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第 04 讲 二次根式
目 录
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
题型04 利用二次根式的性质化简
题型05 二次根式的乘除运算
题型06 二次根式的加减运算
题型07 二次根式的混合运算
题型08 二次根式的化简求值
题型09 二次根式的应用
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题型 01 二次根式有意义的条件
1．（2022·湖南长沙·中考真题）若式子√x−19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
2．（2021·浙江丽水·中考真题）要使式子√x−3有意义，则x可取的一个数是 ．
√x+3
3．（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
4．（2023·广东广州·一模）代数式√k−1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型 02 判断最简二次根式
1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√12
A．√0.5 B．√3 C．√8 D．
7
√3
2．下列各式：① ，②√2，③√18，④√0.2，最简二次根式有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于√8，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．是无理数
C．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示√8的点
4．（2022江门市模拟）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
题型 03 判断同类二次根式
1．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ ）
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A．√0.2 B．√0.5 C．√4 D．√12
2．（2023·四川攀枝花·二模）下列二次根式中，不能与√3合并的是（ ）
√1
A．√32 B．√27 C．√12 D．
3
3．（2023衡阳市模拟）若最简二次根式√2x+1和√4x−3能合并，则x的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
题型 04 利用二次根式的性质化简
1．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
√4+9=2+3 √4×9=2×3 √94=√32 √4.9=0.7
2．（2023南皮县模拟）下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ）
A． B． C． D．
√(−5) 2 (−√5) 2 −√52 √52
3．（2021·湖南娄底·中考真题） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
2,5,m √(m−3) 2+√(m−7) 2
A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简
√ a+b
(a−b) 的结果是（ ）
a−b
A． B． C． D．
√a2−b2 √b−a −√a2−b2 −√b2−a2
5．（2023·广东佛山·一模）若实数m，n满足 ，则 的值是 ；
(m−4) 2+√n+3=0 √m2+n2
题型 05 二次根式的乘除运算
√1
1．（2021·湖南株洲·中考真题）计算：−4× =（ ）
2
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A．−2√2 B．－2 C．−√2 D．2√2
2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（ ）
1
A．3+4√2=7√2 B．√3×√2=√5 C．√3÷ =2√3 D．√(−3) 2=3
√6
3．（2023松原市三模）计算：5√21×2√3= ．
4．（2021·天津和平·一模）计算(√5+2)(√5−2)的结果等于 ．
5．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）计算√24÷√6的结果是 ．
题型 06 二次根式的加减运算
1．（2022·贵州六盘水·中考真题）计算：√12−2√3= ．
√1
2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算：√24+6 的结果是 ．
6
√18−√2
3．（2022·山东青岛·二模）计算： = ．
√2
4．（2023·河北石家庄·三模）√12−√3的结果在（ ）
A．0.5和1之间 B．1和1.5之间
C．1.5和2之间 D．2和2.5之间
√1
5．（2021·河北唐山·二模）已知：−√50+ =a√2+b√2=c√2，则ab＋c＝ ．
2
题型 07 二次根式的混合运算
√1
1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(√27−√12)× 的结果是（ ）
3
√3
A． B．1 C．√5 D．3
3
√4
2．（2022·山东泰安·中考真题）计算：√8⋅√6−3 = ．
3
√6
3．（2021·山东威海·中考真题）计算√24− ×√45的结果是 ．
5
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）计算：(1) −1 √1
+(√3+2)(√3−2)+3×
2 3
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1
5．计算：(√5) 2 −|1−√2|−√(−3) 2+ ×√8．
2
题型 08 二次根式的化简求值
1．（2021·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值： a−2 a2−4 ，其中 ．
1− ÷ a=√2−2
a+4 a2+8a+16
2．（2023·河北衡水·二模）已知A，B都是关于x的多项式，且A=2x2−5x+4，A−B=2x+1．
(1)求B；
(2)若A−B=√2，求B的值．
3．（2022·河南商丘·一模）已知 ，当 时，请比较M
M=(x+1) 2+(2x+1)(2x−1),N=4x(x+1) x=√2
与N的大小．
题型 09 二次根式的应用
1．（2023下·安徽·九年级专题练习）观察下列各式：
①√1×2×3×4+1=5；
②√2×3×4×5+1=11；
③√3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出√n×(n+1)(n+2)(n+3)+1＝ ，并加以证明．
2．（2022·山东济宁·二模）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵ ，
2
(√a−√b) ≥0
∴a−2√ab+b≥0，
∴a+b≥2√ab，
∴当a=b时，a+b有最小值2√ab．
根据上述内容，回答下列问题
1 8
(1)若m>0，只有当m=_______时，m+ 有最小值_______；若m>0，只有当m=_______时，2m+ 有
m m
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最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间
