查漏补缺05一次函数与反比例函数（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025中考二轮课件ppt+讲义+练习数学_讲义+练习

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查漏补缺 05 一次函数与反比例函数（8 大题型）
考点一： 一次函数
【题型一】一次函数图象上点的坐标特征
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的
交点位置.
2）为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)， 两点.（依
据：两点确定一条直线）.
3）一次函数平移变换方式：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
4）一次函数翻折变换方式：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
【中考真题】
1．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,−6)，若点A与点B关于原点
对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
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1 1
A．y=3x B．y=−3x C．y= x D．y=− x
3 3
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相
反数，求出A,B的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴m=6,n=−2，
∴A(2,6)，B(−2,−6)，
设正比例函数的解析式为：y=kx(k≠0)，把A(2,6)代入，得：k=3，
∴y=3x；
故选A．
2．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再
向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y=−x+1 B．y=x+1 C．y=−x−1 D．y=x−1
【答案】A
【分析】先求出函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即
可求出平移后的解析式．
【详解】解：∵点(1,1)是函数y=x图象上的点，
∴将y=x绕原点逆时针旋转90°，则旋转后图象经过原点和(−1,1)、
∴将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°得到图象的解析式为y=−x，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为y=−x+1．
故选A．
【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转90°坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据
绕坐标原点逆时针90°的得到图象函数解析式为y=−x．
3．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错
误的是（ ）
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1
A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=− b
2
【答案】C
【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数y=kx+b (k≠0)系数的符号，判断
出函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，
∴k>0，b<0，故选项A正确，不符合题意；
∴kb<0，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数y=kx+b的图象经过点(2，0)，
∴2k+b=0，则b=−2k，
∴k+b=k−2k=−k<0，故选项C错误，符合题意；
∵b=−2k，
1
∴k=− b，故选项D正确，不符合题意；
2
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．
4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比
4
例函数y=− 的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m
x
的取值范围是（ ）
A．m<−2或m>2 B．−2<m<2且m≠0
C．−2<m<0或m>2 D．m<−2或0<m<2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
−4
当A在原点右侧时，B点坐标为(m, )，设旋转后的直线的解析式为：y=−x+b，得到
m
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4 m2−4
b=m− = >0，求出m>2；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y=−x+b'，
m m
m2−4
b'= >0，求出−2<m<0，即可得到m的取值范围．
m
−4
【详解】解：当A在原点右侧时，B点坐标为(m, )，
m
∵直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴所得的直线与直线y=−x平行，
设这条直线的解析式为：y=−x+b，
∵这条直线经过第一、二、四象限，
∴b>0，
∵B在直线y=−x+b上，
4
∴−m+b=− ，
m
4 m2−4
∴b=m− = >0，
m m
∵m>0，
∴m2−4>0，
∴m>2；
当A在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：y=−x+b'，
m2−4
同理：b'= >0，
m
∵m<0，
∴m2−4<0，
∴−2<m<2，
∵m<0，
∴−2<m<0．
m的取值范围是−2<m<0或m>2．
故选：C．
5．（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点
的横坐标是 .
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【答案】10
【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．
【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，
∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
6．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，
2 3
B，则 + 的值是 ．
OA OB
【答案】1
2k−3
【分析】根据一次函数解析式得出OA= ，OB=−2k+3，然后代入化简即可．
k
【详解】解：y=kx−2k+3，
3
∴当y=0时，x=− +2，当x=0时，y=−2k+3，
k
3 2k−3
∴OA=− +2= ，OB=−2k+3，
k k
2 3 2 3 2k 3 2k−3
+ = + = − = =1
∴OA OB 2k−3 3−2k 2k−3 2k−3 2k−3 ，
k
故答案为：1．
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【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
7．（2024·江苏苏州·中考真题）直线l :y=x−1与x轴交于点A，将直线l 绕点A逆时针旋转15°，得到直
1 1
线l ，则直线l 对应的函数表达式是 ．
2 2
【答案】y=√3x−√3
【分析】根据题意可求得l 与坐标轴的交点A和点B，可得∠OAB=∠OBA=45°，结合旋转得到
1
∠OAC=60°，则∠OCA=30°，求得OC=√3，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线l 的解析
2
式．
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象l 和旋转后的函数图象l ，如图所示∶
1 2
设l 与y轴的交点为点B，
1
令x=0，得y=−1；令y=0，即x=1，
∴A(1,0)，B(0,−1) ，
∴OA=1，OB=1，
即∠OAB=∠OBA=45°
∵直线l 绕点A逆时针旋转15°，得到直线l ，
1 2
∴∠OAC=60°，∠OCA=30°，
∴OC=OA×tan60°=√3OA=√3，
则点C(0,−√3)，
设直线l 的解析式为y=kx+b，则
2
¿，解得¿，
那么，直线l 的解析式为y=√3x−√3，
2
故答案为：y=√3x−√3．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数
解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长．
8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动
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点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为
【答案】2√7
【分析】记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM；由直线解析式可求得点
A、K的坐标，从而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：
PQ=√PM2−QM2，由QM=2，则当PM最小时，PQ最小，点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
由勾股定理求得PM的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM，
当x=0，y=4，当y=0，即x+4=0，
解得：x=−4，
即K(0,4)，A(−4，0)；
而M(4,0)，
∴OA=OK=OM=4，
∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，
∴∠AKO=∠MKO=45°，
∴∠AKM=90°，
∵QP与⊙M相切，
∴∠PQM=90°，
∴PQ=√PM2−QM2，
∵QM=2，
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∴当PQ最小时即PM最小，
∴当PM⊥ AK时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=√OM2+OK2=4√2，
∴PQ=√32−4=2√7，
∴PQ最小值为2√7．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加
辅助线是解题的关键．
9．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点B(m,4)．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1)A(2,0),B(4,4)
(2)见解析
(3)P坐标是(6,0)，(2+2√5,0)
【分析】（1）令y=0得出点A的坐标是(2,0)，把B(m,4)代入y=2x−4，即可求解；
（2）画出经过A,B的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
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【详解】（1）解：∵一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，
∴令y=0
2x−4=0解得x=2
∴点A的坐标是(2,0)
∵点B(m,4)在一次函数y=2x−4的图象上
把B(m,4)代入y=2x−4，
得2m−4=4，
∴m=4，
∴点B的坐标是(4,4)；
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，当BA=BP时，P (6,0);
1
∵A(2,0)，B(4,4)，
∴AB=√(4−2) 2+22=2√5，
当AB=AP时，P (2+2√5,0)
2
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∴符合条件的点P坐标是(6,0)，(2+2√5,0).
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2025·陕西西安·三模）将一次函数y=2x+b的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象
经过点(−1,−1)，则b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将
(−1,−1)代入求出答案，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键．
【详解】解：将一次函数y=2x+b的图象向下平移2个单位长度，得到y=2x+b−2，
将(−1,−1)代入得：−1=−2+b−2，
解得：b=3，
故选：B．
2．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数y=kx+b，当−3≤x≤1时，对应的y值为−1≤ y≤8，则b的值
为（ ）
5 23 5 23 41
A． B． C． 或 D．
4 4 4 4 4
【答案】C
【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得
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函数解析式是解题的关键．
一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【详解】解：当k>0时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大，
所以得¿，
23
解得¿，即b= ；
4
当k<0时，y随x的增大而减小，
所以得¿，
5
解得¿，即b= ．
4
故答案为：C．
3．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判
1
断新函数y=|x2−3x+2|的图象与一次函数y=− x+1的图象的交点个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形
集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案．
【详解】解：∵y=x2−3x+2=(x−1)(x−2)，
∴x=1或x=2时，y=0，当x=0时，y=2，
∴y=x2−3x+2过(1,0)、(2,0)、(0,2)
3 2 1
∵y=x2−3x+2=(x− ) − ，
2 4
3 3 1
∴其开口向上，对称轴为x= ，顶点坐标为( ,− )，
2 2 4
将y=x2−3x+2的图象在x轴下方的部分对称到上方，得到y=|x2−3x+2|的图象，
1 3 1 1
一次函数y=− x+1，当x=0时，y=1，当x= 时，y= ，当x=2时，y=0，故一次函数y=− x+1
2 2 4 2
3 1
过(0,1)和( , )和(2,0)，如图所示：
2 4
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从图象可知，交点个数为3个，
故选：C．
4．（2025·山东青岛·一模）若实数a，b满足a2−2a+1+√b−2=0，则函数y=ax+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理直线y=kx+b
所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象
限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求出a=1，b=2，得出函数y=ax+b的解析式为y=x+2，即可
得出函数图象经过第一、二、三象限，求解即可．
【详解】解：∵实数a，b满足a2−2a+1+√b−2=0，
即(a−1) 2+√b−2=0，
∴a−1=0，b−2=0，
∴a=1，b=2，
∴函数y=ax+b的解析式为y=x+2，
∴此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
5．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数y=kx+b，其中x与y的部分对应值如表所示，根据表中数
据分析，下列结论不正确的是（ ）
x … −1 1 3 …
y … 5 −1 −7 …
A．y随着x的增大而减小
B．一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=3x的图象平行
C．一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,2)
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D．一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质．根据表格中的数据和一次函数的性质，可
以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵点(−1,5)，(1,−1)在该函数图象上，
∴¿，解得¿，
∴y=−3x+2，
∵k=−3<0，
∴y随着x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x的图象平行，故选项B不正确，符合题意；
∵当x=0时，y=2，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,2)，故选项C正确，不符合题意；
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,2)，且k<0，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项D
正确，不符合题意；
故选：B．
√3
6．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数y= x+1的图像与y轴相交于点A ，以OA 为边作等边
3 1 1
△OA B ，点B 在第一象限内，过点B 作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点A ，与x轴交于点C ，
1 1 1 1 2 1
以C A 为边作等边△C A B （点B 在点B 的右边），以同样的方式依次作等边△C A B ，等边
1 2 1 2 2 2 1 2 3 3
△C A B ，…，则点A 的纵坐标为 ．
3 4 4 2025
(3) 2024
【答案】
2
(3) 0 √3
【分析】先求出y =1= ，根据等边△OA B 得到△OA B ，解直角三角形求出OC = ，则
A 1 2 1 1 1 1 1 2
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(3) 1 (3) 2 (3) n−1
y = ，依次类推求出y = ，找到规律y = ，即可求解．
A 2 2 A 3 2 A n 2
(3) 0
【详解】解：当x=0,y =1= ，
A 1 2
∴A (0,1)，
1
∵等边△OA B ，
1 1
∴A B =OA =OB =1，∠A OB =60°，
1 1 1 1 1 1
∴∠B OC =30°，
1 1
∵过点B 作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点A ，
1 2
∴∠A C O=90°，
2 1
√3
∴OC =OB ×cos∠B OC = ，
1 1 1 1 2
√3 √3 3 (3) 1
∴y = × +1= = ，
A 2 2 3 2 2
∵△C A B 为等边三角形，
1 2 2
3
∴∠A C B =60°,A C =C B = ，
2 1 2 2 1 1 2 2
∴∠B C C =30°，
2 1 2
3
∴C C =C B ×cos∠B C C = √3，
1 2 1 2 2 1 2 4
5
∴OC =OC +C C = √3，
2 1 1 2 4
5√3 √3 9 (3) 2
∴y = × +1= = ，
A 3 4 3 4 2
(3) 3
∴同理可求y = ，
A 4 2
...
(3) n−1
∴以此类推y = ，
A n 2
(3) 2024
∴y = ，
A 2025 2
(3) 2024
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的
性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
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1
7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y= x+3与x轴交于点A，点
2
B(2,m)在第一象限，线段AB上有一点C(n,2)，点P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB+PC的值最
小时，此时PB+PC的最小值为 ．
【答案】2√13
【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出B(2,4)，C(−2,2)，作点B关于x
轴的对称点B'，连接CB'交x轴于P，则点P即为所求，由轴对称的性质可得B'(2,−4)，PB=PB'，则
PB+PC=PB'+PC≥CB'，当C、P、B'在同一直线上时，PB+PC最小，为CB'，由勾股定理求出CB'
的长即可得解．
1 1 1
【详解】解：将B(2,m)代入直线AB:y= x+3得 ×2+3=m，即 ×2+3=m，故B(2,4)，
2 2 2
1 1
将C(n,2)代入直线AB:y= x+3得 ×n+3=2，解得n=−2，即C(−2,2)；
2 2
如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于P，则点P即为所求，
由轴对称的性质可得：B'(2,−4)，PB=PB'，
∴PB+PC=PB'+PC≥CB'，
当C、P、B'在同一直线上时，PB+PC最小，为CB'，
∵CB'=√ (−2−2) 2+[2−(−4)] 2 =2√13，
∴PB+PC的最小值为2√13，
故答案为：2√13．
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8．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(0,3)是y轴上一点，点B在直线y=−x+4上，
将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，当点C落在x轴负半轴上时，点C的坐标为 ．
【答案】(−2,0)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点B作BD⊥x轴，根据点B在
直线y=−x+4上，设点B的坐标为(x,−x+4)，利用旋转的性质可得∠ACO=∠BAO，根据AAS可证
△ACO≌△BAD，根据全等三角形对应边相等可得BD=AO=3，从而可求CO=2，根据点C落在x轴负
半轴上，可以确定点C的坐标．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于点D，
∵点B在直线y=−x+4上，
∴设点B的坐标为(x,−x+4)，
∴D(0,−x+4)，
∴OD=−x+4，
∵点A的坐标为(0,3)，
∴OA=3，
∴AD=AO−DO=3−(−x+4)=x−1，
根据旋转的性质可知∠BAC=90°，
∴∠CAO+∠BAO=90°，
在Rt△ACO中∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠BAO，
在△ACO和△BAD中，¿，
∴△ACO≌△BAD，
∴BD=AO=3，AD=CO，
∴ x=3，
∴CO=AD=x−1=3−1=2，
∴点C的坐标为(−2,0)．
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故答案为：(−2,0) ．
1
9．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，将函数y=− x向上平移2个单位，与
2
y=kx−3(k≠0)的图象交于点(2,n)．
(1)求k,n的值；
(2)当x≤1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx−3的值，且小于函数y=−kx+5
的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)k=2，n=1；
(2)−1<m≤2且m≠0．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌
握一次函数的图象和性质是解题关键．
1
（1）根据一次函数的平移得到新函数y=− x+2，再求出两直线的交点坐标，得到n的值，再代入函数
2
解析数求出k的值即可；
（2）根据题意得：当x≤1时，mx>2x−3且mx<−2x+5，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最
后确定取值范围即可．
1 1
【详解】（1）解：将函数y=− x向上平移2个单位，得到新函数y=− x+2，
2 2
1
当x=2时，n=− ×2+2=1，
2
1
即函数y=− x+2与函数y=kx−3(k≠0)的图象交于点(2,1)，
2
将点(2,1)代入函数y=kx−3(k≠0)，
则2k−3=1，
解得：k=2；
（2）解：由（1）得：k=2，
根据题意得：当x≤1时，mx>2x−3且mx<−2x+5，
mx>2x−3，
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3
当0<x≤1时，m>2− ，最大值在x=1时，得m>−1，
x
3 3
当x<0时，m<2− ，2− >2恒成立，得m≤2，
x x
综合得：−1<m≤2；
mx<−2x+5，
5
当0<x≤1时，m< −2，最小值在x=1时，得m<3，
x
5 5
当x<0时，m> −2， −2<−2恒成立，得m≥−2，
x x
综合得：−2≤m<3；
综上可得：−1<m≤2且m≠0．
10．（2025·陕西·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，
并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=2|x−2|+x−3的图象与性质进
行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
列表如下：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 4 a 2 1 0 b 2 5 …
(1)填空：表中a=__________、b=__________；
(2)在图中描点并画出该函数的图象；
(3)观察函数y=2|x−2|+x−3的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当x≥2时，y的值随x的值增大而增大；
②当y=0时，x=1；
③该函数存在最小值，最小值为−1；
④该函数图象关于直线x=2对称．
其中正确的是__________．（请写出所有正确命题的序号）
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【答案】(1)3，−1
(2)见解析
(3)①③
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图象，一次函数的性质等等，利
用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把x=−2和x=2分别代入函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案；
（2）先描点再连线画出对应的函数图象即可；
（3）根据所画函数图象和表格中的数据逐一判断即可．
【详解】（1）解：在y=2|x−2|+x−3中，当x=−2时，y=2|−2−2|−2−3=2×4−5=3，
当x=2时，y=2|2−2|+2−3=2×0−1=−1，
∴a=3，b=−1；
（2）解：如图所示函数图象即为所求；
（3）解：①由函数图象可知，y的值随x的值增大而增大，原说法正确；
7 7
②当y=2|x−2|+x−3=0，解得x=1或x= ，故当y=0时，x=1或x= ，原说法错误；
3 3
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③由函数图象可知，该函数存在最小值，最小值为−1，原说法正确；
④由函数图象可知，该函数图象不关于直线x=2对称，原说法错误．
故答案为：①③．
【题型二】一次函数与实际问题
1）一次函数应用问题的求解思路：建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性
质求解；
2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，
然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范
围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大
小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【中考真题】
1．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄
果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【答案】D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．
【详解】解：x=0时，y=200，因此小星家离黄果树景点的路程为50km，故A选项错误，不合题意；
x=1时，y=150，因此小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，故B选项错误，不合题意；
x=2时，y=75，因此小星从家出发2小时离景点的路程为75km，故C选项错误，不合题意；
150−75
小明离家1小时后的行驶速度为 =75km/h，从家出发2小时离景点的路程为75km，还需要行驶
2−1
1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了3h，故D选项正确，符合题意；
故选D．
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【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．
2．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，
用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，
找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据用1000元购买的五子棋数量和用
1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋(30−m)副，根据购买五子棋数量不超过
象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的
性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据题意得：
1000 1200
=
x x+8
解得：x=40，
经检验x=40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+8=48．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋(30−m)副，根据题意得：
m≤3(30−m)，
1
解得：m≤22 ，
2
w=40m+48(30−m)=−8m+1440，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
1
∴在m≤22 中，
2
∵m为正整数，
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∴当m=22时，w有最小值，最小值为−8×22+1440=1264（元），
则30−22=8（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
3．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递
分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台 B型机器人台 总费用（单位：万
数 数 元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不
等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结
果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，先求出a的取值范围，再得出每天
分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180,当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
¿
解得¿，
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答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，
∴80a+60(10−a)≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180，
∴当a=5时，每天分拣快递的件数最多为4×5+180=200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
4．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点
的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段
1
长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速
12
行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度
为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图
象如图所示．
(1)a的值为________；
1
(2)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
1
【答案】(1)
5
( 1 1)
(2)y=90x+2 ≤x≤
12 5
(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数
关系式是解题的关键．
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（1）由题意可得：当以平均时速为100千米/时行驶时，a小时路程为20千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
1
（3）求出先匀速行驶 小时的速度，据此即可解答．
12
1
【详解】（1）解：由题意可得：100a=20，解得：a= ．
5
1
故答案为： ．
5
1 1
（2）解：设当 ≤x≤ 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
12 5
则：¿，解得：¿，
( 1 1)
∴y=90x+2 ≤x≤ ．
12 5
1 1
（3）解：当x= 时，y=90× +2=9.5，
12 12
1 1
∴先匀速行驶 小时的速度为：9.5÷ =114（千米/时），
12 12
∵114＜120，
∴辆汽车减速前没有超速．
5．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小
组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一
个函数关系，部分数据如下表：
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；
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k
