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2025年中考数学一轮复习
第4讲 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．若a+√12=√27，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣ab）3＝﹣a3b3
1
C．5√3−5=√3 D．( ) −1=−2024
2024
3．下列运算正确的是（ ）
3t3−t2+t
A．2√3−√3=1 B． =3t2﹣t
t
a2 a6
C．（a﹣2b）2＝a2﹣2ab+4b2 D．( ) 3=
2 8
4．下列运算正确的是（ ）
A．3√5−√5=2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．2a•a2＝2a3
5．已知a=√10，下面关于a的计算正确的是（ ）
A．√a2=10 B．(√a) 2=10
C．√(−a) 2=√10 D．(−√a) 2=−√10
6．下列运算正确的是 （ ）
√2 √2
A． ×3= B．（﹣2a）3＝﹣8a3
9 3
1 1 2
C．√2+√3=√5 D． + =
2 3 5
7．下列运算正确的是（ ）
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5
A．√5−√3=√2 B．（2√2）2＝16 C． =√5 D．2√2×3√2=5√2
√5
8．如果y=√1−x+√x−1+2，那么（﹣x）y的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
9．若a=√10，则计算√200a2的结果正确的是（ ）
A．20√5 B．±20√5 C．±100√2 D．100√2
10．下列运算正确的是（ ）
A．3√3−√3=3 B．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
C．﹣x（﹣x+2）＝﹣x2+2x D．6x6÷2x＝3x5
二．填空题（共5小题）
√3
11．计算√24× 的结果为 ．
8
√x−5
12．若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
13．计算(√15+1)(√15−1)结果等于 ．
14．已知a，b为实数，且满足√a−8+√8−a=b﹣2，则√ab的值为
15．已知y=√x−3+√3−x+8，则3x+2y的平方根是 ．
三．解答题（共5小题）
16．计算：(−1) 2023−|√8−3|+cos45°−√6×√3．
17．已知P＝A×B﹣C．
1 −1
（1）若A＝（﹣2）0，B=(− ) ，C=√(−5) 2，求P的值；
4
如图是佳佳同学的计算过程：佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的P值；
（2）若A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，当x为何值时，P的值是7．
1 1
18．计算：( ) −1−|1−√3|+√12+（1+ ）0+ ．
2 √3
π
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1
19．计算：4sin45°+(√3−1) 0+|−5|−√8−(− ) −2 ．
2
√x2−9+√9−x2
20．已知若x，y为实数，且y= +4，求x+y的值．
x+3
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2025年中考数学一轮复习之二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若a+√12=√27，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
【考点】二次根式的加减法；实数与数轴．
【答案】B
【分析】先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．
【解答】解：∵a+√12=√27，即a=√27−√12，
∴a=√27−√12=3√3−2√3=√3，
∵√1＜√3＜√4，
∴1＜√3＜2，即1＜a＜2，
故实数a的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣ab）3＝﹣a3b3
1
C．5√3−5=√3 D．( ) −1=−2024
2024
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】B
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C．先判断5√3和5是不是同类二次根式，能否合并，然后判断即可；
D．根据负整数指数幂的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣ab）3＝﹣a3b3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
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C．∵5√3和5不是同类二次根式，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
1 1
( ) −1= =2024
D．∵ 2024 1 ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
2024
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数和整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方法
则和负整数指数幂的性质．
3．下列运算正确的是（ ）
3t3−t2+t
A．2√3−√3=1 B． =3t2﹣t
t
a2 a6
C．（a﹣2b）2＝a2﹣2ab+4b2 D．( ) 3=
2 8
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的基本性质．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】A．根据合并同类二次根式的法则进行计算即可；
B．根据多项式除以单项式法则进行计算即可；
C．根据完全平方公式进行计算即可；
D．根据幂的乘方和积的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：A．∵2√3−√3=√3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
3t3−t2+t
B．∵ =3t2−t+1，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
t
C．∵（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
a2 a6
D．∵( ) 3= ，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
2 8
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、完
全平方公式、合并同类二次根式法则、幂的乘方和积的乘方法则．
4．下列运算正确的是（ ）
A．3√5−√5=2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．2a•a2＝2a3
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；完全平方公式．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
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【答案】D
【分析】根据二次根式加减法的计算方法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式的
计算方法逐项进行计算即可．
【解答】解：A.3√5−√5=2√5，因此选项A不符合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项B不符合题意；
C．（﹣a3）2＝a6，因此选项C不符合题意；
D.2a•a2＝2a3，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式加减法的计算方法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项
式，掌握二次根式加减法的计算方法，完全平方公式的结构特征，幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单
项式的计算方法是正确解答的关键．
5．已知a=√10，下面关于a的计算正确的是（ ）
A．√a2=10 B．(√a) 2=10
C．√(−a) 2=√10 D．(−√a) 2=−√10
【考点】二次根式的化简求值；幂的乘方与积的乘方．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算，判断即可．
【解答】解：A、√a2=|a|=√10，故本选项计算错误，不符合题意；
B、（√a）2＝a=√10，故本选项计算错误，不符合题意；
C、√(−a) 2=|a|=√10，计算正确，符合题意；
D、（−√a）2＝a=√10，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．下列运算正确的是 （ ）
√2 √2
A． ×3= B．（﹣2a）3＝﹣8a3
9 3
1 1 2
C．√2+√3=√5 D． + =
2 3 5
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【考点】二次根式的混合运算；有理数的加法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据有理数的加法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的加法，二次根式的乘法法则进行计算，