相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米 2）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每
❑
间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
3．（2021·贵州黔西·模拟预测）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵ ，∴
(√a−√b) 2 ≥0 a−2√ab+b≥0
，∴a+b≥2√ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2√ab（a、b均为正实数）中，若ab为定
值m，则a+b≥2√m，只有当a=b时，a+b有最小值2√m．根据上述内容，回答下列问题：
4
(1)若a>0，只有当a=__________时，a+ 有最小值__________；
a
6
(2)若a>0，只有当a=__________时，2a+ 有最小值__________；
a
( a ) ( 8)
(3)若a<0，平面内有A a, −4 ，B a,− 两点，当a为何值时，线段AB最短，最短是多少？
2 a
4．（2021·河北唐山·一模）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数
因为被污染看不清楚．
（1）嘉嘉认为污染的数为−3，计算“A+B”的结果；
（2）若a=3+√3，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A−B”的结果是整数，请你求出满足题意的被污
染的这个数．
5．（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且2023(a−b)+√2023(b−c)+(c−a)=0，
求证：(c−b)(c−a) ．
−√2023=2023
(a−b) 2
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个
一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参
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考：
令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)
可以发现： ．
(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023 ．
利用根与系数的关系得：1+√2023= _____；1×√2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
1．（2022·四川雅安·中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式√1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜√65＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④√16的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则
的化简结果是（ ）
√(k−1) 2−(√2−k) 2
A．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−3
4．（2021·湖北恩施·中考真题）从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有
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（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
(√2) 0=√2 2√3+3√3=5√6
C． D．
√8=4√2 √3(2√3−2)=6−2√3
6．（2023·重庆·中考真题）估计 ( 1 )的值应在（ ）
√5× √6−
√5
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（2022·四川泸州·中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现： ， ， ，…，
√6+3=3 √6+√6+3=3 √6+√6+√6+3=3
⏟ √ 6+√ 6+√6+⋯+√6+√6+3=3，一般地，对于正整数 ， ，如果满足
a b
n个根号
⏟ √ b+√ b+√b+⋯+√b+√b+a=a时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完美方根数对．
(a,b) (3,6)
n个根号
则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(a,380)是完美方根数对，则
a=20；④若(x,y)是完美方根数对，则点P(x,y)在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使 在实数的范围内没有意义的x值是
√x−3
．
10．（2023连云港中考真题）计算： ．
(√5)
2=
11．（2023·四川凉山·中考真题）计算 ．
(π−3.14) 0+√(√2−1) 2=
12．（2023·湖北·中考真题）计算4−1− √ 1 +(3−√2) 0 的结果是 ．
16
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13．（2023·山东潍坊·中考真题）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式 里面的
−√2 √3 √6 (□+○) 2÷√2
“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
√1
14．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算√63−7 的结果是 ．
7
15．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ，…
S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
1
16．（2022呼伦贝尔市中考）已知x，y是实数，且满足y=√x−2＋√2−x＋ ，则√x⋅√y的值是 ．
8
( 5 ) 2m−4
17．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值： m+2+ ⋅ ，其中m=√16+tan45°．
2−m 3−m
√5+1
18．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：(x−2y) 2+x(5 y−x)−4 y2，其中x= ，
2
√5−1
y= ．
2
√5−1
1．（2022·四川达州·中考真题）人们把 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的
2
√5−1 √5+1 1 1 2 2
“0.618法”就应用了黄金比．设a= ，b= ，记S = + ，S = + ，…，
2 2 1 1+a 1+b 2 1+a2 1+b2
100 100
S = + ，则S +S +⋯+S = ．
100 1+a100 1+b100 1 2 100
2．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0
