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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题12 二次函数的图像与性质等
一、选择题
1. （2024陕西省）已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 当 时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数
解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线 ，故选项D符合题意；
当 时，y 的值随x的值增大而增大，当 时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合
题意；
∵顶点坐标为 且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
2. （2024四川凉山）抛物线 经过 三点，则
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的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查二次函数 的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二
次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】由抛物线 可知：开口向上，对称轴为直线 ，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵ ， ， ，
而 ， ， ，
∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远，
∴ ；
故选：D．
3.（ 2024湖北省）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．以下
结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二
次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】根据题意画出函数 的图像，如图所示：
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∵开口向上，与 轴的交点位于 轴上方，
∴ ， ，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
∵抛物线 的顶点为 ，
∴ ，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
4.（ 2024福建省）已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则
下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数 ，使得 B. 无论实数 取什么值，都有
C. 可以找到一个实数 ，使得 D. 无论实数 取什么值，都有
【答案】C
【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为
，顶点坐标为 ，再分情况讨论，当 时，当 时， ， 的大小情况，
即可解题．
【详解】 二次函数解析式为 ，
二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，
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当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
故A、B错误，不符合题意；
当 时， ，
由二次函数对称性可知， ，
当 时， ，由二次函数对称性可知， ，不一定大于 ，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
5.（ 2024四川眉山）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④若
，则 ，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
【答案】C
【解析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即
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可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出 ，
进一步得到 ，又根据 得到 ，即可判断④.
【详解】解：① 函数图象开口方向向上，
；
对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，
∵抛物线与 轴交点在 轴负半轴，
，
，故①错误；
② 二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
，
，
时， ，
，
，
，故②正确；
③ 对称轴为直线 ， ，
最小值，
，
∴ ，
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故③正确；
④ ，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得 ，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
6.（ 2024贵州省）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，顶点
坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当 时，y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
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【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增
减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选
项D．
∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
7.（ 2024内蒙古赤峰）如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点 在 轴上．若
两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要
熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过
点 作 于点 ，先证明 ．可得 ， ．点 、 的
横坐标分别为 、 ，可得 ， ． ， ， ，设
，则 ， ， ， ， ，
．再由 ， 进而可以求解判断即可．
【详解】如图，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 是正方形，
、 互相平分， ， ，
， ，
．
， ，
．
， ．
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点 、 的横坐标分别为 、 ，
， ．
， ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ， ．
又 ， ，
， ．
．
．
．
点 、 在 轴的同侧，且点 在点 的右侧，
．
．
故选：B．
8. （2024四川遂宁）如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的对称轴为直线
，且该抛物线与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 ， 之间（不含端点），则下
列结论正确的有多少个（ ）
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① ；
② ；
③ ；
④若方程 两根为 ，则 ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得 ， ， ，
即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为 ，即可判断②错误；将c和b用a
表示，即可得到 ，即可判断③正确；结合抛物线 和直线 与 轴
得交点，即可判断④正确．
【详解】由图可知 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ， ，
则 ，
∵抛物线 与 轴的交点 在 ， 之间，
∴ ，
则 ，故①错误；
设抛物线与 轴另一个交点 ，
∵对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
则 ，故②错误；
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∵ ， ， ，
∴ ，解得 ，故③正确；
根据抛物线 与 轴交于点 和 ，直线 过点 和 ，如
图，
方程 两根为 满足 ，故④正确；
故选：B．
9.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， ，
其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结
论④；利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值范围，
判断⑤是否正确．
【详解】由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
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， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的根与
系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
10.（ 2024黑龙江绥化）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，
则下列结论中：
① ② （m为任意实数） ③
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得 ， 即可
判断①， 时，函数值最大，即可判断②，根据 时， ，即可判断③，根据对称性可得
即可判段④，即可求解．
【详解】∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线 ，
∴
∴
∵抛物线与 轴交于正半轴，则
∴ ，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ,
∴当 时， 取得最大值，最大值为
∴ （m为任意实数）
即 ，故②正确；
∵ 时，
即
∵
∴
即
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∴ ，故③正确；
∵ 、 是抛物线上不同的两个点，
∴ 关于 对称，
∴ 即 故④不正确
正确的有②③
故选：B
11. 抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小
于1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
，依题意， ，根据题意抛物线开口向下，当 时， ，即可判断A选项，
根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选
项，据此，即可求解．
【详解】解：依题意，设抛物线 与 轴交于两点，横坐标分别为
依题意，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， ，即
∴ ，故A选项正确，符合题意；
若对称轴为 ，即 ，
而 ，不能得出对称轴为直线 ，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
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∴方程 有两个不等实数解，即 ，又
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
无法判断 的符号，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
二、填空题
1. （2024四川成都市）在平面直角坐标系 中， ， ， 是二次函数
图象上三点．若 ， ，则 ______ （填“ ”或“ ”）；若对于
， ， ，存在 ，则 的取值范围是
______．
【答案】 ①. ②.
