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第 4 节 二次根式
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点 二次根式
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二次根式
相关概念{二次根式:形如① ❑(a≥0)的式子,其中 a叫作被开方数
最简二次根式:被开方数都不含分母,并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式
{
(1)双重非负性:√a≥0(a≥0)
{
(2)√ab=② ❑(a≥0,b≥0)
(3)(√a)2=③ ❑(a≥0)
性质 (4)√a2=|a|={④ ❑(a≥0),
⑤ ❑(a<0)
√a
(5) =⑥ ❑(a≥0,b>0)
b
加减法:先把各个二次根式分别化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并
{ √a
乘除法:√a·√b=⑦ ❑(a≥0,b≥0); =⑧ ❑(a≥0,b>0)
√b
1 1·√a √a 1
{ = = ,如 =⑨ ❑
算法 √a √a·√a a √5
1 √a-b √a-b 1
分母有理化 = = ,如 =⑩ ❑
√a+b (√a+b)·(√a-b) a−b2 √5+1
1 (√a+b) √a+b 1
= = ,如 =⑪ ❑
√a-b (√a-b)·(√a+b) a−b2 √5-1
{(1)确定二次根式在哪两个连续整数之间,如2<√5<3
估算 (2)较小的整数即为√a的整数部分,如√5的整数部分为2
(3)√a的小数部分为√a与其整数部分的差,如√5的小数部分为√5-2
【基础演练】
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1.已知式子:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ .
√5 √ 3 -27 √2x−1 √x2+1 √x2-1 √x2+2x+2
(1)以上式子中,一定是二次根式的是 .(填序号)
(2)若式子√2x−1有意义,则x的取值范围是 .
(3)若 = ,则x的取值范围是 .
√x2-1 √(x+1)√(x-1)
(4)若x=2,则 的整数部分是 .
√x2+2x+2
√1
(5)化简:√ 3 -27= ; = .
5
2.计算:(√3+√2)2-√3×(√3-√2).
真题精粹·重变式
考向1 二次根式的概念和性质
热点训练
1.代数式√x−3在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3
2.下列根式是最简二次根式的是 ( )
√1
A.√8 B.√a2b C. D.√a−2
2
3.化简:√8= .
考向2 二次根式估值
热点训练
4.已知m=√4+√3,以下对m的估算正确的是 ( )
A.2<m<3 B.3<m<4
C.4<m<5 D.5<m<6
变设问——求最接近的整数
5.√4+√5最接近的整数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
变条件——“+”变“×”
6.已知m=√4×√5,则m在整数 和 之间.
考向3 二次根式的运算
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7.(2021·福建)计算: +| -3|- 1 -1.
√12 √3
3
热点训练
8.下列各式计算正确的是 ( )
A.√2+√3=√5 B.4√3-3√3=1
C.√2×√3=√6 D.√12÷2=√6
√1
9.计算√18× 的结果为 .
2
10.计算:√2×√3-√24.
11.计算:(√5+3)(√5-3)-(√3-1)2.
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
√a
①√a ②√a·√b ③a ④a ⑤-a ⑥
√b
√a √5 √5-1 √5+1
⑦√ab ⑧ ⑨
b 5 4 4
基础演练
1 √5
1.(1)①④⑥ (2)x≥ (3)x≥1 (4)3 (5)-3
2 5
2.解析:原式=(√3)2+2√6+(√2)2-3+√6
=3+2√6+2-3+√6
=3√6+2.
真题精粹·重变式
1.A 2.D 3.2√2 4.B 5.B 6.4 5
7.解析:原式=2√3+3-√3-3=√3.
8.C 9.3
10.解析:原式=√6-2√6
=-√6.
11.解析:原式=5-9-(3-2√3+1)
=-4-4+2√3
=-8+2√3.
5
