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2025年中考数学一轮复习
第14讲 函数基础知识
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，则该
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
1
2．对于函数y=x2+
的图象和性质，下列说法正确的有（ ）
x
①图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；②图象与y轴没有交点；③图象不经过第四象限；④当x
＞0时，y随着x的增大而增大．
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
3．“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为 a，喝不着
水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口 b处，乌鸦喝到了水．设
乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图
象是（ ）
A． B．
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C． D．
1
4．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，如max{2，3}＝3．若函数y＝max{1， （x＞0）}，则y与
x
x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图1，在△ABC中，点D是边AB的中点，动点E从点A出发，沿A→C→B运动，设点E运动的路
程为x，△BED的面积为y，y与x之间的函数图象如图2所示．有下列结论：①AC＝2；②△ABC的
1
面积为1；③当x＝3时，y= ．其中正确的有（ ）
2
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，
那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，
过点P分别作两坐标轴的平行线，分别与 x轴、y轴交于M、N两点，若M、N两点在x轴、y轴上分
别对应实数a、b，则有序实数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．如图2，在斜坐标系
xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，则x、y之间一定满
足的等量关系式为（ ）
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3 4 3 4
A．y=− x+3 B．y=− x+3 C．y=− x+3 D．y=− x+3
4 3 5 5
7．如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC
方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，
则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为
（﹣3.0），（﹣1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下：
①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；
②当x＞﹣3时，y有最小值；
③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；
④若点P（m，﹣m﹣1）是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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9．小星一家驾车前往某景点旅游，在行驶过程中，汽车离景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的
函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到景点的时间共用了3h
10．小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系
图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．当t＝41时，h＝15
B．在运动过程中过山车的最高高度为98米
C．当30＜t≤41时，过山车的高度在不断下降
D．在0≤t≤60范围内，过山车只有1次高度达到80米
二．填空题（共5小题）
√x+3
11．函数y= 中，自变量x的取值范围是
x
12．如图，在△ABC 中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠CAB＝60°．点 D 是边 BC 上一动点，过点 D 作
DE⊥ AB 于 点 E ， 设 AE ＝ x ， △ DEB 的 面 积 为 S ， 则 S 关 于 x 的 函 数 表 达 式 为
（不需要写出x的取值范围）．
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13．有一段长度为1m的金属滑块在笔直的轨道AB上滑动．如图，滑块沿AB方向从左向右匀速滑动，滑
动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，滑动到右端与点B重合时停止．设运动时间为t
（s）时，滑块左端离点 A的距离为l （m），右端离点 B的距离为l （m），记d＝l （m）﹣l
1 2 1 2
（m）．已知滑块在从左向右滑动的过程中，当t＝4s和t＝5s时，与之对应的d的两个值互为相反数
则d与t的函数关系式为 ．
14．已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车
到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信
息可知，乙到达A地的时间为 ．
15．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，
△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂
线与AC，CD分别相交于点E，F．
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小明根据学习函数的经验对线段BP，CE，CF的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CE，CF的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11
BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0
CE/cm 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0
CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0
在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为 （结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且CE＝CF时，BP＝ cm（结果
精确到0.1）．
17．如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的
A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距OA所
在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．
获得如下数据：
水平距离d/米 0 2 4 6 8
垂直高度h/米 4 13 8 17 8
2 2
请解决以下问题：
（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
