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专题 18 统计与概率
课标要求 考点 考向
1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解处理数
考向一 统计调查
数据的收
据的过程;能用计算器处理较为复杂的数据;体会抽样的必要
集与整理
考向二 直方图
性，通过实例了解简单的随机抽样;通过实例了解频数和频
数分布的意义，能画频数分布直方图，能利用频数分布直 考向一 算术平均数
方图解释数据蕴涵的信息;
考向二 加权平均数
2.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据.
理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数， 数据分析 考向三 中位数
了解它们是数据集中趋势的描述;体会刻画数据离散程度的
考向四 众数
意义，会计算简单数据的方差;
3.体会样本与总体的关系，掌握统计量的概念和特点，会 考向五 方差
通过统计量进行计算，会分析数据.
考向一 随机事件与概率
4.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可
能的结果，以及指定事件发生的所有可能的结果，了解事 数据概率
考向二 用列举法求概率
件的概率;知道通过大量的重复试验，可以利用频率来估计
考向三 用频率估计概率
概率.
考点一 数据的收集与整理
考向一 统计调查
1．（2024·江苏镇江·中考真题）下列各项调查适合普查的是（ ）
A．长江中现有鱼的种类 B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命
【答案】B
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、
物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解．
【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意；
B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意；
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C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
2．（2024·内蒙古·中考真题）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户
家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
频
月平均用水量x（吨）
数
15
a
32
40
33
总计 150
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为 的家庭所占比例是
C．在扇形统计图中，月平均用水量为 的家庭所对应圆心角的度数是
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均
用水量的众数是12
【答案】D
【分析】本题主要考查统计的应用，熟练掌握利用统计图表进行数据分析的方法是解决问题的关键．根据
统计图表中的数据对选项中的每个结论进行判断即可找出正确答案．
【详解】解：本次调查的样本容量是150，故A不正确；
，故B不正确；
96°，故C不正确；
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以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据， 组的实际数据为12，
这组的数量最多为40户，所以12是这组数据的众数，即这150户家庭月平均用水量的众数是12，故D正
确．
故选：D．
3．（2024·贵州·中考真题）为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进
行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两
本以上的人数为（ ）
A．100人 B．120人 C．150人 D．160人
【答案】D
【分析】本题考查用样本反映总体，利用样本百分比乘以总人数计算即可解题．
【详解】解： （人），
故选D．
4．（2024·甘肃·中考真题）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年中
国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【分析】根据统计图提供信息解答即可．
本题考查了统计图的应用，从统计图中得到解题所需要的信息是解题的关键．
【详解】A. 根据统计图信息，得到 ，
故2023年中国农村网络零售额最高，正确，不符合题意；
B. 根据题意，得 ，
故2016年中国农村网络零售额最低，正确，不符合题意；
C. 根据题意，得 ，
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故2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加，正确，不符合题意；
D. 从2021年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元，原说法错误，符合题意；
故选D．
5．（2024·江西·中考真题）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空
气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天
【答案】D
【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可．
【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意；
15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意；
把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意；
这组数据的平均数为： ，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题
的关键.
6．（2024·北京·中考真题）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单
位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量 （单位：g）满足 时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这
200个工件中一等品的个数是 .