(2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y= (k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长
x
的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个
人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)y=7x−5
(3)175.6cm
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点(23,156),(24,163)代入即可求解；
（3）将25.8cm代入y=7x−5代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：y随着x的增大而增大，
因此选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点(23,156),(24,163)代入得：
¿，
解得：¿
∴y=7x−5
（3）解：将25.8cm代入y=7x−5得：
y=7×25.8−5=175.6cm
∴估计这个人身高175.6cm
6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车
从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，
但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、
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乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解
析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)EF的函数解析式是y=80x−215(4≤x≤5.5)
45
(3)经过1.5h或 h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
14
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数
图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，乙货车到达配货站路程为120km，
到达后返回，所用时间为6h，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知
E(4,105)和点F(5.5,225)，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，
半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货
站之前的速度是105÷3.5=30（km/h）
∴乙货车到达配货站路程为225−105=120(km)，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总
路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度=240÷6=40km/h，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知E(4,105)和点
F(5.5,225)
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设y =kx+b(4≤x≤5.5)
EF
∴¿
解得：¿，
∴甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式y=80x−215(4≤x≤5.5)
（3）设甲货车出发xh，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：105−30x=120−40x，
3
解得：x=
,
2
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：105−30x=40x−120，
45
解得：x= ，
14
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：80x−215−105=40x−120，
解得：x=5，
45
答：经过1.5h或 h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
14
【模拟训练】
1．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停
止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机
再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的
是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．刚开机时，水温上升过程中，y与x的函数关系式是y=20x+20
C．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min
D．上午10点接通电源，可以保证当天11:30能喝到不低于45℃的水
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
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A．根据“从20℃加热到100℃水温升高的温度÷加热时每分钟上升的温度”计算即可；
B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当y=40时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一
个加热周期内水温不低于40℃的时间；
D．求出将水温从20℃加热到100℃，再降到20℃一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数
关系式并据此计算即可．
【详解】解：水温从20℃加热到100℃，需要的时间为(100−20)÷20=4(min)，
∴A正确，不符合题意；
设水温上升过程中，y与x的函数关系式是y=kx+b，
将坐标(0,20)，(4,100)代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是y=20x+20，
∴B正确，不符合题意；
当0≤x≤4时，当y=40时，得20x+20=40，
解得x=1，
400
当4<x≤20时，当y=40时，得 =40，
x
解得x=10，
10−1=9(min)，
∴在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，
∴C正确，不符合题意；
400
当y=20时，得20= ，
x
解得y=20，
∴水温从20℃加热到100℃，再降到20℃所用时间为20min，即一个循环是20min，
∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为y=¿，
上午10点到11:30共90分钟，则90−20×4=10（分钟），
400
当x=10时，得y= =40，
10
∴上午10点接通电源，可以保证当天11:30水温为40℃，
∴D不正确，符合题意；
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：D．
2．（2025·河北·模拟预测）建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的
水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下
蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，R为定值电阻，R 为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度
1
的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．当H=2时，R 的电阻值为300Ω
1
B．R 随着水位的升高而增大
1
C．当0<H≤0.5，R 与H的关系式为R =50+300H
1 1
D．R 的电阻值为150Ω时，水位的高度H=0.375m
1
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象与实际问题，一次函数的性质，求一次函数的解析式等．掌握待定系数法求
一次函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：根据图2可得：当H=2时，R 的电阻值为300Ω；故A选项说法正确，不符合题意；
1
根据图2可得：R 随着水位的升高而增大，故B选项说法正确，不符合题意；
1
根据图2可得：当0<H≤0.5，R 的增长量是固定的，符合一次函数，
1
故设R 与H的关系式为R =aH+b，
1 1
将(0,50)，(0.5,200)，代入得¿，
解得：¿，
即R 与H的关系式为R =50+300H，故C选项说法正确，不符合题意；
1 1
当R 的电阻值为150Ω时，将R =150Ω代入R =50+300H，
1 1 1
得150=50+300H，
1
解得：H= ，
3
即R 的电阻值为150Ω时，水位的高度鱼约为H=0.334m，故D选项说法错误，符合题意．
1
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：D．
3．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管
自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全
相同，开始时甲容器液面高15cm．设甲容器中的液面高为y （单位：cm），乙容器中的液面高为y （单
1 2
位：cm），小明绘制了y ，y 关于虹吸时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面
1 2
比乙容器中的液面低3cm时，x的值为 ．
3
【答案】 /0.6
5
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得y =−15x+15，再利用甲容器向乙容器注水，
1
始终有y + y =15，求得y =15x，根据题意列方程求解即可．
1 2 2
【详解】解：当x=0时，y=a，
∵开始时甲容器液面高15cm，
∴a=15，
又∵x=1时，y=0，
∴设y =kx+15，
1
将(1,0)代入得0=k+15，解得k=−15，
∴y =−15x+15，
1
∵甲容器向乙容器注水，始终有y + y =15，
1 2
∴y =15−y =15−(−15x+15)=15x，
2 1
∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低3cm时，即y −y =−3，
1 2
∴−15x+15−15x=−3，
3
解得x= ，
5
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3
故答案为： ．
5
4．（2025·山东济南·一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪
和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间
后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和䠂慧行走的路程分别为
y (cm),y (cm),y ,y 与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 cm．
1 2 1 2
【答案】240
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键．
根据函数图象中的数据列式计算即可．
【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为30÷(17−14)=10cm/s，
m=(450−30)÷(10×3)+17=31
聪聪的速度为310÷31=10cm/s
( y )
∴ y =30+30 1−17 ，
1 10
∴y =240，
1
故答案为：240．
5．（2025·内蒙古·一模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图
为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，
封堵块长度为30cm，减速块长度为100cm．
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(1)请你描述减速带长度L（单位：cm）随减速块n（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示L与n的
关系；
(2)在宽度为19.2m的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少
块减速块？
【答案】(1)L=100n+60
(2)18块
【分析】（1）根据题意列出一次函数即可；
（2）由题意得100n+60≤19.2×100，据此即可求解；
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，L=100n+30×2=100n+60，
即L=100n+60；
（2）解：由题意得，100n+60≤19.2×100，
解得n≤18.6，
∵n为整数，
∴最多可以安装18块减速块．
6．（2025·天津和平·一模）甲，乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，
两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后2.8h，甲到达B地．下面
图中x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系．
(1)乙比甲提前_____h到达B地，乙的骑行速度为_____km/h，t值为_____h；
(2)直接写出甲骑行过程中，y关于x的函数解析式；
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(3)乙到达B地，此时甲离B地的路程为_____km；
(4)在甲到达B地前，当x=_____h时，甲乙两人相距2km．
(5)乙出发_____h时二人相遇，此时距离A地_____km．
【答案】(1)0.4，15，1；
(2)甲骑行过程中，y关于x的函数解析式为y=¿
(3)4
(4)1.2或2或2.6
8
(5) ；24
5
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
（1）由图象可以求出乙比甲提前到达B地的时间；再求出乙的速度为15千米/时，根据开始时，甲、乙两
18−3
人骑行速度相同，可得t= =1；
15
（2）根据函数图象，用待定系数法分段求出函数解析式即可；
（3）在y=10x+8中，令x=2.4得y=10×2.4+8=32，即可知乙到达B地后，甲离B地4千米；
（4）分甲、乙相遇前、后以及乙到达B地后三种情况，根据甲乙两人相距2km列方程求值即可；
（5）先求出乙骑行过程中，y关于x的函数解析式，再联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：由图象知，乙比甲提前2.8−2.4=0.4(h)到达，
乙的速度为36÷2.4=15（千米/时），
∵开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
18−3
∴t= =1，
15
∴t的值为1，
故答案为：0.4，15，1；
（2）解：当0≤x≤1时，由题意得：y=15x+3；
当1<x≤2.8时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
把(1,18)，(2.8,36)代入y=kx+b得
¿，解得¿，
∴y=10x+8，
综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数解析式为y=¿；
（3）解：由图象可知，t=2.4时，乙到达B地，
在y=10x+8中，令x=2.4得y=10×2.4+8=32，
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∵36−32=4（km），
∴乙到达B地后，甲离B地4km．
故答案为：4；
（4）解：∵乙的速度为15km/h，
∴乙骑行过程中，y关于x的函数解析式为y=15x，
①甲、乙两人相遇前后相距2km，
则|10x+8−15x|=2，
解得x=1.2或x=2；
②乙到达B地后，甲、乙相距2km，
2
则x=2.4+ =2.6．
10
综上所述，当x=1.2h或2h或2.6h时，甲乙两人相距2km．
故答案为：1.2或2或2.6；
（5）解：由（4）乙骑行过程中，y关于x的函数解析式为y=15x，
联立方程组得：¿，解得：¿，
8
∴乙出发 h时二人相遇，此时距离A地24km．
5
8
故答案为： ；24．
5
7．（2025·山东济南·一模）第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间
吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，
其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．
(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从A商场购买两种吉祥物
共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，A商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价
8元、5元出售．问该校从A商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？
【答案】(1)600个；400个
(2)60个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，解题的关
键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出函数解析式．
（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共
花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
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（2）设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”(90−m)个，先根据“滨滨”数量不少于“妮
妮”数量的2倍求出m的取值范围，再设该校花费总额w元，列出函数解析式求解．
【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，
由题意得：¿，解得：¿，
答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个；
（2）解：设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”(90−m)个，
由题意得：m≥2(90−m)，解得：m≥60
设该校花费总额w元，则w=28m+20(90−m)
∴w=8m+1800
∵8>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=60时，w取得最小值，
∴该校从A商场购买“滨滨”60个时花费总额最少．
8．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面AB的长为120cm，两端竖直放置挡板AC和BD，小球P（看作一
点）从挡板AC出发，匀速向挡板BD运动，撞击挡板BD后反弹，以原速返回挡板AC，过程中小球和挡
板AC的距离y(cm)与时间x(s)的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时
间忽略不计）
(1)图中m=______，n=______，小球的速度为______cm/s．
(2)求图2中直线EF的函数解析式．
(3)若小球从挡板AC向挡板BD运动的过程中，同时，挡板AC以6cm/s的速度匀速向挡板BD运动，运动
过程中（小球与挡板BD撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为ts，请直接写出t的
值．
【答案】(1)120，24，10；
(2)y=−10x+240
60
(3) s
7
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题
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的关键．
（1）根据函数图象可知n=120，小球到达BD时x=12，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知n=120，小球到达BD时x=12，
∴小球的速度为120÷2=10cm/s．
∵撞击挡板BD后反弹，以原速返回挡板AC，
∴m=12×2=24s．
故答案为：120，24，10；
（2）解：直线EF的函数解析式为y=kx+b，把E(12,120),F(24,0)代入，得
¿，
解得¿，
∴y=−10x+240；
（3）解：设挡板AC运动后的位置为A'C'，由题意，得
A'P=10t−6t,BP=120−10t，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴10t−6t=120−10t，
60
解得t= ，
7
60
∴t的值为 s．
7
【题型三】一次函数与几何综合
1）一次函数 与x轴交于 ，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构
成的三角形面积为 .
2）一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就利用相关图形的几何性质与一次函数的性质求解.
【中考真题】
1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于
A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=√2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动
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时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出OA=OB=2，确定AB=2√2，再由题意得出当PO的延长线
恰好垂直AB时，垂足为点E，此时PE即为三角形的最大高，连接DO，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=−2，当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0),B(0,−2)，
∴OA=OB=2，
∴AB=√OA2+OB2=2√2，
∵△PAB的底边AB=2√2为定值，
∴使得△PAB底边上的高最大时，面积最大，
点P为CD的中点，当PO的延长线恰好垂直AB时，垂足为点E，此时PE即为三角形的最大高，连接DO，
∵CD=√2，⊙O的半径为1，
√2
∴DP=
2
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√2
∴OP=√OD2−DP2=
，
2
∵OE⊥AB，
1
∴OE= AB=√2，
2
3√2
∴PE=OE+OP= ，
2
1 3√2
∴S = ×2√2× =3，
△PAB 2 2
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最
大值是解题关键．
2．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,3)．直线y=kx+b（k，b为
15
常数，且k>0）经过点(1,0)，并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为
4
．
3
【答案】 /0.6
5
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出AB的解析式，再
根据直线y=kx+b经过点C(1,0)，求出b=−k，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积
15
为 为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
4
【详解】解：根据题意画出图形如下，
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
把A(3,0)，B(0,3)代入，
可得出：¿，
解得：¿，
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∴直线AB的解析式为：y=−x+3，
∵直线y=kx+b经过点C(1,0)，
∴k+b=0，
∴b=−k，
∴直线y=kx−k，
联立两直线方程：¿，
解得：¿，
(k+3 2k )
∴D ,
k+1 k+1
∵A(3,0)，B(0,3)，C(1,0)
∴OB=3，OA=3，AC=2
15
根据题意有：S −S = ，
△ABO △ACD 4
1 1 15
即 ⋅OB⋅OA− ⋅y ⋅AC= ，
2 2 D 4
1 1 2k 15
×3×3− × ×2= ，
2 2 k+1 4
3
解得：k=
,
5
3
故答案为： ．
5
√3 √3
3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y= x− 与x轴相交于点A ，以OA 为边作等边三角形
3 3 1 1
OA B ，点B 在第一象限内，过点B 作x轴的平行线与直线l交于点A ，与y轴交于点C ，以C A 为边作
1 1 1 1 2 1 1 2
等边三角形C A B （点B 在点B 的上方），以同样的方式依次作等边三角形C A B ，等边三角形
1 2 2 2 1 2 3 3
C A B ⋯，则点A 的横坐标为 ．
3 4 4 2024
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(5) 2023
【答案】
2
√3 √3
【分析】直线直线l:y= x− 可知，点A 坐标为(1,0)，可得OA =1，由于△OA B 是等边三角形，
3 3 1 1 1 1
(1 √3) √3 5
可得点B ， ，把y= 代入直线解析式即可求得A 的横坐标，可得A C = ，由于△B A B 是
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
(5 √3) (25 7√3)
等边三角形，可得点A , ；同理，A ， ，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的
2 2 2 3 4 4
序号之间的规律是解题的关键．
√3 √3
【详解】解：∵直线l：l:y= x− 与x轴负半轴交于点A ，
3 3 1
∴点A 坐标为(1,0)，
1
∴OA =1，
1
过B ，B ，作B M⊥x轴交x轴于点M，B N⊥x轴交A B 于点D，交x轴于点N，
1 2 1 2 2 1
∵△A B O为等边三角形，
1 1
∴∠OB M=30°
1
1 1
∴MO= A O= ，
2 1 2
∴B M=√B O2−OM2=
√
12−
(1) 2
=
√3
1 1 2 2
(1 √3)
∴B ， ，
1 2 2
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√3 √3 √3 √3 5
当y= 时， = x− ，解得：x= ，
2 2 3 3 2
5 (5 √3)
∴A C = ，A , ，
2 1 2 2 2 2
1 5
∴C D= A C = ，
1 2 2 1 4
√ (5) 2 (3) 2 5√3
∴B D== − = ，
2 2 4 4
5√3 √3 7√3
∴B N= + = ，
2 4 2 4
7√3 7√3 √3 √3 25
∴当y= 时， = x− ，解得：x= ，
4 4 3 3 4
(25 7√3)
∴A ， ；
3 4 4
25 (5) 2
而 = ，
4 2
(5) 3 125
同理可得：A 的横坐标为 = ，
4 2 8
(5) 2023
∴点A 的横坐标为 ，
2024 2
(5) 2023
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图
形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
1
4．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB
3
4
上一动点，点H是直线y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接BE，DF，HD．
3
当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．
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39
【答案】
2
【分析】作出点C(3，−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利
(11 )
用解直角三角形求得F ，0 ，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过
3
点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
1
【详解】解：∵直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
3
∴B(0，2)，A(6，0)，
作点B关于x轴的对称点B'(0，−2)，把点B'向右平移3个单位得到C(3，−2)，
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB'是平行四边形，
此时，BE=B'E=CF，
∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，
则CP=2，OP=3，
∵∠CFP=∠AFD，
∴∠FCP=∠FAD，
∴tan∠FCP=tan∠FAD，
PF OB PF 2
∴ = ，即 = ，
PC OA 2 6
2 (11 )
∴PF= ，则F ，0 ，
3 3
设直线CD的解析式为y=kx+b，
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则¿，解得¿，
∴直线CD的解析式为y=3x−11，
联立，¿，解得¿，
(39 7 )
即D ， ；
10 10
过点D作DG⊥y轴于点G，
直线y=− 4 x+2与x轴的交点为Q (3 ，0 ) ，则BQ=√OQ2+OB2= 5 ，
3 2 2
3
OQ 2 3
∴sin∠OBQ= = = ，
BQ 5 5
2
3
∴HG=BHsin∠GBH= BH，
5
(3 )
∴3BH+5DH=5 BH+DH =5(HG+DH)=5DG，
5
39 39
即3BH+5DH的最小值是5DG=5× = ，
10 2
39
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与直线BC相交于点A．
P(t,0)为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的
重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
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(1)OB的长为 ___________；△OAB的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
8
【答案】(1)4，
3
(2)S=¿
8
【分析】（1）由t=0时，P与O重合，得S=S = ，t=4时，P与B重合，得OB=4；
❑△ABO 3
1 1 8 4 (4 4)
（2）设A(a,a)，由S = OB⋅a，即 ×4a= ，得到a= ，则A ， ；分两种情况：当
❑△AOB 2 2 3 3 3 3
4 1 8 1 8
0≤t≤ 时，设OA交PD于E，可得PE=PO=t，得到S = t2 ，则S= −S =− t2+ ；当
3 ❑△POE 2 3 ❑△POE 2 3
4 1 DP OC 2 1
<t<4时，求出直线AB解析式为y=− x+2，可得C(0，2)，由tan∠CBO= = = = 得
3 2 PB OB 4 2
1 1 1 1 1
DP= PB= (4−t)=2− t，故S=S = DP⋅PB= t2−2t+4．
2 2 2 ❑△DPB 2 4
8
【详解】（1）解：当t=0时，P与O重合，此时S=S = ，
❑△ABO 3
当t=4时，S=0，P与B重合，
∴OB=4，B(4,0)，
8
∴OB的长为4，△OAB的面积为 ，
3
8
故答案为：4， ；
3
（2）∵A在直线y=x上，
∴∠AOB=45°，
设A(a,a)，
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1 1 8
∴S = OB⋅a，即 ×4a= ，
❑△AOB 2 2 3
4
∴a= ，
3
(4 4)
∴A ， ；
3 3
4
当0≤t≤ 时，设OA交PD于E，如图：
3
∵∠AOB=45°，PD⊥OB，
∴△PEO是等腰直角三角形，
∴PE=PO=t，
1
∴S = t2 ，
❑△POE 2
8 1 8
∴S= −S =− t2+ ；
3 ❑△POE 2 3
4
当 <t<4时，如图：
3
(4 4)
设直线AB解析式为y=kx+b，把A ， ，B(4,0)代入得
3 3
¿，
解得¿，
1
∴直线AB解析式为y=− x+2，
2
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当x=0时，y=2，
∴C(0，2)，
∴OC=2，
DP OC 2 1
∵tan∠CBO= = = = ，
PB OB 4 2
1 1 1
∴DP= PB= (4−t)=2− t，
2 2 2
∴S=S = 1 DP⋅PB= 1( 2− 1 t ) ×(4−t)= 1 (4−t) 2= 1 t2−2t+4；
❑△DPB 2 2 2 4 4
综上所述，S=¿．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
6．（2023·新疆·中考真题）【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，
ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时
针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，
1
已知点Q(0，−1)，连接BQ．抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ= ，若存在，求出点M的横坐
3
标．
1 4 14
【答案】（1）见解析； （2）①C(−4,1)；②直线AC的解析式为y= x+3；（3）− 或−
2 11 13
【分析】[建立模型]（1）根据题意得出∠C=∠D=∠ABE=90°，∠A=∠EBD，证明
△ACB≌△BDE(AAS)，即可得证；
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[类比迁移] （2）①过点C作CE⊥x轴于点E，同（1）的方法，证明△CBE≌△BAO，根据一次函数
y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，求得A(0,3)，B(−1,0)，进而可得C点的坐标；
1
②由A(0,3)，设直线AC的解析式为y=kx+3，将点C(−4,1)代入得直线AC的解析式为y= x+3；
2
[拓展延伸]（3）根据解析式求得A(−1,0)，B(4,0)；①当M点在x轴下方时，如图所示，连接MB，过点
Q作QH⊥BM于点H，过点H作DE⊥y轴于点D，过点B作BE⊥DE，于点E，证明△QDH∽△HEB，
1 QH QH DH 1
根据tan∠MBQ=tan∠QBH= = 得出 = = ，设DH=a，则BE=3a，求得点
3 BH BH BE 3
( 7 21)
H ,− ，进而求得直线BM的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当M点在x轴的上方时，如
10 10
图所示，过点Q作QG⊥MB，于点G，过点G作PF∥x轴，交y轴于点F，过点B作PB⊥FP于点P，同
①的方法即可求解．
【详解】[建立模型]（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠C=∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠A=∠EBD，
