文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
微专题 13 二次函数的图象与性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 二次函数的图象与性质(6年6考)
表达式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a a＞0 a＜0
图象(草图)
(1)对称轴为直线x＝①
x ＋x
对称轴 (2)利用x＝ 1 2求解(其中x ，x 为关于对称轴对称的两点的
2 1 2
横坐标)
顶点 (1)顶点坐标为②
坐标 (2)将一般式配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为③
在对称轴左侧，即当x＜－
b
在对称轴左侧，即当x＜－
b 时，y随x的增大而减 2a
2a
时，y随x的增大而增大；在对
增减性 小；在对称轴右侧，即当x
b
称轴右侧，即当x＞－ 时，y
b
2a
＞－ 时，y随x的增大而
2a
随x的增大而减小
增大
b b
最值 当x＝－ 时，y取最小值 当x＝－ 时，y取最大值
2a 2a
1 第 1 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4ac－b2 4ac－b2
4a 4a
2. 二次函数的图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
a＞0 开口④
a的正负
a＜0 开口⑤
b＝0 对称轴为y轴
a，b的值 a，b同号 对称轴在y轴⑥
a，b异号 对称轴在y轴⑦
c＝0 抛物线过原点
c的正负 c＞0 抛物线与y轴交于⑧ 半轴
c＜0 抛物线与y轴交于⑨ 半轴
b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点)
b2－4ac的值 b2－4ac＞0 与x轴有⑩ 交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
3. 二次函数表达式的三种形式(6年3考)
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)
(3)交点式：y＝a(x－x )(x－x )(a≠0，a，x ，x 为常数，其中x ，x 为抛物线与x
1 2 1 2 1 2
轴交点的横坐标)
4. 二次函数图象的平移(6年2考)
(1)将y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k
(2)平移规律
平移前的解析式 移动方向(m＞0) 平移后的解析式 简记
向左平移m个单位 y＝a(x－h＋m)2＋k 左“＋”
向右平移m个单位 y＝a(x－h－m)2＋k 右“－”
y＝a(x－h)2＋k
向上平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k＋m 上“＋”
向下平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k－m 下“－”
5. 二次函数与一元二次方程的关系
2 第 2 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
与x轴
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次
交点坐
方程ax2＋bx＋c＝0的解
标的确定
(1)二次函数的图象与x轴有两个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有⑪
的实数根⇔b2－4ac＞0；
与x轴交点个 (2)二次函数的图象与x轴有且只有一个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝
数的判断 0有两个相等的实数根⇔b2－4ac ⑫ 0；
(3)二次函数的图象与x轴没有交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0 ⑬
实数根⇔b2－4ac＜0
练考点
1. 已知二次函数y＝2(x－2)2＋5.
(1)二次函数图象的对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；
(2)二次函数的图象经过点(3，y )，(5，y )，则y y .(填“＞”“＝”或
1 2 1 2
“＜”)
2. 已知函数y＝x2－4x＋3.
(1)函数图象的开口向 ，与y轴的交点坐标为 ；
(2)函数的图象与x轴有 个交点，交点的坐标为 .
3. (1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点(0，1)和(1，0)，则抛物线的解析式为
；
(2)已知二次函数的图象经过点(1，0)，(3，0)和(2，3)，则这个二次函数的解析
式为 .
4. 已知抛物线y＝x2－2x－3.
(1)将此二次函数的图象先向上平移3个单位长度，得到的二次函数C 的解析式
1
为 ，再向右平移1个单位长度，得到的二次函数C 的解析式为
2
；
(2)若将抛物线经过平移后得到抛物线y＝x2，则平移的方式是 .
3 第 3 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5. 已知抛物线y＝x2＋x－2，则一元二次方程x2＋x－2＝0与x轴有 个
交点，该一元二次方程的解为 .
高频考点
考点1 二次函数的图象与性质(6年6考)
例1 已知二次函数y＝x2－2x－3，根据要求回答下列问题.
