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第14课时 二次函数的图象与性质
1.(2024·石家庄模拟)对于二次函数y=x2-2x+3的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2) D.与y轴的交点为(0,2)
2.(2024·广东)若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数y=x2的图象上,则 ( )
1 2 3
A.y >y >y B.y >y >y C.y >y >y D.y >y >y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2
3.(2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为 ( )
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2
4.(2024·石家庄模拟)如图,☉O的半径为2,C 是函数y=x2的图象,C 是函数y=-x2的图象,则阴影部
1 2
分的面积是 ( )
A.π B.2π C.4π D.6π
5.(2024·贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标
为(-1,4),则下列说法正确的是 ( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
6.(2024·达州)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于 1,另一个交点的横
坐标小于1,则下列结论正确的是 ( )
A.b+c>1 B.b=2
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C.b2+4c<0 D.c<0
7.(2024·泸州)已知二次函数 y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实
数a的取值范围为 ( )
9 3
A.1≤a< B.06.
1.(2024·石家庄裕华区二模)已知 a>0,设函数 y =a(x-1)2,y =a(x-2)2,y =a(x-3)2.直线 x=m 与函数
1 2 3
y ,y ,y 的图象分别交于点A(m,c ),B(m,c ),C(m,c ),下列说法正确的是( )
1 2 3 1 2 3
A.若m<1,则c 3,则c 0;③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;④若关于x的方程ax2+bx+c=a+5有两
个相等的实数根,则a=-2.正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·河北模拟)如图,已知抛物线y =-x2+1,直线y =-x+1,下列判断中:
1 2
①当x<0或x>1时,y 时,y -y 随x的增大而增大;
1 2
2
1
④使|y -y |= 的x的值有3个.
1 2
3
其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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4.(2024·保定二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线l:y=-(x-3)2+2,点M(x ,m),N(x ,m)是l
1 2
上两点,且x 1,
1 2 1 2
∴x-1<0,x-1>0,
1 2
∴(x-1)(x-1)<0,
1 2
∴xx-(x+x )+1<0,
1 2 1 2
由根与系数的关系可得,-c-b+1<0,∴b+c>1.故选A.
7.A 解析:∵函数图象经过第一、二、四象限,
2a-3 3
∴- >0,∴00,解得1≤a< ,
8
9
∴a的取值范围为1≤a< .故选A.
8
{
x+1(x≥1),
8.A 解析:∵y=
3
(x+1)2-1(x<1),
4
∴当x≥1时,函数图象为直线,且k>0,当x<1时,函数图象为对称轴为直线x=-1的抛物线,
3
当x=1时,y=1+1=2,代入二次函数解析式得y= ×(1+1)2-1=2,
4
∴两段函数图象是连续的.故选A.
9.C 解析:∵抛物线的顶点为(-1,-2),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2-2.
∴y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2.
又抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∴b=2a,c=a-2.
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c=a-2>0.
∴a>2>0,故A、B均不正确.
又抛物线的顶点为(-1,-2),
∴当x=-1时,y=a-b+c=-2,故C正确.
由b=2a,c=a-2,
得b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0,故D错误.故选C.
10.D 解析:∵二次函数的解析式为y=mx2-2mx+3,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为2,
∴①当m>0时,x=1时,y=2,
则m-2m+3=2,解得m=1.
②当m<0时,
∵对称轴是直线x=1,
∴当x=-1时,y取最小值2,
1
则m+2m+3=2,解得m=- .
3
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1
故m的值为1或- .故选D.
3
1
11.m≤ 解析:∵二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点,
8
1
∴Δ=(-1)2-4×2×m≥0,解得m≤ ,
8
1
即m的取值范围为m≤ .
8
12.4 解析:∵抛物线y=ax2+bx+3过B(3,0),C(2,3),
{9a+3b+3=0, {a=-1,
∴ ∴
4a+2b+3=3, b=2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
2
∴抛物线的对称轴是直线x=- =1.
2×(-1)
∵抛物线与x轴的一交点为B(3,0),
∴另一交点为A(1-2,0),即A(-1,0).
∴AB=3-(-1)=4.
{ a+b+1=0, { a=1,
13.解:(1)由题意,得 解得
4a+2b+1=1, b=-2,
∴该函数的解析式为y=x2-2x+1.
(2)证明:由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,
∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1
=p2+q2+4
=(2-q)2+q2+4
=2(q-1)2+6≥6,
由条件p≠q,知q≠1.
∴P+Q>6.
能力提升
1.D 解析:如图所示,
A.由图象可知,若m<1,则c3,则c0,
b
∵- >0,∴b>0,∴abc<0,故①正确.
2a
∵抛物线的对称轴是直线x=1,
b
∴- =1,∴2a+b=0,∵b>0,
2a
∴2a+b+2b>0,
∴2a+3b>0,故②正确.
∵抛物线交x轴于点(-1,0),(3,0),
∴可以设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
当x=1时,y的值最大,最大值为-4a,故③正确.
∵ax2+bx+c=a+5有两个相等的实数根,
∴a(x+1)(x-3)=a+5有两个相等的实数根,
∴ax2-2ax-4a-5=0,Δ=0,
∴4a2-4a(-4a-5)=0,
∴a(a+1)=0,
∴a=0(舍去)或a=-1,故④不正确.故选C.
3.C 解析:由题意,可得y=-x2+1和y=-x+1图象的交点为(0,1),(1,0),
1 2
∴当x<0或x>1时,y 时,y随x的增大而增大,故③正确.
2
1
令|y -y|= ,
2 1
3
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1 1
∴x2-x= 或x2-x=- .
3 3
1 4 7 1 4 1
对于x2-x- =0,Δ=1+ = >0,此时方程有两个不等的实数根;对于x2-x+ =0,Δ=1- =- <0,此时方程没有实数
3 3 3 3 3 3
根.
1
∴使|y -y|= 的x的值有2个,故④错误.
2 1
3
综上,正确的有①②③,共3个.故选C.
4.C 解析:当m<-2时,可画出图象如图1,显然新图象与直线y=-2没有交点,即甲说法错误;
图1
当m=-2时,可画出图象如图2,显然新图象与直线y=-2有2个交点,即乙说法正确;
图2
当-2