又∵AB=BE，
∴△ACB≌△BDE(AAS)；
[类比迁移]（2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴BA=BC,∠ABC=90°，
又∠AOB=∠CEB=90°，
∴∠ABO=90°−∠CBE=∠ECB，
∴△CBE≌△BAO(AAS)，
∴BE=AO,CE=BO，
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∵一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
当x=0时，y=3，即A(0,3)，
当y=0时，x=−1，即B(−1,0)，
∴BE=AO=3,CE=BO=1，
∴EO=EB+BO=3+1=4，
∴C(−4,1)；
②∵A(0,3)，设直线AC的解析式为y=kx+3，
将C(−4,1)代入得：1=−4k+3
1
解得：k=
2
1
∴直线AC的解析式为y= x+3，
2
（3）∵抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，
当y=0时，x2−3x−4=0，
解得：x =−1,x =4，
1 2
∴A(−1,0)，B(4,0)；
①当M点在x轴下方时，如图所示，连接MB，过点Q作QH⊥BM于点H，过点H作DE⊥y轴于点D，
过点B作BE⊥DE，于点E，
∵∠QDH=∠E=∠QHB=90°，
∴∠DQH=90°−∠QHD=∠BHE，
∴△QDH∽△HEB，
QH DH DQ
∴ = = ，
BH BE HE
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1 QH
∵tan∠MBQ=tan∠QBH= = ，
3 BH
QH DH 1
∴ = = ，
BH BE 3
设DH=a，则BE=3a，
∵DE=4，
4 a
∴HE=4−a，QD= − ，
3 3
∵OD=BE，Q(0,−1)，
4 a
∴1+ − =3a，
3 3
7
解得：a= ，
10
( 7 21)
∴H ,− ，
10 10
设直线BH的解析式为y=k'x+b，
( 7 21)
代入H ,− ，B(4,0)得：¿，
10 10
解得：¿，
7 28
∴直线BM解析式为y= x− ，
11 11
联立¿，
4
解得：x =4（舍去），x =− ；
1 2 11
②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点Q作QG⊥MB于点G，过点G作PF∥x轴，交y轴于点F，过
点B作PB⊥FP于点P，
同理可得△FGQ∽△PBG，
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FG FQ QG 1
∴ = = = ，
PB PG GB 3
设FG=b，则PB=3b，
∵FP=4，
4−b
∴GP=4−b，FQ= ，
3
∵FQ=PB+1，
4−b
∴ =3b+1，
3
1
解得：b= ，
10
( 1 3 )
∴G ， ，
10 10
设直线MB的解析式为y=mx+n，
( 1 3 )
代入G ， ，B(4,0)得：¿，
10 10
解得：¿，
1 4
∴直线MB的解析式为y=− x+ ，
13 13
联立¿，
14
解得：x =4（舍去），x =− ，
1 2 13
4 14
综上所述，M的横坐标为− 或− ．
11 13
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等
三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023·重庆·中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度
的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相
遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
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(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当0<t≤4时，y=t；当4<t≤6时，y=12−2t；
(2)图象见解析，当0<t≤4时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或4.5
【分析】（1）分两种情况：当0<t≤4时，根据等边三角形的性质解答；当4<t≤6时，利用周长减去
2AE即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用y=3分别求解即可．
【详解】（1）解：当0<t≤4时，
连接EF，
由题意得AE=AF，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴y=t；
当4<t≤6时，y=12−2t；
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（2）函数图象如图：
当0<t≤4时，y随t的增大而增大；
（3）当0<t≤4时，y=3即t=3；
当4<t≤6时，y=3即12−2t=3，解得t=4.5，
故t的值为3或4.5．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关
键．
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在
PO 1
PO的延长线上，使得 = ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如
QO 2
( 3) PO 1
图1，A(2,4),B(2,2),P −1,− 是线段AB外一点，Q(2,3)在PO的延长线上，且 = ，因为点Q
2 QO 2
在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
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( 5 )
(1)如图1，已知图形W ：线段AB，A(2,4)，B(2,2)，在P − ,−1 ,P (−1,−1),P (−1,−2)中，
1 1 2 2 3
______是图形W 的“延长2分点”；
1
(2)如图2，已知图形W ：线段BC，B(2,2)，C(5,2)，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W 的“延
2 2
长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W ：以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，若以D(−1,−2)，E(−1,1)，F(2,1)为顶
3
点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
3
【答案】(1)P ,P
2 3
7
(2)−
2
(3)1≤t≤3或−1−√2≤t≤√2−1
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
（2）作BC以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B'C'，根据直线MN:y=−x+b上存在点P是图
形W 的“延长2分点”，得到直线MN:y=−x+b与B'C'有交点，进而得到当MN:y=−x+b过点C'时，
2
b值最小，进行求解即可；
（3）作△≝¿以原点为位似中心，位似比为1:2的位似△D'E'F'，得到W 与△D'E'F'有交点，求出⊙T
3
与D'E'相切以及⊙T与D'F'相切，两种情况求出t的临近值，即可得出结果．
【详解】（1）解：作线段AB以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形A'B'，
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∵A(2,4)，B(2,2)，
∴A'(−1,−2)，B'(−1,−1)，
∵点P是图形W 的“延长2分点”，
1
∴点P在线段A'B'上，
∵P (−1,−1),P (−1,−2)在线段A'B'上，
2 3
∴P ,P 是图形W 的“延长2分点”；
2 3 1
故答案为：P ,P ；
2 3
（2）作BC以原点为位似中心，位似比为2:1的位似图形B'C'，如图，
∵B(2,2)，C(5,2)，
( 5 )
∴B'(−1,−1)，C − ,−1 ，
2
∵直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W 的“延长2分点”，
2
∴直线MN:y=−x+b与B'C'有交点，
∴当MN:y=−x+b过点C'时，b值最小，
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( 5 ) 7
把C − ,−1 ，代入y=−x+b，得：b=− ，
2 2
7
∴b的最小值为− ；
2
（3）作△≝¿以原点为位似中心，位似比为1:2的位似△D'E'F'，
∵D(−1,−2)，E(−1,1)，F(2,1)，
∴D'(2,4)，E'(2,−2)，F'(−4,−2)，
∵等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W 的“延长2分点”，
3
∴当W 与△D'E'F'有交点时，满足题意，
3
当⊙T与D'E'相切时，如图，则：t=1或t=3，
∴1≤t≤3时，满足题意；
当⊙T与D'F'相切时，且切点为G，连接TG，则：∠TGE=90°，
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∵△≝¿为等腰直角三角形，
∴△D'E'F'为等腰直角三角形，
∵E(−1,1),F(2,1)，E'(2,−2)，F'(−4,−2)，
∴EF∥E'F'∥x轴，
∴∠D'F'E'=45°，
∵以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，
∴T点在直线EF上，TG=1，
∴∠TEG=∠D'E'F'=45°，
∴ET=√2TG=√2，
∴t=−1−√2或t=√2−1，
∴−1−√2≤t≤√2−1；
综上：1≤t≤3或−1−√2≤t≤√2−1．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性
强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在
直线y=√3x上，点C的横坐标是2，将菱形OABC绕点O顺时针旋转90°得到菱形OA B C ，则点B的
1 1 1
对应点B 的坐标为（ ）
1
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A．(6,−2√3) B．(2√3,−6) C．(4√3,−4) D．(2,−6)
【答案】B
【分析】延长BC交y轴于点H，过点B'作B'G⊥y轴于点G，则∠OGB'=90°，由一次函数得
y =OH=2√3，CH=2，由勾股定理得：OC=4=BC，则BH=6，由旋转得，
C
OB=OB',∠BOB'=90°，证明△BHO≌△OGB' (AAS)，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：延长BC交y轴于点H，过点B'作B'G⊥y轴于点G，则∠OGB'=90°
∵四边形OABC是菱形，
∴CO=CB,BC∥x轴，
∴∠BHO=180°−∠HOA=90°，
∵顶点C在直线y=√3x上，点C的横坐标是2，
∴y =OH=2√3，CH=2，
C
由勾股定理得：OC=√OH2+CH2=4=BC，
∴BH=CH+BC=6，
由旋转得，OB=OB',∠BOB'=90°，
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∴∠1=∠2=90°−∠BOH，
∵∠BHO=∠OGB'=90°，
∴△BHO≌△OGB' (AAS)，
∴B'G=OH=2√3,OG=BH=6，
∵点B'在第四象限，
∴B'(2√3,−6)，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综
合，构造全等三角形是解题的关键．
2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，B
3
在x轴的正半轴上，且直线AB的解析式为y=− x+3，原点O在边CD上，则点C的坐标为（ ）
4
(12 16) (48 64) (16 12) (64 48)
A． ,− B． ,− C． ,− D． ,−
25 25 25 25 25 25 25 25
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质及矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作
12 16
CE⊥OB于点E，求得OA=3，OB=4，AB=5，证明△ABO∽△BOC，求得BC= ，OC= ，利
5 5
用勾股定理列式
(12) 2
−(4−OE) 2=
(16) 2
−OE2 ，据此计算即可求解．
5 5
【详解】解：过点C作CE⊥OB于点E，
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将x=0代入一次函数解析式得，y=3，
∴点A的坐标为(0,3)，
同理可得，点B的坐标为(4,0)，
∴OA=3，OB=4，AB=√32+42=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠OCB=∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BOC，
∴△ABO∽△BOC，
OA OB AB 3 4 5
∴ = = ，即 = = ，
BC OC OB BC OC 4
12 16
∴BC= ，OC= ，
5 5
∵CE2=OC2−OE2，CE2=BC2−BE2=BC2−(4−OE) 2，
∴BC2−(4−OE) 2=OC2−OE2，即
(12) 2
−(4−OE) 2=
(16) 2
−OE2 ，
5 5
64
解得OE= ，
25
48
∴CE=√OC2−OE2=
，
25
(64 48)
∴点C的坐标为 ,− ．
25 25
故选：D．
3．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E从点A处出发，以每秒1个单位长度
的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周(A→B→C→D→A)后停止，设y为点E运动t秒后△AOE的面
积，当A、O、E三点共线时y=0．那么，y关于t的函数的图象大致为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质，可得AB=BC=CD=AD=3，OA=OC，
∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO，∠AOB=∠COD=∠AOD=∠COB=90°，过点E作AC的垂线，
垂足为点M，设∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO=α，根据三角函数可得
AO=ABcos∠BAO=3cosα=OC，结合点E走的路程为t，在分别分析0≤t<3，3≤t<6，6≤t<9，
9≤t≤12四种情况时，y关于t的函数的大致图象，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=3，OA=OC，∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO，
∠AOB=∠COD=∠AOD=∠COB=90°，
过点E作AC的垂线，垂足为点M，设∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO=α，如图所示：
∵∠AOB=∠COD=∠AOD=∠COB=90°，∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO=α
∴AO=ABcos∠BAO=3cosα=OC
∵点E从点A处出发，以每秒1个单位长度的速度，
∴点E走的路程为t，
当0≤t<3时，点E在AB上运动，AE=t，
∴EM=AEsinα=tsinα
OA·EM 3cosα·tsinα 3cosα·sinα
∴y=S = = = t
△AOE 2 2 2
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∵cosα·sinα>0
∴当0≤t<3时，y关于t的函数的图象大致为上升的直线；
当3≤t<6时，点E在BC上运动，CE=6−t，
∴EM=CEsinα=(6−t)sinα
OA·EM 3cosα·(6−t)sinα 3cosα·sinα 6cosα·sinα
∴y=S = = =− t+
△AOE 2 2 2 2
∵cosα·sinα>0
∴当3≤t<6时，y关于t的函数的图象大致为下降的直线；
同理可得，当6≤t<9时，y关于t的函数的图象大致为上升的直线；当9≤t≤12时，y关于t的函数的图象
大致为下降的直线；
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图象面积计算、三角函数，菱形的性质，此类问
题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
1
4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x−1的图像分别与x轴，y
2
轴交于A，B两点，将直线AB向左平移后与x轴，y轴分别交于点D，点C．若CD=AB，则直线CD的函
数解析式为（ ）
1 1
A．y= x+1 B．y= x
2 2
1
C．y=x+2 D．y= x+2
2
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解
析式求出点B坐标，再证明△DOC≌△AOB(AAS)，得到OC=OB，即得点C的坐标，最后根据一次函数
平移的性质即可求出直线CD的函数解析式．
1
【详解】解：对于直线y= x−1，
2
当x=0时，y=−1，
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∴B(0,−1)，
∵直线AB向左平移后与x轴，y轴分别交于点D，点C，
∴AB∥CD，
∴∠CDO=∠BAO，
又∵∠COD=∠BOA，CD=BA，
∴△DOC≌△AOB(AAS)，
∴OC=OB=1，
∴点C的坐标为(0,1)，
1
∴平移以后的函数解析式为y= x+1．
2
故选：A．
5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2)，点B(4,0)．点C是AO的中点，
OD⊥BC于点E，交AB于点D，点D的横坐标是 ．
4
【答案】
9
【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数解析式，过点D作DF⊥OB于点F，先证明
∠OBE=∠COE=∠ODF，根据OD⊥BC，得到∠CEO=∠BOC=90°，利用正切的定义结合点C是
AO的中点，求出DF=4OF，设D(m,4m)，求出直线AB的解析式，代入直线AB的解析式，即可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥OB于点F，
∵OD⊥BC，DF⊥OB，
∴OC∥DF，∠BEO=90°，∠DFO=90°，
∴∠COE=∠ODF，
∵∠AOB=90°，
∴∠COE+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠COE=∠OBE，
∴∠ODF=∠OBE，
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OC OF
∴tan∠OBE= =tan∠ODF= ，
OB DF
∵点A(0,2)，点B(4,0)．点C是AO的中点，
∴OA=2,OB=4，
1
∴OC= OA=1，
2
OC 1 OF
∴ = = ，
OB 4 DF
∴DF=4OF，
设D(m,4m)，直线AB的解析式为y=kx+2，则
4k+2=0，
1
解得：k=− ，
2
1
∴直线AB的解析式为y=− x+2，
2
1
将D(m,4m)代入y=− x+2，
2
1
则4m=− m+2，
2
4
解得：m= ，
9
4
∴点D的横坐标是 ，
9
4
故答案为： ．
9
6．（2025·辽宁辽阳·二模）在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的
“点积值”．如图，线段AB位于第一象限，点A在直线y=x上，点B在直线的下方，AB=3，AB∥x轴，
当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标 ．
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【答案】4
【分析】本题考查一次函数，解一元二次方程．设A(a,a)，根据“AB=3,AB∥x轴”表示出点B的坐
标，再根据“点积值”为28列一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：∵点A在直线y=x上，
∴设A(a,a)，
∵线段AB位于第一象限，AB=3,AB∥x轴，
∴点B的坐标为(a+3,a)，
∵点B的“点积值”为28，
∴ a(a+3)=28，即a2+3a−28=0，
解得a =−7，a =4，
1 2
∵点A在第一象限，
∴ a=4，
即点A的横坐标为4，
故答案为：4．
7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(−1,3)，O(0,0)，
B(3,−1)，C(5,4)，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点
的坐标为 ．
(10 8)
【答案】 ,
9 9
【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接OC、AB，交于点P，由两点之间线段最
短，可得出PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，到四个顶点的距离
之PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，分别求出OC和AB的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案．
【详解】解：连接OC、AB，交于点P，如图所示，
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∵两点之间线段最短，
∴PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y=kx，
∵点C(5,4)在直线OC上，
∴5k=4，
4
解得：k=
5
4
∴OC所在直线的解析式为y= x
5
设AB所在直线的解析式为y=ax+b
点A(−1,3)，B(3,−1)在直线AB上，
∴¿
解得：¿
∴AB所在直线的解析式为y=−x+2
联立两直线¿
解得：¿，
(10 8)
∴点P的坐标为： , ．
9 9
(10 8)
故答案为： , ．
9 9
8．（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：
如下图，直线x=1与y轴的距离为1．
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【应用】根据定义回答下列问题：
（1）如图：直线y=−x+3与直线y=−x−2的距离是 ；
1
（2）如图：已知点A(1,0)，圆A的半径为1，将直线y=− x+4向下平移m个单位后与圆A相切，求m
2
的值；
【拓展】
（3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，
1
建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为y= x2 （−6≤x≤6）（单位长度为百米），
8
3
地铁线所在的直线为y=− x−3，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请
4
直接写出点P的坐标．
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5 7 √5 7 √5 ( 39 3 )
【答案】（1） √2 ；（2）m= − 或 + ；（3）P − ,−
2 2 2 2 2 10 40
【分析】（1）设y=−x−2与y轴交于点A，y=−x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，可得：OA=2，
OC=3，OD=3，△COD为等腰直角三角形，则∠ACB=45°，作AB⊥CD交CD于B，解直角三角形
即可求解；
1
（2）过A作AB⊥CD于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线y=− x+4的平行线l ，l ，则
2 1 2
1
AE⊥l ，AE⊥l ，则l ，l 为圆A的切线，由y=− x+4得C(0,4)，D(8,0)，则OC=4，OD=8，可
1 1 1 2 2
AB OC 4 7√5
知CD=4√5，AD=7，Rt△ABD和Rt△COD中，sin∠BDA= = = ，求得AB= ，可
AD CD 4√5 5
7√5 7√5
得BE= −1，BF= +1，过点B作BH⊥x轴，交l ，l 于G，H可知∠EBG=∠CDO，
5 5 1 2
BE OD 8 7 √5
Rt△BEG和Rt△COD中，cos∠EBG=cos∠CDO= = = ，求得BG= − ，同理，
BG CD 4√5 2 2
7 √5
BH= + ，即可求解；
2 2
3
（3）设y=− x−3与x轴、y轴分别交于点A、B，可知A(−4,0)，B(0,−3)，过P作PQ⊥AB交抛物
4
4
线于点Q，过Q作QG∥y轴交直线AB于点G，则∠QGP=∠ABO，解直角三角形得PQ= QG，设
5
3
G ( m,− 3 m−3 ) ，则Q ( m, 1 m2) ，则PQ= 4 QG= 1 m2+ 3 m+ 12 ，可知当m=− 4 =−3时，
4 8 5 10 5 5 1
2×
10
3 6 9 ( 39 3 )
PQ = ，此时，x =−3，作PH⊥QG于H，求得QH= ，PH= ，求得可得P − ,− ．
min 2 Q 5 10 10 40
【详解】解：（1）设y=−x−2与y轴交于点A，y=−x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，
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对于y=−x−2，当x=0时，y=−2，则A(0,−2)，即：OA=2，
对于y=−x+3，当x=0时，y=3，则C(0,3)，即：OC=3，
当y=0时，x=3，则D(3,0)，即：OD=3，
∴△COD为等腰直角三角形，则∠ACB=45°，
作AB⊥CD交CD于B，AC=OA+OC=5，
AC 5
∴AB= = √2，
cos45° 2
5
故答案为： √2；
2
1
（2）过A作AB⊥CD于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线y=− x+4的平行线l ，l ，则
2 1 2
AE⊥l ，AE⊥l ，
1 1
∴l ，l 为圆A的切线，
1 2
1
由y=− x+4得C(0,4)，D(8,0)，则OC=4，OD=8，
2
∴CD=√OC2+OD2=4√5，AD=7，
AB OC 4
Rt△ABD和Rt△COD中，sin∠BDA= = = ，
AD CD 4√5
7√5
∴AB= ，
5
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7√5 7√5
∴BE= −1，BF= +1，
5 5
过点B作BH⊥x轴，交l ，l 于G，H
1 2
∵∠EBG+∠DBG=∠DBG+∠CDO=90°，
∴∠EBG=∠CDO，
BE OD 8
Rt△BEG和Rt△COD中，cos∠EBG=cos∠CDO= = = ，
BG CD 4√5
7 √5
∴BG= − ，
2 2
7 √5
同理，BH= +
2 2
7 √5 7 √5
综上，m= − 或 + ；
2 2 2 2
3
（3）设y=− x−3与x轴、y轴分别交于点A、B，
4
当x=0时，y=−3，当y=0时，x=−4，则D(3,0)，
则A(−4,0)，B(0,−3)，
过P作PQ⊥AB交抛物线于点Q，过Q作QG∥y轴交直线AB于点G，则∠QGP=∠ABO
PQ AO 4
Rt△QPG Rt△AOB sin∠QGP=sin∠ABO= = =
QG AB 5
和 中，
4
∴PQ= QG，
5
设G
(
m,−
3
m−3
)
，则Q
(
m,
1 m2)
，
4 8
4 1 3 12
则PQ= QG= m2+ m+
5 10 5 5
3
4 3
当m=− =−3时，PQ = ，
1 min 2
2×
10
此时，x =−3，
Q
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作PH⊥QG于H，
3 4 6
则QH=PQ⋅cos∠QPH=PQ⋅cos∠ABO= × = ，
2 5 5
9
由勾股定理可得PH=√PQ2−OH2=
，
10
9 39 3 3
则x =−3− =− ，y =− x −3=− ，
P 10 10 P 4 P 40
( 39 3 )
∴P − ,− ．
10 40
【点睛】本题考查圆的切线，二次函数与一次函数综合，勾股定理，解直角三角形等知识，理由数形结合
的思想是解决问题的关键．
9．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =mx+n(m≠0)与x轴交于点A，
1
与y轴交于点B(0,6)，直线y =x+2与y轴交于点P，与y 交于点C(3,a)，点D为x轴上正半轴一动点，
2 1
过点D作x轴的垂线与直线y ，y 分别相交于E，F两点，过点E作EH∥x轴的直线交y 于点H．
1 2 2
(1)求a的值及y 的函数表达式；
1
(2)当EF=4，求D点的坐标；
(3)以EF，EH为边作长方形EFMH，当点D在运动过程中，试探究M的运动轨迹是否为一条直线中的一
部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由．
1
【答案】(1)a=5，y=− x+6；
3
(2)D(6,0)；
(3)是，y=−3x+14．
【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析
问题是解决此题的关键．
（1）根据直线y =x+2过点C(3,a)得出a的值，将B，C两点坐标代入y ，进一步得出结果；
2 1
( 1 ) | ( 1 )|
（2）设点D(a,0)，则E a,− a+6 ，F(a,a+2)，根据EF=4列出 (a+2)− − a+6 =4，进一步
3 3
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得出结果；
( 1 ) 1
（3）设点D(a,0)，则E a,− a+6 ，F(a,a+2)，可得出y = y =a+2，y = y =− a+6，根据
3 M F H E 3
1 1 1
x+2=− a+6得出x=− a+4，从而x =x =− a+4，进一步得出结果；
3 3 M H 3
【详解】（1）解：∵直线y =x+2过点C(3,a)，
2
∴a=3+2=5，
∵直线y =mx+n(m≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B(0,6)，与y 交于点C(3,a)，
1 1
∴¿，
∴¿，
1
∴直线y 的解析式为：y=− x+6；
1 3
( 1 )
（2）解：设点D(a,0)，则E a,− a+6 ，F(a,a+2)，
3
| ( 1 )|
由EF=4得， (a+2)− − a+6 =4，
3
∴x=0(舍去)或a=6，
∴D(6,0)；
（3）解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下，
( 1 )
设点D(a,0)，则E a,− a+6 ，F(a,a+2)，
3
∵四边形EFHM是长方形，
1
∴y = y =a+2，y = y =− a+6，
M F H E 3
1 1
由x+2=− a+6得，x=− a+4，
3 3
1
∴x =x =− a+4，
M H 3
由¿得，y=−3x+14，
∴点M在直线y=−3x+14上运动．
10．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−2x+2的图象与x轴交于点B，
与y轴交于点A，与过点C(0,5)的直线CD交于点M(m,4)．
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(1)求点M的坐标和直线CD的表达式；
(2)在直线CD上存在一点N，使得△BMN的面积是△AOB的面积的4倍，求点N的坐标；
(3)如图2，点P是直线CD在第二象限图象上的一点，且点P在点M的下方，作射线BP，把射线BP绕点B
顺时针旋转90°，得到射线BP'，在射线BP'上取一点Q，连接PQ，使得∠PQB=∠MBP，当△PBQ为
等腰直角三角形时，求出此时BP的长度．
【答案】(1)M(−1,4)，y=x+5
( 7 8) (1 16)
(2)为 − , 或 , ；
3 3 3 3
3√10
(3)
2
【分析】（1）先求得M(−1,4)，再利用待定系数法求得直线CD表达式即可；
（2）先求得A(0,2)，B(1,0)，推出S =4．设N(n,n+5)，由三角形的面积公式列式计算即可求解；
△BMN
（3）过P作PH⊥x轴于H，过Q作QG⊥x轴于G，过P作PF⊥QG轴于F．证明△PHB≌△BGQ，推
出BG=PH，QG=BH，设P(t,t+5)，推出Q(t+6,1−t)．证明∠PQF=∠ABO，得到
7
tan∠PQF=tan∠ABO，据此列式求得t=− ，据此求解即可．
2
【详解】（1）解：把M(m,4)代入y=−2x+2，
得4=−2m+2，
解得m=−1，
∴M(−1,4)．
设直线CD表达式为y=kx+5，
把M(−1,4)代入得4=−k+5，
解得k=1，
∴直线CD表达式为y=x+5；
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（2）解：对于直线y=−2x+2，
令x=0，则y=2，
令y=0，则0=−2x+2，
解得x=1，
∴A(0,2)，B(1,0)，
1
∴S = ×2×1=1，
△AOB 2
令y=0，则x+5=0
解得 x=−5
故D(−5,0)
由题意得S =4 =4．设N(n,n+5)，BD=6．
△BMN S△AOB
1 1
∴S =S −S ，即 ×6(n+5)− ×6×4=4．
△BMN 2 △BDN 2 △BDM 2 2
1
解得n= ．
3
1 16
∴n+5= +5= ．
3 3
(1 16)
∴N , ．
2 3 3
S =S −S ❑ ．
△BMN △BDM △ BDN
1 1
1 1
即 ×6×4− ×6×(n+5)=4．
2 2
7
解得n=− ．
3
8
∴n+5=
3
( 7 8)
∴N − , ，
3 3
( 7 8) (1 16)
综上所述，点N的坐标为 − , 或 , ；
3 3 3 3
（3）解：过P作PH⊥x轴于H，过Q作QG⊥x轴于G，过P作PF⊥QG轴于F．
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∴四边形PHGF是矩形，
∵△PBQ为等腰直角三角形，∠PBQ=90°，
∴∠PHB=∠PBQ=∠BGQ=90°，BP=BQ，
∴∠PBH=90°−∠QBG=∠BQG，
∴△PHB≌△BGQ (AAS)．
∴BG=PH，QG=BH，
设P(t,t+5)（t<−1），
∴PH=t+5，BH=1−t，QG=BH=1−t，BG=PH=t+5，OG=t+6，
∴Q(t+6,1−t)．
∵∠PQB=∠MBP，∠PBH=∠BQG，
∴∠PQF=∠ABO，
∴tan∠PQF=tan∠ABO，
PF AO t+6−t 2
∴ = ，即 = ，
QF BO 1−t−t−5 1
7 3
解得t=− ，t+5=
2 2
( 7 3) ( 7) 9 7 3
∴P − , ，BH=1− − = ， PH=− +5 = ，
2 2 2 2 2 2
√ (9) 2 (3) 2 3√10
由勾股定理BP= + = ．
2 2 2
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定和性
质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
考点二： 反比例函数
【题型一】反比例函数图象上点的坐标特征
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1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这
个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，
y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
1）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和
函数的增减性，也可以推断出k的符号.
