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第三章 函数
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图， OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则
点A的坐标△是（ ）
A．(5,4) B．(3,4) C．(5,3) D．(4,3)
【答案】D
【分析】利用HL证明 ACO≌ BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴△， △
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴ ACO≌ BCO(HL)，
△ △1
∴AC=BC= AB=3，
2
∵OA=5，
∴OC=√52−32=4，
∴点A的坐标是（4，3），
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题．
【新考法】 从图象中获取信息
2．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系
如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢 B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟 D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【分析】结合函数关系图逐项判断即可．
【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符
合题意；
B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；
C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；
D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题
意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．
√x+3
3．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
4．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中
心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均
为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为
Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
1 1
∴S= (2−t)·t=− t2+t；
2 2
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
1
∴S= t；
2
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析
式是解题的关键．
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5．【创新题】直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a≤0，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
∵方程ax2+2x+1=0，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =b2−4ac=4−4a，
∴4∆-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易
错点是a的取值范围，再分类讨论.
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a0)的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其
x
中∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（ ）
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A．1 B．√2 C．2√2 D．4
【答案】C
【分析】如图，过A作AM∥x轴，交y轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交MA于H，则
( 2)
∠OMA=∠AHB=90°, 证明△AOM≌△BAH, 可得OM=AH,AM=BH, 设A m, , 则
m
2 2 2 ( 2 2 )
AM=m,OM= ,MH=m+ ,BD= −m, 可得 B m+ , −m , 再利用勾股定理建立函数关系
m m m m m
式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过A作AM∥x轴，交y轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交MA于H，则
∠OMA=∠AHB=90°,
∴∠MOA+∠MAO=90°,
∵AO=AB,AO⊥AB,
∴∠MAO+∠BAH=90°,
∴∠MOA=∠BAH,
∴△AOM≌△BAH,
∴OM=AH,AM=BH,
( 2) 2 2 2
设A m, , 则AM=m,OM= ,MH=m+ ,BD= −m,
m m m m
( 2 2 )
∴ B m+ , −m ,
m m
∴OB= √ ( m+ 2) 2 + ( 2 −m ) 2 = √ 2m2+ 8 ,
m m m2
∵m>0, 而当a>0,b>0时，则a+b≥2√ab,
8 √ 8
∴2m2+ ≥2 2m2× =8,
m2 m2
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8
∴2m2+
的最小值是8，
m2
∴OB的最小值是√8=2√2.
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方
公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“a2+b2≥2ab的变形公式”是解本题的关键．
9．二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数y=ax2+bx+1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y=2ax+b的图像
b
恒过定点(− ,0)，即可得出正确选项．
2a
b b
【详解】二次函数y=ax2+bx+1的对称轴为x=− ，一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(− ,0)，
2a 2a
b
所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(− ,0)，只有A选项符合题意．
2a
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数
b
y=2ax+b的图像恒过定点(− ,0)，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
2a
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，01时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题意可知：a+b+c=0，b=−(a+c)，b+c=−a，
∵02a，即b=−(a+c)<−2a，得出b+2a<0，故①正确；
∵b+2a<0，
b
∴对称轴x =− >1，
0 2a
∵ a>0，
∴1x 时，y随x的增大而增大，故②不正确；
0 0
∵b2−4a(b+c)=b2−4a×(−a)=b2+4a2>0，
∴关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的
性质并能应用求解．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，点A的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把ΔOAB沿x轴向右平移到ΔECD，若四边形ABDC的面
积为9，则点C的坐标为 ．
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【答案】(4，3)
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到
AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到BD⋅AH=9，求出BD即可得到答案.
【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵BD⋅AH=9，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案为：(4，3).
【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关
系.