【答案】160
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解．
【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个，
∴这200个工件中一等品的个数为 个，
故答案为：160．
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7．（2024·上海·中考真题）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和 增强三种讲解方式，博物馆共
回收有效问卷 张，其中 人没有讲解需求，剩余 人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），
那么在总共 万人的参观中，需要 增强讲解的人数约有 人．
【答案】
【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要 增强讲解的人数
占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计
图求出需要 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案．
【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解，
∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为 ，
由条形统计图可知：需要 增强讲解的人数为 人，
∴需要 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为 ，
∴在总共 万人的参观中，需要 增强讲解的人数约有 （人），
故答案为：
考向二 直方图
8．（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积 （单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地
50个公园的用地面积，按照 ， ， ， ， 的分组绘制了如图所
示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
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A． 的值为20
B．用地面积在 这一组的公园个数最多
C．用地面积在 这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【答案】B
【分析】本题考查的是从频数分布直方图获取信息，根基图形信息直接可得答案．
【详解】解：由题意可得： ，故A不符合题意；
用地面积在 这一组的公园个数有16个，数量最多，故B符合题意；
用地面积在 这一组的公园个数最少，故C不符合题意；
这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D不符合题意；
故选B
9．（2024·海南·中考真题）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，
背景介绍
随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领
数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
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9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“ ”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为： ，这组数
据的中位数是________；
(3)视力低于 属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为
_______人；
(4)视力在“ ”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概
率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
【答案】(1)抽样调查；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据600乘以视力低于 的的人数所占的百分比即可求解；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为： ，排在第5位的数是 ，
∴这组数据的中位数是 ，
故答案为： ；
（3）解：调查数据中，视力低于 的人数有： （人），
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∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为： ；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是： ，
故答案为： ；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
10．（2024·辽宁·中考真题）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部
分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 均为
不小于60的整数，分为四个等级：D： ，C： ，B： ，A： ），部
分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】(1)7人
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(2)85
(3)120人
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关
键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中
12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为： ；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：总人数为： （人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为： （人）；
（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为： ；
（3）解：成绩为A等级的人数为： （人），
答：成绩为A等级的人数为120．
11．（2024·吉林·中考真题）中华人民共和国 年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如
图所示．
根据以上信息回答下列问题：
(1) 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
(2)直接写出 年全国居民人均可支配收入的中位数．
(3)下列判断合理的是______（填序号）．
① 年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．
② 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全
国居民人均可支配收入最低．
【答案】(1) 元
(2) 元
(3)①
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【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：
（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据统计图的数据即可得到答案．
【详解】（1）解： 元，
答： 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多 元．
（2）解： 年这五年的全国居民人均可支配收入分别为 元， 元， 元，
元， 元，
∴ 年全国居民人均可支配收入的中位数为 元；
（3）解：由统计图可知 年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；
由统计图可知 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，
2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；
故答案为：①．
考点二 数据分析
考向一 算术平均数
12．（2024·新疆·中考真题）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的
运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：
，则应选择的运动员是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题主要考查利用平均数、方差作决策，解题的关键是熟知平均数、方差的意义．根据平均数与
方差的意义即可判断．
【详解】解：∵
∴选择乙、丙，
∵ ，
∴选择丙，
故选：C．
13．（2024·云南·中考真题）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均
数 （单位：环）和方差 如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.9 9.5 8.2 8.5
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0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的
量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组
数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最
大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．
【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，
从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，
故选：A．
14．（2024·上海·中考真题）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最
平稳的．
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
【答案】B
【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题
的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越
大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解： 由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，
四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，
∵
乙种类开花时间最短的并且最平稳的，
故选：B．
∴
15．（2024·浙江·中考真题）一组数据 的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据
的标准差是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解
题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根．
分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果．
【详解】解：根据题意，数据 的平均数为5，方差为16，
即 ，
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，
则 的平均数
，
另一组数据 的方差
，
∴标准差 ．
故答案为：12．
考向二 加权平均数
16．（2024·四川南充·中考真题）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，
各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占 ，投球技能占 计算选手的综合成绩（百分制人选手
李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ）
A．170分 B．86分 C．85分 D．84分
【答案】B
【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可．
【详解】解： （分）；
故选B．
31．（2024·新疆·中考真题）学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，
参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：
项目 口语表
写作能力
应试者 达
甲 80 90
乙 90 80
学校规定口语表达按 ，写作能力按 计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为
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同学将被录取．
【答案】乙
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计
算即可得出答案．
【详解】解：甲的总成绩为 ，
乙的总成绩为 ，
∵ ，
∴乙同学被录取，