2）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支
上；
3）|k|越大，与坐标轴的距离越远.
【中考真题】
4
1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数y= 的图象上有P(t,y )，Q(t+4,y )两点．下列正确的选项是
x 1 2
（ ）
A．当t<−4时，y <y <0 B．当−4<t<0时，y <y <0
2 1 2 1
C．当−4<t<0时，0<y <y D．当t>0时，0<y <y
1 2 1 2
【答案】A
4
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数y= ，可知函数位于一、三象
x
限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y 与y 的大小．
1 2
4
【详解】解：根据反比例函数y= ，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增
x
大而减小，
4
反比例函数y= 的图象上有P(t,y )，Q(t+4,y )两点，
x 1 2
当t<t+4<0，即t<−4时，0>y >y ；
1 2
当t<0<t+4，即−4<t<0时，y <0<y ；
1 2
当0<t<t+4，即t>0时，y >y >0；
1 2
故选：A．
k
2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=2−x的图象的一个交点的横坐标为
x
3，则k的值为（ ）
A．−3 B．−1 C．1 D．3
【答案】A
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【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出y=2−3=−1，代入反比例函数
求解即可
k
【详解】解： 反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=2−x的图象的一个交点的横坐标为3，
x
∵
y=2−3=−1，
∴ k
−1= ，
3
∴
k=−3，
∴故选：A
3．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长
度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴
正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现
6
A，B两点恰好都落在函数y= 的图象上，则a的值为 ．
x
【答案】2或3
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数
6
y= 的图象上，列出方程求解即可．
x
【详解】解：∵OA=OB=5，
∴A(−5,0),B(0,5)，
设平移后点A、B的对应点分别为A'、B'，
∴A'(−5+a,−a),B'(a,5−a)，
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6
∵A'、B'两点恰好都落在函数y= 的图象上，
x
6
∴把B'(a,5−a)代入y= 得：a(5−a)=6，
x
解得：a=2或a=3．
故答案为：2或3．
2 3
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数y = ，y =− ，当1≤x≤3时，函数y 的最大值是a，
1 x 2 x 1
函数y 的最大值是b，则ab= ．
2
1
【答案】 /0.5
2
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出a与b的关系是解题关键．直接利用
反比例函数的性质分别得出a与b，再代入ab进而得出答案．
2
【详解】解：∵函数y = ，当1≤x≤3时，函数y 随x的增大而减小，最大值为a，
1 x 1
∴x=1时，y =2=a，
1
3
∵y =− ，当1≤x≤3时，函数y 随x的增大而减大，函数y 的最大值为y =−1=b，
2 x 2 2 2
1
∴ab=2−1=
．
2
1
故答案为： ．
2
5．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，将线段AO绕点A逆时针旋
k
转120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y= （x>0）的图象上，则k的值是 ．
x
【答案】3√3
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，由旋转的性质得，AO=AB，∠OAB=120°，在Rt△ABC中求出
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BC、AC的长，即可得出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【详解】解∶过点B作BC⊥y轴于点C，
由旋转的性质得，AO=AB，∠OAB=120°，
∵点A的坐标为(0，2)，
∴AO=AB=2，
∵∠OAB=120°，
∴∠BAC=180°−∠OAB=180°−120°=60°，
∴∠ABC=90°−∠BAC=30°，
1 1
∴AC= AB= ×2=1，
2 2
由勾股定理得BC=√AB2−AC2=√22−12=√3．
∴OC=AO+AC=2+1=3，
∴点B的坐标为( √3，3)，
k
∵点B恰好落在反比例函数y= 的图象上，
x
∴k=3 √3，
故答案为∶3 √3．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出
点B的坐标．
6．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1的图象可以由函数y=2x的图象平移
得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
x ⋯ −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ⋯
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2 2 1 2 2 1 2
y= ⋯ − − − −1 −2 2 1 ⋯
x 5 2 3 3 2 5
3 1
x ⋯ −5 −4 −3 −2 − − 0 1 2 3 ⋯
2 2
2 1 2 2 1
y= ⋯ − − −1 −2 −4 4 2 1 ⋯
x+1 2 3 3 2
2 2
描点连线：在已画出函数y= 的图象的坐标系中画出函数y= 的图象．
x x+1
(2)【探究发现】
2 2
①将反比例函数y= 的图象向___________平移___________个单位长度得到函数y= 的图象．
x x+1
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
1 1
①将反比例函数y=− 的图象先___________，再___________得到函数y=− −1的图象．
x x−2
1
②函数y=− −1图象的对称中心的坐标为___________．
x−2
【答案】(1)图见解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
②(2,−1)
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2
【分析】（1）列表，描点、连线画出函数y= 的图象即可；
x+1
（2）结合图象填空即可；
（3）根据发现的规律填空即可．
【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：
2 2
（2）①函数y= 的图象可以看作是由函数y= 的图象向左平移1个单位长度，
x+1 x
②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．
故答案为：左，1；B
1 1
（3）①函数y=− −1的图象可以看作是由函数y=− 的图象向右平移2个单位长度；
x−2 x
向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；
1
②根据平移的性质，函数y=− −1图象的对称中心的坐标为(2,−1)．
x−2
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长
度）；(2,−1)
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，
数形结合是解题的关键．
7．（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通
过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），已知
L
U
串联电路中，电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
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R/Ω… 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a=_______，b=_______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= (x≥0)，结合表格信息，探究函数y= (x≥0)的图象
x+2 x+2
与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= (x≥0)的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥− x+6的解集为________．
x+2 2
【答案】(1)2，1.5
(2)①见解析；②函数值y逐渐减小
(3)x≥2或x=0
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
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12
【详解】（1）解：由题意，I= ，
R+2
12
当I=3时，由3= 得a=2，
a+2
12
当R=6时，b= =1.5，
6+2
故答案为：2，1.5；
12
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y= (x≥0)的图象如图：
x+2
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小，
故答案为：函数值y逐渐减小；
3
（3）解：当x=2时，y=− ×2+6=3，当x=0时，y=6，
2
12 3
∴函数y= (x≥0)与函数y=− x+6的图象交点坐标为(2,3)，(0,6)，
x+2 2
3
在同一平面直角坐标系中画出函数y=− x+6的图象，如图，
2
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12 3
由图知，当x≥2或x=0时， ≥− x+6，
x+2 2
12 3
即当x≥0时， ≥− x+6的解集为x≥2或x=0，
x+2 2
故答案为：x≥2或x=0．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数
的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
8．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，
k
BD相交于点E，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A．
x
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
6
【答案】(1)y=
x
(2)见解析
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9
(3)
2
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键
是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出x=1，x=2，x=6对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
k
【详解】（1）解：反比例函数y= 的图象经过点A(3,2)，
x
k
∴2= ，
3
∴k=6，
6
∴这个反比例函数的表达式为y= ；
x
（2）解：当x=1时，y=6，
当x=2时，y=3，
当x=6时，y=1，
6
∴反比例函数y= 的图象经过(1,6)，(2,3)，(6,1)，
x
画图如下：
（3）解：∵E(6,4)向左平移后，E在反比例函数的图象上，
∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
6
当y=4时，4= ，
x
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3
解得x= ，
2
3 9
∴平移距离为6− = ．
2 2
9
故答案为： ．
2
【模拟训练】
6
1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）根据学习函数积累的经验，自主探究表达式为y= 的函数图象与性质，
x−1
下列说法正确的是（ ）
6 6
A．函数y= 的图象是y= 的图象平移得到的
x−1 x
6
B．函数y= 的图象与x轴有一个交点
x−1
6
C．函数y= 的图象与y轴的交点坐标是(0,6)
x−1
6
D．函数y= 的图象关于原点对称
x−1
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，平移的性质，关于原点对称的性质，正确掌握相关性质内容
6 6
是解题的关键．根据反比例函数的图象性质，则函数y= 的图象是y= 的图象向右平移一个单位长
x−1 x
6 6 6
度得到的，结合函数y= 的分母不为0，即y≠0，令x=0，则y= =−6，再根据函数y= 的图
x−1 0−1 x
6
象关于原点对称，则函数y= 的图象关于(1,0)对称，即可作答．
x−1
6 6
【详解】解：A、函数y= 的图象是y= 的图象向右平移一个单位长度得到的，故该选项是符合题意
x−1 x
的；
6 6
B、函数y= 的分母不为0，即y≠0，则函数y= 的图象与x轴没有交点，故该选项是不符合题意
x−1 x−1
的；
6 6
C、令x=0，则y= =−6，故函数y= 的图象与y轴的交点坐标是(0,−6)，故该选项是不符合题
0−1 x−1
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意的；
6 6 6
D、函数y= 的图象关于原点对称，且函数y= 的图象是y= 的图象向右平移一个单位长度得到的，
x x−1 x
6
则函数y= 的图象关于(1,0)对称，故选项是不符合题意的；
x−1
故选：A．
a
2．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数y = 第一象限的图象上，点B，D在反比例函数
1 x
b
y = 第二象限的图象上，AB∥CD∥x轴，AB=2，CD=3，AB与CD之间的距离为1，则a−b的值
2 x
是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
( a ) ( a )
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．设A，C两点的坐标分别为 x , 、 x , ，根据点B
1 x 2 x
1 2
b b
与点A的纵坐标相同，点D与点C的纵坐标相同，得到x = x ，x = x ，由AB=2，CD=3，得到¿，
B a 1 D a 2
a a
根据AB与CD的距离为1，把¿代入 − =1中，即可求解，
x x
1 2
( a ) ( a )
【详解】解：设A，C两点的坐标分别为 x , 、 x , ，
1 x 2 x
1 2
∵AB∥CD∥x轴，
a b b
∴点B与点A的纵坐标相同，即 = ，解得x = x ，
x x B a 1
1 B
a b b
点D与点C的纵坐标相同，即 = ，解得x = x ，
x x D a 2
2 D
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∵AB=2，CD=3，
∴¿，解得¿，
∵AB与CD的距离为1，
a a
∴ − =1 ，
x x
1 2
a a
把¿代入 − =1中，得a−b=6，
x x
1 2
故选：C．
3．（2025·河北保定·一模）如图，一个厚度2cm，宽度AB可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量
水，随着AB的变化，水面高度也发生变化．设AB=xcm，水面高度为ycm，则y随x变化的函数图象是
如图所示的曲线，它与直线y=−x+10只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（ ）
A．20cm3 B．30cm3 C．40cm3 D．50cm3
【答案】D
【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况
V
求参数），求反比例函数解析式等知识点，依题意得出y= 是解题的关键．
2x
V V
设长方体盒子中水的体积为V cm3，依题意得V =2xy，即y= ，将曲线y= 与直线y=−x+10相联
2x 2x
V
立，得 =−x+10，整理得2x2−20x+V =0，由于该曲线与直线y=−x+10只有一个公共点R，因而
2x
可得Δ=400−8V =0，由此即可求出V的值．
【详解】解：设长方体盒子中水的体积为V cm3，
依题意得：V =2xy，
V
即：y= ，
2x
V
将曲线y= 与直线y=−x+10相联立，得：
2x
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V
=−x+10，
2x
整理，得：2x2−20x+V =0，
∵该曲线与直线y=−x+10只有一个公共点R，
∴Δ=b2−4ac=(−20) 2−4×2V =400−8V =0，
∴V =50，
∴长方体盒子中水的体积为50cm3，
故选：D．
8
4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A(x ,y )，B(x ,y )两点都在反比例函数y= 的图像上，若
1 1 2 2 x
y y
y y =−2，则 1+ 2 的值为 ．
1 2 x x
2 1
1
【答案】−
2
8
【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据y= 得到x y =8，x y =8，根据y y =−2得到x x ，
x 2 2 1 1 1 2 1 2
代入式子即可得到答案．
8
【详解】解：∵A(x ,y )，B(x ,y )两点都在反比例函数y= 的图像上，
1 1 2 2 x
∴x y =8，x y =8，
2 2 1 1
∵y y =−2，
1 2
64
∴ =−2，即x x =−32，
x x 1 2
1 2
y y x y +x y 16 1
∴ 1+ 2= 1 1 2 2= =− ，
x x x x −32 2
2 1 1 2
1
故答案为：− ．
2
k2−4k+5
5．（2025·山东淄博·一模）若点M(x ,y )和点N(x ,y )在反比例函数y= （k为常数）的图象
1 1 2 2 x
上，若x <0<x ，则y ，y ，0的大小关系为 ．
1 2 1 2
【答案】y <0<y
1 2
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【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可．
【详解】解：∵k2−4k+5=(k−2) 2+1>0，
k2−4k+5
∴y= 的图象过一，三象限，
x
k2−4k+5
∵点M(x ,y )和点N(x ,y )在反比例函数y= （k为常数）的图象上，且x <0<x ，
1 1 2 2 x 1 2
∴y <0<y ；
1 2
故答案为：y <0<y ．
1 2
m
6．（2025·河北沧州·模拟预测）反比例函数y= 的图象如图所示，以下结论：①常数m<0；
x
②y随x的增大而减小；③若A(−1,h),B(2,k)在图象上，则h<k；④若P(x,y)在图象上，则
P'(−x,−y)不一定在图象上．其中正确的是 （填序号）．
【答案】③
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质得到在每一项限内，y随x
的增大而减小，m>0，则可对①②进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．
【详解】解：观察图象得：函数图象位于第一、三象限，
∴在每一项限内，y随x的增大而减小，m>0，故①②错误；
当x=−1时，h=−m<0，
m
当x=2时，k= >0，
2
∴h>m，故③正确；
m
∵y= ，
x
∴xy=m，
∴(−x)×(−y)=xy=m，
∴若P(x,y)在图象上，则P'(−x,−y)一定在图象上，故④错误．
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故答案为：③
7．（2025·河南焦作·一模）如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，点A在反比例函数
k
y= (x>0)的图象上，若点B的坐标为(3√3,−√3)，∠B=30°，则该反比例函数的解析式为 ．
x
3
【答案】y=
x
【分析】本题考查了反比例函数性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则OB=√OD2+BD2=√30，然后求出
√3
OA=OBtan∠ABO=√30× =√10，再根据同角的余角相等得出∠AOC=∠BOD，所以
3
AC BD √3 1
tan∠AOC=tan∠BOD，故 = = = ，即OC=3AC，然后通过勾股定理求出点A(1,3)，
OC OD 3√3 3
最后代入求解即可．
【详解】解：如图，过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，
∵点B的坐标为(3√3,−√3)，
∴OD=3√3，BD=√3，
∴OB=√OD2+BD2=√(3√3) 2+(√3) 2=√30，
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√3
∴OA=OBtan∠ABO=√30× =√10，
3
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴tan∠AOC=tan∠BOD，
AC BD √3 1
∴ = = = ，即OC=3AC，
OC OD 3√3 3
∵AC2+OC2=OA2，
∴AC2+(3AC) 2=(√10) 2 ，
∴AC=1，OC=3，
∴点A(1,3)，
k
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
∴k=1×3=3，
3
∴该反比例函数的解析式为y= ，
x
3
故答案为：y= ．
x
8．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴
k
都在格线上，其中反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则k=
x
．
【答案】4
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点M(1,n)，则点N(2,n−2)，将两点
代入反比例函数，可得出n=2(n−2)，进而求出M(1,4)，则可得出k的值．
【详解】解：设点M(1,n)，则点N(2,n−2)
k
将点M(1,n)，点N(2,n−2)代入反比例函数y= 中，
x
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得n=2(n−2)，
解得n=4．
∴点M(1,4)，
k=4．
故答案为：4
9．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数
k
y= (x>0)的图象经过点D(5,1.6)．
x
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3)将等腰△ABC向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
8
【答案】(1)y=
x
(2)作图见解析
1
(3) 单位长度
3
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数
的图象和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
8
（2）由解析式y= 得出得反比例函数过点(2,4)，(4,2)，(8,1)，描点画图即可；
x
8
（3）设点A向下平移a个单位长度得A'，得A'(3,3−a)，再代入y= 求解即可．
x
k
【详解】（1）解：由题意，将D(5,1.6)代入y= (x>0)，
x
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k
得：1.6= ，
5
解得：k=8，
8
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
8
（2）解：由反比例函数的解析式为y= ，
x
得反比例函数过点(2,4)，(4,2)，(8,1)，
描点画图如图：
（3）解：由图可得A(3,3)，
设点A向下平移a个单位长度得A'，
则A'(3,3−a)，
8
由A'在y= 上，
x
8
则3−a= ，
3
1
解得：a= ，
3
1
即向下平移 单位长度．
3
m−2
10．（2025·天津红桥·一模）已知P(1,−3)在反比例函数y= （m为常数，且m≠2）的图象上．
x
(1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；
( 3)
(2)判断点A(3,−1)，B(2,−2)，C −2, 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由：
2
(3)当−6≤x≤−3时，求该反比例函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)m=−1；第二、四象限
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( 3)
(2)点A(3,−1)，C −2, 在反比例函数的图像上，点B(2,−2)不在反比例函数的图像上，理由见解析
2
1
(3) ≤ y≤1
2
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）将P(1,−3)代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答；
（2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可；
（3）将x=−6,x=−3代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答．
m−2
【详解】（1）解：将P(1,−3)代入反比例函数解析式可得−3= ，
1
解得m=−1，
−3
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
∴该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限；
（2）解：当x=3时，y=−1，故点A(3,−1)在反比例函数上；
3
当x=2时，y=− ，故点B(2,−2)不在反比例函数上；
2
3 ( 3)
当x=−2时，y= ，故点C −2, 在反比例函数上；
2 2
1
（3）解：当x=−6时，y= ；
2
当x=−3时，y=1，
1
故当−6≤x≤−3时，该反比例函数的函数值y的取值范围为 ≤ y≤1．
2
【题型二】反比例函数系数k的几何意义
【中考真题】
1
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=− (x<0)图象上的一点，连接AO，过点O
x
4 AO
作OA的垂线与反比例y= (x>0)的图象交于点B，则 的值为（ ）
x BO
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1 1 √3 1
A． B． C． D．
2 4 3 3
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定
和性质，数形结合是解题的关键．过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
1 1 1
∴S = ×|−1|= ，S = ×|4|=2，∠ACO=∠ODB=90°，
△ACO 2 2 △BDO 2
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBD=90°−∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
1
∴
S
△ACO=
(OA) 2
，即2 (OA) 2 ，
S OB =
△BDO 2 OB
OA 1
∴ = （负值舍去），
OB 2
故选：A．
2
2．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，
x
AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D
2
是BC的中点；③在y= 的图象上任取点P(x ,y )和点Q(x ,y )，如果y >y ，那么x >x ；④
x 1 1 2 2 1 2 1 2
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1
S = ．其中正确结论的个数是（ ）
△BOD 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项
判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2
【详解】解：∵直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，
x
∴点A与点B关于原点对称，故①正确；
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵DO⊥x轴，AC⊥x轴，
∴OD∥AC，
∴BO:AO=BD:CD=1:1，
∴BD=CD，
∴点D是BC的中点，故②正确；