(1)该二次函数表达式化为顶点式为 ；
(2)核心设问 该二次函数有最 值(填“大”或“小”)，其最值为
；[2021广东9题考查]
(3)核心设问 当－3≤x≤0时，y的最大值为 ，最小值为 ；[2021
广东22(2)题考查]
(4)当－1≤x≤2时，y的最大值为 ，最小值为 ；
(5)若点A(5，12)为二次函数图象上的点，则点A关于对称轴对称的点的坐标为
；
(6)核心设问 若点A(－2，y )，B(2，y )，C(5，y )在该二次函数图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为 ；(用“＜”连接)[2024广东8题考查]
2 3
(7)若(4，y )，(m，y )是抛物线上不同的两点，且y ＝y －5，则m的值为
1 2 2 1
.
变式1 (2024珠海香洲区二模)对于抛物线y＝3(x－2)2－1，下列说法正确的是(
)
A. y随x的增大而减小
B. 当x＝2时，y有最大值－1
C. 若点A(3，y )，B(1，y )都在抛物线y＝3(x－2)2－1上，则y ＞y
1 2 1 2
D. 经过第一、二、四象限
考点2 二次函数的图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
例2 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x＝1.根据图象，分析并
判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”填空.
4 第 4 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例2题图
(1)a 0，b 0，c 0；
(2)b2－4ac 0；
(3)2a＋b 0；
(4)a＋b＋c 0；
(5)4a－2b＋c 0；
(6)c－a 0；
(7)2c－3b 0；
(8)a＋b m(am＋b)(m≠0).
方法解读
1. 根据b2－4ac的符号观察与x轴的交点个数：
(1)与x轴有两个交点→b2－4ac＞0；
(2)与x轴有一个交点→b2－4ac＝0；
(3)与x轴没有交点→b2－4ac＜0.
2. 二次函数图象与特殊代数式之间的关系
(1)如遇见2a＋b，2a－b类的式子，可利用对称轴与±1比较求解；
(2)如遇见a＋b＋c，a－b＋c类的式子，可利用x＝±1，求出y的大小求解；
(3)如遇见a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴(如：2a＋b)与x等于某个值
时y的式子(如a＋b＋c)联立求解；
(4)如遇见(a＋c)2＜b2形式的式子，先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联
立求解.
例3 已知a＋b＝0(a≠0)，ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(
)
5 第 5 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点3 二次函数解析式的确定(含平移)(6年3考)
例4 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)，B(点A在点B
左侧)，与y轴相交于点C(0，－3).
例4题图
(1) 若抛物线的对称轴为直线x＝2，求该抛物线的解析式；
(2) 若抛物线向左平移3个单位后，经过坐标原点，求该抛物线的解析式；
(3) 核心设问 若AO∶BO＝1∶2，求该抛物线的解析式；[2022广东23(1)题，2020
广东25(1)题考查]
(4) 若直线y＝2x＋m经过点B，C，求该抛物线的解析式.
6 第 6 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
变式3 (2024梅州梅县一模)已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝
－2x2＋9x相同，且它的顶点坐标为(－1，6)，则这条抛物线的解析式为
.
考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(6年2考)
例5 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则关于x的一元二
次方程ax2＋bx＋c＝－1有 个实数根.
例5题图
变式4 已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0，b≠0)经过点(－2，0)，(3，0)，则方
程cx2＋bx＋a＝0的解为 .
真题及变式
命题点1 二次函数的图象与性质(6年6考)
1. (2024广东8题3分)若点(0，y )，(1，y )，(2，y )都在二次函数y＝x2的图象
1 2 3
上，则( )
A. y ＞y ＞y B. y ＞y ＞y
3 2 1 2 1 3
C. y ＞y ＞y D. y ＞y ＞y
1 3 2 3 1 2
2. (2023广东10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点
A，B，C，点 B在y轴上，则ac的值为( )
第2题图
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
7 第 7 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2.1 变思维——将利用对称性变为利用正方形的边角关系
(2024珠海模拟)如图，在正方形ABCD中，点B，D的坐标分别是(－1，－2)，
1
(1，2)，点C在抛物线y＝－ x2＋bx的图象上，则b的值是( )
2
3 3
A. － B.
2 2
1 1
C. － D.
2 2
变式2.1题图
命题点2 二次函数图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
3. (2020广东10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1.下列
结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正确的有(
)
第3题图
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3.1 变条件——与表格结合
(2024烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实
数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y )，(－m－2，
1
8 第 8 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
y )均在二次函数图象上，则y ＝y ；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2 的x的取值范
2 1 2
围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为 .