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（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为
米；
（3）求h关于d的函数表达式；
1 5
（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：C ：h=− d2+ d+4，当第一次和第二次落地时到OA
2 6 3
的距离是d 、d ，且2≤d ﹣d ≤3时能成功完成空中动作，则该运动员 （填写“能”或“不
1 2 1 2
能”）完成空中动作．
18．你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别
是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．
排碳计算公式：
家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785
开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7
家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19
家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91
（1）设家居用电的二氧化碳排放量为y（kg），耗电量为x（kW•h），则家居用电的二氧化碳排放量
可以用关系式表示为 ；
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加 ；当耗电量从
1kW⋅h增加到100kW•h时，二氧化碳排放从 增加到 ；
（3）小明家本月家居用电大约110kW•h，天然气20m3，自来水5t，开私家车耗油75L，请你计算一下
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小明家这几项的二氧化碳排放量．
19．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点
P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2
所示．当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
20．已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数表达式为 ；
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
上面表格中m的值是 ；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点A（a，b）与点B（a+1，c）是该函数图象上的两点，试比较b和c的大小．
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2025年中考数学一轮复习之函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，则该
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
【分析】由点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，可得A与B关于y
轴对称；当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A（3，n），点B（﹣3，n），
∴A与B关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意；
∵A（3，n），点C（4，n+2）
∴当x＞时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
1
2．对于函数y=x2+
的图象和性质，下列说法正确的有（ ）
x
①图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；②图象与y轴没有交点；③图象不经过第四象限；④当x
＞0时，y随着x的增大而增大．
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
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1
【分析】令x2+ =0，可得x＝﹣1，据此可判断①；由x≠0可知图象与y轴没有交点，据此可判断
x
1
②；当x＞0时，x2+ ＞0，据此可得判断③；当x＞0时，y随着x的增大而减小，据此可判断④．
x
1
【解答】解：解方程x2+ =0，得x＝﹣1，所以图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），故①说法正确；
x
由x≠0可知图象与y轴没有交点，故②说法正确；
1
当x＞0时，x2+ ＞0，所以图象不经过第四象限，故③说法正确；
x
当x＞0时，y随着x的增大而减小，故④说法错误．
∴说法正确的有①②③．
故选：B．
1
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数y=x2+
的图象．
x
3．“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为 a，喝不着
水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口 b处，乌鸦喝到了水．设
乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
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【答案】A
【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水
位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断．
【解答】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面，
∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快，
∴A符合题意，B，C，D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数图象问题，理解题意是关键．
1
4．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，如max{2，3}＝3．若函数y＝max{1， （x＞0）}，则y与
x
x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据max{a，b}的意义分两种情况得出y的取值，即可求解．
1
【解答】解：∵max{a，b}表示a，b两数中较大的数，函数y＝max{1， （x＞0）}，
x
1
当0＜x≤1时， ≥1，
x
1 1
∴y＝max{1， （x＞0）}= （0＜x≤1），
x x
1
当x＞1时， ＜1，
x
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1
∴y＝max{1， （x＞0）}＝1（x＞1），
x
观察四个选项，只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象，理解max{a，b}的意义分两种情况得出y的取值是解题的关键．
5．如图1，在△ABC中，点D是边AB的中点，动点E从点A出发，沿A→C→B运动，设点E运动的路
程为x，△BED的面积为y，y与x之间的函数图象如图2所示．有下列结论：①AC＝2；②△ABC的
1
面积为1；③当x＝3时，y= ．其中正确的有（ ）
2
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】当点E在AC上时，由三角形中线的性质得到S△ADE ＝S△BDE ，过点E作EH⊥BA于H，则EH
＝AE•sinA＝x•sinA，则此过程中y随着x的增大而增大，由图2可知当x＝2时，y在0≤x≤2有最大