逐一判断即可解答．
√2 √2
【解答】解：A、 ×3= ×3=√2，故A不符合题意；
9 3
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B符合题意；
C、√2与√3不能合并，故C不符合题意；
1 1 5
D、 + = ，故D不符合题意；
2 3 6
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，有理数的加法，准确熟练地进行计算
是解题的关键．
7．下列运算正确的是（ ）
5
A．√5−√3=√2 B．（2√2）2＝16 C． =√5 D．2√2×3√2=5√2
√5
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据二次根式的减法法则，二次根式的性质，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进
行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．√5和−√3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．（2√2）2＝4×2＝8，故本选项不符合题意；
5 (√5) 2
C． = =√5，故本选项符合题意；
√5 √5
D．2√2×3√2=6×2＝12，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
8．如果y=√1−x+√x−1+2，那么（﹣x）y的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【考点】二次根式有意义的条件．
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【专题】二次根式．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵y=√1−x+√x−1+2，
∴1﹣x≥0，x﹣1≥0，
解得：x＝1，
故y＝2，
则（﹣1）2＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
9．若a=√10，则计算√200a2的结果正确的是（ ）
A．20√5 B．±20√5 C．±100√2 D．100√2
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出a2的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵a=√10，
∴a2＝10，
∴√200a2
=√200×10
=√100×4×5
＝20√5．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
10．下列运算正确的是（ ）
A．3√3−√3=3 B．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3
C．﹣x（﹣x+2）＝﹣x2+2x D．6x6÷2x＝3x5
【考点】二次根式的加减法；整式的混合运算．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
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【分析】A．根据合并同类二次根式法则进行计算，然后判断即可；
B．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C．根据乘法分配律进行计算，然后判断即可；
D．根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵3√3−√3=2√3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵﹣x（﹣x+2）＝x2﹣2x，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵6x6÷2x＝3x5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式和二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方和同底
数幂相除法则．
二．填空题（共5小题）
√3
11．计算√24× 的结果为 3 ．
8
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算，然后化简即可．
√ 3
【解答】解：原式= 24×
8
=√9
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则．
√x−5
12．若式子 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 5 ．
x
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥5．
【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得x﹣5≥0且x≠0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
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【点评】本题考查了分式和二次根式定义的应用能力，掌握分式和二次根式定义是关键．
13．计算(√15+1)(√15−1)结果等于 1 4 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】14．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式=(√15) 2−12=15﹣1＝14
故答案为：14．
【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基
础题型．
14．已知a，b为实数，且满足√a−8+√8−a=b﹣2，则√ab的值为 4
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a，b为实数，且满足√a−8+√8−a=b﹣2，
∴a＝8，b＝2，
则√ab=√16=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a的值是解题关键．
15．已知y=√x−3+√3−x+8，则3x+2y的平方根是 ± 5 ．
【考点】二次根式有意义的条件；平方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】±5．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0且3﹣x≥0，求出x＝3，再代入求出y＝8，再根据平方
根的定义求出答案即可．
【解答】解：要使√x−3+√3−x+8有意义，必须x﹣3≥0且3﹣x≥0，
x≥3且x≤3，
所以x＝3，
y=√x−3+√3−x+8＝0+0+8＝8，
3x+2y＝3×3+2×8＝9+16＝25，
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所以3x+2y的平方根是±√25=±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和平方根，能求出x＝3是解此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．计算：(−1) 2023−|√8−3|+cos45°−√6×√3．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．
【专题】二次根式；运算能力．
√2
【答案】﹣4− ．
2
【分析】先利用乘方、绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
√2
【解答】解：原式＝﹣1+2√2−3+ −√2×√3×√3
2
√2
＝﹣1+2√2−3+ −3√2
2
√2
＝﹣4− ．
2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和特殊角的三角
函数值是解决问题的关键．
17．已知P＝A×B﹣C．
1 −1
（1）若A＝（﹣2）0，B=(− ) ，C=√(−5) 2，求P的值；
4
如图是佳佳同学的计算过程：佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的P值；
（2）若A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，当x为何值时，P的值是7．
【考点】二次根式的性质与化简；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
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1 −1
【分析】（1）由P=(−2) 0×(− ) −√(−5) 2=1×(−4)−5，可得佳佳在第一步运算错误；根据运算
4
法则进行运算求解即可；
（2）把A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，P＝7代入P＝A×B﹣C运算即可．
1 −1
【解答】解：（1）∵P=(−2) 0×(− ) −√(−5) 2=1×(−4)−5，
4
∴佳佳的计算过程有错，第一步错了；
1 −1
正确的过程为：P=(−2) 0×(− ) −√(−5) 2=1×(−4)−5=−4−5=−9；
4
（2）把A＝3，B＝2x，C＝﹣2x+1，P＝7代入P＝A×B﹣C可得：
7＝3×2x﹣（﹣2x+1），
7＝6x+2x﹣1，
8x＝8，
x＝1，
∴当x＝1时，P的值是7．
【点评】本题考查了实数的混合运算，一元一次方程等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