∵k=2>0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
当P、Q在同一象限内时，如果y >y ，那么x <x ；当P、Q不在同一象限内时，如果y >y ，那么
1 2 1 2 1 2
x >x ，故③错误；
1 2
∵AC⊥x轴，
1
∴S = k=1，
△AOC 2
∵点A与点B关于原点对称，
∴S =S =1，
△AOC △BOC
∵点D是BC的中点，
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1 1
∴S =S = S = ，故④正确；
△BOD △COD 2 △BOC 2
∴正确结论有3个，
故选：C．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，
k
过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD=2AD．反比例函数y= (x>0)的图
x
象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几
何意义，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，由点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)得
DN AN AD
BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，然后证明△ADN∽△ABM得 = = ，求出DN=2，
BM AM AB
8 (4 )
则ON=OA−AN=4，故有D点坐标为(4,2)，求出反比例函数解析式y= ，再求出E ,6 ，最后根据
x 3
S =S −S −S 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
四边形ODBE 梯形OABC △OCE △OAD
【详解】如图，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，
∵点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，
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∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
DN AN AD
∴ = = ，
BM AM AB
∵BD=2AD，
DN AN 1
∴ = = ，
6 3 3
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA−AN=4，
k
∴D点坐标为(4,2)，代入y= 得，k=2×4=8，
x
8
∴反比例函数解析式为y= ，
x
∵BC∥x轴，
∴点E与点B纵坐标相等，且E在反比例函数图象上，
(4 )
∴E ,6 ，
3
4
∴CE= ，
3
1 1 4 1
∴S =S −S −S = ×(2+5)×6− ×6× − ×5×2=12，
四边形ODBE 梯形OABC △OCE △OAD 2 2 3 2
故答案为：12．
k 1
4．（2023·广西·中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的图
x x
象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，S ，
1 2 3
5
S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
4 2 3 4 2
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
( 1 ) ( 1) ( 1 1)
【分析】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,− ，根据坐标求得S =ab=k，S =S =1，
b a b a 1 2 4
( 1) ( 1) 1
推得S = − × − = ，即可求得．
3 b a 2
( 1 ) ( 1) ( 1 1)
【详解】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,−
b a b a
k
∵点A在y= (x>0)的图象上
x
则S =ab=k，
1
1
同理∵B，D两点在y=− 的图象上，
x
则S =S =1
2 4
5 1
故S = −1−1= ，
3 2 2
( 1) ( 1) 1
又∵S = − × − = ，
3 b a 2
1 1
即 = ，
ab 2
故ab=2，
∴k=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
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k
5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （k为大于0的常数，x>0）
x
图象上的两点A(x ,y ),B(x ,y )，满足x =2x ．△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面
1 1 2 2 2 1
积为6，则△ABC的面积是 ．
【答案】2
【分析】过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BE⊥x于点E，利用
S =S +S +S =k+6，S =S +S =k+S ，得到
五边形FABEO △AFO △ABO △BOE 五边形FABEO 矩形AFOD 梯形ADEB 梯形ADEB
S =6，结合梯形的面积公式解得x y =8，再由三角形面积公式计算
梯形ADEB 1 1
1 1 1 1 1
S = AC⋅BC= (x −x )⋅(y −y )= x ⋅ y = x y ，即可解答．
△ABC 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1 1
【详解】解：如图，过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BE⊥x于点E，
∵S =S +S +S =k+6
五边形FABEO △AFO △ABO △BOE
S =S +S =k+S
五边形FABEO 矩形AFOD 梯形ADEB 梯形ADEB
∴S =6
梯形ADEB
(y + y )(x −x )
∴ 2 1 2 1 =6
2
∵ x =2x
2 1
1
∴y = y
2 2 1
1
( y + y )(2x −x )
(y + y )(x −x ) 2 1 1 1 1 3
∴ 2 1 2 1 = = y x =6
2 2 4 1 1
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∴x y =8
1 1
∴k=8
1 1 1 1 1 1
S = AC⋅BC= (x −x )⋅(y −y )= x ⋅ y = x y = ×8=2
△ABC 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 4
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形．点A，C
k
在坐标轴上．反比例函数y= (x>0)的图象经过点B．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S =3．求直线BD的函数表达式．
△OBD
4
【答案】(1)y=
x
1
(2)y=− x+3
2
k
【分析】（1）根据四边形OABC是边长为2的正方形求出点B的坐标，代入y= 求出k；
x
( 4)
（2）设D a, ，过点D作DH⊥x轴，根据S =S +S −S 面积列方程，求出点D坐标，
a △OBD △OBH △BHD △ODH
再由待定系数法求出直线BD的函数表达式．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴ S =xy=4，
正方形OABC
∴ k=4；
4
即反比例函数的表达式为y= ．
x
( 4)
（2）解：设D a, ，过点D作DH⊥x轴，
a
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( 4)
∵ B(2,2) D a, H(a,0)
a
点 ， ， ，
1
∴S = OH⋅AB=a
△OBH 2
1 1 4 4(a−2)
S = DH⋅AH= ⋅ ⋅(a−2)= ，
△BHD 2 2 a 2a
1
S = OH⋅DH=2
△ODH 2
∵ S =S +S −S =3
△OBD △OBH △BHD △ODH
4(a−2)
∴ a+ −2=3，
2a
解得：a =4，a =−1，经检验a=4，是符合题意的根，
1 2
即点D(4,1)，
设直线BD的函数解析式为y=kx+b，得∶
¿，解得：¿，
1
即：直线BD的函数解析式为y=− x+3．
2
k
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数y= 图象上任意
x
一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于|k|，灵活运用几何意义是解题关键．
【模拟训练】
k
1．（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数y= 1(x>0)的图象与正比例函数y=k x的图象交于点
x 2
k
A(2,2)，将正比例函数y=k x的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数y= 1的图象交
2 x
于点C(1,m)，与y轴交于点B(0,n)，连接AC，则四边形OACB的面积为（ ）
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9 7
A．5 B． C． D．3
2 2
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；
4
先求解反比例函数为：y= ，正比例函数为y=x，直线BC为y=x+3，B(0,3)，再进一步求解即可．
x
k
【详解】解：∵反比例函数y= 1(x>0)的图象与正比例函数y=k x的图象交于点A(2,2)，
x 2
∴k =2×2=4，2k =2，
1 2
解得：k =1，
2
4
∴反比例函数为：y= ，正比例函数为y=x，
x
4
∵将正比例函数y=x的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数y= 的图象交于点
x
C(1,m)，
4
∴m= =4，即C(1,4)，一次函数为y=x+n，
1
∴1+n=4，
解得：n=3，
∴直线BC为y=x+3，
当x=0时，y=3，
∴B(0,3)，
如图，过C作CH⊥y轴于H，作CQ⊥x轴于Q，过A作AT⊥x轴于T，
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1
∴五边形HOTAC的面积为4+ ×(2+4)×1=4+3=7，
2
1 1 1 9
∴四边形OACB的面积为7− ×4− ×1×(4−3)=7−2− = ；
2 2 2 2
故选：B．
2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥x轴于点
B，点A在第一象限，C为斜边OA上一点，且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），
4 k
已知AB=CD，点D在反比例函数y= 的图象上，反比例函数y= 的图象过点A．结合图象判断下列结
x x
论：①△OBA≌△BCD；②四边形AOBD是平行四边形；③点C是OA的中点；④k的值是2．其中正确
结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用SAS证明△OBA≌△BCD判断①，根据全等的性质，
得出OA=BD，再结合等边对等角 ，则OA∥BD，故四边形AOBD是平行四边形，判断②；条件不足，
无法得到点C是OA的中点；判断③；延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，先证明四边形OFDE
是矩形，根据k值的几何意义，得到OFDE的面积，进而求出四边形OEAB的面积，判断④，即可．
【详解】解：∵AB⊥OB，DC⊥BC，
∴∠OBA=∠BCD=90°，
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∵OB=BC，AB=CD，
∴△OBA≌△BCD(SAS)，故①正确；
∴OA=BD，∠AOB=∠DBC，
∵OB=BC，
∴∠AOB=∠OCB，
∴∠DBC=∠OCB，
∴OA∥BD，
∵OA=BD，
∴四边形AOBD是平行四边形；故②正确；
∴AD=OB,AD∥OB，
延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，如图所示：
∵AD∥OB，
∴∠OED=180°−∠FOE=90°，
∵DF⊥x轴，∠FOE=90°，∠OED=90°，
∴四边形OFDE是矩形，
同理，四边形OBAE是矩形，
4
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
x
∴矩形OFDE的面积是4，
∴ED=OF，
∵AD=OB，
∴AE=BF，
即OB=BF，
∴矩形OBAE的面积是2；
k
∵反比例函数y= 的图象过点A．
x
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∴k=2；故④正确；
条件不足，无法得到点C是OA的中点；故③错误；
故选C．
k
3．（2025·广东清远·模拟预测）已知点P(5,2)、Q(−2,−5)都在反比例函数y= 的图象上．过点P分别
x
作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S ；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标
1
轴围成的面积为S ，S 与S 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．S >S B．S =2S C．S <S D．S =S
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．
根据题意得到S =2×5=10，S =|−2|×|−5|=10，由此即可求解．
1 2
k
【详解】解：点P(5,2)、Q(−2,−5)都在反比例函数y= 的图象上，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂
x
线与两坐标轴围成的矩形面积为S ，
1
∴S =2×5=10，
1
过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为S ，
2
∴S =|−2|×|−5|=10，
2
∴S =S ，
1 2
故选：D ．
4
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，
x
AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB' A'C'，过点A'的反比例函数表
9
达式为y= ，则四边形OBAC和四边形OB' A'C'的位似比为（ ）
x
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
【答案】A
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【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，位数图形的性质，相似多边形的性质，掌握反比
例函数与几何图形面积的计算，相似多边形的性质是解题的关键．
根据题意，四边形OABC，OA'B'C'是矩形，S =4，S =9，由相似多边形的性质“面积
矩形OBAC 矩形OB'A'C'
比等于相似比的平方”即可求解．
【详解】解：∵过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴四边形OABC是矩形，
4
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
x
∴S =4，
矩形OBAC
9
∵以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB' A'C'，点A'在反比例函数y= 的图象上，
x
∴四边形OA'B'C'也是矩形，S =9，
矩形OB'A'C'
√4 2
∴相似比为 = =2:3，
9 3
故选：A ．
5．（2024·广西玉林·一模）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以
k
反比例函数 y= 图象上的点A(3,√3)和点B为顶点， 分别作菱形AOCD和菱形OBEF， 点D，E在x
x
轴上，以点 O为圆心，OA长为半径作A´C，连接BF，图中阴影部分面积之和为（ ）
2
A．9√3−2π B．3√3− π C．15√3−2π D．15√3−4π
3
【答案】A
k
【分析】将点A(3,√3)代入反比例y= 之中即可求出k的值；连接AC交OD于N，根据菱形性质得AC与
x
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OD互相垂直平分，则AN=CN=√3，ON=3，AC=2√3，OD=6，进而得
1
S = AC⋅OD=6√3，在Rt△AON中由勾股定理得OA=2√3，从而得△OAC为等边三角形，由
菱形OADC 2
2
此得 60π×(2√3) ，从而得 ，然后根据反比例
S = =2π S =S −S =6√3−2π
扇形OAC 360 阴影ADC 菱形OADC 扇形OAC
1 3√3
函数比例系数的几何意义得S = |k|= ，则S =2S =3√3，由此可得图形阴影部分面积
△OBM 2 2 △OBF △OBM
之和．
【详解】解∵点A(3,√3)在反比例的图象上，
∴k=3√3；
连接AC交OD于点N，设BF与OE交于点M，如图所示：
∵ AOCD
四边形 为菱形，
∴AC与OD互相垂直平分，OA=OC，
∵点A的纵坐标为√3，
∴AN=CN=√3，ON=3，
∴AC=2AN=2√3，OD=2ON=6，
1 1
∴S = AC⋅OD= ×6×2√3=6√3，
菱形OADC 2 2
在Rt△AON中，AN=√3，ON=3，
由勾股定理得：OA=√32+(√3) 2=2√3，
∴OA=OC=AC=2√3，
∴△OAC为等边三角形，
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∴∠AOC=60°，
2
60π×(2√3)
∴S = =2π，
扇形OAC 360
∴S =S −S =6√3−2π，
阴影ADC 菱形OADC 扇形OAC
∵四边形OBEF为菱形，
∴OE和BF互相垂直平分，
1 3√3
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S = |k|= ，
△OBM 2 2
3√3
∴S =2S =2× =3√3，
△OBF △OBM 2
∴图形阴影部分面积之和为：6√3−2π+3√3=9√3−2π．
故选：B．
6
6．（2025·云南昭通·一模）如图，A、B两点在双曲线y= (x>0)上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线
x
段，已知S =2，则S +S = ．
阴影 1 2
【答案】8
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
根据比例系数k的几何意义得到S +S =S +S =5，然后即可计算出S +S ．
1 阴影 2 阴影 1 2
【详解】解：根据题意得S +S =S +S =6
1 阴影 2 阴影
而S =2，
阴影
所以S =S =4，
1 2
所以S +S =8．
1 2
故答案为：8．
2
7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y= 图象第一象限分支上任意
x
一点，连接OP，过点P作PA⊥y轴，垂足为点A，过点A作OP的平行线，该平行线与x轴交于点B，并
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2
交y= 图象第三象限的分支于点C．
x
（1）S = ；
△AOP
AB
（2） 的值为 ．
BC
√5+1
【答案】 1
2
【分析】（1）由反比例系数k的几何意义，即可求解；
（2））过C作CD⊥x轴交于D，由相似三角形的判定方法得△BAO∽△BCD，由相似三角形的性质得
AO BO 2 2b
= ，设x =c，x =b，可求AO=− ，AO= ，即可求解．
CD BD C B b c(b−c)
1
【详解】解：（1）S = ×2=1，
△AOP 2
故答案为：1；
（2）过C作CD⊥x轴交于D，
∴CD∥AB
，
∴△BAO∽△BCD，
AO BO
∴ = ，
CD BD
∵PA⊥y轴，
∴PA∥x轴，
∴四边形OPAB是平行四边形，
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∴AP=OB，
设x =c，x =b，
C B
∴AP=OB=−b，
2
CD=− ，
c
BD=b−c，
2
AO=− ，
b
2
−
c b−c，
∴ =
AO −b
2b
解得：AO=
，
c(b−c)
2b 2
∴ =− ，
c(b+c) b
整理得：c2+bc+b2=0，
√5+1 −√5−1
解得：c = b，c = b（舍去），
1 2 2 2
2
−
AB b c
∴ = =
BC 2 b
−
c
√5+1
b
2
=
b
√5+1
= ；
2
√5+1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
能熟练利用反比例系数k的几何意义及相似三角形的判定及性质结合设辅助未知数进行求解是解题的关键．
8．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，点A在
第一象限，点B在x轴上，C为斜边OA上一点且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右
2 k
侧），已知AB=CD，点D在反比例函数y= 的图象上，反比例函数y= 的图象过点A．
x x
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(1)证明：四边形AOBD是平行四边形；
(2)求k的值；
k
(3)取BD的中点E，证明：直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点A．
x
【答案】(1)见详解
(2)k=1
(3)见详解
【分析】（1）运用 SAS证明△OBA≌△BCD，得出OA=BD，再结合等边对等角 ，则OA∥BD，故四
边形AOBD是平行四边形；
2
（2）先证明四边形OFDE是矩形，因为点D在反比例函数y= 的图象上，所以矩形OFDE的面积是2，
x
k
故矩形OBAE的面积是1，因为反比例函数y= 的图象过点A．则k=1；
x
( 1) ( 1) (3 1 )
（3）先设A a, ，再分别表示B(a,0)，D 2a, ，E a, ，再运用待定系数法求出直线AE解
a a 2 2a
析式为y=− 1 x+ 2 ，依题意，得¿，整理得 1 x2− 2 x+1=0，得Δ=b2−4ac= ( − 2) 2 −4× 1 ×1=0，
a2 a a2 a a a2
即可作答．
【详解】（1）证明：∵AB⊥OB，DC⊥BC，
∴∠OBA=∠BCD=90°，
∵OB=BC，AB=CD，
∴△OBA≌△BCD(SAS)，
∴OA=BD，∠AOB=∠DBC，
∵OB=BC，
∴∠AOB=∠OCB，
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∴∠DBC=∠OCB，
∴OA∥BD，
∵OA=BD，
∴四边形AOBD是平行四边形；
（2）解：∵四边形AOBD是平行四边形；
∴AD=OB,AD∥OB，
延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，如图所示：
∵AD∥OB，
∴∠OED=180°−∠FOE=90°，
∵DF⊥x轴，∠FOE=90°，∠OED=90°，
∴四边形OFDE是矩形，
同理，得证四边形OBAE是矩形，
2
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
x
∴矩形OFDE的面积是2，
∴ED=OF，
∵AD=OB，
∴AE=BF，
即OB=BF，
∴矩形OBAE的面积是1；
k
∵反比例函数y= 的图象过点A．
x
∴k=1；
1
（3）解：依题意，反比例函数y= 的图象过点A．
x
( 1)
设A a, ，
a
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∴B(a,0)，
∵四边形AOBD是平行四边形；
∴AD=OB,AD∥OB，
1
∴点D的纵坐标为 ，
a
2
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
x
1 2 1 2
把y= 代入y= ，得 = ，
a x a x
解得x=2a，
( 1)
∴D 2a, ，
a
∵点E是BD的中点，
(3 1 )
∴E a, ，
2 2a
设直线AE的解析式为y=kx+b(k≠0)，
(3 1 ) ( 1)
把E a, ，A a, 分别代入y=kx+b，
2 2a a
得¿
解得¿，
1 2
∴直线AE解析式为y=− x+
，
a2 a
依题意，得¿，
1 1 2
∴
=− x+
，
x a2 a
1 2
整理得
x2− x+1=0
a2 a
∴Δ=b2−4ac= ( − 2) 2 −4× 1 ×1=0，
a a2
k
∴直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点
x
1
∵反比例函数y= 的图象过点A．
x
k
∴直线AE与反比例函数y= 的图象仅有一个交点A．
x
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【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，反比
例函数的k值与面积关系，一元二次方程的判别式的应用，求一次函数的解析式 ，难度较大，综合性强 ，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且
k
OA=3，OC=6，反比例函数y= (x>0)的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
x
(1)如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k=______；②求△ODE的面积；
(2)如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
77
【答案】(1)①4；② ；
9
27
(2)k的值为 ．
4
【分析】（1）①根据反比例函数k的几何意义解答即可；
②根据解析式代入得出点D和E的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，类比于②用k表示出DF，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相
似三角形的判定和性质用k表示出GF，再结合勾股定理DG2+GF2=DF2建立等式求解，即可解题.
【详解】（1）解：①∵△OAD的面积为2，反比例函数图象在第一象限，
k
即有 =2，
2
∴k=4，
故答案为：4；
②在矩形OABC中，OA=BC=3，OC=AB=6，
∵k=4，
4
∴反比例函数的解析式是：y= (x>0)，
x
∵OA=3，
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即点D的纵坐标是3，
4
令 =3，
x
4
解得：x= ，
3
(4 )
∴D ,3 ，
3
4 2
同理，当x=6时，y= = ，
6 3
( 2)
∴E 6, ，
3
4 4 14 2 2 7
∴AD= ，BD=AB−AD=6− = ，CE= ，BE=BC−CE=3− = ，
3 3 3 3 3 3
∴S =S −S −S −S
△ODE 矩形OABC △OAD △OCE △BDE
k k 1
=OA⋅OC− − − BD⋅BE
2 2 2
1 14 7
=6×3−2−2− × ×
2 3 3
77
= ；
9
（2）解：过点D作DG⊥x轴于点G，则DG=OA=3，
∵ OA=3
，即点D的纵坐标是3，
k
令y= =3，
x
k
解得：x= ，
3
(k )
∴ D ,3 ，
3
k k
同理可得，当x=6时，y= = ，
x 6
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( k)
∴E 6, ，
6
k k k k
∴AD= ，BD=AB−AD=6− ，CE= ，BE=BC−CE=3− ，
3 3 6 6
k k
由折叠的性质可知： DF=BD=6− ， FE=BE=3− ，∠DFE=∠B=90°，
3 6
∴∠DFG+∠CFE=90°，
∵DG⊥x轴，
∴∠DFG+∠GDF=90°，
∴∠CFE=∠GDF，
∵∠CFE=∠GDF，∠FCE=∠DGF=90°
∴△CFE∽△GDF，
CE FE
∴ = ，
CF DF
k k
3−
6 6 1
即 = = ，
GF k 2
6−
3
k
∴GF= ，
3
∵DG⊥x轴，
∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2=DF2，
∴32+ (k) 2 = ( 6− k) 2 ，
3 3
27
解得：k= ，
4
27
即k的值为 ．
4
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形
性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答．
【题型三】反比例函数与一次函数综合
1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点；
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2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点；
3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数 与一次函数 两
个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判
断交点个数.
4）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解
集.
