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第 06 讲 分式方程
目 录
题型01 判断分式方程
题型02 分式方程的一般解法
题型03 错看或错解分式方程问题
题型04 解分式方程的运用（新定义运算）
题型05 根据分式方程解的情况求值
题型06 根据分式方程有解或无解求参数
题型07 已知分式方程有增根求参数
题型08 列方式方程
题型09 利用分式方程解决实际问题
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题型 01 判断分式方程
1 3x+5 2x−1 1
1．关于x的方程①x2−2x= ；② −1= ；③x4−2x2=0；④ x2−1=0．其中是分式方程
x 4x 3 2
是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
x−3 3 x+3 1 x x
2．给出以下方程： =1， =2， = ， − =1，其中分式方程的个数是（ ）
4 x x+5 2 3 2
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 02 分式方程的一般解法
3 2
1．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程 = 的解是
2x x+1
3−x 1
2．（2023广州市一模）分式 的值比分式 的值大3，则x为 ．
2−x x−2
2 4
3．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1− =
3−x x−3
3 x 1
4．（2011·河北·统考中考模拟）解分式方程： − = ．
2x−4 x−2 2
x 4
5．（2023渭南市一模）解分式方程： −1= ．
x−2 x2−4x+4
题型 03 错看或错解分式方程问题
m
1．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程 =1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：
x+6
甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
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A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
ax 12
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程 = +1无解，求a的值．”尖尖和丹丹
3x−9 3x−9
的做法如下（如图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
x−2 mx
3．（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）已知关于x的分式方程 − =1无解，求m的值．
x+2 x2−4
甲同学的结果：m=0．
乙同学的结果：m=−8．
关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确
C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确
2 x
4．已知分式方程 + =■有解，其中“■”表示一个数．
x−1 1−x
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或
0，试确定“■”表示的数．
1−x 1
5．（1）以下是小明同学解方程 = −2的过程．
x−3 3−x
【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2．第一步
解得x=4．第二步
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检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．第三步
所以，原分式方程的解为x=4．第四步
①小明的解法从第___________步开始出现错误；出错的原因是___________．
②解分式方程的思想是利用___________的数学思想，把分式方程化为整式方程．
A．数形结合 B．特殊到一般 C．转化 D．类比
1−x 1
③写出解方程 = −2的正确过程．
x−3 3−x
（2）化简：a2−6a+9 ( 1 )．
÷ 1−
a2−2a a−2
1−x 1
6．在解分式方程 = −2时，小亮的解法如下：
x−2 2−x
解：方程两边同时乘x−2，得1−x=−1−2 （第一步）
解这个整式方程得：x=4 （第二步）
……
任务一：填空
在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ．
任务二：请写出解这个方程的正确过程．
任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．
题型 04 解分式方程的运用（新定义运算）
a k
1．（2023西安铁一中一模）定义一种新运算： ，例如： ，若
∫n⋅xn−1dx=an−bn ∫2⋅xdx=k2−h2
b h
m
，则 （ ）
∫−x−2dx=−2 m=
5m
2 2
A．-2 B．− C．2 D．
5 5
1
2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右
1−b2
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1 1 2
边是实数运算．例如：5⊗3= =− ．则方程x⊗2= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
A．x=4 B．x=5 C．x=7 D．x=6
1
3．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb= ，
a+b2
1 2
例如： 1θ2= ，则xθ(−2)= −2的解是 ．
1+22 x+4
4.（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）定义运算“※”：a※b=¿．若5※x=2，则x的值可能为
（ ）
5 15 5
A． B．5 C． D．10或
2 2 2
题型 05 根据分式方程解的情况求值
1−k 1
1．（2021·四川雅安·统考中考真题）若关于x的分式方程2− = 的解是正数，则k的取值范围是
x−2 2−x
．
1-k 2
2．（2023慈溪市二模）如果方程 -1= 的解是正数，那么k的取值范围为 ．
x-1 1-x
x+m 3m
3．（2023齐齐哈尔市模拟）若关于x的方程 + ＝3的解为正数，则m的取值范围是 ．
x−3 3−x
1 1 x+a
4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的方程 + = 的解为负数，则a的取值范围
x x+1 x(x+1)
是 ．
m+3
5．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程 =1的解不大于2，则m的取
2x−1
值范围是 ．
x m
6．（2022·四川南充·统考二模）已知关于x的分式方程 = +3的解是非负数，则m的取值范围
x−1 2x−2
是 ．
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题型 06 根据分式方程有解或无解求参数
m+x
1．（2021·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程 −3＝0有解，则实数m应满足的条件是（
2−x
）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
5 a
2．（2020黄冈市模拟）关于x的分式方程 = 有解，则字母a的取值范围是（ ）
x x−2