故答案为：乙．
17．（2024·广东·中考真题）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景
区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四
个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：
景 乡村民
特色美食 自然风光 科普基地
区 宿
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
(1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
(2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
(3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理
由．
【答案】(1)王先生会选择B景区去游玩
(2)王先生会选择A景区去游玩
(3)最合适的景区是B景区，理由见解析（不唯一）
【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数：
（1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；
（2）根据平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；
（3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：A景区得分为 分，
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B景区得分为 分，
C景区得分为 分，
∵ ，
∴王先生会选择B景区去游玩；
（2）解：A景区得分 分，
B景区得分 分，
C景区得分 分，
∵ ，
∴王先生会选择A景区去游玩；
（3）解：最合适的景区是B景区，理由如下：
设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为 ，
A景区得分为 分，
B景区得分为 分，
C景区得分为 分，
∵ ，
∴王先生会选择B景区去游玩．
考向三 中位数
18．（2024·四川·中考真题）2024年全国两会公布了2023年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上
升趋势，分别约为 ， ， ， ， （单位：万亿元）．这五个数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数．奇数个数据的中位数是按大小顺序排列后中间的一个数据；
偶数个数据的中位数是按大小顺序排列后中间两个数据的平均数．先将这组数据按大小顺序排列，再求出
第三和第四个数据的平均数即可．
【详解】解：把这句数据按大小顺序排列为： ， ， ， ， ；
∴这五个数据的中位数是： ，
故选：C．
19．（2024·浙江·中考真题）菜鸡班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志
愿服务次数的中位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数
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个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键．
【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8，
∴中位数为8，
故选B．
20．（2024·湖南·中考真题）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，
158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
【答案】B
【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的
平均数为中位数．据此求解即可．
【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故选：B．
21．（2024·福建·中考真题）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，
将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
【答案】90
【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．
根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计
算即可；
【详解】解：∵共有12个数，
∴中位数是第6和7个数的平均数，
∴中位数是 ；
故答案为：90．
考向四 众数
22．（2024·江苏扬州·中考真题）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护
光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视
力
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人
7 4 4 7 11 10 5 3
数
这45名同学视力检查数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断
即可．
【详解】解：这45名同学视力检查数据中， 出现的次数最多，因此众数是 ．
故选：B．
23．（2024·山东日照·中考真题）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名
同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数和中位数的定义即可得出答案，熟练掌握众数和中位数的定
义是解此题的关键．
【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是 小时，故众数是
9，
处在第 、 位的是 ，故中位数是 ，
故选：A．
24．（2024·河南·中考真题）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，
共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分
情况如图，则得分的众数为 分．
【答案】9
【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．
根据众数的概念求解即可．
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【详解】解：根据得分情况图可知：9分的班级数最多，即得分的众数为9．
故答案为：9．
25．（2024·河北·中考真题）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子
的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 ．
【答案】89
【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．
根据众数的定义求解即可判断．
【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，
89出现的次数最多，
以上数据的众数为89．
故答案为：89．
26．（2024·广东·中考真题）数据2，3，5，5，4的众数是 ．
【答案】5
【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的
众数．
【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
考向五 方差
27．（2024·西藏·中考真题）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均
数相同，方差如下： ， ， ．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ．
【答案】丙
【分析】本题考查方差，掌握方差越小越稳定是解题的关键．
先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可．
【详解】解：∵ ， ， ．
∴ ，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
28．（2024·甘肃兰州·中考真题）甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所
示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是 ．（填序号）
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【答案】 /
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据
①② ②①
波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意
义进行判断即可求出答案．
【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成
绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一
次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．
故答案为：①②．
29．（2024·湖南长沙·中考真题）为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，
分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是
3.6，10.8，15.8，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵ ，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
30．（2024·青海·中考真题）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得
分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
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操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目 操作规范性 书写准确性
统计
方
量
平均数 平均数 中位数
差
学生
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ________，比较 和 的大小________；
(2)计算表格中b的值；
(3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
(4)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
【答案】(1)2，
(2)
(3)详见解析
(4)详见解析
【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查
了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
（1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）利用加权平均数的求法即可求解；
（3）从平均分和方差进行判断即可；
（4）合理即可．
【详解】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
中位数为 ，
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则 ，
故答案为：2， ；
（2）解：小海书写准确性的平均数为 （分）；
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
（4）解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．
31．（2024·北京·中考真题）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由10名教师评委和 名学生评委给每位选手打分（百分制） 对评委给某位选手的打分进行整理、
描述和分析.下面给出了部分信息.
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.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组 ，第3组
，第4组 ，第5组 ，第6组 ）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评
委
学生评
93
委
根据以上信息，回答下列问题：
① 的值为___________， 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为 ，则 ___________
（填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方
差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的
甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 93 93
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中 （ 为
整数）的值为____________.
