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第7课时 分式方程及其应用
1 5
1.(2024·济宁)解分式方程1- =- 时,去分母变形正确的是 ( )
3x-1 2-6x
A.6x-2-2=5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
1 2
2.(2024·无锡)分式方程 = 的解是 ( )
x x+1
A.x=1 B.x=-2
1
C.x= D.x=2
2
2x-1 x2 2x-1
3.(2023·上海)在分式方程 + =5中,设 =y,可得到关于y的整式方程为 ( )
x2 2x-1 x2
A.y2+5y+5=0 B.y2-5y+5=0
C.y2+5y+1=0 D.y2-5y+1=0
2 1
4.(2024·迁安二模)嘉淇准备完成题目:解方程 + =0.发现分母的位置印刷不清,查阅答案后
x+2
发现标准答案是x=-1,请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是 ( )
A.x-1 B.-x-1
C.x+1 D.x2-1
5.(2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30
分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每
小时加工零件多少个?设乙每小时加工x个零件,可列方程为 ( )
120 120 120 120
A. - =30 B. - =30
1.2x x x 1.2x
120 120 30 120 120 30
C. - = D. - =
1.2x x 60 x 1.2x 60
x m
6.(2024·河北一模)若分式 与 的值相等,则m的值不可能是 ( )
x-1 1-x
A.-3 B.0
C.-1 D.-2
7.(2024·山东四市)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产
100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数
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为 ( )
A.200 B.300 C.400 D.500
8.(2024·河北模拟)如图是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
600 400
甲、乙两个工程队,甲队修路 400米与乙队修 嘉嘉: - =20
y y
路600米所用的时间相等,乙队每天比甲队多
400 600
修20米,求甲队每天修路的长度
淇淇: =
x x+20
下列判断正确的是 ( )
A.嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B.淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度
C.甲队每天修路的长度是40米
D.乙队每天修路的长度是40米
1 1
9.(2024·北京)方程 + =0的解为 .
2x+3 x
1 m
10.(2023·永州)若关于x的分式方程 - =1(m为常数)有增根,则增根是 .
x-4 4-x
11.(2024·泰安)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加
工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,
已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 1.2倍,求甲、
乙两组各有多少名工人?
m
1.已知关于x的分式方程 =1,对于方程的解,甲、乙两人有以下说法:甲:当m<4时,方程的解
x+6
是负数;乙:当m>6时,方程的解是正数.下列判断正确的是 ( )
A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错
2 m
2.(2024·遂宁)分式方程 =1- 的解为正数,则m的取值范围是 ( )
x-1 x-1
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
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kx 3
3.(2024·龙东地区)已知关于x的分式方程 -2= 无解,则k的值为 ( )
x-3 3-x
A.k=2或k=-1 B.k=-2 C.k=2或k=1 D.k=-1
4.(2024·邯郸广平县模拟)某市需要紧急生产一批民生物资,现有甲、乙两家资质合格的工厂招标,
加工一天需付甲厂货款1.5万元,付乙厂货款1.1万元.指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标
测算,可有三种施工方案:
方案①:甲厂单独完成这项任务刚好如期完成;
方案②:乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天;
方案③:若甲、乙两厂合作4天后,余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.
在不耽误工期的前提下,最节省费用的施工方案是 ( )
A.方案① B.方案②
C.方案③ D.方案①和方案③
5.(2024·邯郸广平县模拟)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数,
2x+1
如:max{2,4}=4.按照这个规定,方程max{x,-x}= 的解为 ( )
x
A.1-√2 B.2-√2
C.1-√2或1+√2 D.1+√2或-1
x mx
6.(2024·牡丹江)若分式方程 =3- 的解为正整数,则整数m的值为 .
x-1 1-x
7.数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度,如三根弦长之比为
15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出很调和的乐声:do,mi,so,研究
1 1 1 1
15,12,10这三个数的倒数发现 - = - ,此时我们称15,12,10为一组调和数.
12 15 10 12
(1)判断:4,6,12 (填“是”或“不是”)一组调和数.
(2)现有三个数:5,3,x(x>3),若要组成调和数,则x的值为多少?
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【详解答案】
基础夯实
1.A 解析:原方程两边同乘2(3x-1)得2(3x-1)-2=5,
即6x-2-2=5.故选A.
1 2
2.A 解析: = ,x+1=2x,x=1,
x x+1
检验,当x=1时,x(x+1)≠0,
∴x=1是原分式方程的解.故选A.
2x-1 1
3.D 解析:设 =y,则原方程可变形为y+ =5,即y2-5y+1=0.故选D.
x2 y
2 1
4.A 解析:设印刷不清的位置的式子为a,即 + =0,①
a x+2
2
把x=-1代入①,得 +1=0,②
a
解得a=-2,
经检验a=-2是分式方程②的解,又x-1=-1-1=-2,
则推断印刷不清的位置可能是x-1.故选A.
