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2025年中考数学一轮复习
第15讲 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数y＝ax和函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
3．甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往B地，运动过程中甲、乙两人离B地的距离y（km）与出发
时间t（h）的关系如图所示，则甲到达B地时两人相距（ ）
A．20km B．30km C．40km D．50km
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标
为(6，2√3)，将平行四边形 OABC 沿着直线 OC 翻折，得到四边形 OA'B'C，若直线 l 把六边形
OABCB′A′的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
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√3 √3
A．y=√3x或y=− x+2√3 B．y=2√3x或y=− x+2√3
3 3
√3 12√3
C．y=2√3x或y=− x+ D．y=√3x或y=−√3x+2√3
5 5
2 2
5．如图，直线y＝kx（k≠0）与y= x+4在第二象限交于点A，直线y= x+4分别交x轴、y轴于B，
3 3
{ kx−y=0
C两点．S△ABO ：S△ACO ＝1：2，则方程组
2x−3 y+12=0
的解为（ ）
{x=−2
{x=−3
A． 2 B．
y= y=2
3
3
{x=−4 {x=−
4
C． 4 D．
y= 3
3 y=
2
6．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图
象大致是（ ）
A． B．
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C． D．
1 1
7．如图，三次函数 f ：y=− x3+ x2+x−1的图象与x轴有3个交点，分别是（﹣3，0），（1，
0 9 9
0），（3，0），请同学们根据所学过的函数知识进行判断①当y＞0时，1＜x＜3；②当x＜3时，y有
最小值；③若点P（m，m﹣1）在函数f 的图象上，则m的取值只有一个；④将函数f 的图象向左平移
0 0
1个或3个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早 1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人
沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220
米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象，下列说法：
①小明家与小亮家距离为540米；
②小亮比赛前的速度为120米/分；
③小明出发7分钟时，两人距离为80米；
④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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9．一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜x 时，有y ＜y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
那么m的取值范围是（ ）
1 1
A．m＜9 B．m＜ C．m＞0 D．m＞
9 9
二．填空题（共5小题）
11．已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … c c+1 c+2 …
y … n ﹣n2﹣n﹣2 m …
则m n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．当x≥0时，对于x的每一个值，关于x的一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的值都小于一次函数y＝3x﹣1
的值，则k的所有整数值为 ．
{ x+1(x≥0)
13．已知函数y = ，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范
−x−1(x＜0)
围是 ．
14．如图，一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成
正比，弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是
．
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15．如图，平面直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．经过这三个点中每两个点
的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式 y ＝k x+b ，y ＝k x+b ，y ＝k x+b ，分别计算k +b ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1
k +b ，k +b 的值，其中最小的值等于
2 2 3 3
三．解答题（共5小题）
16．学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本（m为整数），且A种图书的数
1
量不超过B种图书的 ．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：
3
1
购买A种图书的单价y （元/本）关于购买数量x的函数关系为y =− x+15(0≤x≤64且x为整数），
1 1 8
若购买数量超过 64本，则所购全部图书的单价与购买 64本时的单价相同；购买 B种图书的单价 y
2
1
（元/本）关于购买数量x的函数关系为y =− x+20（0≤x≤100且x为整数），若购买数量超过100
2 10
本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
（1）若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
（2）求m的取值范围；
（3）设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最
低费用为多少？
17．快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第x h时，快、慢两车离甲
地的距离分别为y km，y km，当x＝3时，慢车到达乙地．y ，y 与x之间的函数关系如图所示．
1 2 1 2
（1）甲、乙两地相距 km，快车比慢车晚出发 h．
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（2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
（3）若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，
该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y （km）与x之间的函数图象．
3
18．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，1）．
（1）求该函数的解析式；
1
