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微专题 06 分式方程及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程
(2)增根：使分式方程的分母为零的根叫做增根
(3)产生增根的原因：分式方程本身隐含分母不为0的条件，将其化为整式方程
后没有此条件限制了
2. 分式方程的解法(2024.9)
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程
(2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求
根验根
3. 分式方程的实际应用(6年3考)
(1)常见类型及关系式：
路程
①行程问题： ＝时间；
速度
工作总量
②工程问题： ＝工作时间(当题干中没有给出具体的工作总量时，默认
工作效率
工作总量为1)；
总价
③购买问题： ＝数量；
单价
④航行问题：顺水速度＝静水船速＋水流速度；逆水速度＝静水船速－水流速
度
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(2)一般步骤：
(3)双检验：①检验是否是分式方程的根；②检验是否符合实际问题
练考点
1. 下列方程中不是分式方程的是( )
x2 2
A. －x＝0 B. ＝1
3 x
2 1
C. ＝x D. ＋y＝2
3－x y
2. 解下列方程：
2 3
(1) ＝ ；
x+1 x
3 1
(2) － ＝1.
2－x x－2
3. 小明在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50
元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元.设该酸奶单价为
x元/瓶，则可列方程为 .
高频考点
考点1 分式方程及其解法(2024.9)
2－x mx
例1 已知关于x的分式方程 ＝ .
2x+2 1+x
(1)若分式方程的解为x＝3，则m的值为 ；
(2)若m＝1，则该方程的解为 ；
(3)若分式方程有增根，则m的值为 ；
(4)若分式方程无解，则m的值为 .
易错警示
分式方程的增根与无解并非同一概念.
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
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(2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程
的解使得最简公分母为0.
2 m
变式1 (2024遂宁)分式方程 ＝1－ 的解为正数，则m的取值范围(
x－1 x－1
)
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2 C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
考点2 分式方程的实际应用(6年3考)
例2 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承
的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校园内掀起了传统文化学习的
热潮.为满足同学们的学习热情，该校特派两名学生代表小伟和小聪去采购相关
书籍.
(1)两人要去距离学校10 km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故小
聪骑自行车先走，过了20 min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达.已知汽
车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；
(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演
义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4 800元购买
《水浒传》连环画的套数是用3 600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，则
每套《水浒传》连环画的价格为多少元？
(3)将书全部运回学校后，小伟和小聪开始整理所买书籍，小聪和小伟两人共同
整理5 min后，因小聪有事退出，小伟需再单独整理7 min才能完成任务，若小
聪单独整理所买书籍需要15 min，求小伟单独整理所买书籍需要多长时间？
真题及变式
命题点1 解分式方程(2024.9)
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2 3
1. (2024广东9题3分·人教八上例题改编)方程 ＝ 的解是( )
x－3 x
A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9
命题点2 分式方程的实际应用(6年3考)
2. (2023广东17题7分·人教八上习题改编)某学校开展了社会实践活动，活动地
点距离学校12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2
倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度.
变式
2.1 变情景——将同向出发变为相向出发
A，B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发
匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千
米，求甲、乙两车的速度.
拓展训练
3. (2024绥化改编)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航
行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的
流速为多少？
新考法
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1
4. [跨物理学科](人教八上例题改编)照相机成像应用了一个重要原理，用公式
f
1 1
＝ ＋ (v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v
u v
表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝( )
f f－v fv v－f
A. B. C. D.
f－v fv v－f fv
5. [新定义运算](北师八下复习题改编)对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为：
1 1 1
a⊗b＝ ，这里等式右边是实数运算.例如：1⊗3＝ ＝－ .则方程⊗x⊗(－
a－b2 1－32 8
2
2)＝ －1的解是( )
x－4
A. x＝7 B. x＝6 C. x＝5 D. x＝4
1
6. [与数轴结合](人教八上习题改编)在数轴上，点A表示的数为 ，王老师让同
x
x+8
学们在数轴上再标出一点 B.点B表示数 ，且AB比OA大2.若点A与点B
3x
的位置如图所示，求x的值.
第6题图
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练考点
1. A
2. 解：(1)方程两边同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，
去括号，得2x＝3x＋3，
系数化为1，得x＝－3，
检验：当x＝－3时，x(x＋1)≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解；
(2)方程两边同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，
移项，合并同类项，得x＝－2，
检验：当x＝－2时，x－2≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
44.8 48
3. － ＝1
0.8x x
高频考点
1 2
例1 解：(1)－ (2)x＝
6 3
3
(3)－ 【解析】去分母得，2－x＝2mx，移项，合并同类项，得(2m＋1)x＝2，
2
{
2m+1≠0
2 3
系数化为1，得x＝ .∵分式方程有增根，∴ 2 ，解得m＝－ .
2m+1 ＝－1 2
2m+1
1 3 2
(4)－ 或－ 【解析】由(3)得分式方程的解为x＝ .∵分式方程无解，∴分
2 2 2m+1
1
两种情况，当整式方程无解时，即2m＋1＝0，解得m＝－ ，当整式方程有解，
2
{
2m+1≠0
3 1 3
分式方程无解时，即 2 ，解得m＝－ ，∴m的值为－ 或－ .
＝－1 2 2 2
2m+1
变式1 B 【解析】方程两边同时乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，
2 m
∵分式方程 ＝1－ 的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m
x－1 x－1
＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2.
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例2 解：(1)设小聪骑自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x
km/h，
10 10 1
由题意得 － ＝ ，
x 2x 3
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
答：小聪骑自行车的平均速度为15 km/h；
(2)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格
为(x＋60)元，
4 800 3 600
由题意得 ＝2× ，
x x+60
解得x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解且符合题意，
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元；
(3)设小伟单独整理所买书籍需要x min，
1 1 1
由题意得( ＋ )×5＋7× ＝1，
15 x x
解得x＝18，
经检验，x＝18是原分式方程的解且符合题意，
答：小伟单独整理所买书籍需要18 min.
真题及变式
2 3
1. D 【解析】 ＝ ，2x＝3(x－3)，解得x＝9，检验：当x＝9时，x(x－
x－3 x
3)≠0，∴x＝9是原分式方程的解.
2. 解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x
km/h，
12 12 10
由题意得 － ＝ ，
x 1.2x 60
解得x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合实际，
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答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
变式2.1 解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为(x＋30)千米/时，
80 200－80
由题意，得 ＝ ，
x x+30
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合实际，
∴x＋30＝90.
答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时.
3. 解：设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为(40＋x) km/h，沿江
逆流航行的速度为(40－x) km/h，
120 80
根据题意得 ＝ ，
40+x 40－x
解得x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.
答：江水的流速为8 km/h.
1 1 1 1 1 1 1 v－f fv
4. C 【解析】∵ ＝ ＋ ，∴ ＝ － ，∴ ＝ ，∴u＝ .
f u v u f v u fv v－f
1 2
5. C 【解析】已知等式整理，得 ＝ －1，去分母得1＝2－x＋4，解得
x－4 x－4
x＝5，经检验x＝5是分式方程的解.
x+8 1 1
6. 解：根据题意，得 － － ＝2，
3x x x
2
解得x＝ ，
5
2
经检验，x＝ 是原分式方程的解.
5
2
∴x的值为 .
5
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