，
∴ ，
∵y关于x的函数图象过点 ，
∴ ，
解得：m＝1，
∴ ，
当 时， ，
∴该图象上最低点的坐标为 ；
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次
函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键．
二 、多选题
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程
【分析】先利用待定系数法求出k＝2，k＝﹣2，再确定B点坐标，则可对A选项进行判断；根据线
2 1
段的中点坐标公式可对B选项进行判断；利用P点为两函数的交点，则当x＝1时，两函数的函数
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值相等，从而可对C选项进行判断；利用直线y＝﹣2x+4在直线y＝2x的上方所对应的自变量的
范围可对D选项进行判断．
解：把P（1，2）代入y＝kx得k＝2，
2 2
把A（0，4），P（1，2）分别代入y＝kx+b得 ，
1
解得 ，
∴一次函数y＝kx+b解析式为y＝﹣2x+4，
1
当y＝0时，﹣2x+4＝0，
解得x＝2，
∴B（2，0），
∵k＝﹣2，k＝2，
1 2
∴k﹣k＝2﹣（﹣2）＝4＞0，所以A选项不符合题意；
1 2
∵A（0，4），B（2，0），P（1，2），
∴点P为AB的中点，所以B选项符合题意；
∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kx交于点P（1，2），
1 2
∴方程kx+b＝kx的解是x＝1，所以C选项不符合题意；
1 2
当x＜1时，kx+b＞kx，所以，D选项符合题意．
1 2
故选：BD．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高
低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次
函数的性质．
三 、填空题
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件
【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x﹣3≠0，解得x的范围．
解：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个
方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
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【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
解：由题知，
将点P（3，4）向下平移2个单位长度后，所得点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，1﹣x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【考点】一次函数的性质
【分析】依据题意，由一次函数的性质，y随x的增大而增大，不妨设k＞0，不妨令k＝1即可．
解：由题意，∵一次函数y随x的增大而增大，
∴k＞0．
∴不妨设k＝1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＞0．
【考点】函数的图象
【分析】这次赛跑中先到达终点的是用时较少的，据此可得答案．
解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查了图象的读图分析能力，要能根据图象的性质和图象上的数据并结合实际
意义得到正确的结论．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）
【分析】依据题意，可得关于x，y的方程组 的解即为直线y＝kx+b与y＝kx+b的交
1 1 2 2
点A（4，6）的坐标．
解：由图象知直线y＝kx+b与y＝kx+b相交于点A（4，6），
1 1 2 2
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∴关于x，y的方程组 的解是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观
察图形的能力和理解能力．
【考点】点的坐标；非负数的性质：绝对值,非负数的性质：偶次方
【分析】根据非负性得出a，b的值，即可求得点A的坐标，即可得出答案．
解：∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，
∴，a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3），
∴点A在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了点的坐标、非负数的性质，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键．
【考点】一次函数的应用
【分析】利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入求出m的值即
可．
解：将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx，
得0.5g＝0.5k，
解得k＝g，
∴F与x的函数关系式为F＝gx，
将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx，
得mg＝0.8g，
解得m＝0.8，
∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【考点】函数的表示方法
【分析】（1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案；
（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案．
解：（1）当n＝2时，
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A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元），
B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元），
C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元），
D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元），
∵25＞24＞20，
∴应向经销商B分配2台设备，
故答案为：B；
（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元，
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元），
当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元），
当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元．
故答案为：157．