12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售
价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮
产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．
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【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系
式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当10≤x≤20时，设y=kx+b，，把（10，20），（20，10）代入可得：
¿，
解得¿，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=−x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w=(x−8)y=(x−8)(−x+30)=−x2+38x−240=−(x−19) 2+121，
∵−1<0，
∴当x=19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函
数的性质是解题关键．
13．【原创题】把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平
移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
【答案】m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意
得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，
m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
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∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新
抛物线的顶点坐标．
6
14．若点A(1,y ),B(−2,y ),C(−3,y )都在反比例函数y= 的图象上，则y ,y ,y 的大小关系为
1 2 3 x 1 2 3
．
【答案】y＜y＜ y
2 3 1
6
【分析】将点A（1，y），B（-2，y），C（-3，y）分别代入反比例函数y= ，并求得y、y、y 的值，
1 2 3 x 1 2 3
然后再来比较它们的大小．
【详解】根据题意，得
6
当x=1时，y= =6，
1 1
6
当x=-2时，y= =−3，
2 −2
6
当x=-3时，y = =−2；
3 −3
∵-3＜-2＜6，
∴y＜y＜ y；
2 3 1
故答案是y＜y＜ y．
2 3 1
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及
平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目．
3x−y=1
15．已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{ 的
kx−y=0
解是 ．
x=1
【答案】{
y=2
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组¿的解为：¿，
即¿的解为：¿，
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故答案为：¿．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的
关系是解题的关键．
【新考法】 二次函数与几何综合
16．在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形
中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的
1
实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也
4
是矩形OABC，则b= ．
7 25
【答案】 或−
12 12
【分析】根据题意求得点A(3,0)，B(3,4)，C(0,4)，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由y=(x−2) 2(0≤x≤3)，当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
∵A(3,0)，四边形ABCO是矩形，
∴B(3,4)，
1
①当抛物线经过O，B时，将点(0,0)，B(3,4)代入y= x2+bx+c(0≤x≤3)，
4
∴¿
7
解得：b=
12
1
②当抛物线经过点A,C时，将点A(3,0),C(0,4)代入y= x2+bx+c(0≤x≤3)，
4
∴¿
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25
解得：b=−
12
7 25
综上所述，b= 或b=− ，
12 12
7 25
故答案为： 或− ．
12 12
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的
底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)V =10000米3
(2)当16≤d≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
10000
（2）先求解反比例函数的解析式为S= ，再利用反比例函数的性质可得答案．
d
【详解】（1）解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，
∴V =Sd=500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
Sd=10000，
10000
则S= （d>0），S随着d的增大而减小，
d
当d=16时，S=625； 当d=25时，S=400；
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∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值
的范围是解本题的关键．
m
18．如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图像与反比例函数y= (m≠0,x>0)的图像交于点A(2,n)，与y
x
轴交于点B，与x轴交于点C(−4,0)．
(1)求k与m的值；
7
(2)P(a,0)为x轴上的一动点，当△APB的面积为 时，求a的值．
2
1
【答案】(1)k的值为 ，m的值为6
2
(2)a=3或a=−11
【分析】（1）把C(−4,0)代入y=kx+2，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式
可得答案；
（2）先求解B(0,2)．由P(a,0)为x轴上的一动点，可得PC=|a+4|．由S =S +S ，建立方
△CAP △ABP △CBP
程求解即可．
【详解】（1）解：把C(−4,0)代入y=kx+2，
1
得k= ．
2
1
∴y= x+2．
2
1
把A(2,n)代入y= x+2，
2
得n=3．
∴A(2,3)．
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m
把A(2,3)代入y= ，
x
得m=6．
1
∴k的值为 ，m的值为6．
2
（2）当x=0时，y=2．
∴B(0,2)．
∵P(a,0)为x轴上的一动点，
∴PC=|a+4|．
1 1
∴S = PC⋅OB= ×|a+4|×2=|a+4|，
△CBP 2 2
1 1 3
S = PC⋅y = ×|a+4|×3= |a+4|．
△CAP 2 A 2 2
∵S =S +S ，
△CAP △ABP △CBP
3 7
∴ |a+4|= +|a+4|．
2 2
∴a=3或a=−11．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形
结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
4
19．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A(1,m)，B(n,−2)．
x
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(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
4
(2)根据函数图象，直接写出不等式kx+b> 的解集；
x
(3)若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【答案】(1)y=2x+2，图见解析
(2)−21
(3)12
4
【分析】（1）把A(1,m)，B(n,−2)分别代入y= 得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定
