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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 6 讲二次函数的图像与性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 6 讲二次函数的图像与性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一二次函数的最值
考向二二次函数平移
考向三二次函数图像对称
考向四二次函数综合性质
考向五二次函数参数问题
考向六二次函数交点问题
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第 6 讲二次函数的图像与性质
二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会
考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要
是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.
→➊考点精析←
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x ）（x–x ），其中x ，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
当x=– 时， 当x=– 时，
最值
y = y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<– 时，y随x的增大而减 当x<– 时，y随x的增大而增
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小；当x>– 时，y随x的增大而 大；当x>– 时，y随x的增大
增大 而减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac b2–4ac>0 与x轴有两个交点
b2–4ac<0 与x轴没有交点
四、抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加
或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的
平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
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（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
六、二次函数的综合
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式
设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后
结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符
合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等
有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动
时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大
题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多
少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结
合题干中与动点有关的条件进行计算．
→➋真题精讲←
考向一二次函数最值
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是
－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
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∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
2．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线 ，则当 时，函数的
最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】把抛物线 化为顶点式，得到对称轴为 ，当 时，函数的最小
值为 ，再分别求出 和 时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时，函数的最大值为2，
故选：D.
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 是实数 ，
则（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
【答案】A
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线
对称轴为直线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求
解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
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∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴
是解题的关键．
考向二二次函数平移
4．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的
函数表达式为： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关
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键．
考向三二次函数图像对称
5.（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数 的图像的
对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分 ， 两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数 的图像的对称轴，
∴对称轴为直线 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴a，b异号，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本
题的关键．
考向四二次函数综合性质
6．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线 与x轴的一个交点为 ，
若 ，则实数 的取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
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【分析】根据抛物线有交点，则 有实数根，得出 或 ，分类讨
论，分别求得当 和 时 的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ 有实数根，
∴
即
解得： 或 ，
当 时，如图所示，
依题意，当 时， ，
解得： ，
当 时， ，解得 ，
即 ，
当 时，
当 时， ，
解得：
∴
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综上所述， 或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数 为常数，
的图象与 轴交于点 ．有下列结论：① ；②若点 和
均在抛物线上，则 ；③ ；④ ．其中正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与 轴交点问题逐项
分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与 轴正半轴交于一点，
， .
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边， 在对称轴的右边，如图所示，
.
故②正确.
图象与 轴交于点 ，
， .
.
.
故③正确.
，
.
当 时， ，
.
，
，
.
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故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称
轴，开口方向以及与 轴交点.
8．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法
正确的是( )
A．点 在该函数的图象上
B．当 且 时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
当 时： ，
∵ ，
∴ ，
即：点 不在该函数的图象上，故A选项错误；
当 时， ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值为 ，
当 时， 有最小值为 ，
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∴ ，故B选项错误；
∵ ，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当 时，抛物线的对称轴为： ，
∴该函数图象的对称轴一定在直线 的右侧，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
考向五二次函数参数问题
9．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点
，其中 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；
④不等式 的解集为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当 时， 即可判断②；
根据对称轴为 ， 可判断③； ， 数形结合即可
判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴ ，
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∴ ，故①正确．
∵当 时， ，
∴ ，故②错误．
∵抛物线 与x轴交于两点 ，其中 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
∴ ，
∴ ，故③正确；
设 ， ，如图：
由图得， 时， ，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结
合思想解决问题是解题的关键．
10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数 （其中 是自变量），
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当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】首先根据题意求出对称轴 ，然后分两种情况： 和 ，分别根
据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数 ，
∴对称轴 ，
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴ ，
∴解得 ；
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴当 时， ，
∴解得 ，
∴ ，
∴综上所述，
当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为 或 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
11．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为
，与 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：① ；② ；
③若图象经过点 ，则 ；④若关于 的一元二次方程
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无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出 ，再根
据图象得出当 时， ，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再
根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方
程 移项可得 ，根据该方程无实数根，得出抛物线
与直线 没有交点，即可判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，
∴ ，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，
故①正确，符合题意；
②∵ ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ，则 ，
当 时， ，
把 得：当 时， ，
由图可知：当 时， ，
∴ ，
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故②不正确，不符合题意；
③∵该抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 到对称轴的距离为 ， 到对称轴的距离为 ，
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，
∴ ，
故③正确，符合题意；
④将方程 移项可得 ，
∵ 无实数根，
∴抛物线 与直线 没有交点，
∵ ，
∴ ．故④正确
综上：正确的有：①③④，共三个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判
断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．
考向六二次函数交点问题
11．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于
， 两点，下列说法正确的是（ ）
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A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为
，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，
不符合题意；
当 时，
即
∴ ，
∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的
交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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12．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过 两点的抛物线
（ 为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式，根据抛物线与
轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求得 的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线经过 两点
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴有交点，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线 与 轴只有一个交点，则
________．
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【答案】9
【分析】根据抛物线与 轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，
则判别式 ；抛物线与x轴有一个交点，则判别式 ；抛物线与x轴没有交点，则判
别式 ．
【20淘宝店铺：向阳百分百】
