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第 06 讲 分式方程
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 解分式方程
题型01 判断分式方程
题型02 分式方程的一般解法
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
类型二 分离分式法
类型三 列项相消法
类型四 消元法
题型04 错看或错解分式方程问题
题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
题型06 根据分式方程解的情况求值
题型07 根据分式方程有解或无解求参数
题型08 已知分式方程有增根求参数
题型09 已知分式方程有整数解求参数
考点二 分式方程的应用
题型01 列分式方程
题型02 利用分式方程解决实际问题
类型一 行程问题
类型二 工程问题
类型三 和差倍分问题
类型四 销售利润问题
考点要求 新课标要求 命题预测
中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含
能解可化为一元
解分式方程
参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和
一次方程的分式方程
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一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左
能根据具体问题 右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分
分式方程的
的实际意义，检验方程解 式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢
应用
的合理性 分，学生应扎实掌握．
考点一 解分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
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增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0的根，它不是原分式方
程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能
是去分母后的整式方程无解.
题型01 判断分式方程
1 x+1
【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：① +1=x；② −3=0；
x 2
2 3 x x
③ + =3；④ + =1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
x−1 1−x a b
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
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x x 1 1 x x x 1 2
A． −3= B． x− y=5 C． = + D． =1−
2 5 2 3 π 3 2 2+x x
题型02 分式方程的一般解法
1 3x
【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程 +3= 去分母，两边同乘(x−1)后的式子为
x−1 1−x
（ ）
A．1+3=3x(1−x) B．1+3(x−1)=−3x
C．x−1+3=−3x D．1+3(x−1)=3x
1 x+6
【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程 + =1的解为 ．
x+2 x2−4
4 3
【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程： − =0．
x2+x x2−x
3 2
【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ ．
x+2 x−1
2 1 5
【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程 + = 的解为 ．
x x(x−2) 2x
解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最
后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
3 4 1 2
【例3】解方程： − = −
x−2 x−1 x−4 x−3
类型二 分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
x+5 x+2 x+3 x+4
【例4】解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
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类型三 列项相消法
1 1 1
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“ = − ”化积为差，裂项相消，简化难度.
n(n+1) n n+1
1 1 1
【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 = − ，
6 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ， = − ，……，请用观察到的规律解方程
12 3 4 20 4 5 6 2 3
2 2 2 5
+ +⋅⋅⋅+ =
，该方程解是多少？
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+9)(x+10) x+10
1 1 1 1 1 1 1 1
【变式5-1】因为 =1− , = − ,…, = − ，
1×2 2 2×3 2 3 19×20 19 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 19
所以 + +…+ =1− + − +…+ − =1− = ．解答下列问题：
1×2 2×3 19×20 2 2 3 19 20 20 20
1 1 1
(1)在和式 + + +…中，第九项是______________；第n项是______________．
1×2 2×3 3×4
1 1 1 1
(2)解方程： + +…+ = ．
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) x+2002
【变式5-2】探索研究：
请观察：
1 1 1 1
① = = − ；
x2+3x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2
1 1 1 1
② = = − ；
x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+2 x+3
1 1 1 1
③ = = − ；
x2+7x+12 (x+3)(x+4) x+3 x+4
1 1 1 1
④ = = − ；
x2+9x+20 (x+4)(x+5) x+4 x+5
……
(1)请写出第n个等式；
1 1 1 1 1 1
(2)解方程： + + + +⋯+ = ；
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6 x2+7x+12 x2+15x+56 x+8
1 1 1 1 1
(3)当m为正整数时， + + + +⋯+ = ．
2 6 12 20 m2+17m+72
【变式5-3】探索发现：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ; = − ; = − ……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
根据你发现的规律，回答下列问题：
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1 1
（1） ＝ ， ＝ ；
4×5 n×(n+1)
1 1 1 1
（2）利用你发现的规律计算： ⋅+ + +⋯⋯+
1×2 2×3 3×4 n×(n+1)
（3）利用规律解方程：
1 1 1 1 1 2x−1
+ + + + =
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5) x(x+5)
类型四 消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一
次项分别相同时,可考虑用换元法.
x 2x2−2 3 x
【例6】用换元法解分式方程 + = 时，若设 = y，则原方程可以化为整式方程
x2−1 x 5 x2−1
.