值1，即此时点E运动到了点C，即AC＝2，故①正确；根据三角形中线平分三角形面积可知②错误；
当x＝3时，此时点E为BC的中点，利用三角形中线平分三角形面积即可判断③正确．
【解答】解：∵在△ABC中，点D 是边AB的中点，
∴当点E在AC上时，S△ADE ＝S△BDE ，
过点E作EH⊥BA于H，则EH＝AE•sinA＝x•sinA，
1
∴y= x⋅sinA⋅AD，
2
∴此过程中y随着x的增大而增大，
由图2可知，当x＝2时，y在0≤x≤2有最大值1，即此时点E运动到了点C，即AC＝2，故①正确；
∴S△ACD ＝1，
∴S△ABC ＝2S△ACD ＝2，故②错误；
同理可知当x＝4时，点E运动到了点B，
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∴BC＝4﹣AC＝2，
当x＝3时，此时点E为BC的中点，
1
∴S = S =1，
△BAE 2 △ABC
又∵点D 是边AB的中点，
1 1
∴S = S = ，故③正确；
△BDE 2 △ABE 2
故选：B．
【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，掌握解直角三角形，三角形中线的性质是解题的关键．
6．我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，
那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，
过点P分别作两坐标轴的平行线，分别与 x轴、y轴交于M、N两点，若M、N两点在x轴、y轴上分
别对应实数a、b，则有序实数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．如图2，在斜坐标系
xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，则x、y之间一定满
足的等量关系式为（ ）
3 4 3 4
A．y=− x+3 B．y=− x+3 C．y=− x+3 D．y=− x+3
4 3 5 5
【考点】函数关系式；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】函数及其图象；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】过点P作PE∥y轴，交x轴于点E，作PF∥x轴，交y轴于点F，由点P的坐标，可得出OE
＝x，OF＝y，由PE∥y轴，PF∥x轴，可得出四边形OEPF是平行四边形，进而可得出 PF＝x，由
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CF PF 3
PF∥x轴，利用平行线分线段成比例，可得出 = ，代入各线段的长，即可得出y=− x+3．
CO BO 4
【解答】解：在图2中，过点P作PE∥y轴，交x轴于点E，作PF∥x轴，交y轴于点F，如图所示．
∵点P的坐标为（x，y），
∴OE＝x，OF＝y．
∵PE∥y轴，PF∥x轴，
∴四边形OEPF是平行四边形，
∴PF＝x．
∵PF∥x轴，
CF PF 3−y x
∴ = ，即 = ，
CO BO 3 4
3
∴y=− x+3．
4
故选：A．
【点评】本题考查了函数关系式、平行四边形的判定与性质以及平行线分线段成比例，利用平行线分
线段成比例，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
7．如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC
方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，
则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】A
【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB=√13，进而利用勾股定理得，AD2+BD2＝13，再由运动结
1
合△AMD的面积的变化，得出点M和点B重合时，△AMD的面积最大，其值为3，即 AD⋅BD=3，
2
进而建立方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC=2√13，
∵AB＝BC，
∴AB=√13，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝13①，
设点M到AC的距离为h，
1
∴S = AD⋅h，
△ADM 2
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△AMD的面积最大，即h＝BD，
由图2知，△AMD的面积最大为3，
1
∴ AD⋅BD=3，
2
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD2+BD2+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴（AD+BD）2＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB=√13和点M和点B重合
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时，△AMD的面积为3是解本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为
（﹣3.0），（﹣1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下：
①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；
②当x＞﹣3时，y有最小值；
③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；
④若点P（m，﹣m﹣1）是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】①②③通过观察函数图象观察判断即可；
④写出点P所在的函数的表达式，并画出图象，根据它们交点的个数即可得出答案．
【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，故①错误；
②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，故②正确；
③将该函数图象向右平移1个单位长度时，原图象上的坐标为（﹣1，0）的点过原点，
将该函数图象向右平移3个单位长度时，原图象上的坐标为（﹣3，0）的点过原点，
故③正确；
④令m＝x，y＝﹣m﹣1，
则y＝﹣x﹣1，
如图所示，y＝﹣x﹣1的图象与原图象有三个交点，
故④错误；
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所以正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，根据函数的图象分析其上坐标的特征是解题的关键．
9．小星一家驾车前往某景点旅游，在行驶过程中，汽车离景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的
函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离景点的路程为50km
B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km
D．小星从家到景点的时间共用了3h
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数图象得出的信息对4个选项进行分析．
【解答】解：根据图形与y轴交点坐标可得：小星家离景点的路程为200km，所以A说法不正确，不
符合题意；
（200﹣150）÷1＝50（km/h），小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，所以B说法不正确，不
符合题意；
由图象可得：小星从家出发2小时离景点的路程为75km，所以C说法不正确，不符合题意；
（150﹣75）÷（2﹣1）＝75（km/h），150÷75+1＝3（h），所以D说法正确，符合题意．
故选：D．