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+ 的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，当x＜﹣1时，
2
1
对于x的每一个值，函数y＝mx+ 的值小于0，直接写出m的值．
2
19．现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停
留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/h的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程y（km）与时
间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶时的速度是 km/h，m＝ h；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
20．如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离 d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃
长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一拃长d（cm） 16 17 18 19
身高h（cm） 162 172 182 192
（1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式；
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（2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？
（3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？
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2025年中考数学一轮复习之一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象，分a＞0和a＜0两种情况分类讨论进行解题即可．
【解答】解：当a＞0时，一次函数图象经过一、三、四象限，
当a＜0时，一次函数图象经过一、二、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数的性质是关键．
2．若函数y＝ax和函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】D
【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax在直线y＝bx+c上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察函数图象得x＞1时，ax＞bx+c，
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所以关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之
间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
3．甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往B地，运动过程中甲、乙两人离B地的距离y（km）与出发
时间t（h）的关系如图所示，则甲到达B地时两人相距（ ）
A．20km B．30km C．40km D．50km
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出乙的速度，然后即可计算出甲的速度，从而可以得到甲到
达B地的时间，进而可以求得甲到达B地时两人的距离．
【解答】解：由图可知，乙的速度为60÷10＝6（km/h），
甲的速度为：6+（80﹣60）÷2＝16（km/h），
甲到达B地的时间为：80÷16＝5（h），
则甲到达B地时两人相距：6×（10﹣5）＝30（km），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用树形结合的思想解答．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标
为(6，2√3)，将平行四边形 OABC 沿着直线 OC 翻折，得到四边形 OA'B'C，若直线 l 把六边形
OABCB′A′的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
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√3 √3
A．y=√3x或y=− x+2√3 B．y=2√3x或y=− x+2√3
3 3
√3 12√3
C．y=2√3x或y=− x+ D．y=√3x或y=−√3x+2√3
5 5
【考点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠
问题）；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】利用平行四边形是中心对称图形，两个平行四边形对角线交点的连线平分六边形面积，两个平
行四边形的对称轴也平分六边形面积分类计算得出解析式．
【解答】解：连接OB，OB的中点为M，OB′的中点为N，过D点作BQ⊥x轴，垂足为Q，点B坐标为
（6，2√3），
BQ 2√3
∴AQ＝6﹣4＝2， = =√3，∠BAQ＝∠COA＝60．
AQ 2
根据翻折的性质可知，对角线OB翻折后，B′落在y轴上．
在Rt△OBQ中，OB=√OQ2+BQ2=√62+(2√3) 2=4√3，
∴OB′＝OB＝4√3，
∴N（0，2√3），由中点坐标公式得：
x +x 0+6
x = O B= =3，
M
2 2
y + y 0+2√3
y = O B= =.√3，
M
2 2
∴M（3，√3），
设MN所在直线解析式为y＝kx+b，代入MN坐标得：
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{ √3
{ b=2√3 k=−
，解得 3 ，
3k+b=√3
b=2√3
√3
∴MN所在直线解析式为：y=− x+2√3．
3
∴平行四边形是中心对称图形，过MN的直线平分六边形OABCB′A′的面积．
②由对折的性质可知，直线OC也平分六边形OABCB′A′的面积，
∵过C作CP垂直于x轴，垂足为点P，在Rt△OPC中，CP＝BQ＝2√3，∠COB＝60°，
∴OP＝2，
∴点C的坐标为（2，2√3），设OC所在直线解析式为：y＝kx，代入点的坐标得k=√3，
∴OC所在直线解析式为：y=√3x，
√3
综合分析平分六边形OABCB′A′的面积的直线是y=√3x和y=− x+2√3．
3
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边的中心对称性质，用待定系数法求出两条平分面积的直线解析式是本题的
关键．
2 2
5．如图，直线y＝kx（k≠0）与y= x+4在第二象限交于点A，直线y= x+4分别交x轴、y轴于B，
3 3
{ kx−y=0
C两点．S△ABO ：S△ACO ＝1：2，则方程组
2x−3 y+12=0
的解为（ ）
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{x=−2
{x=−3
A． 2 B．
y= y=2
3
3
{x=−4 {x=−
4
C． 4 D．
y= 3
3 y=
2
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】作AH⊥x轴于H，如图，先利用直线AB的解析式确定C点坐标得到OC＝4，再根据三角形面积
4 4
