文档内容
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第 2 节 概率
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 事件的分类 轮考
事件类型 定义 概率
必然事件 在一定条件下,① P=1
不可能事件 在一定条件下,有些事件必然不会发生 P=0
随机事件 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件 ②
知识点2 概率的计算 常考
1.古典概型
古典概型的定义:一次试验中,出现的结果有有限个;每个结果发生的可能性相等.
古典概型的概率:一次试验中,有n种结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种
结果,那么事件A发生的概率为P(A)=③ .
2.列表法求概率
列表法:当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,用列表法不重不漏地列出
所有可能的结果.
列表法表示形式:
A B C
D (A,D) (B,D) (C,D)
E (A,E) (B,E) (C,E)
F (A,F) (B,F) (C,F)
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3.树状图法求概率
树状图法的表示形式:
注:一个试验要涉及三个或更多的因素时,列表法不方便,通常采用树状图法.
构成事件A的区域面积(长度)
4.几何概型:P(A)= .
全部结果所构成的区域面积(长度)
m
5.利用频率估计概率:在同样条件下,做大量的重复试验,如果事件A发生的频率 逐渐稳定于某
n
个常数c,可以估计这个事件发生的概率为常数c.
【基础演练】
1.有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上,若从中随机抽取一张,则抽到的
花色可能性最大的是 ( )
A B C D.
2.两人做游戏:每人在纸上随便写一个-2到2之间的整数(包括-2和2),将两人所写的整数相加,那
么和的绝对值是2的概率是 ( )
2 2 6 7
A. B. C. D.
25 5 25 25
3.垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用,减少了对环境的危害.随机将一节废旧的电池(有害垃
圾)和矿泉水空瓶(可回收垃圾)分别放入不同的垃圾桶,则投放正确的概率为 ( )
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1 1 1 1
A. B. C. D.
6 9 12 16
4.一天晚上,小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红只有颜色不同的有盖茶杯,突然停电了,小伟只
好随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起.则颜色搭配恰好正确的概率为 ( )
1 1
A. B.
6 4
1 3
C. D.
2 4
真题精粹·重变式
考向1 事件的分类
热点训练
1.投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是
( )
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12
2.下列事件中,属于必然事件的是 ( )
A.任意购买一张电影票,座位号是偶数
B.梦到醒来会下雨,醒来后发现窗外在下雨
C.解锁手机,提示微信收到了新消息
D.五个人分成四组,且每组都有人,则这四组中有一组必有两人
考向2 事件概率的计算
3.(2024·福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学
家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中,随机选取两个不同的
数,其和是偶数的概率是( )
1 1
A. B.
4 3
1 2
C. D.
2 3
4.(2022·福建)一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别.现随机从
袋中摸出一个球,这个球是红球的概率是 .
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5.(2020·福建)若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课,则甲
被选到的概率为 .
6.(2023·福建)为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于五一期间举办了抽奖促销活
动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小质
地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,
可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中
加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下
颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.
现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率.
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球?说
明你的理由.
7.(2021·福建)“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是:齐王有上、
中、下三匹马A,B,C,田忌也有上、中、下三匹马A,B,C,且这六匹马在比赛中的胜负可用不
1 1 1 2 2 2
等式表示为:A>A>B>B>C>C(注:A>B表示A马与B马比赛,A马获胜).一天,齐王找田忌赛马,
1 2 1 2 1 2
约定:每匹马都出场比赛一局,共赛三局,胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势,田忌事先了解到
齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马,并采用孙膑的策略,分别用下马、上马、中马
与齐王的上马、中马、下马比赛,即借助对阵(CA,AB,BC)获得了整场比赛的胜利,创造了以弱
2 1 2 1 2 1
胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况,试回答以下问题.
(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜
利?并求其获胜的概率.
(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况,他是否必败无疑?若是,请说明理由;若不
是,请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况,并求其获胜的概率.