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【点评】此题考查了函数的图象，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信
息．
10．小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系
图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．当t＝41时，h＝15
B．在运动过程中过山车的最高高度为98米
C．当30＜t≤41时，过山车的高度在不断下降
D．在0≤t≤60范围内，过山车只有1次高度达到80米
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】D
【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A、结合图象，当t＝41时，h＝15，故该选项正确，不符合题意；
B、结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意；
C、当30＜t≤41时，过山车的高度在不断下降，故该选项正确，不符合题意；
D、在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值有3个，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为
点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
二．填空题（共5小题）
√x+3
11．函数y= 中，自变量x的取值范围是 x ≥﹣ 3 且 x ≠ 0
x
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
{x+3≥0
【解答】解：根据题意得： ，
x≠0
解得x≥﹣3且x≠0．
故答案为x≥﹣3且x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式
有意义，被开方数是非负数．
12．如图，在△ABC 中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠CAB＝60°．点 D 是边 BC 上一动点，过点 D 作
1
DE⊥AB于点E，设AE＝x，△DEB的面积为S，则S关于x的函数表达式为 S= x 2 ﹣（ 1 +√3 ） x + 2
2
+√3 （不需要写出x的取值范围）．
【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
1
【答案】S= x2﹣（1+√3）x+2+√3．
2
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，根据三角函数和等腰三角形的性质分别求出AF、BF，从而将BE
用含x的代数式表示出来，再根据三角形的面积公式计算S即可．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F．
∵∠AFC＝90，∠CAB＝60°，AC＝2，
1 √3
∴AF＝AC•cos∠CAB＝2× =1，CF＝AC•sin∠CAB＝2× =√3，
2 2
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝45°，∠BDE＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴BF＝CF=√3，BE＝DE，
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∴AB＝AF+BF＝1+√3，
∴BE＝DE＝AB﹣AE＝1+√3−x，
1 1 1
∴S= BE•DE= （1+√3−x）2= x2﹣（1+√3）x+2+√3．
2 2 2
1
故答案为：S= x2﹣（1+√3）x+2+√3．
2
【点评】本题考查函数关系式等，掌握三角函数、等腰三角形的性质和三角形的面积公式是解题的关
键．
13．有一段长度为1m的金属滑块在笔直的轨道AB上滑动．如图，滑块沿AB方向从左向右匀速滑动，滑
动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，滑动到右端与点B重合时停止．设运动时间为t
（s）时，滑块左端离点 A的距离为l （m），右端离点 B的距离为l （m），记d＝l （m）﹣l
1 2 1 2
（m）．已知滑块在从左向右滑动的过程中，当t＝4s和t＝5s时，与之对应的d的两个值互为相反数
则d与t的函数关系式为 d ＝ 1 8 t ﹣ 8 1 ．
【考点】函数关系式．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】d＝18t﹣81．
【分析】设AB的距离为a m，分别求出当t＝4时和t＝5时d的值，再根据相反数定义可列式求出a的
值，进而即可求出d与t的函数关系式．
【解答】解：设AB的距离为a m，
当t＝4时，d＝9×4﹣（a﹣9×4﹣1）＝73﹣a，
当t＝5时，d＝9×5﹣（a﹣9×5﹣1）＝91﹣a，
∵当t＝4s和t＝5s时，与之对应的d的两个值互为相反数，
∴73﹣a+（91﹣a）＝0，
∴a＝82，
∴d＝9t﹣（82﹣9t﹣1）＝18t﹣81．
故答案为：d＝18t﹣81．
【点评】本题考查了求一次函数解析式，掌握题意求出AB的距离是解题的关键．
14．已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车
到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信
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息可知，乙到达A地的时间为 8 ： 4 0 ．
【考点】函数的图象．
【专题】行程问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在走了 2千
1 1
米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5− ）小时，所以乙的速度为：2÷ ，求
3 6
出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出答案．
【解答】解：因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，
1
由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5− ）小时，
3
1 1
所以乙的速度为：2÷ =12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12= （时）＝20分，此时的时间应加
6 3
上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．
【点评】本题主要考查了函数图象的应用．做题过程中应根据实际情况和具体数据进行分析．本题应
注意乙用的时间和具体时间之间的关联．
15．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，
△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为 2 2 ．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】22．
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【分析】由图象上点（12，48）知CA＝12，且点P在点A时，△BCP的面积为48，连接BD交AC于
点M，则可求出BM和BD，利用勾股定理求出AD，得到a．
【解答】解：如图1，连接BD交AC于点M，
由图2知，AC＝12，且CP＝12时，△BCP的面积为48，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，且AM＝6，BM＝MD，
1 1
∴ ⋅AC⋅BM= ×12×BM=48，
2 2
∴BM＝8，
∴DM＝8，
∴AD＝10，
∴a＝CA+AD＝12+10＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，