【答案】(1)① ， ；②
(2)甲，
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方
法是正确解答的前提．
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（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据题意得出 ，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【详解】（1）①从教师评委打分的情况看， 分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为 ，
所以 ，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第 个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手
打分的中位数在第4组 ，
故答案为： ， ；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为： ， ， ， ， ， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当 ，则
解得：
当 时，
此时
∵ ，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当 时，
此时
∵ ，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲， ．
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考点三 数据概率
考向一 随机事件与概率
32．（2024·浙江·中考真题）一个三位数，其任意两个相邻数字之差的绝对值如果不超过1，则称该三位数
为“平稳数”．现在用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数中，是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单概率的计算，根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，
根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为 ．
故选：B．
33．（2024·湖北·中考真题）在下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解
题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是 ，是必然事件，符合题意．
故选：D．
34．（2024·辽宁·中考真题）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除
颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的是（ ）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
【答案】B
【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答
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案．
【详解】解：A、摸出白球的概率为 ，不符合题意；
B、摸出红球 ，符合题意；
C、摸出绿球 ，不符合题意；
D、摸出黑球 ，不符合题意；
故选：B．
35．（2024·广东·中考真题）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、
吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式
求解即可．
【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是 ，
故选：A．
36．（2024·广西·中考真题）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋
子中随机取出1个球，取出白球的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有 种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种，
∴ ；
故选D．
37．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下
列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大
小，机会大也不一定发生，据此求解即可．
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义
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可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
38．（2024·湖北·中考真题）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为
【答案】D
【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也
有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可．
【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为 ，是必然事件，符合题意；
故选：D．
39．（2024·山西·中考真题）彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促
进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．买 张这种彩票，不可能中奖 B．买 张这种彩票，可能有 张中奖
C．买 张这种彩票，一定有 张中奖 D．若 人每人买 张这种彩票，一定会有一人中奖
【答案】B
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题
的关键是正确理解概率的意义．
【详解】 、买 张这种彩票，可能中奖，原选项不符合题意；
、买 张这种彩票，可能有 张中奖，可能会发生，原选项符合题意；
、买 张这种彩票，不一定有 张中奖，原选项不符合题意；
、 人每人买 张这种彩票，不一定会有一人中奖，原选项不符合题意；
故选： ．
40．（2024·湖北·中考真题）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简
介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其
中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ．
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1
【答案】 /0.2
5
【分析】此题考查概率公式，如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现
种可能，那么事件 的概率 (A) ．根据概率公式计算即可．
【详解】解：因为总共有5人，
所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是 ．
故答案为： ．
41．（2024·四川·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，
参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取
1人承担联络任务，若抽中男生的概率为 ，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
【答案】5
【分析】题目主要考查概率的计算及一元一次方程的应用，理解题意，根据概率公式列式计算是解题关键．
【详解】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：5．
42．（2024·青海·中考真题）如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条
路径，它获得食物的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：∵有3条路径，有1条路径树枝上有食物，
∴它获得食物的概率是 ．