【中考真题】
1．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1−k=0无实数根，则函数y=kx与函
2
数y= 的图象交点个数为（ ）
x
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k
的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．
【详解】解：∵方程x2+2x+1−k=0无实数根，
∴Δ=4−4(1−k)<0，
解得：k<0，则函数y=kx的图象过二，四象限，
2
而函数y= 的图象过一，三象限，
x
2
∴函数y=kx与函数y= 的图象不会相交，则交点个数为0，
x
故选：A．
2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(4,2)在函数
k
y= (k>0,x>0)的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数
x
k
y= (k>0,x>0)的图象交于点C．若BC=√5，则点B的坐标是（ ）
x
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A．(0,√5) B．(0,3) C．(0,4) D．(0,2√5)
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的
关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出
sin∠OAE、k值，再根据平移、平行线的性质证明∠DBC=∠OAE，进而根据
CD
sin∠DBC= =sin∠OAE求出CD，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定CD=2,
BC
OD=4，再运用勾股定理求得BD，进而求得OB即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则AE∥y轴，
∵A(4,2)，
∴OE=4，OA=√22+42=2√5，
OE 4 2
∴sin∠OAE= = = √5．
OA 2√5 5
∵A(4,2)在反比例函数的图象上，
∴k=4×2=8．
∴将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC，
∴OA∥BC，
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∴∠OAE=∠BOA，
∵AE∥y轴，
∴∠DBC=∠BOA，
∴∠DBC=∠OAE，
CD 2
∴sin∠DBC= =sin∠OAE= √5，
BC 5
CD 2
∴ = √5，解得：CD=2，即点C的横坐标为2，
√5 5
8
将x=2代入y= ，得y=4，
x
∴C点的坐标为(2,4)，
∴CD=2,OD=4，
∴BD=√BC2−CD2=1，
∴OB=OD−BD=4−1=3,
∴B(0,3)
故选：B．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比
4
例函数y=− 的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m
x
的取值范围是（ ）
A．m<−2或m>2 B．−2<m<2且m≠0
C．−2<m<0或m>2 D．m<−2或0<m<2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
−4
当A在原点右侧时，B点坐标为(m, )，设旋转后的直线的解析式为：y=−x+b，得到
m
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4 m2−4
b=m− = >0，求出m>2；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y=−x+b'，
m m
m2−4
b'= >0，求出−2<m<0，即可得到m的取值范围．
m
−4
【详解】解：当A在原点右侧时，B点坐标为(m, )，
m
∵直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴所得的直线与直线y=−x平行，
设这条直线的解析式为：y=−x+b，
∵这条直线经过第一、二、四象限，
∴b>0，
∵B在直线y=−x+b上，
4
∴−m+b=− ，
m
4 m2−4
∴b=m− = >0，
m m
∵m>0，
∴m2−4>0，
∴m>2；
当A在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：y=−x+b'，
m2−4
同理：b'= >0，
m
∵m<0，
∴m2−4<0，
∴−2<m<2，
∵m<0，
∴−2<m<0．
m的取值范围是−2<m<0或m>2．
故选：C．
4．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=√3x+b的图象分别与x轴、y轴交
k CA 1
于A、B两点，且与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为(2,0), = ，则k的
x AB 2
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值是（ ）．
A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，则CD∥OA，可得△BOA∽△BDC，进而根据已知条件的CD=3，
求得直线AB的解析式，将x=3代入，得出点C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥y轴于点D，则CD∥OA
∴△BOA∽△BDC
CD BC
∴ =
AO BA
CA 1
∵ = ,A(2,0)
AB 2
BC 3
∴ =
BA 2
CD 3
∴ =
2 2
解得：CD=3
∵点A(2,0)在y=√3x+b上，
∴2√3+b=0
解得：b=−2√3
∴直线AB的解析式为y=√3x−2√3
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当x=3时，y=√3
即C(3,√3)
k
又反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C
x
∴k=3√3,
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得
点C的坐标是解题的关键．
k
5．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y =k x+b与双曲线y = 2（其中
1 1 2 x
k ⋅k ≠0）相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是
1 2
．
15
【答案】
2
k
【分析】把A(−2,3)代入到y = 2可求得k 的值，再把B(m,−2)代入双曲线函数的表达式中，可求得m的
2 x 2
值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
k
【详解】∵直线y =k x+b与双曲线y = 2（其中k ⋅k ≠0）相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，
1 1 2 x 1 2
∴k =−2×3=−2m
2
∴k =−6，m=3，
2
6
∴双曲线的表达式为：y =− ，B(3,−2)，
2 x
∵过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，
∴BP=3，
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1 15
∴S = ×3×(3+2)= ，
△ABP 2 2
15
故答案为 ．
2
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上
点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
6．（2023·安徽·中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，
k
AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
【答案】 √3 4
【分析】（1）根据已知条件得出A,B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，
进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线AC,BD，联立BD与反比例函数解析式，得出D的坐标，进而根据两点距离公
式求得OB2，BD2，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵AB=2,∠AOB=30°，∠OAB=90°，
∴OA=2√3,OB=2AB=4
∴A(2√3,0),B(2√3,2)，
∵C是OB的中点，
∴C(√3,1)，
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
∴k=√3；
√3
∴反比例数解析式为y=
x
故答案为：√3；
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（2）∵A(2√3,0)，C(√3,1)
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
√3
∴直线AC的解析式为y=− x+2，
3
∵DB∥AC，
√3
设直线BD的解析式为y=− x+b，将点B(2√3,2)代入并解得b=4，
3
√3
∴直线BD的解析式为y=− x+4，
3
√3
∵反比例数解析式为y=
x
联立¿
解得：¿或¿
当¿时， BD2=(2√3+3−2√3) 2+(2−2+√3) 2=9+3=12
当¿时， BD2=(2√3−2√3+3) 2+(2+√3−2) 2=9+3=12
OB2=(2√3) 2+22=16
∴OB2−BD2 =4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性
质是解题的关键．
k
7．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数y=k x+2的图象与反比例函数y= 2的图象相交于
1 x
A(m,4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO=2．
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(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
k
(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k x+2> 2的解集．
1 x
4
【答案】(1)一次函数解析式为y=2x+2，反比例函数解析式为y=
x
(2)15
(3)−2<x<0或x>1
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出D(0,2)得到OD=2，再解直角三角形得到OC=1，则C(−1,0)，据此利用待定系数法求出一
次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析
式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据S =S +S ，求
△ABE △CBE △ACE
解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在y=k x+2中，当x=0时，y=2，
1
∴D(0,2)，
∴OD=2，
∵tan∠ACO=2，
OD
∴在Rt△CDO中，tan∠DCO= =2，
OC
∴OC=1，
∴C(−1,0)，
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把C(−1,0)代入y=k x+2中得：0=−k +2，解得k =2，
1 1 1
∴一次函数解析式为y=2x+2，
在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=1，
∴A(1,4)，
k k
把A(1,4)代入y= 2中得：4= 2，解得k =4，
x 1 2
4
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（2）解：联立¿
解得¿或¿，
∴B(−2,−2)；
设E(e,0)，
由题意得，BD=ED，
∴(−2−0) 2+(−2−2) 2=(e−0) 2+(0−2) 2，
解得e=4或e=−4（舍去），
∴E(4,0)，
∴CE=4−(−1)=5，
∴S =S +S
△ABE △CBE △ACE
1 1
= CE⋅y + CE⋅|y |
2 A 2 B
1 1
= ×5×4+ ×5×2
2 2
=15；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为−2<x<0或
x>1，
k
∴关于x的不等式k x+2> 2的解集为−2<x<0或x>1．
1 x
k
8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y= 的图象
x
(1 )
交于M ,4 ，N(n,1)两点．
2
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(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求△OMN的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
2
【答案】(1)一次函数的表达式为y=−2x+5，反比例函数表达式为y=
x
15
(2)
4
( 17)
(3)P 0,
5
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数
的性质是关键．
(1 ) k
（1）依据题意，由M ,4 在反比例函数y= 上，可得k的值，进而求出反比例函数，再将N代入求出
2 x
N的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
(5 )
（2）依据题意，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，由直线l为y=−2x+5，可得A ,0 ,B(0,5)，故
2
5 1 1 1
OA= ,OB =5，再由S =S −S −S = ×AO×BO− ×AO⋅y − ×BO×x ，进
2 △OMN △AOB △AON △BOM 2 2 N 2 M
而计算可以得解；
（３）依据题意，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N
( 1 ) 6 17
的长，结合M¿)与M'关于y轴对称，故M'为 − ,4 ，又N(2,1)，可得直线M'N为y=− x+ ，再
2 5 5
17
令x=0，则y= ，进而可以得解．
5
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(1 ) k
【详解】（1）解：由题意，∵M ,4 在反比例函数y= 上，
2 x
1
∴k= ×4=2．
2
2
∴反比例函数表达式为y= ．
x
2
又N(n,1)在反比例函数y= 上，
x
∴n=2．
∴N(2,1)．
设一次函数表达式为y=ax+b，
∴¿，
∴a=−2，b=5．
∴一次函数的表达式为y=−2x+5．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y=−2x+5，
(5 )
∴A ,0 ，B(0,5)．
2
5
∴OA= ，OB=5，
2
1 1 1
∴S =S −S −S = ×AO×BO− ×AO⋅y − ×BO⋅x
△OMN △AOB △AON △BOM 2 2 N 2 M
1 5 1 5 1 1 15
= × ×5− × ×1− ×5× = ；
2 2 2 2 2 2 4
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则
PM+PN=PM'+PN的最小值等于M'N的长．
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(1 )
∵M ,4 与M'关于y轴对称，
2
( 1 )
∴M'为 − ,4 ．
2
又N(2,1)，设M'N的解析式为y=cx+d，
则¿，解得¿，
6 17
∴直线M'N为y=− x+ ．
5 5
17
令x=0，则y= ．
5
( 17)
∴P 0, ．
5
4
9．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线y=kx与双曲线y=− 交于A，B两点，已知A点坐标为(a,2)．
x
(1)求a，k的值；
4
(2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度，与双曲线y=− 在第二象限的图象交于点C，与x轴交于
x
点E，与y轴交于点P，若PE=PC，求m的值．
【答案】(1)a=−2,k=−1
(2)m=√2
【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；
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（2）根据直线y=−x向上平移m个单位长度，可得直线CD解析式为y=−x+m，根据三角形全等的判定
和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
4
∴2=− ，解得a=−2，
a
将A(−2,2)代入y=kx，
∴k=−1；
（2）解：如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE
，
∴∠FCP=∠OEP，∠CFP=∠EOP，
∵PE=PC，
∴△CFP≌△EOP(AAS)，
∴CF=OE，OP=PF，
∵直线y=−x向上平移m个单位长度得到y=−x+m，
令x=0，得y=m，令y=0，得x=m，
∴E(m,0)，P(0,m)，
∴CF=OE=m，OP=PF=m，
∴C(−m,2m)，
4
∵双曲线y=− 过点C，
x
∴−m⋅2m=−4，
解得m=√2或−√2（舍去），
∴m=√2．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性
质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关
键．
【模拟训练】
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k
1．（2025·安徽淮北·一模）已知反比例函数y= 与一次函数y=x+2的图像在第一象限交于点A，一次函
x
数y=x+2与 y 轴交于点B．若S =4，则k的值为（ ）
△OAB
A．8 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、求反比例函数解析式等知识点，掌握求反比例函
数的方法是解题的关键．
k
由反比例函数y= 与一次函数y=x+2的交点在第一象限，即k>0；再求得B(0,2)，即OB=2；设
x
A(a,a+2)(a>0)，根据S =4可得a=4，即可确定A(4,6)，最后求得k即可．
△OAB
k
【详解】解：∵反比例函数y= 与一次函数y=x+2的图像在第一象限交于点A，
x
∴k>0，
∵一次函数y=x+2与 y 轴交于点B，
∴B(0,2)，即OB=2，
设A(a,a+2)(a>0)，
∵S =4，
△OAB
1 1
∴ ×OB⋅a=4，即 ×2a=4，解得：a=4，
2 2
∴A(4,6)，
∴k=4×6=24．
故选C．
6
2．（2025·江苏连云港·一模）若函数y= 的图像与函数y=2x−3的图像相交于点(a,b)，则代数式
x
b 2b−2a
− 的值为 ．
2a b
3
【答案】 /0.75
4
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【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的
特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到ab=6，2a−b=3，代入分式
b 2b−2a (2a−b) 2
− = 中求解即可．
2a b 2ab
6
【详解】解：∵函数y= 的图像与函数y=2x−3的图像相交于点(a,b)，
x
∴ab=6，b=2a−3，即2a−b=3，
b 2b−2a
∴ −
2a b
b2−4ab+4a2
=
2ab
(2a−b) 2
=
2ab
32
=
2×6
3
= ，
4
3
故答案为： ．
4
1
3．（2025·四川·模拟预测）如图，点A ，A ，A …在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B ，B ，B ，
1 2 3 x 1 2 3
1
…B 在y轴上，且∠B OA =∠B B A =∠B B A =…，直线y=x与双曲线y= 交于点A ，
n 1 1 2 1 2 3 2 3 x 1
B A ⊥OA ，B A ⊥B A ，B A ⊥B A ，则B (n为正整数）的坐标是 ．
1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 3 n
【答案】(0,2√n)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，
属于中考选择题中的压轴题．由题意，△OA B ，△B A B ，△B A B ，…，都是等腰直角三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
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想办法求出OB ，OB ，OB ，OB ，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
1 2 3 4
【详解】解：由题意，△OA B ，△B A B ，△B A B ，…，都是等腰直角三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
∵A (1,1)，
1
∴OB =2，设A (m,2+m)，
1 2
则有m(2+m)=1，
解得m=√2−1，
∴OB =2√2，
2
设A (a，2√2+a)，则有a(2√2+a)=1，
3
解得a=√3−√2，
∴OB =2√3，
3
同法可得，OB =2√4，
4
∴OB =2√n，
n
∴B (0,2√n)，
n
故答案为：(0,2√n)．
4．（2024九年级·河北·学业考试）如图，在平面直角坐标系内有两个点A(4,0),B(0,4)，若反比例函数
k
y= (k≠0)的图象交线段AB于点C、D，且BC=CD，则k= ．
x
32
【答案】
9
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题、相似三角形的判定和性质、坐标与图形等知识．先
求出直线AB的解析式为y=−x+4；过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，设点C的坐
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标为(t,−t+4)，则CE=t,OE=−t+4，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，证明
BC EC BE 1
△CBE∽△DBF， = = = ，求出BF=2t，DF=2t，则OF=OB−BF=4−2t，得到点D
BD FD BF 2
k
的坐标为(2t,4−2t)，由反比例函数y= (k≠0)的图象交线段AB于点C、D得到t(−t+4)=2t(4−2t)，
x
4 (4 8)
解得t = ,t =0（不合题意，舍去），得到点C的坐标为 , ，即可求出答案．
1 3 2 3 3
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A(4,0),B(0,4)代入得到，
¿，
解得¿，
∴直线AB的解析式为y=−x+4；
如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
∴∠BEC=∠BFD=90°；
设点C的坐标为(t,−t+4)，则CE=t,OE=−t+4，
∵BC=CD，
∴BD=BC+CD=2BC，
∵∠CBE=∠DBF，
∴△CBE∽△DBF，
BC EC BE 1
∴ = = = ，
BD FD BF 2
BC t 4−(−t+4) 1
即 = = = ，
BD DF BF 2
∴BF=2t，DF=2t，
∴OF=OB−BF=4−2t，
∴点D的坐标为(2t,4−2t)，
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k
∵反比例函数y= (k≠0)的图象交线段AB于点C、D，
x
∴t(−t+4)=2t(4−2t)，
4
解得t = ,t =0（不合题意，舍去），
1 3 2
(4 8)
∴点C的坐标为 , ，
3 3
4 8 32
∴k= × = ，
3 3 9
32
故答案为： ．
9
3
5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=2x+m与反比例函数y= 的图
1 x
象分别交于点A(−1,a)和点B．
(1)求直线l 的表达式；
1
3
(2)如图2，直线l 经过点B与反比例函数y= (x<0)的图象交于点C，与x轴交于点D，点D将线段BC分
2 x
CD 1
成CD，BD两条线段，且 = ，连接AD，求△ABD的面积；
BD 2
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E，使△BCE是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点
E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=2x−1
(2)5
1+3√3 1−3√3 −3+√113 −3−√113
(3)(0, )或(0, )或( ,0)或( ,0)
2 2 4 4
【分析】（1）先求出a的值，再利用待定系数法即可求解；
（2）联立方程组得¿求出点B的坐标，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用平
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行线成比例求出CM=1，再求出C(−3,−1)，求出直线BC的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可
求解；
（3）取BC的中点M，以点M为圆心，MB为半径作⊙M交坐标轴于点E，连接BE，CE，分点E在y轴
上，设点E的坐标为(0,t)，点E在x轴上，设点E的坐标为(n,0)，两种情况讨论即可．
3
【详解】（1）解：将A(−1,a)代入y= ，
x
∴a=−3，
即A(−1,−3)，
将A(−1,−3)代入y=2x+m，
∴m=−1，
∴直线l 的表达式为y=2x−1；
1
3
（2）解：∵直线l 与反比例函数y= 交于点A，B，
1 x
∴联立方程组得¿
解得¿，¿
3
∴B( ,2)，
2
过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴CM∥BN
，
CM CD 1
∴ = = ，
BN BD 2
∴CM=1，
3
在y= 中，当y=−1时，x=−3，
x
∴C(−3,−1)，
设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
∴¿
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∴¿
2
∴直线BC的函数表达式为y= x+1，
3
∵直线BC与x轴交于点D，
3
∴D(− ,0)，
2
∵直线AB与x轴交于点G，
1
∴G( ,0)，
2
∴DG=2，
1 1
∴S = ⋅DG⋅|y −y | = ×2×5=5；
△ABD 2 B A 2
（3）解：如图，取BC的中点M，以点M为圆心，MB为半径作⊙M交坐标轴于点E，连接BE，CE，
∵BC ⊙M
为 的直径，
∴∠CEB=90°，
∵M是BC的中点，
3 1
∴M(− , )，
4 2
当点E在y轴上时，设点E的坐标为(0,t)，
∴EM=MB，
√ 3 2 1 2 √ 3 3 2 1 2
∴ ( ) +(t− ) = (− − ) +( −2) ，
4 2 4 2 2
1+3√3 1−3√3
t = ，t = ，
1 2 2 2
当点E在x轴上时，设点E的坐标为(n,0)，
∴EM=MB，
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√ 3 2 1 2 √ 3 3 2 1 2
∴ (− −n) +( ) = (− − ) +( −2) ，
4 2 4 2 2
−3+√113 −3−√113
∴n = ，n = ，
1 4 2 4
1+3√3 1−3√3 −3+√113 −3−√113
综上所述，点E的坐标为(0, )或(0, )或( ,0)或( ,0)．
2 2 4 4
【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行
线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
k
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图像与反比例函数y= （k≠0）的图
x
像交于点 A(−1，4)，B(n，−1) ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为P (x ,y )，P (x ,y )，
1 1 1 2 2 2
(x +x y + y )
则P P 中点坐标为 1 2, 1 2 ）
1 2 2 2
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
k
(2)利用图像，直接写出不等式ax+b≥ 的解集；
x
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求
出点D的坐标．
4
【答案】(1)y=− ，y=−x+3
x
(2)x<−1或0<x≤4
(21 ) ( 21 ) (13 )
(3) ,0 或 − ,0 或 ,0
5 5 3
【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的
关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标．
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（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
( 4)
（3）设点D(a,0)，C c,− ，分AC，BD是对角线，BC，AD是对角线，AB，CD是对角线三种情
c
况讨论求解即可．
k
【详解】（1）解：∵A(−1,4)，B(n,−1)在反比例函数y= (k≠0)图像上，
x
k
∴4= ，解得：k=−4，
−1
4
∴反比例函数的表达式为：y=− ；
x
−4
∴−1= ，
n
∴n=4，
∴点B(4,−1)，
∵点A(−1,4)，B(4,−1)在一次函数y=ax+b(a≠0)，
∴¿，解得：¿，
∴y=−x+3，
∴一次函数的表达式为：y=−x+3．
（2）解：由（1）得A(−1,4)，B(4,−1)，
k k
当一次函数y=ax+b的图像在反比例函数y= 的图像上时，ax+b> ，
x x
k
∴x≤−1或0<x≤4时，ax+b≥ ．
x
（3）解：∵点D在x轴上，点C在反比例函数图像，
( 4)
∴设点D(a,0)，C c,− ，
c
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①当AC，BD是对角线，
∴¿，解得：¿，∴
( 21 )
点D的坐标为 − ,0 ；
5
②当BC，AD是对角线时，
∴¿，解得：¿，
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(21 )
∴点D的坐标为 ,0 ；
5
③当AB，CD是对角线时，
∴¿，解得：¿，
(13 )
∴点D的坐标为 ,0 ；
3
( 21 ) (21 ) (13 )
综上所述，点的坐标为： − ,0 ， ,0 ， ,0 时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边
5 5 3
形．
【题型四】反比例函数与实际问题
1）利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系
式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
【中考真题】
1．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，
则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若x=5，则y=100 B．若y=125，则x=4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴xy=500，
500
∴y= ，
x
当x=5时，y=100，故A不符合题意；
500
当y=125时，x= =4，故B不符合题意；
125
∵x>0，y>0，
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∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起
来，在中点O的左侧距离中点O25cm(L =25cm)处挂一个重9.8N(F =9.8N)的物体，在中点O的右侧用
1 1
一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单
位：N）满足FL=F L ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图
1 1
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
245
【分析】根据题意FL=F L 代入数据求得F= ，即可求解．
1 1 L
【详解】解：∵FL=F L ，L =25cm，F =9.8N，
1 1 1 1
∴FL=25×9.8=245，
245
∴F= ，函数为反比例函数，
L
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245
当L=35cm时，F= =7，
35
245
即F= 函数图象经过点(35,7)．
L
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
3．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度
v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动
速度v=6m/s；当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v= m/s．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将m=90kg代入计算
即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
k
【详解】设反比例函数解析式为v= ，
m
∵机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=60×6=360，
360
∴反比例函数解析式为v= ，
m
360
当m=90kg时，v= =4(m/s)，
90
∴当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v=4m/s．
故答案为：4．
4．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后
气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如图所
示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
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【答案】20
6000
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为P= ，然后问题可求解．
V
k
【详解】解：设P关于V的函数解析式为P= ，由图象可把点(100,60)代入得：k=6000，
V
6000
∴P关于V的函数解析式为P= ，
V
6000
∴当P=75kPa时，则V = =80，
75
6000
当P=100kPa时，则V = =60，
100
∴压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了80−60=20mL；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
5．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：
Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
36
【答案】(1)I=
R
(2)12A
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
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（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当R=3Ω时I的值即可得到答案．
U
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为I= (U≠0)，
R
U U
把(9，4)代入I= (U≠0)中得：4= (U≠0)，
R 9
解得U=36，
36
∴这个反比例函数的解析式为I= ；
R
36 36
（2）解：在I= 中，当R=3Ω时，I= =12A，
R 3
∴此时的电流I为12A．
6．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p
（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3 ，π取3）；
3
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
k 4.8 4.8
【分析】（1）设函数关系式为p= ，用待定系数法可得p= ，即可得当p=150时，V = =0.032，
V V 150
从而求出r=0.2；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
k
【详解】（1）设函数关系式为p= ，
V
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根据图象可得：k=pV =120×0.04=4.8，
4.8
∴ p= ，
V
4.8
∴当p=150时，V = =0.032，
150
4
∴
×3r3=0.032，
3
解得：r=0.2，
∵k=4.8>0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V ≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出
反比例函数的解析式．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一
行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
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素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的
“E”形图边长为6mm；
探究2: 0.5≤θ≤1.0；
18
探究3：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
7.2
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得n= ，将n=1.2
b
7.2
代入n= 得：b=6；
b
1
探究2：由n= ，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0<θ≤1.0，即可得
θ
0.5≤θ≤1.0；
6 b
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 = 2，即可解得答案．
5 3
【详解】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
k k
设n= (k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得：0.8= ，
b 9
解得：k=7.2，
7.2
∴ n= ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
b
7.2
将n=1.2 代入n= 得：b=6；
b
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图
边长为6mm；
探究2:
1
∵ n= ，
θ
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，
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∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
b b
1 = 2 ，
检测距离 检测距离
1 2
由探究1知b =6，
1
6 b
∴ = 2，
5 3
18
解得b = ，
2 5
18
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
【模拟训练】
1．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I(A)和
它们两端的电压U(V)，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识
U=IR ，可判断这四个用电器中电阻R(Ω)最大的是 （ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数的应用．根据图示得出U >U ，I <I ，利用不等式的
2 1 1 2
U U U U U U
性质得出
2> 1， 2> 1， 2> 1，则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，
I I I I I I
1 1 2 2 2 2
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丁的电阻大于乙的电阻，即可求解．
U
【详解】解：由题意可得R= ，
I
由图象可知：U >U ，I <I ，
2 1 1 2
U U U U U U
∴
2> 1， 2> 1， 2> 1，
I I I I I I
1 1 2 2 2 2
∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，同理丁的电阻大于乙的电阻，
∴这四个用电器中电阻R(Ω)最大的是丙．
故选：C．
2．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质
量忽略不计）的可变电阻R (Ω)（如图1），当人站上踏板时，电阻R 随人的质量m的变化而变化，此时
1 1
可通过电压表显示的读数U 换算为人的质量m(kg)．已知U 随R 的变化而变化（如图2），R 与踏板上
0 0 1 1
人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U 越小R 越大
0 1
B．当U =4V时，R 的阻值为30Ω
0 1
C．当踏板上人的质量为95kg时，U =3V
0
D．若电压表量程为0−6V(0≤U ≤6)，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg
0
【答案】D
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图
