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第 4 节 二次函数的图象与性质
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 二次函数的表达式
1.表达式的三种形式
一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c
顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 其中① 为顶点坐标
交点式 y=a(x-x)(x-x) 其中x,x 为函数图象与x轴交点的横坐标
1 2 1 2
注:一般式通过配方法可转化为顶点式,通过因式分解可转化为交点式.
2.待定系数法确定二次函数的表达式
待定系数法
{
{已知顶点,设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
一设 如已知抛物线的顶点坐标为(1,-2),可设表达式为y=a(x-1)2-2(a≠0)
已知除顶点以外的其他点,设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
二代:将已知点坐标代入表达式,得到方程(组)
三解:解方程(组),得参数a,h,k或a,b,c的值
四写:将参数值代回所设表达式,求出表达式
知识点2 二次函数的图象与性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
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图象
b b 4ac−b2
顶点坐标 - ,② - ,
2a 2a 4a
b b
对称轴 x=- x=-
2a 2a
开口方向 向上 向下
（续表）
在对称轴的左侧,y随着x的增
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对
增减性 大而增大;在对称轴的右侧,y随
称轴的右侧,y随着x的增大而③
着x的增大而④
b
当x=- 时,最大值为
b 4ac−b2 2a
最值 当x=- 时,最小值为
2a 4a 4ac−b2
4a
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系
{方向
{a>0,开口向上
1.a决定开口方向与大小 a<0,开口向下
大小{|a|越大,开口越小
|a|越小,开口越大
{
b=0⇔对称轴为y轴
b
2.a,b决定对称轴 x=- 的位置 ab>0⇔对称轴在y轴的⑤ ❑
2a
ab<0⇔对称轴在y轴的⑥ ❑
{
c=0⇔抛物线经过原点
3.c决定与y轴的交点位置 c>0⇔抛物线与y轴正半轴相交
c<0⇔抛物线与y轴负半轴相交
知识点4 二次函数图象的平移
y=ax2的图象 y=a(x-h)2的图象 y=a(x-h)2+k的图象
知识点5 二次函数与一元二次方程的关系
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)实际上是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在y=0时的一个特例.可用一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式来判断二次函数图象与x轴的交点个数.
判别式 图象分布
y=ax2+bx+c(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0)
Δ=b2-4ac a>0 a<0
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图象与x轴有两个不
同的交点(x,0),(x,0), 方程有⑦ 的
1 2
实数根x,x,且x =
1 2 1,2
Δ>0 且x 1,2 = -b±√b2-4ac
-b±√b2-4ac
2a
2a
方程有⑧ 的
图象与x轴有唯一交
实数根x,x,且
Δ=0 b 1 2
点(x,0),且x=- b
1 1 2a x=x=-
1 2 2a
（续表）
Δ<0 图象与x轴无交点 方程无实数根
2.利用图象可确定不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集,也可比较一次函数与二次函
数值的大小.
【基础演练】
1.(原创)如图,结合二次函数y=x2+4x-2的图象,请回答下列问题:
(1)抛物线开口向 .
(2)抛物线的顶点坐标为 .
(3)抛物线的对称轴为 .
(4)抛物线与y轴的交点坐标为 ,与x轴的交点坐标为 .
(5)当 时,y有最小值,最小值为 .
(6)当 时,y随x的增大而增大;当 时,y随x的增大而减小.
(7)若(-5,y),(-3,y),(2,y)在抛物线上,则y,y,y 按从小到大的排序为 .
1 2 3 1 2 3
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A,B,且点A的横坐标在-1和0之间,图象与
y轴交于负半轴,对称轴为直线x=1.对于该二次函数,下列结论正确的为 .(填序号)
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①b2>4ac;
②a-b+c>0;a+b+c<0;
③若点(-0.1,y),(1.5,y)均在抛物线上,则y>y;
1 2 1 2
④a>0,b>0,c<0;
⑤点(2,c)一定在该抛物线上;
⑥2a+b=0;
⑦am2+bm≥a+b.
真题精粹·重变式
考向1 二次函数的图象与性质 6年6考
1.(2024·福建)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(a
,y
),B(3a,y
2
)两点,则下列判断正
2 1
确的是 ( )
A.可以找到一个实数a,使得y>a
1
B.无论实数a取什么值,都有y>a
1
C.可以找到一个实数a,使得y<0
2
D.无论实数a取什么值,都有y<0
2
2.(2021·福建)二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y),B(-1,y),C(2,y),D(4,y)四个点,下列说
1 2 3 4
法一定正确的是 ( )
A.若yy>0,则yy>0
1 2 3 4
B.若yy>0,则yy>0
1 4 2 3
C.若yy<0,则yy<0
2 4 1 3
D.若yy<0,则yy<0
3 4 1 2
3.(2020·福建)已知P(x,y),P(x,y)是二次函数y=ax2 -2ax图象上的点,以下结论正确的是 (
1 1 1 2 2 2
)
A.若|x-1|>|x-1|,则y>y
1 2 1 2
B.若|x-1|>|x-1|,则y<y
1 2 1 2
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C.若|x-1|=|x-1|,则y=y
1 2 1 2
D.若y=y,则x=x
1 2 1 2
4.(2019·福建)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过点A(m,n),B(0,y),C(3-m,n),D(√2,y),E(2,y),则
1 2 3
y,y,y 的大小关系是 ( )
1 2 3
A.y<y<y B.y<y<y
1 2 3 1 3 2
C.y<y<y D.y<y<y
3 2 1 2 3 1
5.(2023·福建)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y),B(n-1,y)两点,若A,B分别位于抛物线
1 2
对称轴的两侧,且y<y,则n的取值范围是 .