1 1
18．计算：( ) −1−|1−√3|+√12+（1+ ）0+ ．
2 √3
π
【考点】分母有理化；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
4√3
【答案】4+ ．
3
【分析】根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质计算乘方，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，
把二次根式进行化简，从而进行计算即可．
√3
【解答】解：原式=2−(√3−1)+2√3+1+
3
√3
=2−√3+1+2√3+1+
3
√3
=2+1+1+2√3+ −√3
3
4√3
=4+ ．
3
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、
绝对值的性质和二次根式的化简．
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1
19．计算：4sin45°+(√3−1) 0+|−5|−√8−(− ) −2 ．
2
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可．
√2
【解答】解：原式＝4× +1+5﹣2√2−4
2
＝2√2+1+5﹣2√2−4
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂是解决
问题的关键．
√x2−9+√9−x2
20．已知若x，y为实数，且y= +4，求x+y的值．
x+3
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题；分式；二次根式．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代回代数式求出y的值，继而代入计算可得．
【解答】解：由题意，x2﹣9≥0，9﹣x2≥0
∴x2＝9，
∴x＝±3
又∵x+3≠0，
∴x≠﹣3，
∴x＝3，y＝0+0+4＝4，
∴x+y＝7
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
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考点卡片
1．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反
数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用那一条
法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“√a”，负的平方根表示为“−√a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点
表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是
在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原
点左侧，绝对值大的反而小．
4．同底数幂的乘法
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（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣
y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，
指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
6．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要
丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两
项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完
全平方公式．
8．整式的混合运算
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（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺
序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问
题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
9．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
10．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的
符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
11．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
12．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p=
（a≠0，p为正整数）
ap
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
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④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
13．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式
的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
14．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①√a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（√a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
{ a(a＞0)
③√a2=|a| = 0(a=0) （算术平方根的意义）
−a(a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
√a √a
√ab=√a•√b（a≥0，b≥0） = （a≥0，b＞0）
√b b
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能
开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指
数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
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（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
15．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：√a⋅b=√a•√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：√a•√b=√a⋅b（a≥0，b≥0）
√a √a
（3）商的算术平方根的性质： = （a≥0，b＞0）
b √b
√a √a
（4）二次根式的除法法则： = （a≥0，b＞0）
√b b
规律方法总结：
在使用性质√a•√b=√a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使
用该性质会使二次根式无意义，如（√−4）×（√−9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，
商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
16．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
1 √a √a 1 √a−√b √a−√b
例如：① = = ；② = = ．
√a √a⋅√a a √a+√b (√a+√b)(√a−√b) a−b
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：√2−√3的有理化因式可以是√2+√3，也可以是a（√2+√3），这里的a可以是任意有理数．
17．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行
合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
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（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系
数相加减，被开方数和根指数不变．
18．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运
算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍．
19．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互
相干扰．
20．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
1 √3 √3
sin30°= ； cos30°= ；tan30°= ；
2 2 3
√2 √2
sin45°= ；cos45°= ；tan45°＝1；
2 2
√3 1
sin60°= ；cos60°= ； tan60°=√3；
2 2
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
19
