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专题 03 分式及其运算
课标要求 考点 考向
考向一 分式有意义的条件
1. 了解分式和最简分式的概念。
分式的
2. 能利用分式的基本性质进行约分和通分。
概念及 考向二 分式为0的条件
3. 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。
其性质
考向三 分式的值
考向一 分式的加减
考向二 分式的混合运算
分式的
考向三 分式的化简求值
运算
考向四 零指数幂 负指数幂 分
数指数幂
考点一 分式的概念及其性质
►考向一 分式有意义的条件
1．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式 有意义，则x需满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组
解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
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【详解】解：由题意可得， ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
►考向二 分式为0的条件
3．（2024·山东济南·中考真题）若分式 的值为0，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案．
【详解】∵分式 的值为0，
∴x−1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键．
►考向三 分式的值
4．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征
值”．如图，矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的
是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设 ， ， ，
可得 ， ， ，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．
【详解】解：设 ， ， ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，而 ，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
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故选：B．
5．（2024·四川雅安·中考真题）已知 ．则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得 ，再整体代入求值即可；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
；
故选C
6．（2024·吉林·中考真题）当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
考点二 分式的运算
考向一 分式的加减
7．（2024·天津·中考真题）计算 的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行
计算，对分子提取公因式，然后约分即可．
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【详解】解：原式
故选：A
8．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算 的结果为 ，则 （ ）
A．x B．y C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的
关键．
由题意得 ，对 进行通分化简即可．
【详解】解：∵ 的结果为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
9．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算 的解题过程：
解： ①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式
即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
【详解】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式 ．
10．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．小乐同学的计算过程如下：
解： …①
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…②
…③
…④
…⑤
当 时，原式 ．
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为： ；
（2）解：
当 时，原式
11．（2024·四川广安·中考真题）先化简 ，再从 ， ， ， 中选取一个适合的
数代入求值．
【答案】 ， 时，原式 ，a=2时，原式 .
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合
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分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：
且
∴当 时，原式 ；
当 时，原式 .
考向二 分式的混合运算
12．（2024·四川眉山·中考真题）已知 （ 且 ）， ，
则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为 ，
， ，进一步即可求出 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
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，
．
故答案为： ．
13．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得
，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为
．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理
解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到 ，按照定义
求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知 中存在一点 ，使得
，则 ，
，
中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ，
抛物线 “开口大小”为 ，
故答案为： ．
考向三 分式的化简求值
14．（2024·四川·中考真题）化简： ．
【答案】
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【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通
分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解．
【详解】解：
．
15．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值： ，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】 ，取 ，原式 ．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子
分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴取 ，原式 ．
16．（2024·贵州·中考真题）（1）在① ，② ，③ ，④ 中任选3个代数式求和；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）见解析 （2） ，1
【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可；
（2）先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化为最简分式，最后代入数值解题即可．
【详解】（1）解：选择①，②，③，
；
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选择①，②，④，
；
选择①，③，④，
；
选择②，③，④，
；
（2）解：
；
当 时，原式 ．
17．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值： ，其中a，b满足 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母
因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到 ，最后将 化为 ，代入
即得答案．
【详解】原式
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，
，
原式 ．
考向四 零指数幂 负指数幂 分数指数幂
18．（2024·四川雅安·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．
根据零指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】解：原式 ．
故选：C．
19．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌
握运算法则是解题的关键．
根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可．
【详解】解：A、 是正数，符合题意；
B、 是负数，不符合题意；
C、 是负数，不符合题意；
D、 是负数，不符合题意；
故选：A．
20．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求
解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
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B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数 ， ，当 时，函数 的最大值是 ，
函数 的最大值是 ，则 ．
【答案】 /
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出 与 的关系是解题关键．直接利
用反比例函数的性质分别得出 与 ，再代入 进而得出答案．
【详解】解： 函数 ，当 时，函数 随 的增大而减小，最大值为 ，
时， ，
，当 时，函数 随 的增大而减大，函数 的最大值为 ，
．
故答案为： ．
22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）求值： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分
别化简即可得出答案．
【详解】解：
．
23．（2024·广东·中考真题）计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术
平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
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．
24．（2024·上海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次
根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
一、单选题
1．（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且 ，那
么式子 叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判
定各式子即可．
【详解】解：A、 是单项式，不是分式，不符合题意；
B、 是多项式，不是分式，不符合题意；
C、 是分式，符合题意；
D、 是多项式，不是分式，不符合题意，
故选：C．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，若 ，则 的值在（ ）
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A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值．把 代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ，
∵ ，
∴ 的值在落在段④，
故选：D．
3．（2024·安徽·三模）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先去括号，再通分，计算分式的减法运算即可．
【详解】解：
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；