【解析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的
关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由 得抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵存在 ，
∴ ， ，且 离对称轴最远， 离对称轴最近，
∴ ，即 ，且 ，
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∵ ， ，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为： ； ．
2. （2024四川内江）已知二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，点
， 在抛物线 上，则 ________ （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【解析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线 的
解析式为 ，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】 ，
∵二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3. （2024江苏苏州）二次函数 的图象过点 ， ， ，
，其中m，n为常数，则 的值为______．
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【答案】 ##
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入 ，
求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4. （2024武汉市）抛物线 （a，b，c 是常数， ）经过 ， 两点，且
．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
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④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
其中正确的是__________（填写序号）．
【答案】②③④
【解析】本题考查了二次函数 的性质，根据题意可得抛物线对称轴 ，即可判断①，根
据 ， 两点之间的距离大于 ，即可判断②，根据抛物线经过 得出 ，代入顶
点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴 ，解不等
式，即可求解．
【详解】解：∵ （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，且 ．
∴对称轴为直线 ， ，
∵ ，
∴ ，故①错误，
∵
∴ ，即 ， 两点之间 的距离大于
又∵
∴ 时，
∴若 ，则 ，故②正确；
③由①可得 ，
∴ ，即 ，
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当 时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ，
∴
∴
∴
∵ ， ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 取得最大值为 ，而 ，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵ ，抛物线开口向下，点 ， 在抛物线上， ， ，总有
，
又 ，
∴点 离 较远，
∴对称轴
解得： ，故④正确．
故答案为：②③④．
5. （2024山东烟台）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
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下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当
时， 的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则
； 满足 的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为
______．
【答案】
【解析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出 的值即可判断 ；利用根
的判别式即可判断 ；利用二次函数的性质可判断 ；利用对称性可判断 ；画出函数图形可判断
；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把 ， ， 代入 得，
，
解得 ，
∴ ，故 正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
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∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时，函数取最大值
，
∵ 与 时函数值相等，等于 ，
∴当 时， 的取值范围为 ，故 错误；
∵ ，
∴点 ， 关于对称轴 对称，
∴ ，故 正确；
由 得 ，
即 ，
画函数 和 图象如下：
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由 ，解得 ， ，
∴ ， ，
由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 错误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
三、解答题
1. （2024北京市）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
（1）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求 的
取值范围.
【答案】（1） ； （2） 或
【解析】（ ）把 代入 ，转化成顶点式即可求解；
（ ）分 和 两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；
本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键
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【小问1详解】
解：把 代入 得， ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线 ；
当 时，如图，此时 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
当 时，如图，此时 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ；
综上，当 或 ，都有 ．
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2.（ 2024福建省）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，
其中 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是
的面积的2倍，求点 的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面
积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设 ，因为点 在第二象限，所以 ．依题意，得 ，即可得出 ，
求出 ，由 ，求出 ，即可求出点 的坐标．
【小问1详解】
解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
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所以，二次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
设 ，因为点 在第二象限，所以 ．
依题意，得 ，即 ，所以 ．
由已知，得 ，
所以 ．
由 ，
解得 （舍去），
所以点 坐标为 ．
3. （2024江苏扬州）如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点．
（1）求 的值；
（2）若点 在该二次函数的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程
的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设 ，结合几何图形面积计算方法可得点 的纵坐标，代入后解一元二次方程即
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可求解．
【小问1详解】
解：二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）可知二次函数解析式为： ， ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，无解，不符合题意，舍去；
当 时， ， ；
∴ ．
4.（ 2024云南省）已知抛物线 的对称轴是直线 ．设 是抛物线 与
轴交点的横坐标，记 ．
（1）求 的值；
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（2）比较 与 的大小．
【答案】（1）
（2）当 时， ；当 时， ．
【解析】【分析】（1）由对称轴为直线 直接求解；
（2）当 时， ；当 时， ．
【小问1详解】
解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 是抛物线 与 轴交点的横坐标，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而
代入得： ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
解得： ，
当 时，
∴ ；
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解
题的关键是对 进行降次处理．
5. （2024陕西省）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线型，桥
塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线为
y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离
， ，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不
计）
（1）求缆索 所在抛物线的函数表达式；
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（2）点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
【答案】（1） ； （2） 的长为 ．
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式
是解题的关键．
（1）根据题意设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，把 代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，由
，把 代入求得 ， ，据此求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得顶点P的坐标为 ，点A的坐标为 ，
设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴把 代入得， ，
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解得 ， ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 的长为 ．
6. （2024上海市）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过
和 ．
（1）求平移后新抛物线 的表达式；
（2）直线 （ ）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果 小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形 有一组对边平行，求点P的坐标．
【答案】（1） 或 ；
（2）① ；② ．
【解析】【分析】（1）设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ，把 和
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代入可得答案；
（2）①如图，设 ，则 ， ，结合 小于3，可得
，结合 ，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移
3个单位，由题意可得： 在 的右边，当 时，可得 ，结合平移的性质可得答案如
图，当 时，则 ，过 作 于 ，证明 ，可得
，设 ，则 ， ， ，再建立
方程求解即可.
【小问1详解】
解：设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ，
把 和 代入可得：
，
解得： ，
∴新抛物线为 ；
【小问2详解】
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解：①如图，设 ，则 ，
∴ ，
∵ 小于3，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
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由题意可得： 在 的右边，当 时，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
由平移的性质可得： ，即 ；
如图，当 时，则 ，
过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
解得： （不符合题意舍去）；
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综上： ；
【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函
数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.
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