文档内容
微专题 04 分 式
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 分式的基本概念
A
(1)概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式.如果B中
B
A
含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于
B
任意一个分式，分母都不能为零
(2)最简分式的概念：①
A
(3)分式 有意义的条件：②
B
A
(4)分式 的值为0的条件：③
B
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值④ ；
A A·C A A÷C
即 ＝ 通分(C≠0)， ＝ 约分(C≠0)，其中A，B，C是整式
B B·C B B÷C
3. 分式的运算(6年4考)
(1)加减运算
b c
①同分母：分母不变，把分子相加减，即 ± ＝⑤ ；
a a
②异分母：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进
b d
行计算，即 ± ＝ ⑥ ⑦ (关键是通分)；
a c
第 1 页 共 8 页③通分的关键是找最简公分母：分母中能分解因式的先分解因式；取各分母所
有因式的最高次幂的积(数字因式取它们的最小公倍数)作为公分母
(2)乘除运算
b d
①乘法： · ＝⑧ (关键是约分)；
a c
2x－1
(5)(x－1)÷(x－ )＝ .
x
b d
②除法： ÷ ＝ ⑨ ⑩ ；
a c
③约分的关键是找公因式：分子、分母中能分解因式的，先分解因式；取分子、
分母中的相同因式的最低次幂(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式
a an
(3)乘方运算：把分子、分母分别乘方，即( )n＝
b bn
练考点
1. 下列分式中，是最简分式的是( )
3x y2 x－1
A. B.
x2 x+1
x2＋x x－1
C. D.
x2－1 x2－2x+1
x+1
2. 已知分式 .
x－1
(1)要使该分式有意义，则x的取值范围为 ；
(2)要使该分式的值为0，则x的值为 .
3. 下列分式变形从左到右一定成立的是( )
2x xy x x2
A. ＝ B. ＝
y y2 y y2
－x x 2x 6x
C. ＝－ D. ＝
－y y 3 y 9 y
4. 计算：
3 2
(1) ＋ ＝ ；
a a
2
(2)1＋ ＝ ；
x－1
第 2 页 共 8 页x 2
(3) ＋ ＝ ；
2－x x－2
1 x－1
(4) · ＝ ；
x2－x x
高频考点
考点1 分式的概念及性质
a2－1
例1 (人教八上习题改编)若分式 的值为0，则a的值为( )
a－1
A. ±1 B. 0 C. －1 D. 1
x＋y
变式1 (人教八上习题改编)若将分式 中的x，y同时扩大为原来的10倍，
xy
则该分式的值( )
1
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的10倍
10
1
C. 缩小为原来的 D. 不变
100
考点2 分式的运算(6年4考)
x－1 x+2 4－x
例2 (北师八下习题改编)先化简：( － )÷ ，再从－1，0，2，4
x－2 x x2－4x+4
四个数中，选择一个合适的数代入求值.
【答题模板】
4－x
解：原式＝① ÷ (通分，通分的依据是②
x2－4x+4
)
4－x
＝ ÷ ③ (因式分解)
x(x－2)
4－x
＝ · ④ (除法变乘法)
x(x－2)
＝⑤ ，(约分)
要使分式有意义，则x≠0，x－2≠0，⑥ ≠0，即不能选择0，2，4，
∴当x＝－1时，代入⑦ 中，得原式＝⑧ .
易错警示
(1)一定要“先”化简为最简分式或整式，“再”代入求值；
第 3 页 共 8 页(2)通分时，不含分母的项也要乘以最简公分母；
(3)分数线有括号的作用；
(4)代入的数值需使原分式及化简过程中的分式分母不为0.
3(a－2b)+3b
变式2 (2024北京)已知a－b－1＝0，求代数式 的值.
a2－2ab＋b2
x2－2x+1 x－1
变式3 (2024中山二模)先化简 ÷( －x＋1)然后从－3＜x≤1中选取
x2－1 x+1
一个合适的整数作为x的值代入求值.