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热点训练
8.甲、乙两家快递公司揽件员(揽收快件的员工)的日工资方案如下:
甲公司为“基本工资+揽件提成”,其中基本工资为70元/日,每揽收一件提成2元;
乙公司无基本工资,仅以揽件提成计算工资.若当日揽件数不超过40,每件提成4元;若当日揽件数
超过40,超过部分每件多提成2元.
如图所示的是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图.
(1)现从今年四月份的30天中随机抽取1天,求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)
的概率.
(2)根据以上信息,以今年四月份的数据为依据,并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽
件员的揽件数,解决以下问题.
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数;
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员,如果仅从工资收入的角度考虑,请利用所学的统
计知识帮他选择,并说明理由.
9.(2019·福建)某种机器使用期为三年,买方在购进机器时,可以给各台机器分别一次性额外购买若
干次维修服务,每次维修服务费为2 000元.每台机器在使用期间,如果维修次数未超过购机时购买
的维修服务次数,那么每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元;如果维修次数超过购机
时购买的维修服务次数,那么超出部分每次维修时需支付维修服务费5 000元,但无需支付工时费.
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某公司计划购买1台该种机器,为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务,搜集并
整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,整理得下表:
维修次数 8 9 10 11 12
频数/台数 10 20 30 30 10
(1)以这100台机器为样本,估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率.
(2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据,说明购买1台该机器的同时应一次性额外
购10次还是11次维修服务.
真题变式
10.[跨学科]物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了
A,B,C,D四张卡片,四张卡片除图片内容不同外,其他没有区别,放置于暗箱中摇匀.
A.铁钉生锈 B.滴水成冰 C.矿石粉碎 D.牛奶变质
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是 .
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变
化的概率.
11.(2024·厦门二模)【问题提出】
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行,而且低碳环保,受到用户的喜爱.某社区周边有5个共
享单车停车区,总计投放180辆的共享单车,某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些
停车区的单车不够用,而有些停车区的单车使用率低的现象,为探究早高峰期间共享单车的合理投
放方案,同学们展开了研究.
【开展研究】
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行
数据收集,结果如下表.
表一:经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据.
停车区 经过停车区的人数 使用共享单车的人数
1号区 60 3
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2号区 100 4
3号区 90 9
4号区 120 18
5号区 70 7
表二:每日早高峰期间的平均人流量.
停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区
人流量/人 240 300 160 400 200
【问题解决】
(1)记事件A为经过1号区的行人使用共享单车,估计事件A的概率.
(2)为应对早高峰期间共享单车的使用需求,请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案,并
说明理由.
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
m
①有些事件必然发生 ②0148,
所以仅从工资收入的角度考虑,小明应到乙公司应聘.
9.解析:(1)0.6.
(2)购买10次时,
某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12
该台机器维修费用/元 24000 24500 25000 30000 35000
此时这100台机器维修费用的平均数
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1
y= ×(24 000×10+24 500×20+25 000×30+30 000×30+35 000×10)=27 300元.
1
100
购买11次时,
某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12
该台机器维修费用/元 26 000 26 500 27 000 27 500 32 500
此时这100台机器维修费用的平均数
1
y= ×(26 000×10+26 500×20+27 000×30+27 500×30+32 500×10)=27 500.
2
100
所以购买1台该机器的同时应选择购买10次维修服务.
1
10.解析:(1) .
4
(2)根据题意可列表格如下,
A B C D
A A,B A,C A,D
B B,A B,C B,D
C C,A C,B C,D
D D,A D,B D,C
根据表格可知共有12种等可能的结果,其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种,
2 1
∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 = .
12 6
11.解析:(1)由表格数据知,经过1号区的行人有60人,使用共享单车有3人,
3 1
则估计事件A的概率为 = .
60 20
(2)估计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别为
3 4 9 18 7
240× =12,300× =12,160× =16,400× =60,200× =20,
60 100 90 120 70
所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为12+12+16+60+20=120,
所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为:
12
1号区投放共享单车180× =18辆;
120
12
2号区投放共享单车180× =18辆;
120
16
3号区投放共享单车180× =24辆;
120
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60
4号区投放共享单车180× =90辆;
120
20
5号区投放共享单车180× =30辆.
120
11