命题点3 二次函数图象的平移(6年2考)
4. (2020广东7题3分)把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移
后图象的函数解析式为( )
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－1)2＋1
C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－1)2＋3
5. (2021广东12题4分)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移
3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .
5.1 变条件——将抛物线平移变为坐标轴平移
抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋2，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴
向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(
)
A. y＝(x＋2)2＋4 B. y＝(x＋2)2
C. y＝(x－4)2＋4 D. y＝(x－4)2
9 第 9 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点精讲
b b 4ac－b2
①－ ②(－ ， ) ③(h，k) ④向上
2a 2a 4a
⑤向下 ⑥左侧 ⑦右侧 ⑧正 ⑨负 ⑩两个
⑪两个不相等 ⑫＝ ⑬无
练考点
1. (1)x＝2，(2，5)；(2)＜
2. (1)上，(0，3)；(2)两，(1，0)和(3，0)
3. (1)y＝x2－2x＋1；
(2)y＝－3(x－1)(x－3)
4. (1)y＝x2－2x，y＝x2－4x＋3；
(2)先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度(答案不唯一)
5. 两；x ＝－2，x ＝1
1 2
高频考点
例1 (1)y＝(x－1)2－4；
(2)小，－4；
(3)12，－3；
(4)0，－4；
(5)(－3，12)；
(6)y ＜y ＜y ；
2 1 3
(7)－1或3.
变式1 D 【解析】∵抛物线y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11，a＝3＞0，对称
轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而
增大，故A选项错误，不符合题意；∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y取最
小值为－1，故B选项错误，不符合题意；由题意得抛物线上的点离对称轴越近
函数值越小，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，｜3－2｜＝｜1－2｜，∴y ＝y ，
1 2
故C选项错误，不符合题意；∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，
10 第 10 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
y＝11，∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过第三象限，故D选项正确，符合题
意.
例2 (1)＞，＜，＜；
(2)＞；(3)＝；(4)＜；(5)＞；
(6)＜； 【解析】由图象可知，a＞0，c＜0，c－a＜0.
b b
(7)＜； 【解析】∵对称轴为直线x＝1，∴－ ＝1，∴a＝－ ，将x＝－1代
2a 2
b
入二次函数解析式得y＝a－b＋c＜0，－ －b＋c＜0，2c－3b＜0.
2
(8)≤ 【解析】将x＝1代入二次函数解析式得y＝a＋b＋c，将x＝m代入得y＝
am2＋bm＋c，当m＝1时，a＋b＋c＝am2＋bm＋c，即a＋b＝m(am＋b)；当m≠1
时，∵当x＝1时y取得最小值，∴a＋b＋c＜am2＋bm＋c，即a＋b＜m(am＋
b)，综上所述，a＋b≤m(am＋b).
b a 1
例3 C 【解析】∵a＋b＝0，∴a＝－b，∴对称轴为直线x＝－ ＝ ＝ ，
2a 2a 2
∵ac＞0，∴a，c同号，∴选项C符合题意.
b
例4 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝2，
2a
∴b＝－4a，
∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－4ax＋c，
将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－4ax＋c中，
{a+4a＋c=0
得 ，
c＝－3
{ 3
a＝
解得 5 ，
c＝－3
12
∴b＝－ ，
5
3 12
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x－3；
5 5
(2)由题意，抛物线经过点(3，0)，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，0)，
11 第 11 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，－3)代入，得－3＝－3a，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；
(3)∵点A的坐标为(－1，0)，
∴AO＝1，
∵AO∶BO＝1∶2，
∴BO＝2，
∴点B的坐标为(2，0)，
将A(－1，0)，B(2，0)，C(0，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
{
a－b＋c=0
得 4a+2b＋c=0，
c＝－3
3
{ a＝
2
解得 3，
b＝－
2
c＝－3
3 3
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x－3；
2 2
(4)将C(0，－3)代入y＝2x＋m中，
得m＝－3，
∴直线BC的解析式为y＝2x－3，
3
令2x－3＝0，解得x＝ ，
2
3
∴点B的坐标为( ，0)，
2
3
将A(－1，0)，B( ，0)，C(0，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
2
a－b＋c=0
{
9 3
得 a＋ b＋c=0，
4 2
c＝－3
12 第 12 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
{
a=2
解得 b＝－1，
c＝－3
∴该抛物线的解析式为y＝2x2－x－3.
