文档内容
第 1 节 平面直角坐标系与函数
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 平面直角坐标系及点的坐标特征
1.点的坐标特征
点在平行于坐标轴的
点在象限内 点在坐标轴上 点在各象限角平分线上
直线上
第一象限:x>0,y>0;
第二象限:x①
0, 平行于x轴的直线
当点在x轴上时,
y② 0; 上的点,所有点 第一、三象限角平分
该点的⑦ 等于
第三象限:x③ 的⑨ 都相等; 线上的点:x
A
=y
A
;
0;当点在y轴上时,
0, 平行于y轴的直线 第二、四象限角平分
该点的⑧ 等于
y④ 0; 上的点,所有点 线上的点:
0
第四象限:x⑤ 的⑩ 都相等
0,
y⑥ 0
2.点的对称与平移{ P(x,y)关于x轴对称的点:P'(x,−y)
(1)对称 P(x,y)关于y轴对称的点:P'⑫ ❑
P(x,y)关于原点对称的点:P'⑬ ❑
{
P(x,y)向左平移a个单位长度:P'(x−a,y)
P(x,y)向右平移a个单位长度:P'⑭ ❑
(2)平移
P(x,y)向上平移b个单位长度:P'⑮ ❑
P(x,y)向下平移b个单位长度:P'⑯ ❑
3.点到坐标轴及原点的距离
点到x轴的距离是|y| 点到y轴的距离是 点到原点的距离是
4.平面内两点之间的距离
若P,Q两点的连线平行于x 若P,Q两点的连线平行于y 平面内任意P,Q两点之间的距
轴,则这两点之间的距离是| 轴,则这两点之间的距离是| 离是|PQ|=
PQ|=|x
1
-x
2
| PQ|= ❑√(x
1
-x
2
)2+(y
1
- y
2
)2
知识点2 函数及自变量的取值范围
1.概念:在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对
应,我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.
y=ax+b(x是全体实数)
{
a
y= (x≠0)
x
2.不同函数中自变量x的取值范围
y=❑√x(x≥0)
❑√x+a
y= (x≥-a且x≠0)
x
3.函数的表示方法:解析式法、列表法、图象法.
4.函数的图象的画法:列表、描点、连线.
真题精粹·重变式
考向1 函数自变量的取值范围
热点训练
1.函数y=❑√x−2中,自变量x的取值范围是 ( )A.x≤-2 B.x≥-2
C.x≤2 D.x≥2
❑√x+1
2.函数y= 的自变量x的取值范围是 ( )
x−3
A.x≠3 B.x≥3
C.x≥-1且x≠3 D.x≥-1
考向2 平面直角坐标系中点的坐标特征 6年1考
3.(2019·福建)在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(4,2),
则第四个顶点C的坐标是 .
热点训练
4.如图,已知A(2❑√2,0),AB=3❑√2,以点A为圆心,AB的长为半径画弧交x轴的负半轴于点C,则点
C的坐标为 ( )
A.(3❑√2,0) B.(❑√2,0)
C.(-❑√2,0) D.(-3❑√2,0)
5.已知点A的坐标为(3,a+3),点B的坐标为(a,4),AB∥x轴,则线段AB的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
核心方法
平面直角坐标系中特殊点的坐标
1.当直线平行于x轴时,直线上的点的纵坐标相同;当直线平行于y轴时,直线上的点的横坐
标相同.
2.两点间的竖直距离等于其纵坐标差的绝对值,水平距离等于其横坐标差的绝对值.
6.三个能够重合的正六边形的位置如图所示.已知点B的坐标是(-❑√3,3),则点A的坐标是
.
7.(改编)在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为(0,-3),点Q的坐标为(5,1),连接PQ后平移得到
PQ,若P(m,-2),Q(2,n),则m+n的值是 .
1 1 1 1
核心方法平面直角坐标系中图形与点的平移
平移图形时,图形上的所有点都沿相同的方向平移相同的距离,即所有点的变化规律都一样.
向左平移,横坐标都减相同的距离,向右平移,横坐标都加相同的距离;向上平移,纵坐标都加相同的
距离,向下平移,纵坐标都减相同的距离.
考向3 函数图象的分析与判断
热点训练
8.根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30m称为“加速期”,30m~80m为“中途
期”,80m~100m为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(单位:m/s)与路程
x(单位:m)之间的观测数据绘制成曲线,如图所示.
(1)y是关于x的函数吗?为什么?
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?
(3)根据图中提供的信息,给小斌提一条训练建议.