公式得到AB：AC＝1：2，再根据平行线分线段成比例定理计算出AH= ，从而得到A（﹣4， ），然
3 3
后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，如图，
2
当x＝0时，y= x+4＝4，则C（0，4），
3
∵S△ABO ：S△ACO ＝1：2，
∴AB：AC＝1：2，
∵AH∥OC，
AH BA 1
∴ = = ，
OC BC 3
1 4
∴AH= ×4= ，
3 3
4 2 4
当y= 时， x+4= ，
3 3 3
解得x＝﹣4，
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4
∴A（﹣4， ），
3
{x=−4
{ kx−y=0
∴方程组 的解为 4 ．
2x−3 y+12=0 y=
3
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解答本题的关键要明确方程组的解就是两个相应
的一次函数图象的交点坐标．
6．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】D
【分析】由于正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，可得k＜0，然后，判断一次函数y＝
kx+k的图象经过象限即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，
k＜0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，图象过一、二、
三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b
＜0时，图象过二、三、四象限．
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1 1
7．如图，三次函数 f ：y=− x3+ x2+x−1的图象与x轴有3个交点，分别是（﹣3，0），（1，
0 9 9
0），（3，0），请同学们根据所学过的函数知识进行判断①当y＞0时，1＜x＜3；②当x＜3时，y有
最小值；③若点P（m，m﹣1）在函数f 的图象上，则m的取值只有一个；④将函数f 的图象向左平移
0 0
1个或3个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；几何直观．
【答案】B
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可知，y＞0时，1＜x＜3或x＜﹣3，故①错误；
由图象可得，当x＜3时，函数图象有最低点，即y有最小值，故②正确；
点P（m，m﹣1）在直线y＝x﹣1上，而y＝x﹣1与函数f 的图象有（1，0），（0，﹣1）两个交点，
0
∴若点P（m，m﹣1）在函数f 的图象上，则m的取值有2个，故③错误；
0
由函数f 的图象经过（1，0），（3，0）知，将函数f 的图象向左平移1个或3个单位长度，函数图象经
0 0
过原点，故④正确；
∴正确的结论有②④，共2个；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是数形结合思想的应用．
8．小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早 1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人
沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220
米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象，下列说法：
①小明家与小亮家距离为540米；
②小亮比赛前的速度为120米/分；
③小明出发7分钟时，两人距离为80米；
④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．
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其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【答案】D
【分析】根据函数图象可以求出小明比赛前的速度为（540﹣440）÷1＝100米/分，甲乙两家的距离为540
米，根据速度×时间＝路程就可以求出小亮在比赛前的速度与220比较久可以确定是否发生变化，根据比
赛时甲乙的速度关系就可以求出比赛2分钟时甲乙的距离，⑤先求出14分钟时小亮在小明前面的距离，
再由相遇问题就可以求出结论．
【解答】解：由函数图象及题意，得
①小明与小亮家相距：540米；故①正确；
②小亮比赛前的速度，由2×（v +v ）＝440，得v ＝120m/min；故②正确；
1 2 2
③小明离家7分钟时两人之间的距离为：（7﹣5）（220﹣180）＝80米；故③正确；
④小亮从家出门跑了14分钟后两人之间的距离为：（15﹣5）（220﹣180）＝400米，
小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）＝1分钟，故④正确；
∴正确的个数有4个．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据函数方程、函数图象和实际结合进行分析，同学们应注重
这方面能力的培养．
9．一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（ ）
A． B．
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C． D．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得
k•b的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，
故此选项不可能；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，
故此选项不可能；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，一致，
故此选项有可能；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，
故此选项不可能；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
10．已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜x 时，有y ＜y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
那么m的取值范围是（ ）
1 1
A．m＜9 B．m＜ C．m＞0 D．m＞
9 9
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
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【解答】解：∵当x ＜x 时，有y ＜y ，
1 2 1 2
∴9m﹣1＞0，
1
解得m＞ ．
9
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … c c+1 c+2 …
y … n ﹣n2﹣n﹣2 m …
则m ＜ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】＜．
【分析】将n，﹣n2﹣n﹣2作差后，可得出n＞﹣n2﹣n﹣2，即y随x的增大而减小，结合c＜c+2，即可
得出m＜n．
【解答】解：n﹣（﹣n2﹣n﹣2）＝n2+2n+2＝（n+1）2+1，
∵（n+1）2≥0，
∴（n+1）2+1＞0，即n＞﹣n2﹣n﹣2，
∴y随x的增大而减小，