A．a=2或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
2 x+a
3．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 + =2无解，则a的值为（ ）
x−3 3−x
A．3 B．0 C．−1 D．0或3
1−ax 1
4．（2022·黑龙江·统考三模）关于x的分式方程 +2= 有解，则a的取值范围是 ．
x−2 2−x
2 mx 3
5．关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 ．
x−2 x2−4 x+2
题型 07 已知分式方程有增根求参数
x+2 m
1．（2022·湖北襄阳·统考一模）关于x的方程 = 有增根，则m的值及增根x的值分别为（ ）
x+3 x+3
A．−1，−3 B．1，−3 C．−1，3 D．1，3
2 m 1
2．（2022·山东潍坊·统考二模）如果解关于x的分式方程 + = 时出现增根，则m
x−1 (x−1)(x+2) x+2
的值可能为（ ）
A．−6或-3 B．−3 C．−2 D．1
2x+1 m
3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 = +1有增根，则m的值是 ．
x−3 3−x
x−2 m
4．（2022绥宁县一模）若去分母解分式方程 +1= 会产生增根，则m的值为 ．
x−3 x−3
2 k
5．（2022·江苏徐州·统考二模）如果关于x的方程 =1− 有增根，那么k= ．
x−3 3−x
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题型 08 列方式方程
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和
“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干
套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，
于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题
意的方程是（ ）
3600 3600 3600 2400
A． − =4 B． − =4
0.8x x x 0.8x
2400 3600 2400 2400
C． − =0 D． − =4
0.8x x 0.8x x
2．（2023·河南驻马店·校考二模）某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团
购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需800元；如果多购买5根跳绳，就可以享受
批发价，总价是720元，已知按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同，则班级共有多少
名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
800 720 720 800
A．50× = ×40 B．40× = ×50
x x+5 x−5 x
800 720 720 800
C．40× = ×50 D．50× = ×40
x x+5 x−5 x
3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合
理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完
成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（ ）
540 540 540 540 540 540 540 540
A． − =3 B． − =3 C． − =3 D． − =3
x−2 x x+2 x x x+2 x x−2
4．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，
又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达
B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
80 80 80 80
A． − =40 B． − =2.4
x 3x x 3x
80 80 2 80 80 2
C． −2= + D． +2= −
x 3x 3 x 3x 3
5．（2023福州文博中学模拟）某厂计划加工120万个医用口罩，按原计划的速度生产6天后，疫情期间
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因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3天完成任务．若设原计划每天生产x万
个口罩，则可列方程为（ ）
120 120 120 120
A． = +3 B． = −3
x 1.5x x 1.5x
120−6x 120−6x 120−6x 120−6x
C． = +3 D． = −3
x 1.5x x 1.5x
6．（2021·山东临沂·统考中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人
每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机
器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（ ）
100 100 2 100 2 100
A． = + B． + =
0.5x x 3 0.5x 3 x
100 2 100 100 100 2
C． + = D． = +
x 3 1.5x x 1.5x 3
7．（2023西峡县三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若
用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3
天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
900 900 900 900
A． =2× B． =2×
x+3 x−1 x−3 x+1
900 900 900 900
C． =2× D． =2×
x−1 x+3 x+1 x−3
8．（2022·浙江丽水·统考中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购
买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程
5000 4000
= −30，则方程中x表示（ ）
2x x
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
题型 09 利用分式方程解决实际问题
1．（2021·山东泰安·统考中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制
药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应
对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这
样每天只能生产疫苗15万剂．
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（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760
万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组
制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任
务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排
球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?