1 2
6.(2022·福建)已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D两点,
其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 .
考向2 二次函数的实际应用
热点训练
7.如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用的旧墙AD的长.
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
核心突破·拓思维
考点 二次函数图象与性质
(原创)已知二次函数y=x2-4x+3,在所给的平面直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象.
(1)列表如下:
自变量x … 0 1 2 3 4 …
函数值y … 0 3 …
(2)描点,连线(用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序连接,注意自变量的取值范围).
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(原创)结合函数表达式y=x2-4x+3及其图象解决下列问题.
(1)将函数写成y=(x+h)2+k的形式: .
(2)函数图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 .
(3)当x 时,y随x的增大而增大,当x 时,y随x的增大而减小.
(4)将抛物线y=x2先向右平移 个单位长度,再把得到的图象向 平移1个单位长度可以
得到二次函数y=x2-4x+3的图象.
3
(5)当-1≤x≤ 时,y的取值范围为 ;当1≤x≤5时,y的取值范围为 .
2
(6)当x= 时,y=0;当x 时,y>0;当 时,y<0.
(7)当0≤x≤m(m>0)时,求y的最大值与最小值.
拓展:当x>2时,函数y=x2 -4ax+3的图象始终保持上升趋势,求a的取值范围.
核心方法
在填空题或选择题中对二次函数的图象与性质的考查,主要以考查函数的对称轴、增减、最
值(区间极值)知识为主,函数多以多参数形式出现.解决此类问题的关键:
1.关于增减性、最值的问题利用对称性将点转到对称轴同侧;
2.将图象交点问题转化为函数与方程、不等式问题;
3.将函数有关知识的考查转化到研究函数图象上点的特征,再借助数形结合、参数推理运算.
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已知点P(-2,y),Q(4,y),M(m,y)均在抛物线y=ax2+bx+c上,其中2am+b=0.若y≥y>y,则
1 2 3 3 2 1
m的取值范围是 ( )
A.m<-2 B.m>1
C.-2<m<1 D.1<m<4
如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于两点(x,0),(2,0),其中 0<x<1.下列四个结
1 1
c
论:①abc<0;②a+b+c>0;③2a-c>0;④不等式ax2+bx+c>- x+c的解集为0<x<x.其中正确的结论是
x 1
1
.
已知点A(x,y),B(x,y)均在抛物线y=ax2-2ax+4(a≠0)上,若x<x,x+x=1-a,则 ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
A.当a>-1时,y<y
1 2
B.当a>-1时,y>y
1 2
C.当a<-1时,y<y
1 2
D.当a<-1时,y>y
1 2
已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是 ( )
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
如图,二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
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(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.
①当m=2时,求n的值;
②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
4ac-b2
①(h,k) ② ③增大 ④减小 ⑤左侧 ⑥右侧 ⑦两个不相等 ⑧两个相等
4a
基础演练
1.(1)上 (2)(-2,-6) (3)x=-2 (4)(0,-2) (-2-√6,0),(-2+√6,0) (5)x=-2 -6 (6)x>-2 x<-2
(7)y<y<y
2 1 3
2.①②③⑤⑥⑦
真题精粹·重变式
1.C 解析:∵二次函数的解析式为y=x2-2ax+a(a≠0),
-2a
∴该二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=- =a,顶点坐标为(a,a-a2).
2
a
当a>0时,0< <a,
2
∴a-a2<y<a.
1
a
当a<0时,a< <0,
2
∴a-a2<y<a.
1
故A,B错误.
当a>0时,0<a<2a<3a,由二次函数对称性可知点(0,a)和点(2a,a)关于对称轴对称,在对称轴的右
侧,y随x的增大而增大,所以当x=3a时,y>a>0;
2
当a<0时,3a<2a<a<0,由二次函数对称性可知点(0,a)和点(2a,a)关于对称轴对称,在对称轴的左
侧,y随x的增大而减小,所以当x=3a时,y>a,不一定大于0.
2
故C正确,D错误.
故选C.
2.C 3.C 4.D
-2a
5.-1<n<0 解析:抛物线的对称轴为x=- =1.