要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解（12，48）的几何意义时关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂
线与AC，CD分别相交于点E，F．
小明根据学习函数的经验对线段BP，CE，CF的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CE，CF的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11
BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0
CE/cm 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0
CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0
在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定 BP 的长度是自变量， CE 的长度和 CF 的长度
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都是这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为 2. 2 （结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且CE＝CF时，BP＝ 1.9 cm（结果精
确到0.1）．
【考点】动点问题的函数图象；三角形中位线定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形
的判定与性质．
【专题】函数及其图象．
【答案】（1）BP，CE，CF；
（2）①2.2，②见解析；
（3）1.9．
【分析】（1）由函数的定义可得答案；
（2）①如图，当BP＝3时，则P是BC的中点，此时D，F重合，过P作PIKCD交AD于J，交AC
1 1 1
于I，证明△PIE﹣△DCE，AI=CI= AC PI= AB= CD，再进一步 解答可得答案；②先描点，
2 2 2
再用光滑的曲线连接即可；
（3）结合函数图象可得答案．
【解答】解：（1）在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定BP的长度是自变量，CE的长度和CF的
长度都是这个自变量的函数；
（2）①如图，当BP＝3时，而AB＝CD＝3，AD＝BC＝6，
∴P是BC的中点，
∴BP＝CP＝3＝AB＝CD，
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此时D，F重合，
过P作PI∥CD交AD于J，交AC于1，
∵AB∥CD，
∴AB∥PI∥CD，
Cl CP
∴ = =1，△PIE＝△DCE，
AI BP
1 1 1
∴AI=CI= AC，PI= AB= CD，
2 2 2
∵AB＝3，BC＝6，
AC=√32+62=3√5，
3√5
∴AI=CI= ，
2
∵△PIE∽△DCE，
EE P 1
∴ = = ，
CE CD 2
∴CE=√5≈2.2；
②描点画图如下：
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（3）由函数图象可得：当CE＝CF时，BP＝1.9（cm）；
【点评】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段
成比例的应用，三角形的中位线定理，熟练的利用数形结合的方法解题是关键
17．如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的
A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距OA所
在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．
获得如下数据：
水平距离d/米 0 2 4 6 8
垂直高度h/米 4 13 8 17 8
2 2
请解决以下问题：
（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
17
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为 米；
2
（3）求h关于d的函数表达式；
1 5
（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：C ：h=− d2+ d+4，当第一次和第二次落地时到OA
2 6 3
的距离是d 、d ，且2≤d ﹣d ≤3时能成功完成空中动作，则该运动员 能 （填写“能”或“不
1 2 1 2
能”）完成空中动作．
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【考点】动点问题的函数图象．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【答案】（1）图象见解答；
17
（2） ；
2
1 17
（3）h=− （d﹣6）2+ ；
8 2
（4）能．
【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可；
（2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值；
（3）用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（4）令h＝0，求解d ，d ，然后作差看是否符合定义即可．
1 2
【解答】解：（1）①建立如图所示的平面直角坐标系，
②根据表中数据描点，
水平距离d/米 0 2 4 6 8
垂直高度h/米 4 13 8 17 8
2 2
③用平滑的曲线连接，
所画图象如图所示：
17
（2）观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为 米，
2
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17
故答案为： ；
2
17
（3）由图象可得，顶点（6， ），
2
17
设二次函数的关系式为h＝a（d﹣6）2+ ，
2
17
把（4，8）代入得：8＝a（4﹣6）2+ ，
2
1
解得：a=− ，
8
1 17
∴h=− （d﹣6）2+ ；
8 2
1 17
（4）令h ＝0，即− （d﹣6）2+ =0，
1 8 2
解得：d ＝6+2√17，
1
1 5
令h ＝0，即− d2+ d+4＝0，
2 6 3
解得：d ＝12，
2
∴d ﹣d ＝6+2√17−12＝2√17−6，
1 2
√81
∵4＜√17＜ =4.5，
4
∴2＜2√17−6＜3，
∴该运动员能完成空中动作．
故答案为：能．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键．
18．你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别
是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．
排碳计算公式：
家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785
开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7
家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19
家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91
（1）设家居用电的二氧化碳排放量为y（kg），耗电量为x（kW•h），则家居用电的二氧化碳排放量
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可以用关系式表示为 y ＝ 0.78 5 x ；
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加 0.78 5 k g ；当耗电量从1kW⋅h
增加到100kW•h时，二氧化碳排放从 0.78 5 k g 增加到 78. 5 k g ；