【变式6-1】阅读与思考
阅读下面的材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程可化为y− =0，方程两边同时乘y得y2−4=0，
x y
解得y=±2，
4 x−1
经检验：y=±2都是方程y− =0的解，∴当y=2时， =2，解得x=−1，
y x
x−1 1 1
当y=−2时， =−2，解得x= ，经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的
x 3 3
解，
1
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”．
3
问题：
x−1 x x−1
(1)若在方程中 − =0，设y= ，则原方程可化为________________．
2x x−1 x
x−1 27
(2)模仿上述换元法解方程： − −9=0．
x+2 x−1
x+1 2x−1
【变式6-2】用换元法解： − =0．
2x−1 x+1
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题型04 错看或错解分式方程问题
1 2x
【例7】（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程 = −1的过程下．
x+1 3x+3
解：去分母，得 3=2x−(3x+3)．①
去括号，得 3=2x−3x+3．②
移项、合并同类项，得 −x=6．③
化系数为1，得 x=−6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正
确的，则图中被污染的x的值是 ．
3−x
先化简，再求值： +1，其中x=
x−4
3−x
解：原式= ⋅(x−4)+(x−4)
x−4
=3−x+x−4
=−1
x x−3
【变式7-2】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁： 小迪：
解：去分母，得x−(x−3)=x−2 解：去分母，得x+(x−3)=1
去括号，得x−x+3=x−2 去括号得x+x−3=1
合并同类项，得3=x−2 合并同类项得2x−3=1
解得x=5 解得x=2
∴原方程的解是x=5 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的
解答过程．
【变式7-3】（2023忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
? 1
+3=
.
x−2 2−x
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
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题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
1 1 4
【例8】（2022·河南平顶山·统考二模）定义运算m※ n=1+ ，如：1※ 2=1+ = ．则方程
m+n 1+2 3
3
x※ (x+1)= 的解为（ ）
2
1 1
A．x=1 B．x=−1 C．x=− D．x=
2 2
1
【变式8-1】（2023 广西大学附属中学二模）对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b= ，
a−b2
1 1 2
这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3= =− ，则方程x⊗2= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
1 1
【变式8-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= +
a b
2x+1
．若(x+1)⊗x= ，则x的值为 ．
x
1 1
【变式8-3】（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ − ，若（2x﹣1）⊕2＝
a b
1，则x的值为 ．
题型06 根据分式方程解的情况求值
3x m
【例9】（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m
x−2 2−x
的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
m 3
【变式9-1】（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程 +2=− 的解为非负数，则正整
x−1 1−x
数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1 a−2
【变式9-2】（2023盐城市二模）关于x的分式方程 + =1的解为正数，则a的取值范围是 ．
x−2 2−x
2x−m 3
【变式9-3】（2023·内蒙古包头·校考一模）已知关于x的分式方程 − =1的解是正数，则m的
x−1 1−x
取值范围是 ．
x+1 x a
【变式9-4】（2023齐齐哈尔市二模）要使关于x的方程 − = 的解是正数，a的取
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
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值范围是 ．.