1．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程2x−1 x2 中，设2x−1 ，可得到关于y的整式方
+ =5 = y
x2 2x−1 x2
程为（ ）
A．y2+5 y+5=0 B．y2−5 y+5=0
C．y2+5 y+1=0 D．y2−5 y+1=0
x−2 2
2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）分式方程 = 的解为（ ）
x−3 x−3
A．2 B．3 C．4 D．5
3 1
3．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程 = 去分母可得（ ）
2x x−1
A．3x−3=2x B．3x−1=2x C．3x−1=x D．3x−3=x
x 3m
4．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于x的方程 −2= 解为正数，则m的取值范围是
x−1 2x−2
（ ）
2 4 2 4 2
A．m>− B．m< C．m>− 且m≠0 D．m< 且m≠
3 3 3 3 3
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x m
5．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程 +1= 的解为非负数，则m的取值范围
x−1 1−x
是（ ）
A．m≤1且m≠−1 B．m≥−1且m≠1 C．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠1
m x
6．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程 +1= 的解是非负数，则m的取值范围
x−2 2−x
是（ ）
A．m≤2 B．m≥2
C．m≤2且m≠−2 D．m<2且m≠−2
m 1
7．（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程 − =3的解，那么实数m的值为（ ）
2−x x−2
A．−2 B．2 C．−4 D．4
8．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都
可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、
乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的
速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确
的是（ ）
x 1.2x 1.2x x 400 800 800 400
A． − =4 B． − =4 C． − =4 D． − =4
800 400 800 400 1.2x x 1.2x x
9．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，
且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，
则所列方程正确的是（ ）
75 50 75 50 75 50 75 50
A． = B． = C． = D． =
x−5 x x x−5 x+5 x x x+5
10．（2023·四川达州·统考中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，
首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供
不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件
便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红
李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
12000 11000 12000 11000
A． = −40 B． −40=
x x−5 x x+5
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12000 11000 11000 12000
C． +40= D． +40=
x+5 x x x−5
11．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，
y 、y 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知
1 2
燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用
为x元，则可列方程为（ ）
25 10 25 10 25 10 25 10
A． = B． = C． = D． =
x 3x−0.1 x 3x+0.1 3x+0.1 x 3x−0.1 x
12．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，
乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．
若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
9 12 1 12 9 1 9 12 1 12 9 1
A． − = B． − = C． − = D． − =
x x+1 2 x+1 x 2 x+1 x 2 x x+1 2
13．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先
行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求
慢车的速度，设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是（ ）
120 120 120 120 120 120 120 120
A． +1= B． −1= C． = D． =
x 1.5x x 1.5x 1.5x x−1 1.5x x+1
14．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，
过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车
的速度是（ ）．
A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min
15．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<−2，且关于y的分式方程
a+2 y+2
+ =2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
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1 m
16．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 − =1（m为常数）有增根，则增根
x−4 4−x
是 ．
17．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树
12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人．
18．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相
向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为
30km/h，则江水的流速为 km/h．
19．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑
自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．
20．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、
20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉
面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求
购买牛肉面多少份？
21．（2023·四川乐山·统考中考真题）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理
念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量
比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
22．（2023·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲
同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同
时到达，求乙同学骑自行车的速度．
1．（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果
2 n
代数式
3x+1 7 b
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2x+1
a 1
x
2．（2021·广西贺州·统考中考真题）如M={1,2,x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．
集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集
1 b
合不变）．若集合N={x,1,2}，我们说M=N．已知集合A={1,0,a}，集合B={ ,|a|, }，若A=B，
a a
则b−a的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．（2022·重庆·统考中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红
枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山
需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买
数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的
总费用之比为 ．
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