真题及变式
命题点 分式化简及求值(6年4考)
a 3
1. (2024广东14题3分)计算： － ＝ .
a－3 a－3
a2－1
2. (2022广东17题8分)先化简，再求值：a＋ ，其中a＝5.
a－1
x 1 x2－x
3. (2019广东18题6分)先化简，再求值：( － )÷ ，其中x＝√2.
x－2 x－2 x2－4
新考法
4. [综合与实践](2023盐城改编)
【主题】应用分式的大小比较
【问题提出】课堂上，老师提出了下面的问题：
a a+1
已知3a＞b＞0，M＝ ，N＝ ，试比较M与N的大小.
b b+3
【类比思考】
整式的大小比较可采用“作差法”.
比如：比较x2＋1与2x－1的大小.
第 4 页 共 8 页∵(x2＋1)－(2x－1)＝x2＋1－2x＋1＝(x－1)2＋1＞0，
∴x2＋1＞2x－1.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【实践探索】
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题；
23 22
(2)比较大小： (填“＞”“＝”或“＜”).
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第 5 页 共 8 页考点精讲
①分子和分母没有公因式的分式 ②B≠0
b±c bc ad
③A＝0且B≠0 ④不变 ⑤ ⑥ ±
a ac ac
bc±ad bd b c bc
⑦ ⑧ ⑨ · ⑩
ac ac a d ad
练考点
1. B
2. (1)x≠1；(2)－1
3. D
5 x+1 1 x
4. (1) ；(2) ；(3)－1；(4) ；(5)
a x－1 x2 x－1
高频考点
a2－1
例1 C 【解析】∵分式 的值为0，∴a2－1＝0且a－1≠0，解得a＝－1.
a－1
10x+10 y 1 x＋y x＋y
变式1 A 【解析】根据题意，得 ＝ · ，∴如果把分式 中
10x×10 y 10 xy xy
1
的x和y同时扩大为原来的10倍，该分式的值缩小为原来的 .
10
x(x－1) (x+2)(x－2)
例2 解：①[ － ]；②分式的分子与分母都乘(或除以)同一
x(x－2) x(x－2)
4－x (x－2)2 x－2
个不等于0的整式，分式的值不变；③ ；④ ；⑤ ；⑥4－
(x－2)2 4－x x
x－2
x；⑦ ；⑧3
x
3a－6b+3b
变式2 解：原式＝
(a－b)2
3a－3b
＝
(a－b)2
3(a－b)
＝
(a－b)2
3
＝ ，
a－b
∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，
第 6 页 共 8 页∴原式＝3.
(x－1)2 x－1 x2－1
变式3 解：原式＝ ÷( － )
(x+1)(x－1) x+1 x+1
x－1 －x2＋x
＝ ÷
x+1 x+1
x－1 x+1
＝ ·
x+1 －x(x－1)
1
＝－ ，
x
∵(x＋1)(x－1)≠0且x(x－1)≠0，∴x≠±1且x≠0，
∵－3＜x≤1，∴取x＝－2，
1
∴原式＝ .
2
真题及变式
a－3
1. 1 【解析】原式＝ ＝1.
a－3
(a+1)(a－1)
2. 解：原式＝a＋ (3分)
a－1
＝a＋a＋1
＝2a＋1， (6分)
当a＝5时，原式＝2×5＋1＝11. (8分)
x－1 x(x－1)
3. 解：原式＝ ÷
x－2 (x+2)(x－2)
x－1 (x+2)(x－2)
＝ ·
x－2 x(x－1)
x+2
＝ ， (4分)
x
当x＝√2时，
√2+2 √2×(√2+2)
原式＝ ＝ ＝1＋√2. (6分)
√2 2
a a+1
4. 解：(1)M－N＝ －
b b+3
a(b+3) b(a+1)
＝ －
b(b+3) b(b+3)
第 7 页 共 8 页ab+3a－ab－b
＝
b(b+3)
3a－b
＝ ，
b(b+3)
∵3a＞b＞0，
∴3a－b＞0，b(b＋3)＞0，
3a－b
∴ ＞0，
b(b+3)
∴M＞N；
23 22 23×65－22×68 1 23 22
(2)＜ 【解法提示】 － ＝ ＝－ ＜0，∴ ＜ .
68 65 68×65 68×65 68 65
第 8 页 共 8 页