【点评】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键．
【考点】动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质
【分析】（1）观察图象可知，当t＝4时，点P与点B重合，得到CP＝CQ＝4，利用直角三角形的面积
公式进行计算，求出m的值即可；
（2）根据图象当t＝10时，S＝10，此时CQ＝10，BP＝10﹣BC＝6，过点P作PD⊥AC，根据面积公式
求出PD的长，证明△ADP∽△ACB，列出比例式求出AP的长，进而求出AB的长即可．
解：（1）观察图象可知，当t＝4时，点P与点B重合，
∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，
∴CB＝CP＝CQ＝4cm，
∵∠C＝90°，
∴ ，
故答案为：8；
（2）由图象可知，当t＝10时，S＝10，此时CQ＝10，BP＝10﹣BC＝6，
过点P作PD⊥AC于点D，如图，则∠PDA＝90°，
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∵ ，
∴PD＝2，
∵∠PDA＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴P为AB的中点，
∴AB＝2BP＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是
解题的关键
四 、解答题
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可；
（2）当y＝700时，求出对应x的值即可．
解：（1）根据表格，气体温度升高1℃，气体体积增大2L，则y＝596+2（x﹣25）＝2x+546，
∴y与x的函数关系式为y＝2x+546．
（2）当y＝700时，得2x+546＝700，
解得x＝77．
答：停止加热时的气体温度为77℃．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式是解题的关键．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出y与x的函数关系式，当y＝200时，求出对应x的值，从
而写出定义域即可；
（2）将y＝200对应的x的值代入t与x的关系式，求出对应t的值即可．
解：（1）每分钟加水量为（160﹣80）÷2＝40（升），
则y＝40x+80，
当40x+80＝200时，解得x＝3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y＝40x+80（0≤x≤3）．
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（2）当x＝3时，t 32，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度．
【点评】本题考查一次函数的应用，求出y与x的函数关系式是解题的关键．
【考点】一次函数的应用,分式方程的应用,一元一次不等式的应用
【分析】（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元，根据题意列关于m的分式方程并求
解即可；
（2）根据题意，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，根据总费用＝购买篮球的费用+购买足
球的费用写出y与x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y
值最小即可．
解：（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元．
根据题意，得 ，
解得m＝80，
经检验，m＝80是所所列分式方程的根，
80+20＝100（元）．
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元．
（2）购买足球（120﹣x）个，
根据题意，得 ，
解得72≤x≤119且x为整数，
y＝100x+80（120﹣x）＝20x+9600，
∴y与x的函数关系式及x的取值范围是y＝20x+9600（72≤x≤119且x为整数），
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵72≤x≤119且x为整数，
∴当x＝72时y值最小，
120﹣72＝48（个）．
答：购买篮球72个、足球48个总费用最低．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元
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一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
【考点】一次函数的应用,二元一次方程组的应用
【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件①②，列出方程组，解方程组即可；
（2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，根据“足球的个数不超过篮球个数的2倍”，
列出不等式求出m的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，根据总费用＝购买篮
球和足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值．
解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
选择条件①②：
根据题意得： ，
解得 ，
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，
根据题意得：10﹣m≤2m，
解得m ，
又∵m≤10，
∴ m≤10，
设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，
根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∵ m≤10，且m为正整数，
∴当m＝4时，w最小，最小值为540．
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元．
【点评】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析
式和方程组．
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【考点】函数的图象,函数的概念,函数值
【分析】（1）找C图象上y的值首次超过35时的x值；
1
（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5
日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平
面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有C与C，C：T＝3x＝4时，y＝46，得T+x＝7；C：T＝
2 3 3 2
2，当x＝6时，y＝45，得T+x＝8，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学
员”证书；
②分模拟练习T＝0日，T＝1日，T＝2日，T＝3日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产