9.通过课本上对函数的学习,我们积累了一定的经验.下表是一个函数的自变量x与函数值y的部
分对应值,请你借鉴以往学习函数的经验,探究下列问题:
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …
(1)当x= 时,y=1.5.
(2)根据表中数值描点(x,y),并在如图的平面直角坐标系画出函数图象.(3)观察画出的图象,写出这个函数的一条性质: .
核心突破·拓思维
考点1 平面直角坐标系中点的特征
(原创)如图1,正方形ABCD的边长为3个单位长度,点A的坐标为(1,2),边AB,CD都平行
于x轴,与y轴分别相交于点E,G,边AD,BC都平行于y轴,与x轴分别相交于点H,F.
(1)点B,C,D,E,F的坐标分别为 .
(2)AE= ,BE= ,BF= ,CF= .
(3)将正方形ABCD沿x轴向右平移0.5个单位长度,向下平移0.5个单位长度.
①请在图2的网格中画出平移后的正方形ABCD,并写出点A,B,C,D的对应点A,B,C,D 的坐
1 1 1 1 1 1 1 1
标.
②点A 与点C 的位置关系为 ,点A 与点B 的位置关系为 ,点A 与点D 的位置关系
1 1 1 1 1 1
为 .
③点B 到x轴的距离为 ,到y轴的距离为 .
1
核心方法平移图形时,图形上所有点的变化规律都一样.
一般规律为向左(右)平移几个单位长度,横坐标都减(加)相同的单位长度;向上(下)平移几个单
位长度,纵坐标都加(减)相同的单位长度.
如图,这是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂形”,裂片具有少数突出的齿,将其放在平
面直角坐标系中,表示叶片“顶部”的A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则叶杆“底部”点C的
坐标为 .
在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(m,m),(m,m-5),则点
C的坐标为 .(用含m的式子表示)
数学家高斯推动了数学科学的发展,被数学界誉为“数学王子”.据传,他在计算
1+2+3+4+…+100时,用到了一种方法,将首尾两个数相加,进而得到1+2+3+4+…+100=
100×(1+100) n(1+n)
.人们借助这样的方法,得到1+2+3+4+…+n= (n是正整数).如图,在平面
2 2
直角坐标系中的一系列格点A(x,y),其中i=1,2,3,…,n,…,且x,y均为整数.记a=x+y,如A(0,0),即
i i i i i n n n 1
a=0,A(1,0),即a=1,A(1,-1),即a=0,…,以此类推.
1 2 2 3 3
则下列结论正确的是 ( )
A.a =40
2 023
B.a =43
2 024
C.a =2n-6
(2n-1)2
D.a =2n-4
(2n-1)2
考点2 函数图象的分析与判断
如图,长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶,现用水管往铁桶中持续匀速注水,直到长方体水
池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t,y(细实线)表示铁桶中水面高度,y(粗实线)表示水池中水
1 2
面高度(铁桶高度低于水池高度,铁桶底面积小于水池底面积的一半,注水前铁桶和水池内均无水),
则y,y 随时间t变化的函数图象大致为 ( )
1 2A B
C D
【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程
相等,②③两路段路程相等.【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游
览路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游览路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系
(部分数据)如图2所示,在2 100米处,他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 ( )
A.4 200米 B.4 800米
C.5 200米 D.5 400米参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①< ②> ③< ④< ⑤> ⑥< ⑦纵坐标
⑧横坐标 ⑨纵坐标 ⑩横坐标 x =-y
B B
(-x, y) (-x,-y) (x+a,y) (x,y+b)
(x,y-b) |x| |y-y|
❑√x2+ y2 1 2
真题精粹·重变式
1.D 2.C 3.(1,2) 4.C 5.D 6.(❑√3,-3) 7.-1
8.解析:(1)y是关于x的函数.在这个变化过程中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的
值与之对应.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为10.4m/s.
(3)答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在80 m左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提
高成绩.
9.解析:(1)3.
(2)函数图象如图所示:
(3)函数值y随x的增大而减小(答案不唯一).
核心突破·拓思维
例1 解析:(1)(-2,2),(-2,-1),(1,-1),(0,2),(-2,0) (2)1 2 2 1
(3)①画出的正方形AB C D 如图所示.
1 1 1 1A 3,3 ,B -3,3 ,
1 1
2 2 2 2
C -3,-3 ,D 3,-3 .
1 1
2 2 2 2
②关于原点O对称 关于y轴对称 关于x轴对称
3 3
③
2 2
变式1 (2,-3)
变式2 (m+5,m-5)或(m-5,m-5)
变式3 B
例2 C
变式 B