故选B
4．（2024·山西太原·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘
法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项符合题意；
故选：D．
5．（2024·河北邢台·模拟预测）化简 ，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果．
【详解】
；
故选：D．
6．（2024·重庆·模拟预测）将分式 中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（ ）
A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化
后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
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将原式中的 分别用 代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案．
【详解】解：将分式 中的 的值同时扩大为原来的10倍，
则原式变为 ，
∴分式的值扩大1000倍，
故选：D．
7．（2024·河北秦皇岛·一模）若 ，则下列各式的值与P的值一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可．
【详解】A、 不能再化简，故本选项不符合题意；
B、 不能再化简，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是
（ ）
化简：
甲同学：原式 ；
乙同学： ；
丙同学： ；
丁同学 ．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
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【详解】解：
，
∴开始出现错误的同学是乙同学，
故选B．
9．（2024·河南南阳·模拟预测）若 的运算结果为整式，则 代表的式子可能是（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后
根据求出的结果得出选项即可．
【详解】解：
．当 代表的式子为 ，原式 是分式，故该选项不符合题意；
△
．当 代表的式子为 ，原式等于 是分式，故该选项不符合题意；
△
．当 代表的式子为 ，原式 是整式，故该选项符合题意；
△
．当 代表的式子为 ，原式 是分式，故该选项不符合题意；
△
故选：C．
10．（2024·河北·模拟预测）化简 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式
乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘．
运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得．
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【详解】A、 ，∴A不正确；
B、 ，∴B不正确；
C、 ，∴C不正确；
D、 ，∴D正确．
故选：D．
11．（2024·四川南充·三模）已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】此题考查分式的混合运算，根据题意得到 ，再代入所求代数式，进行分式的混
合运算即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
故选：B
二、填空题
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加法运算，先通分再合并计算即可．
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【详解】解：
．
故答案为： ．
13．（2024·吉林长春·一模）计算： ．
【答案】2023
【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，然后计算加减．
【详解】解：
，
故答案为：2023．
14．（2024·湖北·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
15．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程 ，各分母的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最
高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
根据最简公分母的定义即可得出答案．
【详解】解：分式方程 ，各分母的最简公分母是 ，
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故答案为： ．
16．（2024·宁夏银川·三模）若 ，则分式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后整体代值即可得出答案．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
17．（2024·湖南·模拟预测）当 时，分式 的值为0，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有
分母不为0，分子为0，据此即可获得答案．
【详解】解：当 时，若分式 的值为0，
则有 ， ，
解得 ．
故答案为：3．
18．（2024·重庆·二模）当 时，分式 无意义，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可．
【详解】∵当 时，分式 无意义，
∴当 时， ，
代入得 ，解得 ，
故答案为： ．
19．（2024·天津河北·模拟预测）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多
次重复进行这种运算的过程如下：
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则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)．
【答案】
【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可．
【详解】解：根据题意得 ；
；
；
……
根据以上规律可得： ．
20．（2024·江苏扬州·三模）能使分式 值为整数的整数 有 个．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将 转化为 ，进一步求解
即可．
【详解】解： ，
∵分式的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴ ，
∵ 也是整数，
∴ ，
解得： ；
∴能使分式 值为整数的整数 有 个．
故答案为： ．
21．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）已知 ， ，计算 ．若
的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
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【答案】 16
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得 ，
再根据 的值为正整数，可得 或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分
子与分母的要求是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
∵ 的值为正整数， 为整数
∴ 或2或3或6，
∴符合题意的 ，3，4，7，
∴满足条件的所有整数a的和为 ，
故答案为： ，16．
三、解答题
22．（2024·山西·模拟预测）（1）计算： ．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解： ，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步
任务一：
填空：
①以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的；
②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
任务二：
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请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】（1） ；（2）任务一：①不等式的基本性质．②三；移项时， 的符号没有改变．任务二：
【分析】（1）首先计算负整数指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，然后计算加减；
（2）任务一：①根据不等式的基本性质求解即可；
②根据移项的性质求解即可；
任务二：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）
；
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时， 的符号没有改变；
任务二：
．
【点睛】此题考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式，解题的关键
是掌握以上运算法则
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，
要求组成 ，或 的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的 ，代入计算分式的
值．
A． B． C．
(1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______．
(2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值．
【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
(2) ，
【分析】本题考查了约分以及分式混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）C可进一步约分；
（2）利用分式的混合运算法则即可求解；
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【详解】（1）解：∵
故答案为：C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变
（2）解：
24．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数： ， ， ， …
(1)尝试： ； __________； __________．
(2)归纳： __________．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1) ；
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据题意代数求解即可；
（2）根据（1）的规律求解即可．
（3）首先根据分式的加减运算求出 ， ，然后代入 求解即可；
【详解】（1） ；
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；
（2） ；
（3）
∴ ．
25．（2024·上海长宁·三模）计算： ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了分母有理化，实数的运算，负整数指数幂和分数指数幂，先计算分数指数幂，负
整数指数幂和分母有理化，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
．
26．（2024·安徽合肥·三模）观察下列各式，并回答后面的问题．
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第一个式子： ；第二个式子： ；第三个式子： ；
第四个式子： ；第五个式子： ；
⋯
(1)第六个式子为：______；
(2)求第 个式子，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查分式运算的规律探索及运算，熟练找出第 个式子和 的关系是解题的关键．
（1）寻找规律，即可得出；
（2）先找出规律，再利用分式的运算法则证明即可．
【详解】（1）解：第六个式子为： ；
（2）解： ，
证明：
．
27．（2024·吉林长春·模拟预测）已知： ， ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查的是整式的乘法与乘法公式的灵活应用，一元二次方程的解法，由 结合
可得 ，设 ，
，进一步可得 ，求解 的值，再进一步求解可得答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意，舍去）
∴
；
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