第 1 节 实数
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 实数的分类
{
{有理数{整数
按定义分 分数:有限小数或无限循环小数
实数
无理数:无限① ❑小数
正数
{
按大小分 0
负数
知识点2 实数的有关概念及性质实数的有关概念和性质
知识点3 科学记数法
1.表示形式:a×10n(1≤|a|<10,n是整数),注意:a是整数位只有一位的数.
2.用科学记数法表示数的方法
(1)原数的绝对值大于或等于10时,n为⑦ ❑整数,n等于原整数位数减1,
{
如14000000用科学记数法表示为⑧ ❑
(2)原数的绝对值大于0且小于1时,n为⑨ ❑整数,n的绝对值等于原数
从左边数第一个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前的零)
如0.000000022用科学记数法表示为⑩ ❑
(3)常见含计数单位的数字用科学记数法表示:1万=104,1亿=⑪ ❑,
1微米=⑫ ❑米,1纳米=⑬ ❑米
知识点4 实数比较大小实数比较大小
1.数轴比较法:在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数⑭ ❑
{
2.代数比较法:正数>零>负数,两个负数比较大小,⑮ ❑大的反而小
3.差值比较法:a−b>0⇔a>b,a−b<0⇔a<b,a−b=0⇔a=b
1 1
4.倒数比较法:若 > ,a>0,b>0,则a<b
a b
5.平方比较法:a2>b2(a>0,b>0)⇒a>b
知识点5 实数的运算法则及运算顺序实数的运算
加法{同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值⑯ ❑
异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值⑰ ❑较小的绝对值
{减法:减去一个数等于加上这个数的⑱ ❑,即a-b=a+(-b)
乘法:两数相乘,同号得⑲ ❑,异号得⑳ ❑,并把绝对值相乘,任何数与0相乘,积仍为0
除法:除以一个数等于乘这个数的㉑ ❑(注:0不能作为除数)
{
求n个相同因式的积的运算叫作乘方,即an=⏟a·a·…·a
n个a
乘方
1
零指数幂与负整数指数幂:a0=1(a≠0),a-p= (a≠0),例如5-3=㉒
❑
ap
(1)平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,那么这个数x叫作a的平方根
{
如果x2=a(a≥0),那么x叫作a的平方根,记作±❑√a(a≥0)
重要结论:(❑√a)2=a(a≥0),❑√a2=|a|=
{a(a≥0),
-a(a<0)
开方
(2)算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a(x>0),那么这个正数x叫作a的
算术平方根,记作❑√a
(3)立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x叫作a的立方根,记作√3 a
重要结论:(√3 a)3=a,√3 a3=a,√ 3 -a=−√3 a
{sin30°=㉓ ❑;cos30°=㉔ ❑;tan30°=㉕ ❑
特殊角的三角函数值 sin45°=㉖ ❑;cos45°=㉗ ❑;tan45°=㉘ ❑
sin60°=㉙ ❑;cos60°=㉚ ❑;tan60°=㉛ ❑
运算顺序:混合运算时先乘方或开方,再乘除,最后加减,有括号先算括号里面的;同级运算按照从左向
右的顺序进行运算
【基础演练】
1.(原创)已知实数a.1
(1)若a= ,则a是 .(填“有理数”或“无理数”)
7
(2)若a=-3,则a的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是 .
(3)若a,a+4分别在数轴上对应的点到原点的距离相等,则a= .
(4)若a=19500000,则a用科学记数法表示为 ,若a=0.0000195,则a用科学记数法表示为
.
(5)若a=64,则a的平方根是 ,算术平方根是 ,立方根是 ,❑√a的平方根是
.
(6)若|a-1|+(b+2)2+❑√c−3=0,则a+b-c= .
2.计算:|1- |-2sin 45°+(-2)0+ 1 -1.
❑√2
3
3.(原创)计算:(-1)2 024-2cos 30°+|1-❑√3|.
真题精粹·重变式
考向1 实数的相关概念 6年8考
1.(2023·福建)下列实数中,最大的数是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(2022·福建)-11的相反数是 ( )
1 1
A.-11 B.- C. D.11
11 11
真题变式
变设问——求绝对值
3.-25的绝对值是 ( )
1 1
A.-25 B.- C. D.25
25 25变设问——求倒数
4.-2025的倒数是 ( )
1 1
A.-2025 B. C.- D.2025
2025 2025
1
5.(2021·福建)在实数❑√2, ,0,-1中,最小的数是 ( )
2
1
A.-1 B.0 C. D.❑√2
2
6.(2024·福建)下列实数中,无理数是 ( )
2
A.-3 B.0 C. D.❑√5
3
7.(2023·福建)某仓库记账员为方便记账,将进货10件记作+10,那么出货5件应记作 .