又∵当x＝c时，y＝n；当x＝c+2时，y＝m，且c＜c+2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，作差后，找出y随x的增大而减
小是解题的关键．
12．当x≥0时，对于x的每一个值，关于x的一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的值都小于一次函数y＝3x﹣1
的值，则k的所有整数值为 2 或 3 ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】2或3．
【分析】当x＝0时，y＝3x﹣1＝﹣1，把（0，﹣1）代入y＝kx﹣k得k＝1，即可得1＜k≤3，从而得到答
案．
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【解答】解：当x＝0时，y＝3x﹣1＝﹣1，
把（0，﹣1）代入y＝kx﹣k得：﹣1＝﹣k，
解得k＝1，
∵当x≥0时，对于x的每一个值，关于x的一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的值都小于一次函数y＝3x﹣1的
值，
∴1＜k≤3，
∴k可取的整数为2或3；
故答案为：2或3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出k的取值范围．
{ x+1(x≥0)
13．已知函数y = ，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范
−x−1(x＜0)
1
围是 ﹣ 1 ＜ a≤− ．
2
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
1
【答案】﹣1＜a≤− ．
2
【分析】通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
【解答】解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2），
∴无论a取何值，恒过（2，0），
∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转，
作出题中所含两个函数图象如下：
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1
经旋转可得：当﹣1＜a≤− 时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解．
2
1
故答案为：﹣1＜a≤− ．
2
【点评】本题考查数形结合，画出图象并分析是本题解题的关键．
14．如图，一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成
正比，弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是
22 ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】22．
【分析】根据函数图象中的数据，可以求出y与x的函数关系式，再将x＝6代入求出相应的y的值，即a
的值．
【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（0，10），（2，14）在该函数图象上，
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{ 10=b
∴
14=2k+b
{b=10
解得 ，
k=2
即y与x的函数关系式为y＝2x+10，
当x＝6时，y＝2×6+10＝22，
∴a＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出一次函数的解析式，利用数形结合的思想解
答．
15．如图，平面直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．经过这三个点中每两个点
的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式 y ＝k x+b ，y ＝k x+b ，y ＝k x+b ，分别计算k +b ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1
5
k +b ，k +b 的值，其中最小的值等于
2 2 3 3 3
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】待定系数法；一次函数及其应用；运算能力．
5
【答案】 ．
3
【分析】不妨设直线AB的函数表达式为y ＝k x+b ，直线BC的函数表达式为y ＝k x+b ，直线AC的函
1 1 1 2 2 2
数表达式为y ＝k x+b ，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出k ，b ，k ，b ，k ，b 的值，将其代入
3 3 3 1 1 2 2 3 3
k +b ，k +b ，k +b 中，比较后即可得出结论．
1 1 2 2 3 3
【解答】解：不妨设直线AB的函数表达式为y ＝k x+b ，直线BC的函数表达式为y ＝k x+b ，直线AC
1 1 1 2 2 2
的函数表达式为y ＝k x+b ，
3 3 3
{ 2=b
将A（0，2），B（2，3）代入y ＝k x+b 得： 1 ，
1 1 1 3=2k +b
1 1
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{ 1
k =
解得： 1 2，
b =2
1
1 5
∴k +b = +2= ；
1 1 2 2
{3=2k +b
将B（2，3），C（3，1）代入y ＝k x+b 得： 2 2，
2 2 2 1=3k +b
2 2
{k =−2
2
解得： ，
b =7
2
∴k +b ＝﹣2+7＝5；
2 2
{ 2=b
将A（0，2），C（3，1）代入y ＝k x+b 得： 3 ，
3 3 3 1=3k +b
3 3
{ 1
k =−
解得： 3 3，
b =2
3
1 5
∴k +b =− +2= ．
3 3 3 3
5 5
∵5＞ ＞ ，
2 3
5
∴其中最小的值等于 ．
3
5
故答案为： ．
3
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出k ，b ，k ，
1 1 2
b ，k ，b 的值是解题的关键．
2 3 3
三．解答题（共5小题）
16．学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本（m为整数），且A种图书的数
1
量不超过B种图书的 ．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：
3
1
购买A种图书的单价y （元/本）关于购买数量x的函数关系为y =− x+15(0≤x≤64且x为整数），
1 1 8
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若购买数量超过 64本，则所购全部图书的单价与购买 64本时的单价相同；购买 B种图书的单价 y
2
1
（元/本）关于购买数量x的函数关系为y =− x+20（0≤x≤100且x为整数），若购买数量超过100
2 10
本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
（1）若购买B种图书100本，则单价为 1 0 元/本；
（2）求m的取值范围；
（3）设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最
低费用为多少？
【考点】一次函数的应用；二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）代入x＝100，求出y 的值即可；
2
1