品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．
解：（1）由曲线C看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35，
1
故答案为：6；
（2）∵T＝3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格
品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的
合格品48个，
∴相差48﹣43＝5（个），
把5分成两个接近的数，5＝3+2，
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴m＝43+3＝46，
画出T＝3时的曲线C：
3
（3）①单日制成不少于45个合格品的只有C与C，
2 3
C：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x＝4日制成的合格品达到y＝46个，
3
∴T+x＝7；
C：T＝2日的模拟练习，然后试制阶段第x＝6日制成的合格品达到y＝45个，
2
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∴T+x＝8，
∵7＜8，
故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；
故答案为：7；
②如图，
当模拟练习T＝0日时，
4日内的试制时间x＝4﹣0＝4日，
4日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有7+8+10+12＝37；
当模拟练习T＝1日时，
4日内的试制时间x＝4﹣1＝3日，
3日的合格产品分别是12，19，26，
∴合格产品共有12+19+26＝57；
当模拟练习T＝2日时，
4日内的试制时间x＝4﹣2＝2日，
2日的合格产品分别是20，30，
∴合格产品共有20+30＝50；
当模拟练习T＝3日时，
4日内的试制时间x＝4﹣3＝1日，
1日的合格产品是26；
∵26＜37＜50＜57，
∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日
中应安排小腾先进行1日的模拟练习．
故答案为：1．
【点评】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信
息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．
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【考点】一次函数的应用
【分析】（1）观察图象，可知A．B两地之间的距离，B、C两地之间的距离，从而求出A．C两地之间的
距离，即a的值；根据速度＝路程÷时间求出轿车的速度，由时间＝路程÷速度求出轿车行驶的
时间，再根据图象列关于b的方程并求解即可；
（2）求出点N的坐标，从而求出点M的坐标，根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，进而求出在
货车从B地返回C地的过程中y与x之间的函数解析式即可；
（3）分别求出货车到达B地之前、轿车到达B地至接人结束准备继续驶往C地时、轿车从B地开始
驶往C地至货车到达C地三处过程中两车相距40km时对应x的值即可．
解：（1）由图象可知，A．B两地之间的距离为180km，B、C两地之间的距离为120km，
180+120＝300（km），
∴a＝300，
轿车的速度为180÷1.5＝120（km/h），
300÷120＝2.5（h），
根据图象，得1.5+（3﹣b）＝2.5，
解得b＝2．
故答案为：300，2．
（2）3 （h），
∴N（ ，0），
2 （h），
∴M（ ，120），
货车的速度为120 90（km/h），
y＝120﹣90（x ）＝﹣90x+240，
∴在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之
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间的函数解析式为y＝﹣90x+240（ x ）．
（3）当0≤x 时，得（120+90）x+40＝300，
解得x ，
当 x≤1.5时，两车之间的距离一直在减小，且总是小于40km，
当1.5＜x≤2时，得90（x ）＝40，
解得x ，
当2＜x 时，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300，
解得x ，
∴轿车出发 h或 h或 h与货车相距40km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
【考点】函数的图象,函数关系式,函数自变量的取值范围, 一次函数的图象与性质，反比例函数的图
象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质
【分析】（1）利用矩形性质和勾股定理得出AC 5，AO＝CO＝5，分两部分：①当
时；②当 时，分别列出y过点B作BM⊥AC于点M，利用等面积法求出BM
1
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，即可表示出△ABE的面积为 ，同理可得△CDF的面积为 ，
再结合矩形ABCD的面积为与 ，即可列出y；
2
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出y的图象在y下方时对应的自变量x的取值范围即可．
1 2
解：（1）∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4，
∴∠ABC＝90°， ，
∴AO＝CO＝2.5，
当 时，AE＝CF＝x，如图，
∴y＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x，
1
5时，AE＝CF＝x，如图，
∴y＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，
1
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∴ ，
如图，过点B作BM⊥AC 于点M，
∵ ，
∴ ，
∴△ABE的面积为 ，
同理可得△CDF 的面积为 ，
又∵矩形ABCD的面积为S＝3×4＝12，
∴ ，
∴ ；
（2）作图如下：
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性质：当 时，y随x的增大而减小；
1
当 时，y随x的增大而增大（不唯一）；
1
当0＜x＜5时，y随x的增大而减小；
2
（3）结合函数图象，可得y＜y时x的取值范围为0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1＜或0＜x＜3.2或0＜
1 2
x＜3.4或0＜x＜3.5）．
【点评】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与
不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解
题的关键．
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