故答案为：
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考向二 用列举法求概率
43．（2024·河南·中考真题）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫
剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽
取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．
根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为 ．
故选∶D．
44．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数
学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，
其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
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由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是
，
故选：B
45．（2024·山东·中考真题）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各
自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等
可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是 ，
故选：C．
46．（2024·北京·中考真题）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其
它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现
结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
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共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
两次都取到白色小球的概率为 ．
故选：D．
47．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙
悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡
片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次
取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：将这4张卡片记为 ，画出树状图如下：
由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4
种，
则两次取到相同图案的卡片的概率为 ，
故答案为： ．
48．（2024·安徽·中考真题）不透明的袋中装有大小质地完全相同的 个球，其中 个黄球、 个白球和 个
红球．从袋中任取 个球，恰为 个红球的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
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由树状图可得，共有 种等结果，其中恰为 个红球的结果有 种，
∴恰为 个红球的概率为 ，
故答案为： ．
49．（2024·重庆·中考真题）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，
两人分别从 、 、 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点 的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列
表法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有 种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点 的情况有 种，
∴甲、乙两人同时选择景点 的的概率为 ，
故答案为： ．
50．（2024·重庆·中考真题）甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们
恰好选择同一景区的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同
一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
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由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，
故他们选择同一个景点的概率是： ，
故答案为： ．
考向三 用频率估计概率
51．（2024·江苏扬州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次
50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
数
盖面朝上次
28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
数
盖面朝上频
0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
率
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【答案】0.53
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数
的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：0.53
52．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
(2)
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方
法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率
公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是 ，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
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共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随
机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．
【详解】解：随机抽取一个小组，共有 种等可能结果，抽到第4个小组的有 种结果，
∴概率为 ，
故选：C．
2．（2024·湖北·模拟预测）有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件
（2）：通常温度降到 以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
【答案】D
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事
件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
依据定义判断即可．
【详解】解：事件（1）是随机事件；事件（2）是必然事件；
故选：D．
3．（2024·河北·模拟预测）将有50个个体的样本编成组号为 - 的四个组，如下表所示，已知第 组
占比 ，则第 组的频数为（ ）
组号
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频数 ■ 13 12 ▲
A． B．55 C．25 D．15
【答案】D
【分析】本题考查了频数 率 分布表．注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．根
据频率、频数的关系：频率 频数 数据总和，可以求出第④组的频数．根据频数的性质：一组数据中，
各组的频数和等于总数，可以求出第 组的频数．
【详解】解：根据统计表可知第④组的频数为 ，
