文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 6 讲二次函数的图像与性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 6 讲二次函数的图像与性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一二次函数的最值
考向二二次函数平移
考向三二次函数图像对称
考向四二次函数综合性质
考向五二次函数参数问题
考向六二次函数交点问题
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 6 讲二次函数的图像与性质
二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会
考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要
是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.
→➊考点精析←
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
当x=– 时， 当x=– 时，
最值
y = y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<– 时，y随x的增大而减 当x<– 时，y随x的增大而增
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小；当x>– 时，y随x的增大而 大；当x>– 时，y随x的增大
增大 而减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac b2–4ac>0 与x轴有两个交点
b2–4ac<0 与x轴没有交点
四、抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加
或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的
平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
六、二次函数的综合
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式
设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后
结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符
合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等
有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动
时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大
题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多
少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结
合题干中与动点有关的条件进行计算．
→➋真题精讲←
考向一二次函数最值
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是
－3
2．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线 ，则当 时，函数的
最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 是实数 ，
则（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
考向二二次函数平移
4．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
考向三二次函数图像对称
5.（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数 的图像的
对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
考向四二次函数综合性质
6．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线 与x轴的一个交点为 ，
若 ，则实数 的取值范围是( )
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． 或
C． D． 或
7．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数 为常数，
的图象与 轴交于点 ．有下列结论：① ；②若点 和
均在抛物线上，则 ；③ ；④ ．其中正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法
正确的是( )
A．点 在该函数的图象上
B．当 且 时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧
考向五二次函数参数问题
9．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点
，其中 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④不等式 的解集为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数 （其中 是自变量），
当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
11．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为
，与 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：① ；② ；
③若图象经过点 ，则 ；④若关于 的一元二次方程
无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考向六二次函数交点问题
11．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于
， 两点，下列说法正确的是（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
12．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过 两点的抛物线
（ 为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线 与 轴只有一个交点，则
________．
9