由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
题型07 根据分式方程有解或无解求参数
2 m
【例10】（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
k 3
【变式10-1】（2022·四川眉山·统考一模）已知关于x的分式方程 － ＝1无解，则k＝（ ）
x−2 2−x
A．－3 B．1 C．2 D．3
a a−x
【变式10-2】（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为
2x+3 x−5
．
已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表 x，
再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
题型08 已知分式方程有增根求参数
m+4 3x
【例11】（2021·广西贺州·统考中考真题）若关于x的分式方程 = +2有增根，则m的值为
x−3 x−3
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6 ax
【变式11-1】（2021·山东烟台·统考一模）若关于x的分式方程 −1= 有增根，则a的值为
x−2 2−x
（ ）
7
A．−3 B．3 C．2 D．−
2
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6−x 2m
【变式11-2】（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于x的方程 − =0有增根，则m的值是 ．
x−3 x−3
依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
题型09 已知分式方程有整数解求参数
x−2 mx
【例12】（2022·广东佛山·统考一模）若关于x的分式方程 ＝ 有正整数解，则整数m为 ．
x−1 1−x
【变式12-1】（2020·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式结¿的解集为x≤a；且关于y的分式
y−a 3 y−4
方程 + =1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
y−2 y−2
A．7 B．－14 C．28 D．－56
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如果关于x的不等式组¿的解集为x>3，且关
3−y m
于y的分式方程 + =3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
2−y y−2
A．−4 B．−3 C．−1 D．−7
9−ay 21
【变式12-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如果关于y的分式方程 +2= 有整数解，
y−3 3−y
且关于x的不等式组¿有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ．
【变式12-4】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）关于x的不等式组¿的解集为x≥3，且关
y a+2
于y的分式方程 + =−1有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
y−1 1−y
考点二 分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
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2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
工作总量=工作时间×工作效率 多个工作效率不同的对象
在工程问题中，一般将工
工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率 所完成的工作量的和等于
作总量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工作时间 工作总量
利润=售价-进价（成本）
商品打几折就是按照原价
利润问题 总利润=单件利润×销售量 由题可知
的百分之几出售
利润率=利润÷成本价×100%
较大量=较小量+多余量
和差倍分问题 由题可知 弄清和、差、倍、分关系
总量=倍数×一份量
全路程=甲走的路程+乙走 相向而行，注意出发时间
相遇问题
的路程 、地点
路程=速度×时间
追及问题 前者走的路程=追者走的路
速度=路程÷时间
（同地不同时出发） 时间=路程÷速度 程 同向而行，注意出发时间
行程问题 追及问题 前者走的路程+两地间距离、地点
（同时不同地出发） =追者走的路程
顺水速度=静水速度+水流速度 注意两地距离，静水速度
航行问题 路程=速度×时间
逆水速度=静水速度-水流速度 不变
题型01 列分式方程
【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，
该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时
间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ）
400 300 300 400 400 300 300 400
A． = B． = C． = D． =
x−50 x x−50 x x+50 x x+50 x
【变式1-1】（2022·广西·统考中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱
前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，
则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
1.4−x 8 1.4+x 8 1.4−2x 8 1.4+2x 8
A． = B． = C． = D． =
2.4−x 13 2.4+x 13 2.4−2x 13 2.4+2x 13
【变式1-2】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项
工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根
据题意，所列方程正确的是（ ）
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30 30 30 30
A． − =20 B． − =1.2
x 1.2x x x−20
30 30 30 30
C． − =20 D． − =1.2
1.2x x x−20 x
【变式1-3】（2022·山东淄博·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2
万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动
工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单
价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
20000 20000×(1−15%) 20000 20000×(1−15%)
A． = B． =
x x−10 x−10 x
20000 20000×(1−15%) 20000 20000×(1−15%)
C． = D． =
x x+10 x+10 x
【变式1-4】（2022·山东济宁·统考中考真题）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原
计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方
程是（ ）
420 420 420 420
A． = +1 B． +1=
x x−10 x x+10
420 420 420 420
C． = +1 D． +1=
x x+10 x x−10
【变式1-5】（2023·重庆江北·校考一模）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头
之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，
求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ）
36 36 36 36 36 36 36 36
A． − =2 B． − =2 C． = +2 D． + =2
x+3 x−3 x−3 x+3 x+3 x−3 x+3 x−3
【变式1-6】（2022·湖北荆州·统考中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别
到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达基地，
求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
6 1 10 6 10 6 10 1 6 10
A． + = B． +20= C． − = D． − =20
3x 3 4x 3x 4x 3x 4x 3 3x 4x
题型02 利用分式方程解决实际问题
类型一 行程问题
【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱
好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的
3倍，求张老师骑车的速度．
【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．
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第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步
行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不
计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
类型二 工程问题
【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，
已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队
每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提
供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两
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个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的 ，而乙施工队单独修建
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这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队
单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？
类型三 和差倍分问题
【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家
两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所
购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么
每个冰墩墩的标价至少为多少元？
【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年
版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种
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园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元
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在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗
的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购
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买最少花费多少钱．
【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、
乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽
子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最
多购进多少个甲种粽子？
【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、
规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价
比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请
问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
类型四 销售利润问题
【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的
件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商
品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了
2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88
元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销
售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种
商品按原销售单价至少销售多少件？
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