真题变式
变背景
8.中国人很早就开始使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小
棍形状的记数工具)正放着表示正数,斜放着表示负数.图1表示(+2)+(-2),按照这种表示方法,图2
表示的是( )
A.(+3)+(+6)
B.(-3)+(-6)
C.(-3)+(+6)
D.(+3)+(-6)
9.(2021·福建)写出一个无理数x,使得1<x<4,则x可以是 .(只要写出一个满足条件的x即
可)
10.(2020·福建)计算:|-8|= .
11.(2020·福建)2020年6月9日,我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了
我国潜水器下潜深度的纪录,最大下潜深度达10907米.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为
基准,记为0米,高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米.根据题意,
当“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处,该处的高度可记为 米.考向2 数轴相关的运算 6年3考
12.(2022·福建)如图,若数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,则这个无理数是 ( )
A.-❑√2 B.❑√2 C.❑√5 D.π
13.(2020·福建)如图,数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则m-n的结果可能是 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
14.(2019·福建)如图,数轴上A,B两点所表示的数分别是-4,2,C是线段AB的中点,则点C所表示的
数是 .
热点训练
15.(拓展)如图,A,B,C是数轴上的三个点,且点C在点B的右侧,点A,B表示的数分别是1,3.
若BC=2AB,则点C表示的数是 .
核心方法
数轴工具的使用方法
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线,借助数轴可以达到数形结合的效果,直
观地处理许多问题,如:①数轴上的每一个点都表示一个实数;②进行实数大小的比较,数轴上右边
的数总比左边的数大;③求一个数的绝对值,|a|表示数轴上表示实数a的点到原点的距离;④表示
不等式的解集;⑤与线段问题结合;⑥含参数运算;⑦数轴上点的平移.
考向3 科学记数法 6年4考
16.(2024·福建)据《人民日报》3月12日电,世界知识产权组织近日公布的数据显示,2023年,全球
PCT(《专利合作条约》)国际专利申请总量为27.26万件,中国申请量为69610件,是申请量最大
的来源国.数据69610用科学记数法表示为 ( )
A.6961×10 B.696.1×102C.6.961×104 D.0.6961×105
17.(2023·福建)党的二十大报告指出,我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗
卫生体系,教育普及水平实现历史性跨越,基本养老保险覆盖十亿四千万人,基本医疗保险参保率
稳定在百分之九十五.数据1040000000用科学记数法表示为 ( )
A.104×107 B.10.4×108
C.1.04×109 D.0.104×1010
18.(2022·福建)5G应用在福建省全面铺开,助力千行百业迎“智”变.截至2021年底,全省5G终端
用户达1397.6万户,数据13976000用科学记数法表示为 ( )
A.13976×103 B.1397.6×104
C.1.3976×107 D.0.13976×108
19.(2019·福建)北京故宫的占地面积约为720000 m2,数据720000用科学记数法表示为 ( )
A.72×104 B.7.2×105
C.7.2×106 D.0.72×106
考向4 实数运算 6年4考
20.(2019·福建)计算22+(-1)0的结果是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
21.(2024·福建)计算:(-1)0+|-5|-❑√4.
22.(2023·福建)计算:❑√9-20+|-1|.
真题变式
23.计算:-3-❑√25+|-1|= .
24.(2022·福建)计算:❑√4+|❑√3-1|-20220 .真题变式
融入-3次幂
1
25.计算:( ❑√36-1)0+| ❑√3-2|+2cos 30°- - -3.
3
热点训练
2
26.[新考向]计算:(-6)× -■ -23.
3
圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.
1 2 1
(1)如果被污染的数字是 ,请计算(-6)× - -23.
2 3 2
(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.参考答案
回归教材·过基础
考点清单
1
①不循环 ②0 ③-a ④1 ⑤ ⑥-a ⑦正 ⑧1.4×107 ⑨负 2.2×10-8 108
a
10-6 10-9 大 绝对值 相加 减去 相反数
1 1 ❑√3 ❑√3 ❑√2 ❑√2 ❑√3 1
正 负 倒数 1
53 2 2 3 2 2 2 2
❑√3
基础演练
1
1.(1)有理数 (2)3 - 3 (3)-2 (4)1.95×107 1.95×10-5 (5)±8 8 4 ±2❑√2 (6)-4
3
❑√2
2.解析:原式=❑√2-1-2× +1+3=3.
2
❑√3
3.解析:原式=1-2× +❑√3-1=1-❑√3+❑√3-1=0.
2
真题精粹·重变式
1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.D 7.-5 8.D 9.❑√2
10.8 11.-10907 12.B 13.C 14.-1 15.7 16.C
17.C 18.C 19.B 20.A
21.解析:原式=1+5-2
=6-2
=4.
22.解析:原式=3-1+1=2+1=3.
23.-7
24.解析:原式=2+❑√3-1-1=❑√3.
25.解析:原式=1+2-❑√3+❑√3+27=30.
2 1 1
26.解析:(1)(-6)× - -23=(-6)× -8=-1-8=-9.
3 2 6
(2)设被污染的数字为x.2
根据题意得(-6)× -x -23=6,
3
解得x=3.
答:被污染的数字是3.