（2）根据购进A种图书的数量不超过B种图书的 ，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的
3
取值范围，再结合m≥0且m为整数，即可得出结论；
（3）利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问
题．
1
【解答】解：（1）当x＝100时，y =− ×100+20＝10，
2 10
∴若购买B种图书100本，则单价为10元/本．
故答案为：10；
（2）∵学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本（m为整数），
∴计划购进B种图书（200﹣m）本．
1
根据题意得：m≤ （200﹣m），
3
解得：m≤50，
又∵m≥0，
∴0≤m≤50．
答：m的取值范围为0≤m≤50且m为整数；
（3）∵0≤m≤50，
∴200﹣m≥150，
∴购买B种图书的单价为10元/本．
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1 1
根据题意得：w＝（− m+15）m+10（200﹣m）=− m2+5m+2000，
8 8
1
∴w=− （m﹣20）2+2050，
8
1
∵− ＜0，
8
∴当0≤m＜20时，w随m的增大而增大，当20≤m≤50时，w随m的增大而减小，
1
∴当m＝0时，w=− ×（0﹣20）2+2050＝2000；
8
1
当m＝50时，w=− ×（50﹣20）2+2050＝1937.5．
8
∵2000＞1937.5，
∴A种图书购买数量m为50时，支出费用w最低，最低费用为1937.5元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）代入x＝100，求出y 的值；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各
2
数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
17．快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第x h时，快、慢两车离甲
地的距离分别为y km，y km，当x＝3时，慢车到达乙地．y ，y 与x之间的函数关系如图所示．
1 2 1 2
（1）甲、乙两地相距 16 0 km，快车比慢车晚出发 1 h．
（2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
（3）若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，
该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y （km）与x之间的函数图象．
3
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）160，1；
（2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
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（3）画函数图象见解答过程．
【分析】（1）由图可知甲、乙两地相距160km；求出慢车的速度为40（km/h），可知快车出发时，慢车
行驶的时间为40÷40＝1（h），故快车比慢车晚出发1h；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶2h，即可得快车与慢车相遇时，两车距离甲
地80km；
4
（3）求出第三辆车的速度是1.5×80＝120（km/h）；可得第三辆车从乙地到甲地所需时间为 （h），故
3
5 5
当x= 时，第三辆车从乙地出发，即y （km）与x之间的函数图象过（ ，160）和（3，0），即可画出
3 3 3
函数图象．
【解答】解：（1）由图可知，甲、乙两地相距160km；
160−40
慢车的速度为 = 40（km/h），
3
由（0，40）可知，快车出发时，慢车行驶的时间为40÷40＝1（h），
∴快车比慢车晚出发1h；
故答案为：160，1；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶2h，
∵2×40＝80（km），
∴快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
（3）由（2）知，快车速度为80÷1＝80（km/h），
∴第三辆车的速度是1.5×80＝120（km/h）；
4
∴第三辆车从乙地到甲地所需时间为160÷120= （h），
3
4 5
∵3− = ，
3 3
5 5
∴当x= 时，第三辆车从乙地出发，即y （km）与x之间的函数图象过（ ，160）；
3 3 3
画出图象如下：
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【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
18．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，1）．
（1）求该函数的解析式；
1
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+ 的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，当x＜﹣1时，
2
1
对于x的每一个值，函数y＝mx+ 的值小于0，直接写出m的值．
2
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）y＝x﹣1；
1
（2） ．
2
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
1 1
（2）根据题意得到3m+ ≤3﹣1和﹣m+ ≤0，然后解不等式可确定m的值．
2 2
{k+b=0
【解答】解：（1）把A（1，0）和B（2，1）分别代入y＝kx+b得 ，
2k+b=1
{ k=1
解得 ，
b=−1
∴一次函数解析式为y＝x﹣1；
1
（2）∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx+ 的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
2
1
3m+ ≤3﹣1，
2
1
解得m≤ ，
2
1
∵当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+ 的值小于0
2
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1
∴﹣m+ ≤0，
2
1
解得m≥ ，
2
1
∴m= ．
2
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查
了一次函数的性质．
19．现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停
留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/h的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程y（km）与时
间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶时的速度是 8 0 km/h，m＝ 1. 5 h；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）80，1.5；
13
（2）y＝100x﹣60（1≤x≤ ）；
5
（3）甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