5.D 解析:设乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,
120 120 30
根据题意得 − = .故选D.
x 1.2x 60
x m
6.C 解析:由题意,得 = ,解得x=-m.
x-1 1-x
又∵x≠1,∴-m≠1,则m≠-1.故选C.
7.B 解析:设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100),
600 400
根据题意,得 = ,
x x-100
解得x=300,
经检验x=300是分式方程的解,且符合题意,
故改造后每天生产的产品件数为300.故选B.
8.C 解析:根据嘉嘉所列方程中未知数都是y,说明是相同的量,所以y表示的是时间,故A错误;根据淇淇所列
方程中未知数,x应该为甲队每天修路的长度,故B错误;根据淇淇所列方程,求出甲队每天修路的长度为40米,
乙队每天修路的长度为60米,故C正确,D错误.故选C.
1 1
9.x=-1 解析: + =0 ,x+(2x+3)=0 ,3x+3=0,x=-1,
2x+3 x
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经检验,x=-1是原方程的解.
1 m
10.x=4 解析:∵关于x的分式方程 − =1(m为常数)有增根,∴x-4=0.解得x=4.
x-4 4-x
11.解:设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人,
2 700 3 000
根据题意,得 = ×1.2,
35-x x
解得x=20,
经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意,
∴35-x=35-20=15.
答:甲组有20名工人,乙组有15名工人.
能力提升
m
1.B 解析: =1,
x+6
去分母得,m=x+6,解得x=m-6,
要使分式方程有解,x+6≠0,
∴m-6+6≠0,∴m≠0,
∴当m<4时,m-6<4-6,
∴x<-2,
∴当m<4,且m≠0时,方程的解是负数,故甲说法错误;
当m>6时,m-6>6-6,∴x>0,
∴乙说法正确.故选B.
2.B 解析:去分母,得2=x-1-m,
解得x=m+3,
由方程的解为正数,得m+3>0,且m+3≠1,
则m的取值范围为m>-3且m≠-2.故选B.
kx 3
3.A 解析: -2= ,kx-2(x-3)=-3,kx-2x+6=-3,
x-3 3-x
-9
(k-2)x=-9,x= ,
k-2
kx 3
∵关于x的分式方程 -2= 无解,
x-3 3-x
-9
∴k=2或 =3,
k-2
∴k=2或k=-1.故选A.
4.C 解析:设甲队单独完成此项任务需x天,则乙队单独完成此项任务需(x+5)天.
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4 x
依题意,得 + =1,解得x=20.
x x+5
经检验x=20是原分式方程的解,且符合题意,
∴x+5=25.
这三种施工方案需要的费用为
方案①:1.5×20=30(万元);
方案②:1.1×(20+5)=27.5(万元),但乙队单独完成这项任务超过了日期,不能选;
方案③:1.5×4+1.1×20=28(万元).
∵30>28,
∴方案③最节省费用.故选C.
2x+1
5.D 解析:当x<-x,即x<0时,所求方程变形为-x= ,
x
去分母,得x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,
解得x=x=-1,
1 2
经检验x=-1是分式方程的解;
2x+1
当x>-x,即x>0时,所求方程变形为x= ,
x
去分母,得x2-2x-1=0,
解得x=1+√2,x=1-√2(舍去),
3 4
经检验x=1+√2是分式方程的解,
综上,所求方程的解为1+√2或-1.故选D.
x mx
6.-1 解析: =3- ,
x-1 1-x
x mx
化简,得 =3+ ,
x-1 x-1
去分母,得x=3(x-1)+mx,
移项、合并同类项,得(2+m)x=3,
3
解得x= ,
2+m
由方程的解是正整数,得到x为正整数,即2+m=1或2+m=3,
解得m=-1或m=1(舍去,会使得分式无意义).
7.解:(1)是
1 1 1 1 1 1
解析:∵ − = , − = ,
6 12 12 4 6 12
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1 1 1 1
∴ − = − ,
6 12 4 6
∴4,6,12 是一组调和数.
(2)∵三个数:5,3,x(x>3)组成调和数,
1 1 1 1 1 1
∴ ×2= + 或 ×2= + ,
5 3 x x 3 5
1 1 1
①解分式方程 ×2= + ,
5 3 x
得x=15,
经检验是分式方程的解且符合题意;
1 1 1
②解分式方程 ×2= + ,
x 3 5
15
得x= ,
4
经检验是分式方程的解且符合题意,
15
故x的值为15或 .
4
7