（3）小明家本月家居用电大约110kW•h，天然气20m3，自来水5t，开私家车耗油75L，请你计算一下
小明家这几项的二氧化碳排放量．
【考点】函数的表示方法．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】（1）y＝0.785x；
（2）0.785kg，78.5kg；
（3）小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳
排放量是4.55kg，开私家车的二氧化碳排放量是202.5kg．
【分析】（1）根据家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可得此题结果；
（2）由家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可解得此题结果；
（3）分别按照表中提供信息分别进行求解．
【解答】解：（1）由题意可得y＝0.785x，
故答案为：y＝0.785x；
（2）∵家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785，
∴耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg，
当耗电量1kW⋅h时二氧化碳排放量为0.785kg，当耗电量100kW⋅h时二氧化碳排放量为78.5kg，
故答案为：0.785kg，78.5kg；
（3）110×0.785＝86.35（kg），
0.19×20＝3.8（kg），
0.91×5＝4.55（kg），
2.7×75＝202.5（kg），
答：小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳
排放量是4.55kg，开私家车的二氧化碳排放量是202.5kg．
【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用
函数知识进行求解．
19．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点
P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2
所示．当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
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【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】2√5+2．
【分析】由图象可得AB＝BC＝4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AP，
由点P的运动速度为1cm/s，结合图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
AP PC
∴ = ，
AB AC
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP=2√5−2=BP（负值舍去），
4+2√5−2
∴t= =2√5+2．
1
【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三
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角形相似是解题的关键．
20．已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
6
（1）y与x之间的函数表达式为 y= ；
x
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
上面表格中m的值是 2 ；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点A（a，b）与点B（a+1，c）是该函数图象上的两点，试比较b和c的大小．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】反比例函数及其应用．
6
【答案】（1）y= ；（2）2；（3）b＞c．
x
【分析】（1）利用矩形的面积公式可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将x＝3代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描点，再用光滑的曲线顺次连接即可画
出图象；
（3）根据反比例函数的单调性即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：xy＝6，
6
所以y= ，
x
6
则y与x之间的函数表达式为y= ．
x
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6
故答案为：y= ．
x
（2）
（3）由图象可知，在第一象限内y随着x的增大而减小，
∵a+1＞a，
∴b＞c．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，图象的画法以及性质，解决本题的关键是熟练掌握这些
知识点并能灵活运用．
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考点卡片
1．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式
的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y
的函数．
4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
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5．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些
点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点 P（x，y）的x、y
的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式
这个点就不在函数的图象上．．
6．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题
还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
7．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析
式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之
亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
8．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
1
∴DE∥BC，DE= BC．
2
9．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等
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角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、
分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用
定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质
和判定去解决问题．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线
平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形
的三边与原三角形的三边对应成比例．
12．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
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