【分析】（1）根据函数图象可知当x＝0.5时，y＝40，根据路程除以时间得出甲车的速度；根据路程除
以乙的速度，得出m的值；
（2）待定系数法求即可求解；
（3）根据题意当y＝200时，代入（2）的解析式得出甲的用时，根据路程除以时间得出乙所用的时间，
求其差即可求解．
【解答】解：（1）根据函数图象可得当x＝0.5时，y＝40，
40
∴甲车停留前行驶时的速度是 =80km/h，
0.5
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∵乙车的速度为60km/h，
90
∴m= =1.5h，
60
故答案为：80，1.5．
（2）设y＝kx+b，把（1，40），（1.5，90）代入，
{ k+b=40
1.5k+b=90
{k=100
解得
b=−60
13
所以y＝100x﹣60．（1≤x≤ ）；
5
（3）当y＝200时，200＝100x﹣60，
13
甲用的时间：x= ．
5
200 10
乙用的时间： = ，
60 3
10 13 11
− = ，即44分钟．
3 5 15
答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
20．如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离 d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃
长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一拃长d（cm） 16 17 18 19
身高h（cm） 162 172 182 192
（1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式；
（2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？
（3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）h＝10d+2；
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（2）他的身高是170cm；
（3）他的一拃长d应是18.3cm．
【分析】（1）设h＝kd+b，用待定系数法可得身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2；
（2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170，故他的身高是170cm；
（3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2，d＝18.3，故他的一拃长d应是18.3cm．
【解答】解：（1）设h＝kd+b，
{16k+b=162
把（16，162），（17，172）代入得： ，
17k+b=172
{k=10
解得 ，
b=2
∴身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2；
（2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170，
∴他的身高是170cm；
（3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2，
解得d＝18.3，
∴他的一拃长d应是18.3cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
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考点卡片
1．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
2．一次函数的图象
b
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（− ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
k
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比
例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
4．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
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5．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
6．一次函数图象上点的坐标特征
b
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（− ，0）；
k
与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
8．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则
需要两组x，y的值．
9．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
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b
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（− ，0）．
k
b b
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞− ，不等式kx+b＜0的解为：x＜− ；
k k
b b
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜− ，不等式kx+b＜0的解为：x＞− ．
k k
10．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，
a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值，
从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程
（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
12．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
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次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
13．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
14．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
15．翻折变换（折叠问题） ⇒
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．
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3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为
x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾
股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
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