∴第 组的频数 ，
故选：D．
4．（2024·湖北·模拟预测）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以
获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．经过多次试行，发现
转动n次转盘时，其中指针有m次落在“铅笔”区域，则估计“饮料”区域所在扇形的圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性“定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值“就是这个事件的概率”用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落在“饮料”区域的概率，用
乘概率即可得出答案．
【详解】解： 转动n次转盘时，其中指针有m次落在“铅笔”区域，
则指针落在 “饮料”区域的次数为 次，
“饮料”区域所在扇形的圆心角度数是 ，
故选：B．
5．（2024·山西·模拟预测）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个
白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现
的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
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A．白球 B．黄球 C．红球 D．黑球
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率
值得到抽到该球的概率为 ，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在 左右，即抽到该球的概率为 ，
∵抽到白球的概率为 ，抽到黄球的概率为 ，抽到红球的概率为 ，
∴该球的颜色最有可能是白球，
故选：A．
6．（2024·河南·三模）省实验校史馆中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为12，13，14，14，15，则3
年后这五位讲解员的年龄数据中一定会改变的是（ ）
A．极差 B．众数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【分析】本题主要考查了众数，方差，极差，标准差的定义，根据众数，方差，极差，标准差的定义判断
即可．众数是一组数据中出现次数最多的数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据的波动程度不
变，方差就不变．极差是一组数据中的最大数据与最小数据的差，标准差是方差的算术平方根．标准差能
反映一个数据集的离散程度．平均数相同的两组数据，标准差未必相同．
【详解】解：省实验校史馆中五位讲解员的年龄分别为12，13，14，14，15，
3年后五位讲解员的年龄分别为：15，16，17，17，18．
会改变的是众数，
故选：B．
∴
7．（2024·北京·模拟预测）我们学习过方差的表述意义，下列指标能刻画数据的离散程度有几个？（ ）
我们记：
A．1 B．2 C．3 D．4
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【答案】B
【分析】本题考查了刻画数据离散程度的量，解题的关键是根据方差的非负性的特点进行判断．
【详解】解：根据方差的非负性的特点来进行判断；
可能会出现负值的情况，故不能刻画离散程度；
，故能刻画离散程度，值越大离散程度越大；
可能会出现负值的情况，故不能刻画离散程度；
，故能刻画离散程度，值越大离散程度越大；
故有2个，
故选：B．
8．（2024·全国·模拟预测）某镇持续调整农业产业结构，引导百姓发展鲜切花产业，为当地百姓的增收致
富拓宽了渠道．小航家在温室大棚里种植了玫瑰花，他统计了 月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售价，
绘制了如图折线统计图，下列说法错误的是（ ）
A．平均利润最大的月份是2月份 B．
C． 月份平均售价的中位数为3 D． 月份平均利润为3元
【答案】C
【分析】本题考查折线统计图，中位数，方差．根据统计图对四个选项逐个分析判断即可作出选择．
【详解】解： 月份平均利润分别为：2元；5元；3元；2元；3元，
平均利润最大的月份是2月份，故选项A正确，不符合题意；
从折线图可以看出平均售价的波动比平均成本的波动大，
，故选项B正确，不符合题意；
月份平均售价按由小到大排列为：3，4，4，5，6，
月份平均售价的中位数为4，故选项C错误，符合题意；
月份平均利润为： （元 ，
D选项正确，不符合题意．
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故选：C．
9．（2024·安徽·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查
B．“打开电视，正在播放 沈视早报 ”是必然事件
C．数据 ， ， ， ， 的众数是
D．一组数据的波动越大，方差越小
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事
件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，属于基础题．依据必然事件的定义以及
方差、众数的定义即可判断．
【详解】解：A、了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查，正确，选项符合题意；
B、打开电视，正在播放 沈视早报 ”是随机事件，选项不符合题意；
C、数据 ， ， ， ， 的众数是 和 ，选项不符合题意；
D、一组数据的波动越大，方差越大，选项不符合题意．
故选：A．
10．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选
择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过
这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有： ， ， ，
， ， ， ， ， ， 共10种，
其中经过这三个点能够画出圆的结果有：
， ， ， ， ， ，
共6种，
∴经过这三个点能够画出圆的概率为 ．
故选：D
11．（2024·山东·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ）
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A．一组样本数据中的最大的数和最小的数同时加上一个不为零的正整数，这组数据的极差一定不变
B．一组样本数据的平均数为t，样本数据中再加一个数k，该样本数据的平均数仍然是t，则
C．一组样本数据 、 、 、 、 ， 是最小值， 是最大值，则样本数据 、 、 、 的中
位数等于样本数据 、 、 、 、 的中位数
D．如果一组样本数据 、 、 、 、 、 的方差为 ，并且这一组样本数据满足关系式
，另一组样本数据 、 、 、 、 、 的方差为 ，
且这一组数据满足关系式 ，若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了统计数据的求解，中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或
最中间两个数据的平均数）．极差是最大值与最小值之间的差距，即最大值减最小值后所得之数据．平均
数，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数．方差是每
个数据与平均数之差的平方值的平均数．据此即可求解．
【详解】解：一组样本数据中的最大的数和最小的数同时加上一个不为零的正整数后，最大的数据不变，
但最小的数据有可能发生变化，故这组数据的极差可能会变
故A错误，不符合题意；
设原来的样本数据有 个，
∵样本数据中再加一个数k，该样本数据的平均数仍然是t，
∴ ，
∴
故B错误，不符合题意；
∵ 是最小值， 是最大值，
∴样本数据 、 、 、 、 的中位数是数据 、 、 、 的中位数
故C正确，符合题意；
∵ ，
∴
同理可得：
∵ ，
∴
设样本数据 、 、 、 、 、 的平均数为 ，样本数据 、 、 、 、 、 的平均数为 ，
∵ ，
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∴ ，
∵
∴
无论 是否成立都有 ，
故D错误，不符合题意；
故选：C
12．（2024·上海·模拟预测）如图，某工厂为选择一种大米包装的质量规格，抽样调查了该大米散装销售