x
系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
4
（2）由函数图象可知，当 −21时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y= 的图
x
象的上方，即可得到答案；
（3）根据点C是点B关于y轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可．
4
【详解】（1）解：把A(1,m)，B(n,−2)分别代入y= 得，
x
4 4
m= ，−2= ，
1 n
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数y=kx+b(k≠0)得，
¿，
解得¿，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，
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4
（2）解：由函数图象可知，当 −21时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y=
x
的图象的上方，
4
∴不等式kx+b> 的解集为−21；
x
（3）解：∵点C是点B关于y轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
1
∴S = ×4×6=12．
△ABC 2
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例
函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
20．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区
内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）
与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
3
销售单价x（元/件） … 40 45 …
5
9
每天销售数量y（件） … 80 70 …
0
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
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(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法
可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得
销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次
函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：¿，
解得¿，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
21．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的
直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距
离为4米．
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(1)求出抛物线的解析式．
13
(2)在距离地面 米高处，隧道的宽度是多少？
4
(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡
车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
1
【答案】(1)y=− x2+1
4
(2)2√3米
(3)能通过，见解析
【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式；
13 1
(2)把y= −3= 代入解析式，即可求得；
4 4
(3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题．
【详解】（1）解：∵最高点E到地面距离为4米，
∴EF=4米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCO=90°，
又∵∠COF=90°，
∴四边形BCOF是矩形，
∴OF=BC=3米，
∴OE=EF−OF=4−3=1(米)，
∴点E的纵坐标为1，
∴c=1，
∴y=ax2+1，
又∵AB=CD=4米，
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∴点C的坐标为(2,0)，
把点C的坐标代入解析式，得4a+1=0，
1
解得a=− ，
4
1
故抛物线的解析式为y=− x2+1；
4
13 1
（2）解：把y= −3= 代入解析式，
4 4
1 1
得− x2+1= ，
4 4
解得x =√3，x =−√3，
1 2
13
故在距离地面 米高处，隧道的宽度是√3−(−√3)=2√3(米)；
4
（3）解：这辆货运卡车能通过该隧道；
1
当x=1.2时，y=− ×(1.2) 2+1=0.64，
4
∵3+0.64=3.64>3.6，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所
求问题需要的条件．
22．【创新题】已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3时，y有最大值为6
(3)m＝－2或−3−√10
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：
当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，得∶
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¿，解得：¿；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3＝−(x+3) 2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为-3，
当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3，
∴−m2−6m−3+（-3）＝2，
∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x＝-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴−(m+3) 2+6=-4，
∴m＝−3−√10或m＝−3+√10（舍去）．
综上所述，m＝-2或−3−√10．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想
解答是解题的关键．
4 k
23．如图，点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y= 于
x x
点B，已知AC=2BC．
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（1）求直线OA的解析式；
k
（2）求反比例函数y= 的解析式；
x
k
（3）点D为反比例函数y= 上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
x
2
【答案】（1）y=x；（2）y=− ；（3）3.
x
【分析】（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入正比例函数y=mx，解方程即可得到答案；
（2）利用AC=2BC, 先求解B的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
2
（3）设D(n,− ), 而A(2,2),E为AD的中点，利用中点坐标公式求解D,E的坐标，再利用
n
1
S =S +S = OE(|x |+|x |)，计算即可得到答案.
△OAD △ODE △OAE 2 A D
4
【详解】解：（1）∵ 点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴2a=4,a=2, 则A(2,2),
∴AC=2,
设直线AO为：y=mx,
∴2m=2, 则m=1,
所以直线AO为：y=x,
（2）∵ AB//x轴， AC=2BC=2．
∴BC=1,
∴B(−1,2),
∴k=xy=−1×2=−2,
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2
所以反比例函数为：y=− .
x
2
（3）设D(n,− ), 而A(2,2),E为AD的中点，
n
1
∴x = (2+n)=0,
E 2
∴n=−2,
3
∴D(−2,1),E(0, ),
2
1
∴S =S +S = OE(|x |+|x |)
△OAD △ODE △OAE 2 A D
1 3
= × ×(2+2)=3.
2 2
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，
熟练应用以上知识解题是关键.
