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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 7 讲二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第七讲二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一待定系数法求函数的解析式
考向二二次函数图像的翻折
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第七讲二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）
二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会
考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要
是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.
→➊考点精析←
1、 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：
y=ax2 +bx+c
.已知图像上三点或三对x、 y 的值，通常选择一般式.
2
y=a(x−h) +k
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
x x y=a(x−x )(x−x )
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标 1、 2，通常选用交点式： 1 2
2、图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2
＋k的图象．
⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是
（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是
（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，
即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2
相同．
记住规律：左加右减，上加下减
→➋真题精讲←
考向一待定系数法求解析式
1．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于
， 两点，下列说法正确的是（ ）
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A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线
相交于点 ， ．结合图象，判断下列结论：①当 时， ；
② 是方程 的一个解；③若 ， 是抛物线上的两点，则 ；
④对于抛物线， ，当 时， 的取值范围是 ．其中正确结
论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 ，（ ， 是实数）．
已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
(1)若 ，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．
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4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数 ．
(1)当 时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当 时，求 的取值范围．
(2)当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式．
5．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点
和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
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6．（2023·浙江·统考中考真题）已知点 和 在二次函数 是
常数， 的图像上．
(1)当 时，求 和 的值；
(2)若二次函数的图像经过点 且点A不在坐标轴上，当 时，求 的取值范
围；
(3)求证： ．
考向二二次函数图像的平移（翻折）
7．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此
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时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物
线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰
的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
8．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知 是抛物 （b为常
数）上的两点，当 时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外
接圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得
点P、Q的纵坐标相等．求 长的取值范围．
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9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线 与 轴交于
两点，交 轴于点 ．
(1)请求出抛物线 的表达式．
(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否
存在点 使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴
正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
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10．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
的顶点为 ．直线 过点 ，且平行于 轴，与抛物线 交
于 两点（ 在 的右侧）．将抛物线 沿直线 翻折得到抛物线 ，抛物线 交 轴于
点 ，顶点为 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)连接 ，若 为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若 的面积为 两点分别在边 上运动，且
，以 为一边作正方形 ，连接 ，写出 长度的最小值，并简要说明
理由．
9