时顾客购买的质量，并将收集的数据绘制成右图的频数分布直方图，根据调查结果，下列包装的质量规格
中，最为合理的选择是（ ）
A．2千克/包 B．3千克/包 C．4千克/包 D．5千克/包
【答案】A
【分析】本题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图特征从而得答案，解题的关键是理解频数分布
直方图．
【详解】解：由频数分布直方图知，所列包装的质量规格中选择2千克/包的人数最多，
所以较为合理的选择是2千克/包，
故选：A．
二、填空题
13．（2024·河南·模拟预测）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平
均成绩都是89，方差分别是 ， ， ，你认为适合选 参加决赛．（填“甲”“乙”
或“丙”）
【答案】甲
【分析】本题考查方差的意义，解决本题的关键是明晰方差的意义．由于平均数都相同，根据方差作出判
断即可．
【详解】
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根据方差的意义：方差越小，数据越稳定；
故甲的成绩最稳定，选择甲适合参加决赛．
故答案为：甲．
14．（2024·重庆·模拟预测）一个不透明的口袋中有1个黄色球和3个红色球，这些球除颜色外其余均相同
从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是
．
【答案】
【分析】本题考查列表法和树状图法求概率，根据题意，画出相应的树状图，然后根据概率公式求出两次
都摸出红球的概率即可．
【详解】解：树状图如下，
由上可得，一共有16种等可能性，其中两次都摸出红球的可能性有9种，
∴两次都摸出红球的概率为 ，
故答案为： ．
15．（2024·江苏·模拟预测）给出一组数据11、8、10、9、12，则这组数组的极差是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的
最大值减去最小值．
根据极差的定义，用这组数据中的最大值减去最小值即可．
【详解】解：由题意可知，极差为 ．
故答案为：4．
16．（2024·湖南·模拟预测） 年10月 日晚，全国和美乡村篮球大赛——“村 ”总决赛在贵州省台
江县台盘村落下帷幕．随着村 篮球赛的火遍全国，某班 名学生参加定点投篮比赛，每人投篮10次，
投中的次数统计如下： ．这组数据的中位数和众数分别是 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义即可求解，掌握中位数和众数的定义是解题
的关键．
【详解】解：把数据按照由小到大的顺序排列为； ，
∴中位数为 ，
∵数据 中， 出现的次数最多，
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∴众数为 ，
故答案为： ， ．
17．（2024·湖南·模拟预测）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．
为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等
实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位： ），统计结果如下表：
品种 甲 乙 丙 丁
平均
24 25 23 25
数
方差 7.6 15.6 6.8 4
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 ．
【答案】丁
【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差
的定义，结合表中数据即可获得答案．
【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光
合作用速率，
而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用
速率的稳定性强，
所以，应选择的优良大豆品种是丁．
故答案为：丁．
18．（2024·广西·模拟预测）将10名学生的体育成绩分为4组，第一组和第二组的频数分别为2，3，第三
组的频率是0.4，则第四组的频数是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了频率与频数，先求出第三组的频数，再由总人数减去第一、二、三组的频数即可得出
答案．
【详解】解：∵第三组的频率是0.4，
∴第三组的频数为 ，
∴第四组的频数是 ，
故答案为： ．
19．（2024·河北·模拟预测）中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．
嘉嘉和淇淇利用象棋棋盘和棋子做游戏，游戏开始时，嘉嘉将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”“兵”
“马”“士”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由淇淇随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再
从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字．
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（1）淇淇摸到棋子正面的汉字为“相”是 事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”）
（2）淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为 ．
【答案】 不可能
【分析】本题主要考查了事件的分类、运用列表法求概率等知识点，根据题意正确列表成为解题的关键．
（1）根据事件的分类即可解答；
（2）采用列表法求得所有情况结果数和两次都是“兵”的结果数，然后运用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）由于四枚棋子中没有“相”，因此淇淇不可能摸到“相”，即为不可能事件；
故答案为：不可能；
（2）根据题意列表如下：
兵 兵 马 士
兵 兵，兵 马，兵 士，兵
兵 兵，兵 马，兵 士，兵
马 兵，马 兵，马 士，马
士 兵，士 兵，士 马，士
则共有12种可能，淇淇两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”有2次，则淇淇两次摸到棋子．正面的汉字都是
“兵”的概率为 ．
故答案为： ．
20．（2024·上海·模拟预测）已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是
素数的概率为 ，则该组数据的标准差为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了素数，概率，标准差等知识．熟练掌握素数，概率，标准差是解题的关键．
由题意知，数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8，当数据个数为6时，设连续正整数
为 ，可得平均数为 ，则标准差
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为 ，
计算求解；同理可求当数据个数为8时的标准差，然后作答即可．
【详解】解：∵从中随机抽取一个数字，是素数的概率为 ，
∴数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8，
当数据个数为6时，设连续正整数为 ，
平均数为 ，
∴标准差为
，
同理，当数据个数为8时，标准差为 ，
综上所述，标准差为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
21．（2024·湖北·模拟预测）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张
卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片．
(1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率；
(2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求概率，列表法或树状图法求概率，正确理解题意是解题的关键；
（1），列出表格可得所有可以出现的结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可；
（2），列出表格可知所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果数，进而得出答案．
【详解】（1）