象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为95kg和U =2V时的阻值，可判断C
0
选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，U 越小，R 越大，原说法正确，不符合题意；
0 1
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B、由图2可知，当U =4V时，R 的阻值为30Ω，原说法正确，不符合题意；
0 1
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为95kg时，R =−2×95+240=50Ω，由图2可知，U =3V时，
1 0
R =50Ω，原说法正确，不符合题意；
1
D、当电压表量程为0~6V(0≤U ≤6)时，由图2可知，当U =6V，R 阻值最小为10Ω，由
0 0 1
R =−2m+240可知，R 随着m的增大而减小，则当R =10Ω时，m有最大值，10=−2m+240，解得：
1 1 1
m=115，即该电子体重秤可称的最大质量是115kg，原说法错误，符合题意；
故选：D．
3．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图1为某医院安装的烟雾
报警器，图2为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻R、电磁铁（线圈阻
U
值R =18Ω）、电源电压U=6V、开关等组成（控制电路中的电流I= ）；“工作电路”由工作电
0 R+R
0
源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点a接触，指示灯正常工作．
当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点b接触，扬声器发出
报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图3为光敏电阻R（单位：Ω）与光照强度E（单位：cd）之间
的关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小
B．当光敏电阻的阻值为8Ω时，光照强度为4.5cd
C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大
D．当光照强度为3cd时，控制电路中的电流为0.2A
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据反比函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】A、由题图3可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确；
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36 36
B、由题图3可知图象上点的横、纵坐标之积为定值36，可得R= ，将R=8代入反比例函数R= ，得
E E
36
E= =4.5cd；
8
C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图3，可知光的电阻的阻值减小，从而
U
控制电路的总电阻R+R 减小．因为触发投资器报警的电流不交，由l= ，可知应减小控制电路电
0 R+R
u
压，故C选项错误；
U 6
D、当光照强度为3cd时，可知光敏电阻R= 12Ω控制电路中的电流I= = =0.2A，故D选
R+R 12+18
0
项正确；
故选 C．
4．（2024·江苏宿迁·一模）数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不
同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度
计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，则该液体的密
度ρ= g/cm3．
4
【答案】0.8/
5
k
【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设h= ，把ρ=1，h=20代入解析式，求得h关于
ρ
ρ的函数解析式；把h=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
k
【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为h= ，
ρ
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20．
20
∴h关于ρ的函数解析式为h= ．
ρ
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20 20
把h=25代入h= ，得25= ．
ρ ρ
解得：ρ=0.8．
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
故答案为：0.8．
5．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经
空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横
截面示意图，这里OA表示起跳点A到地面OC的距离，OA=45m，以O为坐标原点，以地面的水平线
OC为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程
中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)满足y=ax2+2x+c(a≠0)．在着陆坡上设置点
K作为基准点，点K与AO相距30m，高度（与OC距离）为5m，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10m时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳
落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度v(m/s)的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与v2的对应
数据：
v2 150 170 190 210 230 250 270
1 5 5 5 5 1 5
a − − − − − − −
6 34 38 42 46 10 54
①猜想a关于v2的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
1
【答案】(1)− ，能
10
25
(2)①成反比例函数关系，a=− ，验证见解析；②当滑出速度v为15m/s时，运动员的成绩恰好能达标．
v2
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关
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键．
（1）根据题意可得抛物线经过点A(0,45)，对称轴为x=10，从而得到抛物线的解析式为
1
y=− x2+2x+45，令x=30，求出y=15，比较即可求解；
10
（2）①设a= m (m≠0)，将 ( 150,− 1) 代入得m=−25，a=− 25 ．将 ( 250,− 1 ) 代入a=− 25 验证：
v2 6 v2 10 v2
1
当v2=250时，a=− 成立，即可求解；②将K(30,5)和A(0,45)分别代入y=ax2+2x+c，得
10
1 1 25
y=− x2+2x+45，a=− ．由a=− 得v=15(m/s)，即可求解．
9 9 v2
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,45)，对称轴为x=10，
∴可得¿，
∴¿
1
∴解析式为y=− x2+2x+45，
10
1 1
令x=30，则y=− x2+2x+45=− ×302+2×30+45=15，
10 10
∵15>5，
∴此运动员落地达标，
1
故答案为：− ，能；
10
（2）解：①由表格数据可知，a与v2的乘积相等，所以a与v2成反比例函数关系．
m
∴设a= (m≠0)，
v2
( 1) 1 m
将 150,− 代入得− = ，
6 6 150
解得m=−25，
25
∴a=−
．
v2
将 ( 250,− 1 ) 代入a=− 25 验证：当v2=250时，a=− 1 成立，
10 v2 10
25
∴a=− 能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
v2
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点K，
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将K(30,5)和A(0,45)分别代入y=ax2+2x+c，
1 1
得y=− x2+2x+45，a=− ．
9 9
25
由a=− 得v2=225，
v2
又∵v>0,
∴v=15(m/s)．
答：当滑出速度v为15m/s时，运动员的成绩恰好能达标．
6．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒
100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国
家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？
请说明理由．
270
【答案】(1)y= (x≥3)
x
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题
关键．
（1）由待定系数法可以求出OA的函数表达式，从而得到A点坐标，进一步得到B点坐标，然后再利用待
定系数法可以得到部分双曲线BC的函数表达式；
（2）在部分双曲线BC的函数表达式中令y<20，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，
再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设OA的函数表达式为y=kx，则：
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1
k=20，
3
∴k=60，
∴OA的函数表达式为y=60x，
3
∴当x= 时，y=90，
2
m
可设部分双曲线BC的函数表达式为y= ，
x
由图象可知，当x=3时，y=90，
∴m=270，
270
∴部分双曲线BC的函数表达式为y= (x≥3)；
x
270
（2）解：在y= 中，令y<20，
x
270
可得： <20，
x
解之可得：x>13.5，
∵晚上20:00到第二天早上9:00的时间间隔为9+4=13(h)，13h<13.5h，
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00时体内的酒精含量高于20（毫克/百毫
升），
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00不能驾车出行．
【题型五】反比例函数与几何综合
【中考真题】
a b
1．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函y= 的图象上，点B，D在反比例函数y= 的图
x x
象上，AB∥CD∥y轴，若AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a−b的值为（ ）
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A．−2 B．1 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设A，C两点的坐标
( a ) ( a )
分别为 x , 、 x , ，根据点B与点A的横坐标相同，点D与点C的横坐标相同，得到点B的坐标
1 x 2 x
1 2
( b ) ( b )
为 x , ，点D的坐标为 x , ，由AB=3，CD=2，得到¿，根据AB与CD的距离为5，把¿代入
1 x 2 x
1 2
x −x =5中，即可求解．
1 2
( a ) ( a )
【详解】解：设A，C两点的坐标分别为 x , 、 x , ，
1 x 2 x
1 2
∵AB∥CD∥x轴，
∴点B与点A的横坐标相同，点D与点C的横坐标相同，
( b ) ( b )
∴点B的坐标为 x , ，点D的坐标为 x , ，
1 x 2 x
1 2
∵AB=3，CD=2，
∴¿ ，
解得¿ ，
∵AB与CD的距离为5，
∴x −x =5 ，
1 2
把¿代入x −x =5中，得：
1 2
a−b b−a
− =5，
3 2
a−b a−b
即 + =5，
3 2
解得：a−b=6，
故选：D．
k
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y= (k≠0)的图象经
x
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AN
过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则 的值为（ ）
AB
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 5 5
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之
间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，找到坐标之间的关系，利用
平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，
( k) ( k)
设A a, ，B b, ，
a b
由BC中点为D，AB=AC，故等腰三角形ABC中，
∴BD=DC=a−b，
( k)
∴C 2a−b, ，
b
∵AC的中点为M，
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k k
( + ) (3a−b k(a+b))
∴ 3a−b a b ，即 , ，
M , 2 2ab
2 2
3a−b k
M( , )
由M在反比例函数上得 2 3a−b ，
2
k(a+b) k
=
∴ 2ab 3a−b，
2
解得：b=−3a，
由题可知，AD∥NE，
AN DE a a 1
∴ = = = = ．
AB BD a−b a+3a 4
故选：B．
k
3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y= (k>0,x>0)的图象上，
x
分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=3√2，则k
的值为（ ）
A．3 B．3√2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点A,B分别作y,x轴的垂线，垂足分别为E,D，AE,BD交于点C，得出B的横坐标为1，A的
纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)，则AC=k−1,BC=k−1，根据AB=3√2，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，
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依题意，B的横坐标为1，A的纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)
∴C(1,1)，
则AC=k−1,BC=k−1，
又∵∠ACB=90°，AB=3√2，
∴(k−1) 2+(k−1) 2=(3√2) 2
∴k−1=3（负值已舍去）
解得：k=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
k
4．（2024·四川广元·中考真题）已知y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，点B为y轴上一点，将
x
k
△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y= (x>0)上点C处，则B点坐标为 ．
x
【答案】(0,4)
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关
4√3
性质内容是解题的关键．先得出A(2,2√3)以及y= (x>0)，根据解直角三角形得∠1=30°，根据折
x
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叠性质，∠3=30°，然后根据勾股定理进行列式，即OB=OC=√(2√3) 2+22=4．
【详解】解：如图所示：过点A作AH⊥y轴，过点C作CD⊥x轴，
k
∵y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，
x
∴把A(2,m)代入y=√3x，得出m=√3×2=2√3，
∴A(2,2√3)，
k
把A(2,2√3)代入y= (x>0)，
x
解得k=2×2√3=4√3，
4√3
∴y= (x>0)，
x
( 4√3)
设C m， ，
m
AH 2 √3
在Rt△AHO，tan∠1= = = ，
OH 2√3 3
∴∠1=30°，
∵点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，
∴∠2=∠1=30°，OC=OB，
∴∠3=90°−∠1−∠2=30°，
4√3
则CD √3 m ，
=tan∠3= =
OD 3 m
解得m=2√3（负值已舍去），
∴C(2√3，2)，
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∴OB=OC=√(2√3) 2+22=4，
∴点B的坐标为(0，4)，
故答案为：(0，4)．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形
k
OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
【答案】24
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A(4a,0)、B(6a,0)，由正方形的性质可得C(4a,4a)，由
( k ) 1
QN⊥y轴，点P在CD上，可得P ,4a ，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得BQ= AB=a，
4a 2
k k
则Q(6a,a)，由于点Q在反比例函数y= (k>0)的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
x 4a
宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B(6a,0)，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
1
∴BQ= AB=a，
2
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∴Q(6a,a)，
k
∵Q在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C(4a,4a)，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
k
∵P点在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
k
∴P点横坐标为x= ，
4a
( k )
∴P ,4a ，
4a
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
k
∴NH= ，MH=a，
4a
k
∴S =NH×MH= ×a=6，
▭OMHN 4a
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
8
6．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有P ,P ,P ,⋯P 等点，它
x 1 2 3 2024
们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S ,S ,S ,⋯,S ，则S +S +S +⋯+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
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2023
【答案】
253
【分析】求出P ,P ,P ,P …的纵坐标，从而可计算出S ,S ,S ,S …的高，进而求出S ,S ,S ,S
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
…，从而得出S +S +S +…+S 的值．
1 2 3 n
【详解】当x=1时，P 的纵坐标为8，
1
当x=2时，P 的纵坐标为4，
2
8
当x=3时，P 的纵坐标为 ，
3 3
当x=4时，P 的纵坐标为2，
4
8
当x=5时，P 的纵坐标为 ，
5 5
…
则S =1×(8−4)=8−4；
1
8 8
S =1×(4− )=4− ；
2 3 3
8 8
S =1×( −2)= −2；
3 3 3
8 8
S =1×(2− )=2− ；
4 5 5
…
8 8
S = − ；
n n n+1
8 8 8 8 8 8 8n
S +S +S +…+S =8−4+4− + −2+2− +⋯+ − =8− = ，
1 2 3 n 3 3 5 n n+1 n+1 n+1
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8×2023 2023
∴S +S +S +…+S = = ．
1 2 3 2023 2024 253
2023
故答案为： ．
253
8 8
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出S = − ．
n n n+1
k
7．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点A ,A ,A ,⋯,A ,A 为反比例函数y= (k>0)图象上的点，
1 2 3 n n+1 x
其横坐标依次为1,2,3,⋯,n,n+1．过点A ,A ,A ,⋯,A 作x轴的垂线，垂足分别为点
1 2 3 n
H ,H ,H ,⋯,H ；过点A 作A B ⊥A H 于点B ，过点A 作A B ⊥A H 于点B ，…，过点A
1 2 3 n 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 n+1
作A B ⊥A H 于点B ．记△A B A 的面积为S ,△A B A 的面积为S ,⋅⋅⋅,△A B A 的面积
n+1 n n n n 1 1 2 1 2 2 3 2 n n n+1
为S ．
n
(1)当k=2时，点B 的坐标为______，S +S =______，S +S +S =______，S +S +S +⋯+S =______
1 1 2 1 2 3 1 2 3 n
（用含n的代数式表示）；
(2)当k=3时，S +S +S +⋯+S = ______（用含n的代数式表示）．
1 2 3 n
2 3 n
【答案】(1)(1,1)； ； ；
3 4 n+1
3n
(2)
2n+2
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：
( 2)
（1）先求出A (1,2)，A (2，1)，A 3, ，进而得到A H =2，OH =1，再求出
1 2 3 3 1 1 1
( 2) ( 1) ( 1)
B H =A H =1，A B =H H =2−1=1，则B (1,1)，同理可得B 2, ，A 4, ，B 3, ，
1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 3 4 2 3 2
再根据三角形面积计算公式求出S ，S ，S ，S 的面积，然后找到规律求解即可；
1 2 3 4
（2）仿照（1）表示出S ，S ，S ，S 的面积，然后找到规律求解即可．
1 2 3 4
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2
【详解】（1）解：当k=2时，反比例函数解析式为y= ，
x
2 2
在y= 中，当x=1时，y=2；当x=2时，y=1；当x=3时，y= ，
x 3
( 2)
∴A (1,2)，A (2，1)，A 3, ，
1 2 3 3
∵A H ⊥x轴，
1 1
∴A H =2，OH =1，
1 1 1
∵A B ⊥A H ，
2 1 1 1
∴B H =A H =1，A B =H H =2−1=1
1 1 2 2 2 1 1 2
∴B (1,1)；
1
( 2) ( 1) ( 1)
同理可得B 2, ，A 4, ，B 3, ，
2 3 4 2 3 2
1 1 1 1 1 ( 2) 1
∴S = A B ⋅A B = ×(2−1)×1= ，S = A B ⋅A B = × 1− ×1= ，
1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 6
1 1 (2 1) 1 1 1 (1 2) 1
S = A B ⋅A B = × − ×1= ，S = A B ⋅A B = × − ×1=
3 2 3 3 4 3 2 3 2 12 4 2 4 4 5 4 2 2 5 20
1 1 2 2 1 3 3 1 4
∴S +S = + = ，S +S +S = + = ，S +S +S +S = + =
1 2 2 6 3 1 2 3 3 12 4 1 2 3 4 4 20 5
……
n
以此类推可得，S +S +S +⋯+S = ；
1 2 3 n n+1
2 3 n
故答案为：(1,1)； ； ； ；
3 4 n+1
3
（2）解：当k=3时，反比例函数解析式为y= ，
x
3 3
在y= 中，当x=1时，y=3；当x=2时，y= ；当x=3时，y=1，
x 2
( 3)
∴A (1,3)，A 2， ，A (3,1)，
1 2 2 3
∵A H ⊥x轴，
1 1
∴A H =3，OH =1，
1 1 1
∵A B ⊥A H ，
2 1 1 1
3
∴B H =A H = ，A B =H H =2−1=1
1 1 2 2 2 2 1 1 2
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( 3) ( 3) ( 3)
同理可得B 2, ，A 4, ，B 3, ，
2 2 4 4 3 4
1 1 ( 3) 1 1 (3 )
∴S = A B ⋅A B = ×1× 3− ，S = A B ⋅A B = ×1× −1 ，
1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
1 1 ( 3) 1 1 (3 3)
S = A B ⋅A B = ×1× 1− ，S = A B ⋅A B = ×1× −
3 2 3 3 4 3 2 4 4 2 4 4 5 4 2 4 5
以此类推可得，S +S +S +⋯+S
1 2 3 n
1 ( 3 3 3 3 3 3 3 )
= ×1× 3− + −1+1− + − +⋯+ −
2 2 2 4 4 5 n n+1
1 ( 3 )
= ×1× 3−
2 n+1
3n
= ．
2n+2
8．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+1(k≠0)的图像与
6
反比例函数y= 的图像交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
x
(1)求k的值；
6
(2)利用图像直接写出kx+1< 时x的取值范围；
x
6
(3)如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y= (x>0)的图像交于点D，与y轴交于点E，再
x
6
将函数y= (x>0)的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
x
【答案】(1)k=1
(2)x<−3或0<x<2
(3)8
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
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（1）先求出A点坐标，再将A点代入一次函数的解析式中求出k的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为 ▱ACFD的面积，进行求解即可．
6
【详解】（1）∵点A在y= 的图像上，
x
6
∴当x=2时，y= =3．
2
∴A(2,3)，
将点A(2,3)代入y=kx+1，得k=1．
（2）由（1）知：y=x+1，
联立¿，解得：¿或¿，
∴B(−3,−2)；
6
由图像可得：kx+1< 时x的取值范围为：x<−3或0<x<2．
x
（3）∵y=x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴C(0,1)，
∵将直线AB沿y轴向下平移4个单位，
∴CE=4，直线DE的解析式为：y=x−3，设直线DE与x轴交于点H
∴当x=0时，y=−3，当y=0时，x=3，
∴H(3,0)，E(0,−3)，
∴OF=OE=3，
∴∠FEC=45°，
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
√2
∴CG= CE=2√2．
2
又∵A(2,3)，C(0,1)，
∴AC=2√2．
连接AD,CF，
∵平移，
∴AC∥DF，AC=DF，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴阴影部分面积等于▱ACFD的面积，即2√2×2√2=8．
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9．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
m
y= 的图象交于A(−6,1)，B(1,n)两点．
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P是直线x=−2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
m
(3)点Q在反比例函数y= 位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标．
x
6
【答案】(1)y=− ，y=−x−5
x
(2)点P坐标为(−2，3)或(−2，−9)；
(−11+√145 11+√145)
(3)Q点坐标为(3，−2)或 ,−
2 2
【分析】（1）先求出m=−6，再代入B(1,n)，得出B(1,−6)，再运用待定系数法解一次函数的解析式，
即可作答．
（2）先得出直线AB与直线x=−2的交点C的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得
1
×|−3−p|×7=21，解出p，即可作答．
2
（3）要进行分类讨论，当点Q在点B的右边时和点Q在点B的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，
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其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．
m m
【详解】（1）解：依题意把A(−6,1)代入y= ，得出1=
x −6
解得m=−6
6 6
把B(1,n)代入y=− 中，得出n=− =−6
x 1
∴B(1,−6)
则把A(−6,1)和B(1,−6)分别代入y=kx+b
得出¿
解得¿
∴y=−x−5；
（2）解：记直线AB与直线x=−2的交点为C
∵y=−x−5
∴当x=−2时，则y=−x−5=2−5=−3
∴C(−2，−3)
∵P是直线x=−2上的一个动点，
∴设点P(−2，p)，
∵△PAB的面积为21，
1 1 1 1
∴ ×PC×|x −(−2)|+ ×PC×|x −(−2)|= ×PC×|x −x |= ×PC×(x −x )=21
2 A 2 B 2 A B 2 B A
1
即 ×|−3−p|×7=21
2
∴|−3−p|=6
解得p=3或−9
∴点P坐标为(−2，3)或(−2，−9)；
6
（3）解：由（1）得出y=−
x
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6
∵点Q在反比例函数y=− 位于第四象限的图象上，
x
( 6)
∴设点Q的坐标为 q，− (q>0)
q
如图：点Q在点B的右边时
∵△QAB的面积为21，A(−6,1)和B(1,−6)
1 1 ( 6) 1 ( 6 )
∴21=(1+6)×(q+6)− ×(1+6)×(1+6)− ×(q+6)× 1+ − ×(q−1)× − +6
2 2 q 2 q
49 1 ( 6) 1 ( 6 )
整理得21=7×(q+6)− − ×(q+6)× 1+ − ×(q−1)× − +6
2 2 q 2 q
解得q=3（负值已舍去）
经检验q=3是原方程的解，
∴Q点坐标为(3，−2)
如图：点Q在点B的左边时
∵△QAB的面积为21，A(−6,1)和B(1,−6)
(6 ) 1 (6 ) 1 1 ( 6)
∴21=(1+6)× +1 − × +1 ×(q+6)− ×(1+6)×(1+6)− ×(1−q)× −6+
q 2 q 2 2 q
(6 ) 1 (6 ) 49 1 ( 6)
整理得21=7× +1 − × +1 ×(q+6)− − ×(1−q)× −6+
q 2 q 2 2 q
−11+√145 −11−√145
解得0<q= <1，符合题意，q= <0，不符合题意，
2 2
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6 11+√145 (−11+√145 11+√145)
则− =− ，故Q ,−
q 2 2 2
(−11+√145 11+√145)
综上：Q点坐标为(3，−2)或 ,− ．
2 2
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割
补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【模拟训练】
k k
1．（2025·安徽·二模）如图，平行于y轴的直线分别交反比例函数y= 1与y= 2的图象（部分）于点A，
x x
B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
k +k k −k k −k
A．k +k B． 1 2 C． 1 2 D． 2 1
1 2 2 2 2
【答案】C
( k )
【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．设A的坐标为 x, 1 ，B的
x
( k )
坐标为 x, 2 ，然后根据三角形的面积公式计算即可．
x
( k ) ( k )
【详解】解：设A的坐标为 x, 1 ，B的坐标为 x, 2 ，
x x
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1 (k k ) 1
∴S = x 1− 2 = (k −k )，
△ABC 2 x x 2 1 2
故选：C．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，△OA B ，△A A B ，A A B ，…，A ❑ A B 都是斜边在
1 1 1 2 2 2 3 3 n ﹣1 n n
1
x轴上的等腰直角三角形，直角顶点B ，B ，B ，…，B 都在反比例函数y= （x>0）的图象上，则A
1 2 3 n x n
（n为正整数）的坐标是（ ）
A．(2√n,0) B．(√2n,0)
C．(√2n(n+1),0) D．(√2n+1,0)
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌
握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过B 作B M ⊥x轴于M ，根据等腰直角三角形的性质，
1 1 1 1
可知M 是OA 的中点，且B M =OM ，求出B 的坐标，进一步得出A (2,0)，同理，求出A 、A 、…
1 1 1 1 1 1 1 2 3
的坐标，找到规律即可得到A 的坐标即可．
n
【详解】解：过B 作B M ⊥x轴于M ，如图，
1 1 1 1
∵△OA B
1 1
是等腰直角三角形，
∴M 是OA 的中点，且B M =OM ，
1 1 1 1 1
1
设B M =OM =m，则B (m,m)，代入反比例函数解析式y= (x>0)，
1 1 1 1 x
得m2=1，
解得m=1，
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∴OA =2OM =2×1=2，
1 1
∴A (2,0)，
1
同理，过B 作B M ⊥x轴于M ，则M 是A A 的中点，B M =A M ，
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2
1
设B M =A M =n，则B (n+2,n)，代入反比例函数解析式y= (x>0)，
2 2 1 2 2 x
得n(n+2)=1，
解得n=√2−1，（负值已经舍去）
∴OA =OA +A A =OA +2A M =2+2(√2−1)=2√2，
2 1 1 2 1 1 2
∴A (2√2,0)
2
同理可得A (2√3,0)，……，A (2√n,0)，
3 n
∴A (2√n,0)，
n
故选：A．
k
3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，反比例函数y= (k>0)的图象经过A(2,12),B(6,b)两点，直线
x
AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD·BC=AB·DO，连接CD，记△ADC,△DOC的面积分
别为S ,S ，则S −S 的值为（ ）
1 2 1 2
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】C
【分析】利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，通过解析式求出交点C的坐标，再利用相似
三角形的判定与性质得BD∥OC，则可求出D点纵坐标，进而求出相关三角形的面积即可得出答案．
k
【详解】解：将A(2,12)代入y= (k>0)得，
x
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k=24，
24
反比例函数的解析式为y= ，
x
24
将B(6,b)代入y= 得，
x
b=4，
∴B点坐标为(6,4)，
假设直线AB的解析式为y =k x+b ，将A,B两点坐标代入得，
AB 1 1
¿，
解得，¿，
∴直线AB的解析式为y =−2x+16，
AB
∴直线AB与x轴的交点坐标为C(8,0)，
连接BD，如图，
∵AD⋅BC=AB⋅DO
，
AD AB
∴ = ，
DO BC
AD AB
即 = ，
AO AC
∵∠DAB=∠OAC，
∴△ADB∽△AOC，
∴∠ADB=∠AOC，
∴DB∥OC，
∴D点纵坐标为4，
1 1
∴S =S = ⋅OC⋅y = ×8×4=16，
2 △DOC 2 D 2
1 1
S = ⋅OC⋅y = ×8×12=48，
△AOC 2 A 2
S =S −S =48−16=32，
1 △AOC △DOC
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∴S −S =32−16=16，
1 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合，反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角
形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各函数的性质，并会通过坐标求出三角形的面积．
12
4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数y= (x>0)的图象，点A(2,6)，过点A作y轴的垂线，
x
垂足为点C，在射线CA上，依次截取A A =A A =A A =A A =CA，过点A ，A ，A ，A 分别作x
1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4
轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点B ，B ，B ，B ．按照上述方法则线段A B 的长度为（ ）
1 2 3 4 11 11
11 60 1 27
A． B． C． D．
2 11 2 5
【答案】A
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律．
根据A A =A A =A A =A A =CA和A(2,6)求出点A ，A ，A ，A ，A 的坐标，再结合反比例函数
1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4 n
的性质求出点B ，B ，B ，B ，B 的坐标即可求解．
1 2 3 4 n
【详解】解：∵点A(2,6)，A A =A A =A A =A A =CA，
1 1 2 2 3 3 4
∴A (4,6)，A (6,6)，A (8,6)，A (10,6)，A (2n+2,6)．
1 2 3 4 n
12
∵点B ，B ，B ，B ，B 在反比例函数y= (x>0)的图象上，
1 2 3 4 n x
( 12) ( 12) ( 12) ( 12) ( 12 )
∴B 4, ，B 6, ，B 8, ，B 10, ，B 2n+2, ，
1 4 2 6 3 8 4 10 n 2n+2
12 12 12
∴A B =6− ，A B =6− ，A B =6− ，
1 1 4 2 2 6 n n 2n+2
12 1 11
∴当n=11时，A B =6− =6− = ．
11 11 2×11+2 2 2
故选：A．
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y
轴上，OA=15，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到OA'D，若反比例
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k
函数y= (k≠0)的图象经过A'点，则k的值为（ ）
x
A．54 B．108 C．48 D．27
【答案】B
【分析】过A'作EF⊥OC于F，交AB于E，设A(m,n),OF=m,AF=n，通过证明△A'OF∽△DA'E，
m n 15
得到 = = =3，解方程组求得m与n的值，即可得到A'的坐标进而得到反比例函数中k的值．
15−n m−5 5
【详解】解：如图所示，过A'作EF⊥OC于F，交AB于E，
则四边形AOFE是矩形，
∴AO=FE=15,AE=OF，
由折叠性质以及正方形性质可得：∠OAD=∠OA'D=90°,OA=OA'=15,AD=A'D，
∴∠OA'F+∠DA'E=90°，
∵∠OA'F+∠A'OF=90°，
∴∠A'OF=∠DA'E，
∵∠A'FO=∠DE A'
∴△A'OF∽△DA'E，
设A' (m,n)，
∴OF=AE=m,A'F=n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA=15，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
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∴AD=5=A'D,BD=10,DE=m−5,A'E=15−n，
∵△A'OF∽△DA'E，
OF A'F OA' m n 15
∴ = = ，即 = = =3，
A'E DE A'D 15−n m−5 5
解得：m=9,n=12．经检验符合题意；
∴A'(9,12)，
∴反比例函数中k=xy=108，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图
像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得A'的坐标是解决本题的关键．
k
6．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x>0）的图象与边长是6的正
x
方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点.