24．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有
4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上
的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所
有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2−2x−3；（2）存在，(1,0)或(5,0)或(√7−2,0)或(−2−√7,0)
【分析】（1）令4x−12=2x2−8x+6，解得x =x =3，可得函数y=ax2+bx+c 必过 (3,0)，再结合
1 2
y=ax2+bx+c 必过 (−1,0)得出b=−2a，c=−3a，即可得到y=ax2−2ax−3a，再根据
4x−12≤ax2−2ax−3a，可看成二次函数y=ax2−2ax−3a与一次函数y=4x−12仅有一个交点，且
整体位于y=4x−12的上方，可得a>0，4x−12=ax2−2ax−3a有两个相等的实数根，再根据Δ=0，
可解得a的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设M(m,m2−2m−3),N(n,0)，①当AC为对角线时，②当AM为对
角线时，③当AN为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）令4x−12=2x2−8x+6，解得x =x =3，
1 2
当x=3时，4x−12=2x2−8x+6=0，
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∴y=ax2+bx+c 必过 (3,0)，
又∵y=ax2+bx+c 必过 (−1,0)，
∴¿，
∴y=ax2−2ax−3a，
即4x−12≤ax2−2ax−3a，
即可看成二次函数y=ax2−2ax−3a与一次函数y=4x−12仅有一个交点，且整体位于y=4x−12的上
方
∴a>0，
∴ 4x−12=ax2−2ax−3a有两个相等的实数根
∴ Δ=0
∴(2a+4) 2−4a(12−3a)=0，
∴(a−1) 2=0，
∴a=1，
∴b=−2，c=−3，
∴y=x2−2x−3．
（2）由（1）可知：A(3,0)，C(0,−3)，设M(m,m2−2m−3),N(n,0)，
①当AC为对角线时，¿
∴¿，解得m =0（舍），m =2，
1 2
∴n=1，即N (1,0)．
1
②当AM为对角线时，¿
∴¿，解得m =0（舍）m =2，
1 2
∴n=5，即N (5,0)．
2
③当AN为对角线时，¿
∴¿，解得m =1+√7,m =1−√7，
1 2
∴n=√7−2或n=−2−√7，
∴N (√7−2,0),N (−2−√7,0)．
3 4
综上所述：N点坐标为(1,0)或(5,0)或(√7−2,0)或(−2−√7,0)．
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【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性
问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
25．如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为
(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．
(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与
1
该二次函数的图像相交于另一点N，当PM= MN时，求点P的横坐标；
2
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上
一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【答案】(1)y=−x2+2x+3，顶点坐标(1,4)
(2)P点横坐标为1+√2或1−√2或2+√3或2−√3
5√10
(3)DQ=
4
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，−t+3），则M（t，−t2+2t+3），N（2−t，−t2+2t+3），则
1
PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，由题意可得方程 |t2−3t|= |2−2t|，求解方程即可；
2
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点
G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则
3
3AP+4DQ=4(DQ+ AP)=4(DQ＋AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A' (2，3)，
4
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(5 3) 5√10
求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组¿，可求点Q , ，再求DQ= ．
4 4 4
【详解】（1）解：将点B(3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c
∴¿
解得¿
∴y=−x2+2x+3
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴顶点坐标(1,4)；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴¿
解得¿
∴y=−x+3，
设P(t,−t+3)，则M(t,−t2+2t+3)，N(2−t,−t2+2t+3)，
∴PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，
1
∵PM= MN，
2
1
∴ |t2−3t|= |2−2t|，
2
1 1
∴t2−3t= (2−2t)或t2−3t=− (2−2t)，
2 2
1
当t2−3t= (2−2t)时， 整理得t2−2t−1=0，
2
解得t =1+√2，t =1−√2，
1 2
1
当t2−3t=− (2−2t)时，整理得t2−4t+1=0，
2
解得t =2+√3，t =2−√3，
3 4
∴P点横坐标为1+√2或1−√2或2+√3或2−√3；
（3）解：∵C(0,3)，D点与C点关于x轴对称，
∴D(0,−3)，
令y=0，则−x2+2x+3=0，
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解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
AQ AG
∴ = ，
AP BA
3 AG
∴ = ，
4 4
∴AG=3，
∴G(2,0)，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ=A'Q，
∴AQ+DQ=A'Q+DQ⩾A'D，
∴3AP+4DQ=4 ( DQ+ 3 AP ) =4(DQ+AQ)⩾4A'D，
4
∵∠QGA=∠CBO=45°，A A'⊥QG，
∴∠A' AG=45°，
∵AG=A'G，
∴∠A A'G=45°，
∴∠AGA'=90°，
∴A'(2,3)，
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设直线DA'的解析式为y=kx+b，
∴¿，
解得¿，
∴y=3x−3，
同理可求直线QG的解析式为y=−x+2，
联立方程组¿，
解得¿，
(5 3)
∴Q , ，
4 4
∵D(0,−3)，
√ (5 ) 2 [3 ] 2 √25 225 5√10
∴DQ= −0 + −(−3) = + = .
4 4 16 16 4
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方
法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
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