二 一 1 2 3 6
1
2
3
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6
一共有16种可能出现的结果，符合条件的有4种，所以抽取两张卡片上的数字相同的概率是 ．
（2）解：列表如下：
二 一 1 2 3 6
1
2
3
6
一共有16种可能出现的结果，符合条件的有9种，所以第一次取出的数字是第二次取出数字的整数倍的概
率为 ．
22．（2024·广东·模拟预测）我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机
抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计
图．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)杨老师采用的调查方式是 ( 填“全面调查”或“抽样调查”)；
(2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数；
(3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等
奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女
的概率．
【答案】(1)抽样调查
(2)补全的条形统计图见解析； 件
(3)
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求
概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
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（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查；
（2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其
他三个班的作品数量即可得到 班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为： （件 ；
继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征
集作品的数量．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再
利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
（2）解：所调查的4个班征集到的作品数为： （件 ，
班有 （件 ，
补全条形图如图所示，
所抽取的4个班级作品数量的平均数为 （件），
∴估计全校共征集作品数量为 （件）；
（3）解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况，
恰好选取的两名学生是一男一女的概率为 ．
23．（2024·北京·模拟预测）为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承
华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的
同学进入决赛．
(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只
需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数）
(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：
签
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
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成
绩
签
11 12 13 14 15 16 17 18 19
号
成
9.8 9.6 8.8 9
绩
2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”
14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！”
请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；
(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近
三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为 ，15号选手的方差为 ．你
认为______号选手的成绩比较稳定．
【答案】(1)中位数
(2)9.05， 、 、 、 、 、
(3)15
【分析】（1）因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数；
（2）根据平均数公式、求众数的方法求解即可；
（3）根据方差的意义分析即可得到答案．
【详解】（1）解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就
是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以，
故答案为：中位数；
（2）解：这19位同学成绩的平均数为
，
如表所示：
签
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
成
绩
签
11 12 13 14 15 16 17 18 19
号
成
8.8
绩
其中 有1个、 有1个、 有1个、 有2个、 有2个、 有1个、 有1个、 有2个、 有
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2个、 有2个、 有2个、 有1个、 有1个，从而确定 、 、 、 、 、 均有2个，
则众数为 、 、 、 、 、 ，
故答案为：9.05， 、 、 、 、 、 ；
（3）解： 她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选
手的方差为0.38，15号的方差小，
号选手的成绩比较稳定，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，此题不但要求学生会求，而且要求掌握方差、平均数、
众数的运用．
24．（2024·安徽·三模）神州十八号载人飞船于2024年4月25日发射升空，并与空间站实现完美自动对接．
为了让学生对我国航天事业有进一步了解，校团委开展了以“筑梦空间站”为主题的航天知识宣传活动，活
动结束后对学生数相当的七、八年级进行一次航天知识的有关测试，并从七、八两个年级各抽40位同学的
成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（说明：满分100分，成绩80分及以上为优秀，
分为良好， 分为合格，60分以下为不合格）
①七年级同学成绩的频数分布条形图（数据分为五组： ， ， ， ，
）
②七年级同学成绩在 这一组的是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79
③八年级同学中没有3人成绩相同，其平均数、中位数、众数、优秀率如下：
中位
平均数 众数 优秀率
数
79 76 84 40%
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求样本中七年级同学成绩的中位数；
(2)样本中成绩是76分的学生，在哪个年级的名次更好些？请说明理由；
(3)根据上述信息，推断______年级同学测试成绩更好，理由为______；（至少从两个不同的角度说明推断
的合理性）
【答案】(1)
(2)八年级，见解析
(3)七年级，见解析
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【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据中位数的定义即可求解；
（2）从中位数的角度解答即可；
（3）从优秀率、中位数上分析即可得出七年级学生成绩较好；
【详解】（1）解：由题意得：七年级学生成绩位于第20位，第21位的是77，78，
∴七年级学生成绩的中位数为 分；
（2）解：在八年级名次更好，理由如下：
76分在七年级是第22名，因为八年级学生中没有3人成绩相同，且中位数为76，而中位数应该是第20和
21个数的平均数，故76分一定在22名之前．
（3）解：七年级好，理由如下：
从中位数来看，七年级中位数 比八年级中位数76高；从优秀率来看，七年级优秀率为 ，
比八年级 高．
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