变式3 y＝－2(x＋1)2＋6 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(－1，6)，∴抛物线
解析式可设为y＝a(x＋1)2＋6，∵抛物线y＝a(x＋1)2＋6的形状、开口方向均与
抛物线y＝－2x2＋9x相同，∴a＝－2，∴这条抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2
＋6.
例5 两 【解析】∵二次函数的顶点在第二象限，且开口向下，∴抛物线y＝
ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx
＋c＝－1有两个实数根.
1 1
变式4 x ＝－ ，x ＝ 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，
1 2 2 3
1 b 1
(3，0)，∴对称轴为直线x＝ ，即－ ＝ ，∴b＝－a，∴a＝－b.将点(－2，0)
2 2a 2
代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a－2b＋c＝0，∴－4b－2b＋c＝0，∴c＝6b，∴6bx2
1 1
＋bx－b＝0，即6x2＋x－1＝0，解得x ＝－ ，x ＝ .
1 2 2 3
真题及变式
1. A 【解析】∵二次函数的解析式为y＝x2，∴该二次函数的图象开口向上，
对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵2＞1＞0，∴y ＞y ＞y .
3 2 1
2. B 【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，当x＝0时，y＝c，即OB＝c，
c c
∵四边形OABC是正方形，∴AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC⊥OB，∴A( ， )，
2 2
c c2
∴ ＝a× ＋c，解得ac＝－2.
2 4
第2题解图
13 第 13 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
变式2.1 D 【解析】如解图，过点C作MN⊥x轴，作BM⊥MN于点M，
DN⊥MN于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC，
∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠BMC＝
∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN(AAS)，∴CN＝BM，DN＝CM，设C(a，b)，∵
{a+1=2－b { a=2
点B，D的坐标分别是(－1，－2)，(1，2)，∴ ，解得 ，
a－1=b+2 b＝－1
1 1
∴C(2，－1)，∵点C在抛物线y＝－ x2＋bx的图象上，∴－1＝－ ×4＋2b，
2 2
1
∴b＝ .
2
变式2.1题解图
3. B 【解析】①∵抛物线开口向下且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，又∵抛
b
物线的对称轴为x＝－ ＝1，∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，故①错误；②由抛物
2a
线与x轴有两个交点，得b2－4ac＞0，故②正确；③由题图知，当x＝－2时，
二次函数y＝4a－2b＋c＜0，又由①知b＝－2a.∴y＝4a－2b＋c＝8a＋c＜0，故
③正确；④∵5a＋b＋2c＝(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)，结合图象可知：当x＝－1
时，y＝a－b＋c＞0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，∴(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)
＝5a＋b＋2c＞0，故④正确.∴正确的结论有3个，故选B.
变式3.1 ①②④ 【解析】由题意，将点(－4，0)，(－3，5)，(1，5)代入二次
{16a－4b＋c=0 {a＝－1
函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c中，得 9a－3b＋c=5 ，解得 b＝－2，∴二次函
a＋b＋c=5 c=8
数的解析式为y＝－x2－2x＋8，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，结论①正确；
当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，解得x ＝x ＝－1，有两个相等的实数根，结论②
1 2
正确；由表格知，当－4＜x＜1时，0＜y＜9，结论③错误；∵二次函数y＝－x2
m＋(−m－2)
－2x＋8的对称轴为直线x＝－1，且 ＝－1，∴点(m，y )，(－m－
2 1
14 第 14 页 共 15 页关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2，y )关于对称轴对称，∴y ＝y ，结论④正确；由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得x2＋
2 1 2
x－6＞0，∴x的取值范围为x＜－3或x＞2，结论⑤错误.
4. C 【解析】y＝(x－1)2＋2向右平移1个单位后得到y＝(x－1－1)2＋2，即y＝
(x－2)2＋2.
5. y＝2(x＋1)2－2
变式5.1 D 【解析】根据题意知，将抛物线y＝(x－1)2＋2向下平移2个单位
长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝(x－4)2.
15 第 15 页 共 15 页