（1）若点N是BC的中点，则k= ；
（2）已知△OMN的面积为16，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 .
【答案】 18 4√5
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确
求出M、N的坐标是解题的关键．
（1））由正方形的边长是6和中点，得到点N的坐标为(3,6)，利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐
标，作M关于x轴的对称点M'，连接N M'交x轴于点P，则N M'的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理
即可得到结论．
【详解】解：（1）∵正方形OABC的边长是6，点N是BC的中点，
∴点N的坐标为(3,6)，
k
∴6= ，即k=18；
3
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（2）
∵正方形OABC的边长是6，
( k) (k )
∴M 6, ，N ,6 ，
6 6
k k
∴BN=6− ，BM=6− ，
6 6
∵△OMN的面积为16，
1 k 1 k 1 ( k) 2
∴6×6− ×6× − ×6× − × 6− =16，
2 6 2 6 2 6
∴k=12或−12（舍去），
∴M(6,2)，N(2,6)，作M关于x轴的对称点M'，连接N M'交x轴于点P，则N M'的长=PM+PN的最小
值，
∵AM=AM'=2，
∴BM'=8，又BN=4，
∴N M'=√BM'2+BN2=√82+42=4√5，即PM+PN的最小值为4√5.
m
7．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A(−3,4)在反比例函数y= 的图像上，点B在反比例函数
x
n
y= (n<0,x<0)的图像上，点C在x轴上，且四边形ABCO为菱形．将菱形ABCO沿y轴向上平移，使点
x
m
C落在反比例函数y= 的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ．
x
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128
【答案】
25
【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长BA交y轴
m
于H，将菱形ABCO沿y轴向上平移得到菱形FGDE，则点D落在反比例函数y= 的图像上，延长CD交
x
AB于N，由菱形ABCO沿y轴向上平移得到菱形FGDE，可得BA⊥y轴，CD⊥AB，
m
OA=AB=BC=CO=DE=EF=FG=GD，CD∥BC，由点A(−3,4)在反比例函数y= 的图像上，可
x
12 ( 12) MN DN
得y=− ，BN=AH=3，CN=OH=4，C(−5,0)，D −5, ，再由CD∥BC，得到 = ，
x 5 BN CN
6
求出MN= ，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为DN⋅AM．
5
【详解】解：延长BA交y轴于H，将菱形ABCO沿y轴向上平移得到菱形FGDE，则点D落在反比例函数
m
y= 的图像上，延长CD交AB于N，则
x
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∵菱形ABCO沿y轴向上平移得到菱形FGDE，
∴BA⊥y轴，CD⊥AB，OA=AB=BC=CO=DE=EF=FG=GD，CD∥BC，
∴四边形COHN是矩形，
∴CN=OH，OC=NH，
∴BN=AH，
m
∵点A(−3,4)在反比例函数y= 的图像上，
x
m
∴4= ，
−3
解得m=−12，
12
∴反比例函数y=− ，
x
∵A(−3,4)，
∴BN=AH=3，CN=OH=4，
∴OA=AB=BC=CO=DE=EF=FG=GD=√32+42=5，
∴B(−8,4)，C(−5,0)，
12 12 12
当x=−5时，y=− =− = ，
x −5 5
( 12)
∴D −5, ，
5
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12 8
∴DN=4− = ，
5 5
∵CD∥BC，
MN DN
∴ = ，
BN CN
8
6
∴MN 5，解得MN= ，
= 5
3 4
6 16
∴AM=MN+AN=MN+NH−AH= +5−3= ，
5 5
8 16 128
∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为DN⋅AM= × = ，
5 5 25
128
故答案为： ．
25
8．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含45°角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点
4
O重合，点B在x轴上，点A在函数y= (x>0)的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到△OA'B'的位置，
x
4 k
使得点B'恰好也在函数y= (x>0)的图象上，此时点A'落在函数y= 上的图象上，则k的值为 ．
x x
【答案】−2√3
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作AC⊥OB于点C，设AC=m,则OC=m,得A(m,m)，
4
代入y= ，求出m=2,过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，证明△B'DA'≌△A'EO,
x
作B'G⊥x轴于点G，得x y =4,设B'(a,b)，求出¿，设A'(p,q)，求得¿，得A'(−√2，√6)，故可求
B' B'
出k的值．
【详解】解：作AC⊥OB于点C，
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∵△OAB是等腰直角三角形，
1
∴AC= OB=OC=BC，
2
设AC=m,则OC=m，
∴A(m,m)，
4
∵点A在y= 上，
x
∴m2=4，
∴m=±2，
∵m>0，
∴m=2，
∴OC=AC=2，
∴OA=√AC2+OC2=2√2, OB=2OC=4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'=A'B', ∠OA'B'=90°，
∴∠OA'E+∠DA'B'=90°,∠OA'E+∠A'OE=90°，
∴∠DA'B'=∠A'OE，
又∠B'DA'=∠A'EO=90°，
∴△B'DA'≌△A'EO(AAS)，
∴A'E=B'D,A'D=OE，
作B'G⊥x轴于点G，
4
∵B'点在y= 上，
x
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∴x y =4，
B' B'
设B'(a,b)，
∴ab=4，
∵OB'=OB=4,OG2+B'G2=OB'2，
∴a2+b2=42=16，
∴(a+b) 2=a2+b2+2ab=16+2×4=24，(a−b) 2=a2+b2−2ab=16−2×4=16−8=8，
∵a>0,b>0,且b>a，
∴¿，
解得，¿，
∴B'(√6+√2,√6−√2)，
设A'(p,q)，
∴A'E=q,B'D=x −x =√6−√2−p，
B' A'
∴√6−√2−p=q①，
∴p+q=√6−√2，
同理可得q−p=√6+√2②，
由①②得¿，
∴A'(−√2,√6)，
∴k=−√2×√6=−2√3，
故答案为：−2√3．
9．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解
阅读下列材料，并完成相应任务．
函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次
函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数
的性质．下面是研究三大函数图象沿y轴向下平移的特征．
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y=3x−3 x y
一次函数图象的平移：如图①，一次函数 分别与 轴， 轴
交于点A，B，将直线AB沿y轴向下平移3个单位，分别与x轴，y轴交于点D，C．
分别将x=0，y=0代入y= 3x−3，求得A(1,0)，B(0,−3)，则OA=1，OB=3，
由平移的性质得AB∥CD，BC
=3，∴∠ABO=∠DCO，C(0,−6)．∵∠AOB=∠DOC，∴△ABO∼△DCO
OA OB
．∴ = ．∵OA=1，OB=3，OC=6，∴OD=2．∴D(2,0)．设直线CD的
OD OC
函数表达式为y=kx+b(k≠0)，分别将D(2,0)，C(0,−6)代入y=kx+b(k≠0)，解得
k=3，b =−6．直线CD的函数表达式为y=3x−6．
猜想1：将直线l ：y =kx+b(k≠0)沿y轴向下平移m个(m>0)单位后，所得直线l 的
1 1 2
函数表达式为：y =kx+b−m(k≠0，m>0)．
2
证明1：设点P(c，d)为l 上的任意一点，沿y轴向下平移m个单位后的对应点为
1
Q(c,d−m)，将x=c代入y =kx+b−m，得y =kc+b−m，∵点P(c,d)为l 上的
2 2 1
点，∴d=kc+b，∴kc=d−b，∴y =d−b+b−m=d−m，∴点Q(c,d−m)在直线
2
y =kx+b−m上．
2
结论1：猜想正确．
二次函数图象的平移：
猜想2：将二次函数y =ax2(a≠0)的图象沿y轴向下平移m(m>0)个单位后，所得二次
1
函数的函数表达式为：y =ax2−m (a≠0,m>0)
2
证明2：．．．
反比例函数图象的平移：
．．．
任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________：
任务二：请完成猜想2的证明；
3
y=2 y= (x>0) A
x
任务三：如图②，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，将反比例函
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3
数y= (x>0)的图象沿y轴向下平移2个单位后与直线y=2交于点B，直接写出线段AB的长．
x
3
【答案】[任务一]函数思想；[任务二] 证明见解析；[任务三] AB=
4
【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性
质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．
[任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可；
[任务二]设点P(n,t)是函数y =ax2(a≠0)上的一点，点Q是函数平移后对应的点P，根据[任务一]中的方
1
法进行验证，即可；
3
[任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：y = −2，根据题意，求出点A，点B的坐标，
2 x
即可求出AB的值．
【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想；
故答案为：函数思想；
[任务二]设点P(n,t)是函数y =ax2(a≠0)上的一点，沿y轴向下平移m个单位后对应点Q(n,t−m)，
1
当x=n时，y =an2 ，
1
∵点P(n,t)为y =ax2(a≠0)上的点，
1
∴t=an2，
∴t−m=an2−m，
∴点Q(n,t−m)在函数y 上，
2
∴平移后的表达式为：y =ax2−m(a≠0,m>0)；
2
3
[任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：y = −2，
2 x
3
∵直线y=2与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，
x
3
∴2= ，
x
3
解得：x= ，
2
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(3 )
∴点A ,2 ，
2
∵平移后的函数与直线y=2交于点B，
3
∴2= −2，
x
3
解得：x= ，
4
(3 )
∴点B ,2 ，
4
3 3 3
∴AB= − = ．
2 4 4
10．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过Rt△ABC的两个顶点，则函
数R是Rt△ABC的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，且
1 1 2 2
y −y
x <x ，当自变量x满足x ≤x≤x 时，此时函数R的最大值记为y ，最小值记为y ,h= max min，则
1 2 1 2 max min 2
称h是Rt△ABC的“DX”值．
已知：在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB=90°,BC∥y轴．
(1)如图，若点C的坐标为(1,1)，AC=BC=4．
①一次函数y =−x+6是Rt△ABC的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出Rt△ABC的“DX”值；
1
若不是，请说明理由．
k
②是否存在反比例函数y = (k≠0)是Rt△ABC的“勾股函数”？若存在，求出k的值；若不存在，说明
2 x
理由．
(2)若点A的坐标为(2,2)，点B的坐标为(1,m)，二次函数y =x2+bx+c是Rt△ABC的“勾股函数”
3
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①若二次函数y =x2+bx+c经过A,C两点，求Rt△ABC的“DX”值．
3
1
②若二次函数y =x2+bx+c经过A, B两点，且Rt△ABC的“DX”值h= m2 ，直接写出m的值．
3 16
【答案】(1)（1）①一次函数y =−x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，2；②5
1
1
(2)①存在，h= ；②m的值为4或−4−4√2或6−3√2
8
【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，明确题意，
合理分类讨论是解题的关键．
（1）①先求出A、B的坐标，然后根据Rt△ABC的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质
求出y ， y ，最后根据Rt△ABC的“DX”定义求解即可；
max min
②根据Rt△ABC的“勾股函数”的定义判断即可；
（2）①先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出y 的解析式，根据二次函数的性质求出y ， y ，
3 max min
最后根据Rt△ABC的“DX”定义求解即可；
②先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即m>2，（i）当点B和点A在对
称轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即2<m<3；第二种情况，点B在点A下方，即m<2，
m+1
（i）当点B和点A在对称轴右侧，即 ≤1，解得m≤1；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即
2
1<m<2，讨论即可．
【详解】（1）解：①一次函数y =−x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，
1
由∠ACB=90°，BC∥y轴，点C坐标为(1,1)，AC=BC=4，可得：
点A的坐标为(5,1)，点B的坐标为(1,5)，
∵(5,1)和(1,5)这两点都在直线y =−x+6上，
1
∴一次函数y =−x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，
1
∵−1<0，
∴一次函数y =−x+6的函数值y随x的增大而减小，
1
∴当1≤x≤5时，y =5，y =1，
max min
5−1
∴h= =2，
2
∴Rt△ABC的“DX”值为2；
②存在，理由如下：
∵点A的坐标为(5,1)，点B的坐标为(1,5)，
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∴1×5=5×1=5，
5
∴点A和点B在同一个反比例函数y = 图象上，
2 x
5
∴反比例函数y = 是Rt△ABC的“勾股函数”，且k=5；
2 x
（2）解：①∵点A的坐标为(2,2)，点B的坐标为(1,m)，∠ACB=90°，BC∥y轴，
∴C(1,2)，
∵二次函数y =x2+bx+c经过A，C两点，
3
∴¿，
解得：¿，
∴y =x2−3x+4= ( x− 3) 2 + 7 ，
3 2 4
| 3| | 3|
∵1≤x≤2， 1− = 2− ，
2 2
∴当x=1或2时，函数y 有最大值为y =2，
3 max
3 7
当x= 时，函数y 有最小值为y = ，
2 3 min 4
7
2− 1
∴ 4 1，即Rt△ABC的“DX”值为 ；
h= = 8
2 8
②∵二次函数y =x2+bx+c经过A，B两点，
3
∴将A(2,2)，B(1,m)代入y =x2+bx+c得：¿，
3
解得：¿，
∴y =x2−(m+1)x+2m，
3
−(m+1) m+1
∴抛物线的对称轴为直线x=− = ，
2 2
由y =x2−(m+1)x+2m= ( x−
m+1) 2
+
−m2+6m−1
，
3 2 4
(m+1 −m2+6m−1)
∴顶点坐标为： , ，
2 4
第一种情况，点B在点A上方，即m>2，
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m+1
（i）当点B和点A在对称轴左侧，即 ≥2，解得m≥3，
2
此时y 随x的增大而减小，
3
∴y = y =m，y = y =2，
max B min A
m−2
∴h= ，
2
1 m−2
∴
m2=
，
16 2
解得：m =m =4，
1 2
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即2<m<3，
此时y 最大，顶点y值最小，
B
−m2+6m−1
m−
∴ 4 ，
h=
2
−m2+6m−1
m−
∴ 1 4 ，
m2=
16 2
解得：m =2+√2，m =2−√2，
1 2
∵2<m<3，
∴m ，m 都舍掉；
1 2
第二种情况，点B在点A下方，即m<2，
m+1
（i）当点B和点A在对称轴右侧，即 ≤1，解得m≤1，
2
此时y 随x的增大而增大，
3
∴y = y =2，y = y =m，
max A min B
2−m
∴h= ，
2
1 2−m
∴
m2=
，
16 2
解得：m =−4+4√2，m =−4−4√2，
1 2
∵m≤1，
∴m=−4−4√2；
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即1<m<2，
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此时y 最大，顶点y值最小，
A
−m2+6m−1
2−
∴ 4 ，
h=
2
−m2+6m−1
2−
∴ 1 4 ，
m2=
16 2
解得：m =6+3√2，m =6−3√2，
1 2
又1<m<2，
∴m=6−3√2；
综上所述，m的值为4，−4−4√2，6−3√2．
11．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】
下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究．
（1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD<2AB时（如图1），线段CD__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
②当CD=2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图
2）．此时，∠ADC的度数是__________．
③当CD>2AB时，线段CD__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
【问题解决】
k
（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y= (x>0)的图象，第一象限的角平分线交图象于
x
点A，弯道内侧的顶点B在射线OA上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，OA=2m，AB=4m．用
矩形PQMN模拟汽车，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯
道．若PQ=bm，PN=2m，要使矩形PQMN能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：√2≈1.4，
√3≈1.7）
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【答案】（1）①能，②45°，③不能；（2）6
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键．
（1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
②过点B作BM⊥AD,BF⊥AC，交于点M,F，证明△ABF≌△ABM，即可求得∠BAD=45°，即可
解答；
③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
（2）过点A作A A'⊥x轴于点A'，求得点A坐标，即可求得反比例函数解析式，过点G作GG'⊥x轴于点
G'，即可求得直线MN的解析式，列方程，求得M,N的坐标，即可求得MN的长，即可解答．
【详解】解：（1）①如图，当CD=2AB时，线段CD恰好不能通过直角弯道，
当CD<2AB时，线段CD能通过直角弯道，
故答案为：能；
②如图，过点B作BM⊥AD,BF⊥AC，交于点M,F，
∵BM⊥AD,BF⊥AC
，
∴∠BFA=∠BMA=90°，
∵线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，
∴BF=BM，
∵AB=AB，
∴△ABF≌△ABM(HL)，
∴∠FAB=∠MAB，
由题意可得∠FAM=90°，
∴∠BAM=45°，
∵当CD=2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，
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∴BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=45°，
故答案为：45°；
③根据①可得，当CD>2AB时，线段CD不能通过直角弯道，
故答案为：不能；
解：（2）如图，过点A作A A'⊥x轴于点A'，
∵第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线OA上，
∴∠BOA'=45°，
∴△AOA'为等腰直角三角形，
∵OA=2m，
2
∴OA'=A A'= =√2m，
√2
∴A(√2,√2)，
k k
把A(√2,√2)代入y= ，可得√2= ，
x √2
解得k=2，
2
∴反比例函数的解析式为y= (x>0)，
x
设直线AB与MN的交点为G，则BG=PN=2m，
过点G作GG'⊥x轴于点G'，
则OG=OA+AG=BG+AG=AB=4m，
4
∴GG'=OG'= =2√2m，
√2
∴G(2√2,2√2)，
根据（1）中可得MN与x轴的夹角为45°，
故可设直线MN的解析式为y=−x+b ，
1
把G(2√2,2√2)代入可得2√2=−2√2+b❑❑，
1
解得b =4√2，
1
∴直线MN的解析式为y=−x+4√2，
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2
令 =−x+4√2，
x
解得x=2√2±√6，
经检验，x=2√2±√6是原方程的解，
∴M(2√2−√6,2√2+√6),N(2√2+√6,2√2−√6),
∴MN=√(−2√6) 2+(2√6) 2=4√3，
∵6<4√3<7，
∴要使矩形PQMN能通过该弯道，b的最大整数值为6．
193