2a
∵a>0,
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∴抛物线开口向上.
∵y<y,且A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,
1 2
∴若点A在对称轴x=1的左侧,点B在对称轴x=1的右侧,
{
2n+3<1,
则由题意可得
n-1>1,
1−(2n+3)<n-1-1,
不等式组无解;
若点B在对称轴x=1的左侧,点A在对称轴x=1的右侧,
{
2n+3>1,
则由题意可得
n-1<1,
1−(n-1)>2n+3−1,
解得-1<n<0,
∴n的取值范围为-1<n<0.
故答案为-1<n<0.
6.8 解析:针对于抛物线y=x2+2x-n,
令y=0,则x2+2x-n=0,
∴x=-1±√n+1.
针对于抛物线y=x2-2x-n,
令y=0,则x2-2x-n=0,
∴x=1±√n+1.
∵抛物线y=x2+2x-n=(x+1)2-n-1,
∴抛物线y=x2+2x-n的顶点坐标为(-1,-n-1).
∵抛物线y=x2-2x-n=(x-1)2-n-1,
∴抛物线y=x2-2x-n的顶点坐标为(1,-n-1),
∴抛物线y=x2+2x-n与抛物线y=x2-2x-n的开口大小一样,与y轴相交于同一点,顶点到x轴的
距离相等,
∴AB=CD.
∵AD=2BC,
∴抛物线y=x2+2x-n与x轴的交点A在左侧,B在右侧,抛物线y=x2-2x-n与x轴的交点C在左
侧,D在右侧,
∴A(-1-√n+1,0),B(-1+√n+1,0),C(1-√n+1,0)m,D(1+√n+1,0),
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∴AD=1+√n+1-(-1-√n+1)=2+2√n+1,
BC=-1+√n+1-(1-√n+1)=-2+2√n+1,
∴2+2√n+1=2×(-2+2√n+1),
∴n=8.
7.解析:(1)设AB=x米,则BC=(100-2x)米,
根据题意得x(100-2x)=450,解得x=5,x=45.
1 2
当x=5时,100-2x=90>20,不符合题意,舍去;
当x=45时,100-2x=10.
答:AD的长为10米.
(2)设AD=y米,
1 1
∴S= y(100-y)=- (y-50)2+1 250.
2 2
若a≥50,则当y=50时,S的最大值为1 250;
1
若0<a<50,则当0<y≤a时,S随y的增大而增大,当y=a时,S的最大值为50a- a2.
2
1
综上所述,当a≥50时,S的最大值为1 250;当0<a<50时,S的最大值为50a- a2.
2
核心突破·拓思维
例1 解析:(1)3;-1;0.
(2)描点,连线如下:
例2 解析:(1)y=(x-2)2-1 (2)上 x=2 (2,-1)
3
(3)>2 <2 (4)2 下 (5)- ≤y≤8 -1≤y≤8
4
(6)1或3 >3或<1 1<x<3
(7)①当0<m<2时,函数y的最大值为3,最小值为m2-4m+3;
②当2≤m≤4时,函数y的最大值为3,最小值为-1;
③当m>4时,函数y的最大值为m2-4m+3,最小值为-1.
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拓展:解析:函数y=x2 -4ax+3的二次项系数为1>0,所以图象开口向上,对称轴右侧y随x的增
-4a
大而增大,根据对称轴公式可求得函数y=x2 -4ax+3图象的对称轴为直线x=- =2a,
2×1
因为当x>2时,函数y=x2 -4ax+3的图象始终保持上升趋势,所以只需保证对称轴不在直线
x=2的右侧,即2a≤2,解得a≤1.
变式1 B
变式2 ①③
变式3 D 解析:由抛物线y=ax2-2ax+4(a≠0)得y=a(x-1)2+4-a,故抛物线的对称轴是直线x=1.
x +x 1−a
①当a>0时,抛物线开口向上,1-a<1,直线x= 1 2= 在对称轴x=1的左侧,即点A比点B
2 2
距离对称轴更远,∴y >y.
1 2
②当-1<a<0时,抛物线开口向下,同理y<y,
1 2
∴当a>-1,且x<x 时,y 和y 的大小不确定.
1 2 1 2
x +x 1−a
③当a<-1时,抛物线开口向下,1-a>2,直线x= 1 2= 在对称轴x=1的右侧,即点B比点
2 2
A距离对称轴更远,∴y >y.
1 2
综合①②③,故选D.
变式4 D
变式5 解析:(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,
得4-2a+3=3,∴a=2,∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴图象的顶点坐标为(-1,2).
(2)①由题意知点Q(2,n)在该二次函数图象上,
∴n=4+4+3=11.
②n的取值范围是2≤n<11.
提示:∵点Q到y轴的距离小于2,
∴|m|<2,∴-2<m<2,∴2≤n<11.
12
